四川省成都市高中数学 第一章 集合与函数综合检测 新人教A版必修1

第一章集合与函数的概念
章末小结
一、选择题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.满足条件M∪{1}={1,2,3}的集合M的个数是(　　).
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】∵M∪{1}={1,2,3},∴M={2,3}或{1,2,3}.
【答案】C
2.已知函数f(x)=则f(f(3))=(　　).
A.4 B.9 C.-3 D.-2
【解析】∵3>0,∴f(3)=1-3=-2.又-2<0,∴f(f(3))=f(-2)=(1+2)2=9.
【答案】B
3.若函数y=f(x)的定义域为集合A={x|0≤x≤2},值域为集合B={y|1≤y≤2},则这个函数的图象可能是(　　).
【解析】由函数定义知,A不合定义域要求,B中y值的取值不唯一,C不合值域要求,故选D.
【答案】D
4.已知y=f(x)是偶函数,且f(4)=5,则f(4)+f(-4)的值为(　　).
A.56 B.10 C.8 D.不确定
【解析】∵y=f(x)是偶函数,
∴f(-4)=f(4)=5,∴f(4)+f(-4)=10.
【答案】B
5.如图,对应关系f是从A到B的映射的是(　　).
【解析】A选项中元素4,9在集合B中对应的元素不唯一,故不能构成A到B的映射,B,C选项中元素0在集合B中没有对应的元素,故选D.
【答案】D
6.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,则(　　).
A.f(3)C.f(-2)【解析】若x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)∵3>2>1,∴f(3)又f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2),
∴f(3)【答案】A
7.函数f(x)=的图象是(　　).
【解析】因为f(x)==所以选C.
【答案】C
8.若函数f(x)满足f(3x+2)=9x+8,则f(x)的解析式是(　　).
A.f(x)=9x+8
B.f(x)=3x+2
C.f(x)=-3x-4
D.f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4
【解析】∵f(3x+2)=9x+8=3(3x+2)+2,∴f(x)=3x+2.
【答案】B
9.已知f(x)为奇函数,在[3,6]上单调递增,且在[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)等于(　　).
A.-15 B.-13
C.-5 D.5
【解析】因为函数f(x)在[3,6]上是增函数,所以f(6)=8,f(3)=-1.又因为函数为奇函数,所以2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1=-15.
【答案】A
10.已知函数f(x)=ax2+2(a-3)x+1在区间[-2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是(　　).
A.(-∞,3] B.[-3,0]
C.[-3,0) D.[-2,0]
【解析】当a=0时,函数f(x)为R上的减函数,所以在[-2,+∞)上也是减函数;
当a≠0时,函数f(x)图象的对称轴为直线x=-,依题意有解得-3≤a<0.
综上,实数a的取值范围为[-3,0].故选B.
【答案】B
11.已知函数f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数,则满足f(2x-1)A. B.
C. D.
【解析】由题意得解得≤x<,故选D.
【答案】D
12.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x+2,则不等式2f(x)-1<0的解集是(　　).
A.
B.
C.
D.
【解析】因为f(x)为奇函数,所以当x>0时,-x<0,
所以f(-x)=-f(x)=-x+2,即f(x)=x-2.
当x<0时,f(x)=x+2,
由2f(x)-1<0,得2(x+2)-1<0,解得x<-,
故原不等式的解集为;
当x≥0时,f(x)=x-2,
由2f(x)-1<0,得2(x-2)-1<0,解得x<,
故原不等式的解集为.
综上可知,所求不等式的解集为.
【答案】B
二、填空题
13.函数f(x)=+的定义域为　　　　.?
【解析】由题意知解得x≥-1且x≠2.
∴函数的定义域是[-1,2)∪(2,+∞).
【答案】[-1,2)∪(2,+∞)
14.已知集合A={x|x≥2},B={x|x≥m},且A∪B=A,则实数m的取值范围是　　　　.?
【解析】∵A∪B=A,即B?A,
∴实数m的取值范围为[2,+∞).
【答案】[2,+∞)
15.已知函数f(x)是奇函数,当1≤x≤4时,f(x)=x2-4x+5,则当-4≤x≤-1时,函数f(x)的最大值是　　　　.?
【解析】当1≤x≤4时,f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1,其最小值为1.
又函数f(x)是奇函数,∴当-4≤x≤-1时,函数f(x)的最大值为-1.
【答案】-1
16.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,若f(-1)=0,则<0的解集为　　　　.?
【解析】∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,
∴f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,f(1)=f(-1)=0.
当x>0,f(x)<0时,解得x>1;当x<0,f(x)>0时,解得-11}.
【答案】{x|-11}
三、解答题
17.设A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+2=0},B?A.
(1)写出集合A的所有子集;
(2)若B为非空集合,求a的值.
【解析】(1)由题可知A={1,2},所以集合A的所有子集是?,{1},{2},{1,2}.
(2)因为B是非空集合,
所以当集合B中只有一个元素时,由Δ=0,得a2-8=0,即a=±2,
此时B={}或{-},不满足B?A.
当集合B中有两个元素时,由A=B,得a=3,
综上可知,a的值为3.
18.已知函数f(x)=
(1)求f(f(-1))的值.
(2)若f(x0)>2,求实数x0的取值范围.
【解析】(1)因为f(-1)=-(-1)+3=4,
所以f(f(-1))=f(4)=4×4=16.
(2)当x0≤0时,由f(x0)>2,得-x0+3>2,即x0<1,此时x0≤0;
当x0>0时,由f(x0)>2,得4x0>2,即x0>.
综上可得,实数x0的取值范围为(-∞,0]∪.
19.已知全集为R,集合A=,B={x|a-2(1)当a=0时,求(RA)∩B;
(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.
【解析】(1)要使y=+有意义,则解得0当a=0时,B=(-2,3],
∴(RA)∩B=(-2,0]∪(2,3].
(2)∵A∪B=B,∴A?B.∵A=(0,2],
∴∴-1≤a≤2.
故实数a的取值范围为[-1,2].
20.某省两相邻重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车.已知该车每次拖4节车厢,一天能来回16次,若每次拖7节车厢,则每天能来回10次.
(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数解析式.
(2)在(1)的条件下,每节车厢能载乘客110人.问:这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数.
【解析】(1)设每天来回y次,每次挂x节车厢,由题意设y=kx+b.
当x=4时,y=16,当x=7时,y=10,所以16=4k+b,10=7k+b,解得k=-2,b=24,
所以y=-2x+24.
(2)设每天运营S节车厢,则S=xy=x(-2x+24)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72,
所以当x=6时,Smax=72,此时y=12,则每日最多运营人数为110×72=7920.
故这列火车每天来回12次,才能使运营人数最多,每天最多运营人数为7920.
21.若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[-1,1]上函数g(x)=f(x)-(2x+m)的图象与x轴无交点,求实数m的取值范围.
【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵f(0)=1,∴c=1,∴f(x)=ax2+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x,∴2ax+a+b=2x,
∴∴∴f(x)=x2-x+1.
(2)由题意知函数g(x)在[-1,1]上的最小值大于0.
∵g(x)=x2-3x+1-m=--m,
其图象的对称轴为直线x=,∴g(x)在区间[-1,1]上是减函数,
∴g(x)min=g(1)=1-3+1-m>0,∴m<-1.
故实数m的取值范围是(-∞,-1).
22.已知函数f(x)=是奇函数,且f(1)=2.
(1)求a,b的值;
(2)当0(3)求函数f(x)在上的最大值与最小值.
【解析】(1)∵函数f(x)=是奇函数,且f(1)=2.
∴f(-1)=-f(1)=-2.
由已知得即 解得
(2)由(1)知f(x)==x+.
f(x)=x+在(0,1]上为减函数.
证明如下:
任取0 则f(x1)-f(x2)=-
=(x1-x2)+
=(x1-x2)+=(x1-x2).
∵x1-x2<0,1-<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)=x+在(0,1]上为减函数.
(3)由(2)知f(x)=x+在上为减函数,∴函数f(x)在上的最大值为f=,最小值为f(1)=2.