新人教B版必修2模块综合检测（含解析）

模块综合检测
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c的位置关系为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.相交、平行或异面 B.相交或平行
C.异面 D.平行或异面
解析：a与c可以相交、平行或异面,分别如图中的①,②,③.
答案：A
2已知直线l1:(k-3)x+(4-2k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是(　　)
A.1或3 B.1或 C.3或 D.1或2
解析：当k=3时,l1:-2y+1=0,l2:-2y+3=0,显然平行;当k=2时,l1:-x+1=0,l2:-2x-2y+3=0,显然不平行;
当k≠3,且k≠2时,要使l1∥l2,应有?k=.
综上所述k=3或k=,故选C.
答案：C
3由三视图可知,该几何体是(　　)
A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台
解析：由三视图知该几何体为四棱锥,其中有一侧棱垂直于底面,底面为直角梯形.
答案：B
4在直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标为(　　)
A.(5,-3) B.(9,0) C.(-3,5) D.(-5,3)
解析：过P(2,1)向此直线引垂线,其垂足即为所求的点,过点P作直线3x-4y-27=0的垂线方程为4x+3y+m=0.因为点P(2,1)在此垂线上,所以
4×2+3×1+m=0.所以m=-11.
由联立求解,得所求的点的坐标为(5,-3).
答案：A
5若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=(　　)
A.21 B.19 C.9 D.-11
解析：圆C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=,由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2,即1+=5,解得m=9.故选C.
答案：C
6某几何体的三视图(单位:cm)如图,则该几何体的体积是(　　)
A.72 cm3 B.90 cm3 C.108 cm3 D.138 cm3
解析：此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的,其体积为6×4×3+×3×4×3=90 (cm3).
答案：B
7若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
解析：圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,则圆心为(-1,2),半径为.因为圆关于直线2ax+by+6=0对称,所以圆心在直线2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即b=a-3,点(a,b)到圆心的距离为d=.所以当a=2时,d有最小值=3,此时切线长最小,为=4,故选C.
答案：C
8一块石材表示的几何体的三视图如图,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：由三视图可知,石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半),则可知能得到的最大球为三棱柱的内切球.由题意可知主视图三角形的内切圆的半径即为球的半径,可得R==2.
答案：B
9垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=4相切于第三象限的直线方程是(　　)
A.x+y+2=0 B.x+y+2=0
C.x+y-2=0 D.x+y-2=0
解析：由题意设所求直线方程为y=-x+k(k<0),
又圆心(0,0)到直线y=-x+k的距离为2,即=2,∴k=±2,又k<0,∴k=-2.
故直线方程为y=-x-2,即x+y+2=0.
答案：A
10如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BB1=4,长为1的线段PQ在棱AA1上移动,长为3的线段MN在棱CC1上移动,点R在棱BB1上移动,则四棱锥R-PQMN的体积是 (　　)
A.12 B.10 C.6 D.不确定
解析：设四棱锥R-PQMN的高为d,则d=,S四边形PQMN=×(1+3)×3=6,VR-PQMN=S四边形PQMN·d=×6=6,故选C.
答案：C
11已知点A,B,C,D为同一球面上的四点,且AB=AC=AD=2,AB⊥AC,AC⊥AD,AD⊥AB,则这个球的表面积是(　　)
A.16π B.20π C.12π D.8π
解析：这四点可看作一个正方体的四个顶点,且该正方体的八个顶点都在球面上,即球为正方体的外接球,所以2=2R,R=,S=4πR2=12π,故选C.
答案：C
12已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx=0上两个不同点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果点M,N关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值是(　　)
A.3- B.4 C.3+ D.6
解析：依题意得圆x2+y2+kx=0的圆心位于直线x-y-1=0上,于是有--1=0,即k=-2,因此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得|AB|=2,直线AB的方程是=1,即x-y+2=0,圆心(1,0)到直线AB的距离等于,点P到直线AB的距离的最大值是+1,△PAB面积的最大值为×2=3+,故选C.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13正方体不在同一表面上的两个顶点的坐标分别为A(1,3,1),B(5,7,5),则正方体的棱长为　　　.?
解析：由题意可知,|AB|为正方体的对角线长.
设正方体的棱长为x,则|AB|=x.
∵|AB|==4,
∴4x,即x=4.
答案：4
14经过点P(2,-3)作圆x2+y2=20的弦AB,且使|AB|=8,则弦AB所在的直线方程为　　　　　.?
解析：如图,因为|AB|=8,所以|OC|==2.当直线AB的斜率存在时,设AB所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0,圆心O到AB的距离为=2,解得k=-.此时,AB所在的直线方程为5x+12y+26=0.当直线AB的斜率不存在时,可知AB所在的直线方程为x=2时,符合题意.故所求弦AB所在直线的方程是5x+12y+26=0或x=2.
答案：5x+12y+26=0或x=2
15设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等,且,则的值是　　　　　.?
解析：因为,所以.又圆柱的侧面积S侧=2πrh,所以S侧1=2πr1h1=S侧2=2πr2h2,则,故.
答案：
16在三棱锥P-ABC中,底面是边长为2 cm的正三角形,PA=PB=3 cm,转动点P时,三棱锥的最大体积为　　　　　.?
解析：点P到平面ABC距离最大时体积最大,此时平面PAB⊥平面ABC,如图,易求得PD=2 cm.所以V=×4×2(cm3).
答案： cm3
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17(本小题满分10分)过点P(1,2)的直线l被两平行线l1:4x+3y+1=0与l2:4x+3y+6=0截得的线段长|AB|=,求直线l的方程.
解由题意可知l与l1,l2不垂直,则设直线l的方程为y-2=k(x-1).
由
解得A;
由
解得B.
∵|AB|=,
∴,
整理,得7k2-48k-7=0,
解得k1=7或k2=-.
因此,所求直线l的方程为x+7y-15=0或7x-y-5=0.
18(本小题满分12分)如图,AA1B1B是圆柱的轴截面,C是底面圆周上异于A,B的一点,AA1=AB=2.
(1)求证:平面A1AC⊥平面BA1C;
(2)求的最大值.
(1)证明∵C是底面圆周上异于A,B的一点,且AB为底面圆的直径,∴BC⊥AC.
又AA1⊥底面ABC,∴BC⊥AA1,
又AC∩AA1=A,∴BC⊥平面A1AC.
又BC?平面BA1C,
∴平面A1AC⊥平面BA1C.
(2)解在Rt△ACB中,设AC=x,
∴BC=(0∴S△ABC·AA1=AC·BC·AA1=(0∵0∴当x2=2,即x=时,的值最大,且的最大值为.
19(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.求证:
(1)AP∥平面BEF;
(2)BE⊥平面PAC.
证明(1)设AC∩BE=O,连接OF,EC.因为E为AD的中点,
AB=BC=AD,AD∥BC,
所以AE∥BC,AE=AB=BC,
所以O为AC的中点.
又在△PAC中,F为PC的中点,所以AP∥OF.
又OF?平面BEF,AP?平面BEF,
所以AP∥平面BEF.
(2)由题意知,ED∥BC,ED=BC,
所以四边形BCDE为平行四边形,
所以BE∥CD.
又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,所以AP⊥BE.
因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC.
又AP∩AC=A,AP,AC?平面PAC,
所以BE⊥平面PAC.
20(本小题满分12分)已知圆C过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
解(1)设圆C的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则有
故圆C的方程为x2+y2-6x+4y+4=0.
(2)设符合条件的实数a存在,
因为l垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l上,
所以l的斜率kPC=-2.
kAB=a=-,
所以a=.
把直线ax-y+1=0即y=ax+1,代入圆C的方程,
消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.
由于直线ax-y-1=0交圆C于A,B两点,
则Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,
即-2a>0,解得a<0.
则实数a的取值范围是(-∞,0).
由于?(-∞,0),
故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.
21(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E为PA的中点.
(1)求证:PC∥平面EBD;
(2)求三棱锥C-PAD的体积VC-PAD;
(3)在侧棱PC上是否存在一点M,满足PC⊥平面MBD,若存在,求PM的长;若不存在,说明理由.
(1)证明设AC,BD相交于点F,连接EF,
∵四棱锥P-ABCD底面ABCD为菱形,
∴F为AC的中点,
又∵E为PA的中点,∴EF∥PC.
又∵EF?平面EBD,PC?平面EBD,
∴PC∥平面EBD.
(2)解∵底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,
∴△ACD是边长为2的正三角形,
又∵PA⊥底面ABCD,
∴PA为三棱锥P-ACD的高,
∴VC-PAD=VP-ACD=S△ACD·PA=×22×2=.
(3)解在侧棱PC上存在一点M,满足PC⊥平面MBD,下面给出证明.
∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,
∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
∴BD⊥PA.
∵AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,
∴BD⊥PC.
在△PBC内,可求PB=PC=2,BC=2,
在平面PBC内,作BM⊥PC,垂足为M,
设PM=x,则有8-x2=4-(2-x)2,
解得x=<2.
连接MD,∵PC⊥BD,BM⊥PC,BM∩BD=B,BM?平面BDM,BD?平面BDM.
∴PC⊥平面BDM.
∴满足条件的点M存在,此时PM的长为.
22(本小题满分12分)已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A,与y轴交于点O和点B,其中O为原点.
(1)求证:△OAB的面积为定值;
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.
(1)证明∵圆C过原点O,
∴OC2=t2+.
设圆C的方程是(x-t)2+=t2+,
令x=0,得y1=0,y2=;
令y=0,得x1=0,x2=2t,
∴S△OAB=OA·OB=×|2t|=4,
即△OAB的面积为定值.
(2)解∵OM=ON,CM=CN,
∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN=-2,∴kOC=.
∴t,解得t=2或t=-2.
当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,
此时,C到直线y=-2x+4的距离d=,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.
符合题意,此时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=.
圆C与直线y=-2x+4不相交,
因此,t=-2不符合题意,舍去.
故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.