江苏省扬州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题（解析版）

2018—2019学年度第一学期期中调研测试试题
高三数学
2018．11
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．已知i为虚数单位，若复数z满足，则复数z＝ ．
考点：复数的运算。
答案：
解析：z＝＝1－+2＝
2．函数的定义域为 ．
考点：二次根式的定义，指数函数的性质。
答案：
解析：由二次根式有意义，得：，即，
因为在R上是增函数，所以，x≤2，即定义域为：
3．已知x，yR，直线与直线垂直，则实数a的值为 ．
考点：两直线垂直的性质。
答案：
解析：时，不符合，
当时，因为两直线垂直，所以，有：，
解得：
4．已知函数为偶函数，且x＞0时，，则＝ ．
考点：函数的性质。
答案：2
解析：因为函数为偶函数，所以，＝＝1+1＝2
5．已知向量(1，a)，(，)，若∥，则实数a＝ ．
考点：平行（共线）向量的性质。
答案：1
解析：因为∥，所以，，解得：a＝1

6．设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，cosB＝，那么角A的大小为 ．
考点：三角函数的诱导公式，正弦定理
答案：
解析：因为cosB＝，所以，B＝，
由正弦定理，得：，sinA＝，所以，A＝
7．设实数x，y满足，则的最大值为 ．
考点：线性规划。
答案：3
解析：不等式表示的平面区域如图所示：
设目标函数为Z＝，当目标函数经过点C（1,0）时，取得最大值，
所以，的最大值为3

8．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为 ．
考点：抛物线的定义及其性质。
答案：
解析：抛物线的准线方程为，
抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离相等，
所以，＝4，解得：p＝6
所以，准线方程为，

9．已知条件p：x＞a，条件q：．若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ．
考点：一元二次不等式，充分必要条件，集合的运算。
答案：
解析：条件q：化为：，即，解得：，
p是q的必要不充分条件，所以，q是p的真子集，所以，
10．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为 ．
考点：双曲线的性质。
答案：
解析：因为焦点为(3，0)在x轴上，所以，由，得：m+m+1＝9，即m＝4，
双曲线方程：，所以，渐近线方程为：
11．若函数(A＞0，＞0，)的部分图像如图所示，则函数在[，0]上的单调增区间为 ．

考点：三角函数的图象及其性质。
答案：［－3，0］(区间开闭皆可)
解析：由图象，知A＝2，T＝＝8，所以，＝8，，
函数过点（5，－2），所以，，即
因为，所以，，得：，
函数为：，
由：，得：，
令k＝0，得函数在[，0]上的单调增区间为［－3，0］

12．在△ABC中，AH是边BC上的高，点G是△ABC的重心，若△ABC的面积为，AC＝，tanC＝2，则＝ ．
考点：平面向量的的坐标运算，三角形重心的概念。
答案：1
解析：因为AH是边BC上的高，tanC＝2，AC＝
所以，，解得：AH＝2，HC＝1，
△AHC的面积为1，又△ABC的面积为，
所以，△ABH的面积为：，所以，BH＝，
延长BG交AC于点D，因为G为重心，所以，D为AC的中点，
以H为原点，建立平面直角坐标系，如图，
　　　　
则H（0,0），A（0,2），C（1,0），B（－，0），
由中点坐标公式，得：D（，1），设G（x，y），
，即（x+，y）＝（+，1），
所以，＝，y＝，所以，G（，）
＝（0，－2）+（1+,0）＝（1+，－2）
＝（，－）+（，－）＝（，－），
＝（1+，－2）（，－）＝＝1



13．已知正实数a，b满足，则的最小值是 ．
考点：基本不等式，数学计算能力，分离系数法。
答案：
解析：＝+＝+
＝+＝1＋＝1，
＝，
所以，＝1，
当，即时，的最小值是
14．已知函数，（e为自然对数的底数，e≈2.718）．对于任意的(0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的，，使得＝＝，则整数a的取值集合是 ．
考点：函数的性质，函数的导数及其应用。
答案：
解析：＝－+2，在区间(0，e)的值域为（0,2］，
，
当≤0时，在区间(0，e)上有＞0，g（x）单调递增，与＝不符，
故有＞0，＝0，得：，
x （0，） （，e）
＋ 0 －
↗ ↘
所以，g（x）max＝g（）＝4－lna，

对于任意的(0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的，，使得＝＝，

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，已知，设∠BAC＝．
（1）求tan的值；
（2）若，(0，)，求cos(﹣)的值．
考点：平面向量，三角函数，三角恒等变换。
解析：见下面的答案。


16．（本小题满分14分）
已知，函数．
（1）若对(0，2)恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a＝1时，解不等式．
考点：函数恒成立问题，一元二次不等式，函数的综合应用。
解析：见下面的答案。


17．（本小题满分15分）
在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆O：相切．
（1）直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为，求直线l的方程；
（2）已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．
考点：直线与圆的方程及其位置关系，点到直线的距离公式。
解析：见下面的答案。


18．（本小题满分15分）
江苏省园博会有一中心广场，南京园，常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到中心广场的距离分别为km，km；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为km．规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园，常州园，扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路（如图(1)、(2)）．已知铺设每段鹅卵石路的费用（万元）与其长度的平方成正比，比例系数为2．设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中∠COF为（(0，)），铺设三段鹅卵石路的总费用为y（万元）．
（1）求南京园到柏油路的最短距离关于的表达式；
（2）求y的最小值及此时tan的值．

（1） （2）
考点：三角函数，解应用题。
解析：见下面的答案。


19．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）假设直线l：与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围．
考点：椭圆方程及其性质，平面向量，应用数学知识解决问题的能力。
解析：见下面的答案。



20．（本小题满分16分）
已知函数，．
（1）求在点P(1，)处的切线方程；
（2）若关于x的不等式有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；
（3）若存在两个正实数，满足，求证：．
考点：函数的导数及其应用，分类讨论的数学思想，应用数学知识解决问题的综合能力。
解析：见下面的答案。




（附加题）
21、（10分）在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换下得到的直线过点P（3，2），求实数的值.

22、（10分）假定某人在规定区域投篮命中的概率为，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次.
（1）求连续命中2次的概率；
（2）设命中的次数为X，求X的分布列和数学期望.

23、（10分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC.现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为轴，直线AC为轴，直线DA1为轴建立空间直角坐标系，解决以下问题:
（1）求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；
（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值.

24、（10分）已知正项数列满足.
（1）求证:，且当时，；
（2）求证:.


参考答案
1． 2． 3． 4． 5．1 6． 7．3 8．
9． 10． 11． (区间开闭皆可) 12．1 13． 14．
15．解：（1）由，得，
所以，又因为，所以．
∴ …………6分
（2）∵， ∴ ………8分
由（1）知：，∴．
………14分
16．解：（1）∵对恒成立 ∴对恒成立
∵，当且仅当，即时取等号
∴ …6分
（2）当时，，∵ ∴ ……（*）
①若，则（*）可化为：，所以； …9分
②若，则（*）可化为：，解得：或，∵ ∴ …12分
由①②可得，（*）的解集为． …14分
17．解：∵直线与圆相切
∴圆心到直线的距离为． …2分
（1）记圆心到直线的距离为，所以．
当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足题意； …3分
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即
所以，解得，此时直线的方程为 …6分
综上，直线的方程为或． …7分
（2）设．∵直线与圆交于、两点，不妨取，
∴直线、的方程分别为，
令，得，则（*）…13分
因为点在圆上，所以，即，代入（*）式
得为定值． …15分
18．解：（1）∵，南京园在中心广场的南偏西45°方向上，且到中心广场的距离为
∴ ∴ ………4分
（2）分别设点到直线的距离为．由（1）知：
∴
， ………9分
∵ ∴ ∴当时，（万元） …12分
此时 ∴，解得： ………14分
答：铺设三条鹅卵石路的总费用为()万元，此时的值为．………15分
19．解：（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以，
又由右准线方程为，得到，
解得，所以
所以，椭圆的方程为 …4分
（2）设，而，则，
∵ ， ∴
因为点都在椭圆上，所以
，将下式两边同时乘以再减去上式，解得，…8分
所以 …9分
（3）由原点到直线的距离为，得，化简得：
联立直线的方程与椭圆的方程：，得
设，则，且…11分

，
所以
的面积
…14分
因为在为单调减函数，
并且当时，，当时，，
所以的面积的范围为．…16分
20．解：（1），，所以点坐标为；
又，，则切线方程为，
所以函数在点处的切线方程为． …3分
（2）


正 0 负
单调增 极大值 单调减
由， 得；
1 时，或，满足条件的整数解有无数个，舍；
2 时，，得且，满足条件的整数解有无数个，舍；
3 时，或，当时，无整数解；
当时，不等式有且仅有三个整数解，又，，
因为在递增，在递减；所以， 即，即；
所以实数的取值范围为． …8分
（3），
因为，
所以，
即，
令，， …11分
则，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增．
所以函数在时，取得最小值，最小值为3．…14分
因为存在两个正实数，满足，所以，
即，所以或．
因为为正实数，所以． …16分
（加试部分）
21．解：设直线上任意点在矩阵对应的变换下得到的点，则
，即，∴ …5分
代入直线方程得：，将代入上式，解得：．…10分
22．解：（1）设表示第次投篮命中，表示第次投篮不中；设投篮连续命中2次为事件，则=．…4分
（2）命中的次数可取0，1，2，3；
，，，

0 1 2 3

…8分
所以
答：的数学期望为2． …10分
23．（1）根据题中空间直角坐标系可知：
A(0,,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0,)， …1分
∴
∴ …3分
设异面直线与的所成角为，则，∴ …4分
（2）由（1）得：，设平面的法向量为，
∴ ∴，取，则…7分
∴． …9分
设直线与平面所成角为，，则．…10分
24．证明：（1）由，解得．…1分
下用数学归纳法证明：当时，
①当时，．
所以不等式成立；
②假设当时，不等式成立，即
则当时，有

则当时，不等式也成立．
综合①②，当时，都有． …5分
（2）记 …6分
当时，
所以在上是增函数，则，即 …8分
令，则，
从而有． …10分