2018年高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程（27张）

课件27张PPT。2.2.1 双曲线及其标准方程1.双曲线的定义
(1)前提要素:平面内,一个动点M，两个_____F1,F2,一个常数2a.
(2)满足关系:__________________.
(3)限制条件:____________.
(4)相关概念：两个定点F1,F2叫做双曲线的_____，两个定点之
间的距离|F1F2|叫做双曲线的_____.定点||MF1|-|MF2||=2a 2a＜|F1F2| 焦点焦距基础梳理2.双曲线的标准方程（-c,0）,(c,0) (0,-c),(0,c) a2+b21.双曲线中a，b，c的关系跟椭圆中a，b，c的关系有何区别？
提示：双曲线中的a，b，c满足a2+b2=c2，而椭圆中a，b，c满足a2=b2+c2，双曲线中c最大,而椭圆中a最大.
2.要写出双曲线的标准方程需要确定哪些条件？
提示：要写出双曲线的标准方程需要确定a,b的值，最关键的还要确定焦点的位置.思考运用3.a=3,且焦点为F1（-5，0）、F2（5，0）的双曲线的标准方
程是_______.
【解析】根据题意可得a=3,c=5,且焦点在x轴上,
又b2=c2-a2=25-9=16,
所以所求双曲线的标准方程为
答案：1.对双曲线定义的理解
双曲线的定义揭示了双曲线的图形特征,定义是判断动点轨迹是否是双曲线的重要依据.设集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},
|F1F2|=2c,其中a,c均为大于0的常数.
当2a＜2c时，集合P为双曲线；
当2a=2c时，集合P为以F1，F2为端点的两条射线；
当2a＞2c时，集合P为空集，即动点M的轨迹不存在. 知识点拨2.对双曲线标准方程的认识
(1)标准方程的代数特征:方程右边是1,左边是关于x，y的平方差,并且分母大小关系不确定.
(2)a，b，c三个量的关系：
标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别,且椭圆中a>b>0,而双曲线中,a,b大小不确定. 题目类型一、双曲线的定义
【技法点拨】
双曲线定义中的限制条件
（1）动点到两定点的距离之差；
（2）强调差的绝对值是常数；
（3）常数小于两定点间的距离.
只要上述三个条件有一个不满足，动点的轨迹就不是双曲线.典例剖析典例分析
1. 已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹为_______.
2.动点P到点M(1,0)的距离与到点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是_______.1.由已知动点P到两定点M,N的距离之差是常数3，且3＜|MN|=4,所以动点P的轨迹是双曲线的一支，
又|PM|-|PN|＞0，所以动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支.
答案：以M，N为焦点的双曲线的右支
2.由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹不是双曲线，而是一条以N为端点的射线．
答案：以N为端点的射线【思考】双曲线定义中去掉“绝对值”号，动点的轨迹有何变化？第1题中如何具体判断是双曲线的哪一部分？
提示：（1）若将双曲线定义中的绝对值号去掉，动点的轨迹成为双曲线中的一支.
（2）当去掉绝对值号时，要分清动点到两个焦点距离的远与近，此时动点的轨迹是近距离焦点所对应的双曲线的一支.【变式训练】双曲线 上一点P到点(5,0)的距离为
15，则点P到点(－5,0)的距离为_______.
【解析】双曲线的焦点为F2(5,0)和F1(－5,0)
由||PF1|－|PF2||＝8.
∴||PF1|－15|＝8，∴|PF1|＝23或|PF1|＝7.
答案:7或23 题目类型二、双曲线标准方程的求法
【技法点拨】
1.双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法:定义是研究双曲线问题的基础和根本,根据双曲线
的定义得到相应的a,b,c，再写出双曲线的标准方程.
(2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程 或
(a，b均为正数）,然后根据条件求出待定的系数代入方
程即可.2.求双曲线标准方程的两个关注点
（1）定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在“标准方程”的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式;
（2）定量：“定量”是指确定a2,b2的具体数值,常根据条件列方程求解.【典例训练】
1. 已知双曲线C： 的焦距为10，点
P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝4，且经过点
(2)焦点在坐标轴上，且过点【解析】1.选A.由焦距为10，知2c=10，c=5.将p（2,1）代入
得a=2b.a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20，所以方程为
2.(1)①若所求双曲线的标准方程为
则将a＝4代入，得
又∵点 在双曲线上，∴
由此得b2<0，∴不合题意，舍去．②若所求双曲线方程为 则将a＝4代入得
代入点 得b2＝9，
∴双曲线的标准方程为（2）解题流程:【总结】（1）双曲线焦点的判断方法;
（2）在双曲线焦点位置不明确的情况下,双曲线标准方程的求解方法.
提示：（1）双曲线的标准方程根据焦点位置不同有两种形式,观察双曲线的标准方程,x2,y2中哪一项的系数为正，焦点就落在哪个轴上.（2）当双曲线的焦点位置不确定时,求双曲线的标准方程有两种思路:一是分别讨论焦点在x轴，y轴的情况，求解时要注意检验；二是设为一般形式Ax2+By2=1(A·B＜0)，这样求解时既避免了分类讨论，又简化了运算过程.【变式训练】根据下列条件，求双曲线的标准方程:
（1）双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，且经过点（0，2）
与
（2） 经过点（-5，2），焦点在x轴上.
【解题指南】根据焦点位置设出相应的双曲线方程形式,再利
用待定系数法求标准方程.【解析】（1）因为双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，所以
可设双曲线的方程为
又双曲线经过点（0，2）与
所以
所以双曲线方程为（2）∵焦点在x轴上，
∴设所求双曲线方程为 （其中0＜λ＜6）.
∵双曲线经过点（-5，2），
∴λ=5或λ=30（舍去）.
∴所求双曲线方程是1.双曲线的两焦点坐标是F1(3,0)，F2(－3,0)，b＝2，则双曲
线的标准方程是( )
(A) (B)
(C) (D)
【解析】选A.由题知b=2,c=3.∴a2=c2-b2=5.
又焦点在x轴上，故选A.达标训练2.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
(A) (B)
(C) (D)
【解析】选C.将双曲线方程化为标准形式
所以
∴右焦点坐标为3.设θ是三角形的一个内角，且 则方程
所表示的曲线为( )
(A)焦点在x轴上的椭圆
(B)焦点在y轴上的椭圆
(C)焦点在x轴上的双曲线
(D)焦点在y轴上的双曲线【解析】选C.由 得sinθ·cosθ＜0,
又∵θ为三角形的一个内角,∴sinθ＞0,cosθ＜0,
∴方程表示的是焦点在x轴上的双曲线，故选C.4.焦点在坐标轴上，中心在原点，且经过点 和
的双曲线方程是_______.
【解析】设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)，把P，Q两点
的坐标代入，得 解得
所以双曲线的标准方程是
答案：