专题05 函数的图象与性质-庖丁解题2018-2019学年高一数学人教版（必修1） Word版含解析

考点19
函数的图象与作法
考点20
函数的图象的变换
考点21
函数单调性的判断与证明
考点22
函数单调性的性质
考点23
函数的最值
考点24
函数奇偶性的判断
考点25
函数奇偶性的性质
考点26
奇偶性与单调性的综合
考点27
二次函数
考点28
函数的对称性
考点19 函数的图象与作法

作函数图象最基本的步骤是列表、描点、用平滑曲线连接．作图之前要先对解析式化简、变形．

【例】函数的图象是
A． B．
C． D．
【名师点睛】作分段函数图象的关键是根据定义域的不同部分，分别由解析式作出对应的图象．作图时一定要注意每段自变量的取值范围，且要标出关键点的横、纵坐标．

1．下列图形中，不可能作为函数y＝f（x）图象的是
【答案】C
【解析】对C，当x＝0时，有两个不同的值与之对应，不符合函数概念，故C不可能作为函数图象．
2．f（x）＝|x－1|的图象是
【答案】B
【解析】∵f（x）＝|x－1|＝
x＝1时，f（1）＝0可排除A、C．
又x＝－1时f（－1）＝2，排除D．
【解题技巧】此函数图象有多种画法，方法一：分段函数；方法二：的图象下翻上；方法三：的图象向左平移一个单位．
3．函数的图象是
【答案】C
【解析】的图象应选C．
【规律总结】解决此类问题的关键是明确函数的定义域对函数图象的限制，再利用一些特殊的点，采用排除法确定函数的图象．若解析式中含有参数，关键有两点：一是抓住函数解析式的特征，注意解析式中的参数在函数图象中的体现；二是由已知函数图象得到相关信息，由此确定解析式中参数的取值．
4．函数y＝1－的图像是
【答案】B
【解析】方法一：y＝1－的图像可以看成由y＝－的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到的．
方法二：由于x≠1，故排除C，D．又函数在(－∞，1)及(1，＋∞)上均为增函数，排除A，所以选B．
【易错易混】图象可由平移变换得到，平移时注意平移的方向，“左加右减”．
5．已知函数y=f（x）的图象如图所示，则函数的定义域是．
【答案】[–2，0]∪[1，5]
【解析】如图所示，函数在[–2，0]∪[1，5]上有意义，所以其定义域是[–2，0]∪[1，5]．
【易错易混】定义域是自变量的取值范围，看函数图象对应的横坐标即可，注意区间端点和多个区间中间用并．
6．已知下图①的图像对应的函数为y＝f(x)，则图②的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)
【答案】C
【解析】由图②知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数，对于A：当x>0时，y=f（|x|）=y=f（x），其图象在y轴右侧与图一的相同，不合，故错误；对于B：当x>0时，对应的函数是y=f（x），显然B也不正确．对于D：当x<0时，y=–|f（–x）|=–|f（x）|，其图象在y轴左侧与图一的不相同，不合，故错误．故选C．

1．下列函数f(x)图象中，满足>f(3)>f(2)的只可能是
2．已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为
【答案】B
【解析】法一：由y＝f(x)的图象知f(x)＝
当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，所以f(2－x)＝
故y＝－f(2－x)＝
法二：当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；
当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1，观察各选项，可知应选B．
3．已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是
【答案】D
【解析】先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f(x－1)的图象，因此A正确；
作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；
y＝f(x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；
y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D不正确．
综上所述，选D．
4．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，求实数k的取值范围．
【答案】【解析】在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，
方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y＝kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y＝x－1的斜率时符合题意，故5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1．8m，斜坡的倾斜角是45°．(临界状态不考虑)
(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域；
(3)画出函数的图象．
【解析】(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m，上底为(2＋2h)m，高为hm，∴水的面积A＝＝h2＋2h(m2)．
(2)定义域为{h|0由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1．8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0故值域为{A|0(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0
诗词中的增减
古时有一人，名为王生，排行十二．自绘一小像，题四言诗道：
一貌堂堂，挂在书房．有人问起，王十二郎．
当王生贫困时，想把小像卖与其弟，弟说：“非我貌也，得之何用?”王生于是在每行后添二字：
一貌堂堂无比，挂在书房屋里，有人问起何人?王十二郎阿弟．
后来，当其弟缺钱时又转售小像与兄，弟又添：
一貌堂堂无比英雄，挂在书房屋里当中；有人问起何人之照?王十二郎阿弟令兄．
考点20 函数的图象的变换

1．平移变换
①左右平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(–)平移a个单位长度而得到．
②上下平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象向上(+)或向下(–)平移b个单位长度而得到．
2．对称变换
①y=f(–x)与y=f(x)的图象关于y轴对称．
②y=–f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称．
③y=–f(–x)与y=f(x)的图象关于原点对称．

【例】把函数y＝?的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得函数的解析式应为
A．

1．如图，将一个“瘦长”的圆柱钢锭经过多次锻压成一个“矮胖”的圆柱钢锭(不计损耗)，则在锻压过程中，圆柱体积与高的关系可用图像表示为
【答案】B
【解析】圆柱钢锭的体积不随高的变化而变化．
【规律总结】方法总结识图辨图的常用方法:
(1)从函数的定义域判断图象的左右位置,从函数的值域判断图象的上下位置;
(2)从函数的单调性判断图象的变化趋势;
(3)从函数的奇偶性判断图象的对称性;
(4)从函数的周期性判断图象的循环往复;
提醒:注意联系基本函数图象的模型,当选项无法排除时,代入特殊值,或从某些量上也能寻找突破口．
2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是
【答案】A
【解析】由这一过程中汽车的速度变化可知，速度由小变大→保持匀速→由大变小．速度由小变大时，路程曲线上升得越来越快，曲线显得陡峭；匀速行驶中路程曲线上升速度不变；速度由大变小时，路程曲线上升得越来越慢，曲线显得平缓．A符合题意．
【解题技巧】这类问题根据增长速度的快慢进行排除即可．
3．某学生离开家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，图中d轴表示离学校的距离，t轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是
【答案】D
【解析】t＝0时，学生在家，离学校的距离d≠0，因此排除A、C；学生先跑后走，因此d随t的变化是先快后慢，选D．
【易错易混】纵坐标表示离学校的距离不是离家的距离，认真审题．并且不能将图象与运动路径混为一谈．
4．某兴趣小组做实验，将一个装满水的啤酒瓶倒置，并设法使瓶里的水从瓶口匀速流出，那么，该倒置啤酒瓶内水面的高度h随水流出的时间t变化的图象大致是
A B C D
【答案】C
【解析】啤酒瓶内水面高度h随水流出的时间t变化的规律是先慢后快的两段，因为是匀速，所以第一段表现在图象上为直线．故选C．
5．如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是下列图象中的．
【答案】B
【解析】开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢，与B图象相吻合．
6．如图，不规则四边形ABCD中：AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是
7．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系．试写出y＝f(x)的函数解析式．
【解析】当x∈[0,30]，设y＝k1x＋b1，
由已知得∴k1＝，b1＝0，y＝x；
当x∈(30,40)时，y＝2；当x∈[40,60]时，设y＝k2x＋b2，
由,∴k2＝，b2＝－2，y＝x－2，
∴

1．若函数y＝f(x)的曲线如图所示，则方程y＝f(2－x)的曲线是
【答案】C
【解析】先关于y轴对称，得到y＝f(－x)的图像，再向右平移两个单位，即可得到y＝f(－(x－2))＝f(2－x)的图像．所以答案为C．注意，左右平移是针对字母x变化，上下平移是针对整个式子变化．
2．函数y＝ax2＋bx＋c与y＝ax＋b(ab≠0)的图象只可能是
【答案】D
【解析】当a>0时，y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，y＝ax＋b的图象是y随x的增大而增大，排除B;
当a<0时，y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，y＝ax＋b的图象是y随x的增大而减小，排除C;
又A中y轴为抛物线的对称轴，即b＝0，也应排除．故选D．
【易错易混】这类问题一般用排除法，注意字母的取值要兼顾两个函数的图象．
3．如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象．
(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？
(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？
【答案】见解析
【解析】(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．
(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．
(3)斜率表示票价．
(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．

龟兔赛跑
“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……
设路程为，时间为，乌龟到达终点的时间为，根据故事情节可作出的s-t函数图象如下图所示：
考点21 函数单调性的判断与证明

一般地，设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
(3)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

【例】证明：函数在区间（0，＋∞）上是增函数．
【答案】证明详见解析．
【名师点睛】函数单调性判断的等价变形：
是增函数对任意，都有，或，或
；是减函数对任意，都有，或
，或．
【解题必备】
1．对函数单调性的理解
（1）定义中的x1，x2有三个特征：①任意性，即不能用特殊值代替；②属于同一个区间；③有大小，一般令x1（2）增、减函数的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化：若是增函数，则；若是减函数，则．
2．对函数单调区间的理解
（1）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．
（2）函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集．
（3）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性．
（4）并非所有的函数都具有单调性．如函数就不具有单调性．
3．常见函数的单调性
函数类型
单调性
一次函数
在上单调递增
在上单调递减
反比例函数
单调减区间是和
单调增区间是和
二次函数
单调减区间是，单调增区间是
单调减区间是，单调增区间是

1．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是
A．y＝|x＋1| B．y＝3－x
C． D．y＝－x2＋4
【答案】A
【解析】B、C、D在(0，1)上均为减函数，只有A项在(0，1)上是增函数．
2．下列函数中，在区间上是增函数的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由基本函数的单调性，可得：在上为减函数，在上为增函数，在R上为减函数，在上为减函数．故选B．
3．下列函数在区间上为增函数的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】是常数函数，所以不具有单调性；在上是单调递增函数；在上是单调递增函数．故选B．
4．下列四个函数中，在上是增函数的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于选项A，在上为单调递减，不符合题意；
对于选项B，在上为单调递增，而在上不是增函数，不符合题意；
对于选项C，在上为单调递增，所以在上是增函数，符合题意；
对于选项D，在上为单调递减，不符合题意．故应选C．
【方法技巧】利用函数图象确定函数的单调区间，具体作法是先化简函数式，然后再作出它的草图，最后根据函数定义域和草图的位置、形状，确定函数的单调区间．
5．下列有关函数单调性的说法，不正确的是
A．若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)＋g(x)为增函数
B．若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为减函数
C．若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为增函数
D．若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)－g(x)为减函数
【答案】C
【解题技巧】函数单调性判断的等价变形：
（1）是增函数对任意，都有，或，或；
（2）是减函数对任意，都有，或，或．
6．若函数y=ax与在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增
【答案】B
【解析】∵y=ax与y=–在(0,+∞)上都是减函数,∴a<0,b<0,∴y=ax2+bx的对称轴x=–<0,∴y=ax2+bx在(0,+∞)上为减函数．
7．求函数f(x)＝|x2－6x＋8|的单调区间．
【解析】先作出y＝x2－6x＋8的图象，然后x轴上方的不变，x轴下方的部分关于x轴对称翻折，得到如图f(x)＝|x2－6x＋8|的图象，由图象可知f(x)的增区间为[2,3]，[4，＋∞]；减区间为(－∞，2]，[3,4]．

1．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)为增函数，当x∈(－∞，－2]时，函数f(x)为减函数，则m等于
A．－4 B．－8 C．8 D．无法确定
【答案】B
【解析】由题意可知x＝－2是f(x)的对称轴，∴＝－2，m＝－8．
2．下列说法中正确的个数是
①已知区间I，若对任意的x1，x2∈I，当x1②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由增函数的定义，知①说法正确；
y＝x2在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，从而y＝x2在R上不具有单调性，所以②说法错误；
y＝－在（–∞，0）和（0，＋∞）上是增函数，但在整个定义域内不是增函数，所以③说法错误；
y＝在(0，＋∞)，(－∞，0)都是减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具备单调性．所以④说法错误．故选B．
3．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有
A．函数f(x)先增加后减少 B．函数f(x)先减少后增加
C．f(x)在R上是增函数 D．f(x)在R上是减函数
【答案】C
【解析】因为>0，所以当a>b时，f(a)>f(b)；当a4．证明：函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数．
【答案】见解析
【解析】设x1，x2是R上的任意两个实数，且x10，
f(x2)－f(x1)＝(x＋x2)－(x＋x1)
＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x)＋(x2－x1)＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x＋1)
＝(x2－x1)[(x2＋)2＋x＋1]．
因为(x2＋)2＋x＋1>0，x2－x1>0，所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．
因此函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数．
【规律总结】运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1
彩虹
图中的彩虹图从左到右是逐渐上升的，像不像增函数的图象？
考点22 函数单调性的性质

1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则自变量越大函数值越大．
2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则自变量越大函数值越小．

【例】若函数在[1，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
【名师点睛】本题中不一定是二次函数，所以要对a进行讨论．另外，需熟练掌握一次函数、反比例函数和二次函数的单调性，并能灵活应用．

1．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，函数在上是增函数，所以．
2．函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(2m－1)>f(－m)，则实数m的取值范围是
A．(－∞，－1) B．(，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
【答案】B
【解析】已知函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(2m－1)>f(－m)，则可得2m－1>－m，由此可得m>．
【解题技巧】利用单调性求参数：
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
3．已知函数y＝，则它在下列哪个区间上不是减函数
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(1，＋∞)
【答案】C
【解析】此函数在(0，＋∞)，(－∞，0)及其子区间上都是减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具
备单调性．
【易错易混】单调区间有多个时，中间用“，”还是“”要进行严格的界定．
4．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________．
【答案】–3
【解析】f(x)＝2(x－)2＋3－，由题意＝2，∴m＝8．
∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3．
5．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)A．(－1，1) B．(0，1)
C．(－1，0)∪(0，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【答案】D．
【解析】∵f(x)在R上为减函数且f(|x|)1，解得x>1或x<－1．
【解题技巧】在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
6．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则
A．f(3)C．f(2)【答案】A
【解析】对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又3>2>1，则f(3)
1．若x1，x2∈(－∞，0)，且x1A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)C．f(x1)＝f(x2) D．以上都有可能
【答案】B
【解析】∵函数f(x)＝－在(－∞，0)上是增函数，又∵x1，x2∈(－∞，0)，且x12．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．
【答案】(0,1]
【解析】由f(x)在[1,2]上单调递减可得a≤1；由g(x)在[1,2]上单调递减可得a>0
∴a∈(0,1]．
3．若在区间上是增函数，则的取值范围是．
【答案】
【解析】设则，而
，则，解得a>
4．设函数y=f(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，并且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f=1．
(1)求f(1)的值．
(2)若存在实数m，使得f(m)=2，求m的值．
(3)若f(x–2)>2，求x的取值范围．
【答案】（1）0；（2）；（3）2【解析】(1)令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0．
(2)因为f=1，
所以f=f=f+f=2，所以m=．
(3)因为f(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，f(x–2)>2=f，
所以解得2
单调与单调性
在汉语中，“单调”一词具有多种含义．
①只有一种的或重复而缺少变化：色彩单调、形式单调、单调的生活．
②指定．美容美发服务行业的专业术语，如“单调”某位设计师，即“指定”某位设计师为其服务的意思．
“单调”的含义及出处
1．简单、重复，缺少变化．
巴金《新生》第一篇：“出世、成长、保身、传种以至于死亡：所有的人都走这种呆板的单调的路．”洪深《飞将军》：“喝酒呀，宴会呀，跳舞呀，天天是这几套，也会觉得单调的．”
2．指单一而不丰富．
毛泽东《在省市自治区党委书记会议上的讲话》：“找知识要到各方面去找，只到一个地方去找，就单调了．”
3．只是单方面调动工作，与“双调”相对．
而数学中的函数单调性，就取自第一个含义“重复、缺少变化”．指随着自变量的逐步变大，函数值一直变大（或变小），而这种趋势一直不改变．
是不是对函数单调性又加深了一层理解？

考点23 函数的最值

函数的最大（小）值
（1）函数的最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M．
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值．
（2）函数的最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M．
那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值．

【例】已知函数，若x∈[t，t＋2]，求函数f（x）的最值．
【答案】答案详见解析．
【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：
一是函数定义域为实数集，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值；
二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧）来决定，若含有参数，则要根据对称轴与轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合．
【解题必备】函数的最值与单调性的关系：
如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数，在处有最大值．
如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数，在处有最小值．
如果函数在区间上是增（减）函数，则在区间的左、右端点处分别取得最小（大）值和最大（小）值．

1．一个偶函数定义在上,它在上的图象如图,下列说法正确的是

A．这个函数仅有一个单调增区间
B．这个函数有两个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值是7
D．这个函数在其定义域内有最小值是–7
【答案】C．
【解析】由图像可知，函数在上，有两个递减区间、有一个递增区间，且有最大值7；因为偶函数的图像关于原点对称、单调性相反，所以在上有一个递减区间、两个递增区间，且有最大值7．故选C．
【规律总结】求函数最大（小）值的常用方法有：
（1）观察法，对于简单的函数，可以依据定义域观察求出最值；
（2）配方法，对于“二次函数类”的函数，一般通过配方法求最值；
（3）图象法，对于图象较为容易画出来的函数，可借助图象直观求出最值；
（4）单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性（需给出证明）后，可依据单调性确定函数最值．
2．设函数f(x)的定义域为R，有下列四个命题：
(1)若存在常数M，使得对任意的x∈R，有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值
(2)若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，且x≠x0，有f(x)(3)若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，有f(x)(4)若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值
这些命题中，正确命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】由函数的最大值的定义容易判断(2)(4)是正确的．
3．函数f（x）＝在[1，＋∞）上
A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值
【答案】A
【解析】结合函数f（x）＝在[1，＋∞）上的图象可知函数在[1，＋∞）上有最大值，无最小值．
【易错易混】求最值注意函数的定义域和题中给定的限定范围．
4．函数f（x）在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是
A．f（－2），0 B．0，2
C．f（－2），2 D．f（2），2
【答案】C
【解析】由图象可知此函数的最小值是f（－2），最大值是2．
5．函数y＝的最大值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D．
【解题技巧】（1）求函数的最值问题实质上就是求函数的值域问题，因此求函数值域的方法也可用来求函数最值．
（2）需要注意的是分段函数的最大（小）值是各段函数最大（小）值中的最大（小）者．
6．函数的值域是
A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]
【答案】B
【解析】∵x∈R,1＋x2≥1，∴0<≤1．
7．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
【解析】(1)任取x1，x2∈[3,5]且x1＝
＝
＝．
∵x1，x2∈[3,5]且x1∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0．
∴f(x1)－f(x2)<0．∴f(x1)∴函数f(x)＝在[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝；当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝．

1．函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________．
【答案】2
【解析】f(x)＝＝1＋，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则f(x)最大值为f(2)＝＝2．
2．函数，则f(x)的最大值和最小值分别为
A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
【答案】A
【解析】作出分段函数的图象(图略)，由图象可知f(x)max＝f(2)＝22＋6＝10，
f(x)min＝f(－1)＝－1＋7＝6．故选A．
3．已知，关于的函数，则下列结论中正确的是
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
【答案】A
【解析】函数=，可知：当时，函数有最大值．故选A．
【解题技巧】二次函数的最值有很多种求法：配方法、公式法，求出对称轴法．
4．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
【答案】（1）（2）(－3，＋∞)
【解析】(1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2．
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1所以f(x1)所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝1＋＋2＝．
(2)依题意f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．
记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，由y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增知，当x＝1时，y取得最小值3＋A．
所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立．
所以实数a的取值范围为(－3，＋∞)．

农夫过河
一名农夫要将一只狼、一只羊和一袋白菜运到河对岸，但农夫的船很小，每次只能载下农夫本人和狼及羊、或者农夫与白菜．但他不能把羊和白菜留在岸边，因为羊会吃掉白菜；也不能把狼和羊留在岸边，因为狼会吃掉羊．那么，农夫如何将这三样东西送过河呢？

考点24 函数奇偶性的判断

1．偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(–x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数．
2．奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(–x)=–f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数．

【例】下列判断正确的是
A．函数是奇函数
B．函数是非奇非偶函数
C．函数是偶函数
D．函数既是奇函数又是偶函数
【答案】B
【名师点睛】对于C，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明与的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．若D项中的函数是，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数．

1．函数f(x)＝，x∈(0,1)的奇偶性是
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【答案】C
【解析】该函数的定义域不关于原点对称．
【易错易混】奇函数和偶函数的定义域关于原点对称，定义域容易被忽视．
2．下列函数是偶函数的是
A．y＝x B．y＝2x2－3
C．y＝ D．y＝x2，x∈[0,1]
【答案】B
【解析】A选项是奇函数；B选项为偶函数；C、D选项的定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数．
3．函数f(x)=
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
【答案】B
【解析】因函数f(x)=的定义域为R，且f(–x)===f(x)，故f(x)为偶函数．
4．设函数f（x）＝x|x|定义在（－∞，＋∞）上，则f（x）
A．既是偶函数，又是减函数 B．既是奇函数，又是减函数
C．既是偶函数，又是增函数 D．即是奇函数，又是增函数
【答案】D
【解析】x>0，f（x）＝x2；－x<0，f（－x）＝－x2．由f（－x）＝－f（x）可知f（x）为奇函数，结合图象知为增函数．故选D．
【解题技巧】函数图象是解决函数性质问题最直观的工具，在研究性质时，能画图就画图．
5．已知y＝f（x），x∈（－a，a），F（x）＝f（x）＋f（－x），则F（x）是
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】B
【解析】F（－x）＝f（－x）＋f（x）＝F（x）．又x∈（－a，a）关于原点对称，∴F（x）是偶函数．
6．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据函数的奇偶性，可得为非奇非偶函数，故排除选项D;在定义域R上单调递增；在定义域R上单调递减；在上单调递减，而不能说在定义域上单调递减．故选B．
7．函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明．
【解析】(1)令x1＝x2＝1，
有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0．
(2)f(x)为偶函数，证明如下：
令x1＝x2＝－1，
有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0．
令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)．所以f(x)为偶函数．

1．函数f(x)＝(x－1)·，x∈(－1,1)
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数
【答案】B
【解析】∵x∈(－1,1)，∴x－1<0．
∴f(x)＝(x－1)·＝－，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．故选B．
【易错易混】化简时巧妙的根据自变量的取值范围把移动到根号里面，此题容易被形式迷惑，化简不出最终结果，从而判断错误．
2．若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是
A．对任意实数a，f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．对任意实数a，f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C．存在实数a，使f(x)是偶函数
D．存在实数a，使f(x)是奇函数
3．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
【答案】A
【解析】由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)．
由g(x)是奇函数，可得g(－x)＝－g(x)．
∵|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
4．已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数且f(x)<0．问F(x)＝在(－∞，0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论．
【答案】增函数，证明见解析．
【解析】F(x)在(－∞，0)上是增函数，证明过程如下：
设x1－x2>0．
F(x1)－F(x2)＝＝
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴
又∵f(x)在(0，＋∞)上是奇函数，∴
∴f(x2)－f(x1)<0．
∵f(x)在(0，＋∞)上总小于0，－x1>－x2>0，
∴f(x1)＝－f(－x1)>0，f(x2)＝－f(－x2)>0．
∴f(x1)f(x2)>0，∴F(x1)－F(x2)<0．
即F(x1)∴F(x)在(－∞，0)上是增函数．

嚣张的富商
中国改革初期，一外国富商带其助手来到中国，住到白天鹅宾馆，富商想嚣张地订下整个白天鹅宾馆以显其富有．前来接待的工作人员说：“只要你满足第一层2角钱的价格，第2层4角钱的价格，第3层8角钱的价格，第3层16角钱的价格……宾馆有100层．如果你们全部订下，我就OK．”富商爽快地答应了．结果一计算，第100层就要12676506002282294014967032053．76元，富商无语．
考点25 函数奇偶性的性质

1．函数具有奇偶性的条件
（1）①首先考虑定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；
②在定义域关于原点对称的前提下，进一步判定是否等于．
（2）分段函数的奇偶性应分段说明与的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．
（3）若奇函数的定义域包括，则．
2．性质法判断函数的奇偶性
，在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数

【例】设奇函数的定义域为．若当时，的图象如图所示，则不等式的解集是
A． B．
C． D．
【答案】D
【名师点睛】利用数形结合思想解题时，要准确画出草图，并注意特殊点的位置，且求解时不要忽略定义域的限制．

1．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；
④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数．
其中正确的命题个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】函数y＝是偶函数，但不与y轴相交，故①错；
函数y＝是奇函数，但不过原点，故②错；
函数f（x）＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．
【易错易混】奇偶函数是图象成轴对称和中心对称的代表．奇函数只要在处有意义，其图象才过原点．
2．函数f（x）＝－x的图象关于
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
【答案】C
【解析】∵x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），且对定义域内每一个x，都有f（－x）＝－＋x＝－f（x），
∴该函数f（x）＝－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．
3．．若y＝(a－1)x2－2ax＋3为偶函数，则在(－∞，3]内函数的单调区间为________．
【答案】(－∞，0)上为增函数，在[0,3]上为减函数．
【解析】由y是偶函数，容易求出a＝0，∴y＝－x2＋3．
结合函数图象可知y在(－∞，0)上为增函数，在[0,3]上为减函数．
4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，则f（2）等于
A．－26 B．－18 C．－10 D．10
【答案】A
【解析】令g（x）＝x5＋ax3＋bx，则g（－x）＝－g（x），∴g（x）为奇函数．
又f（x）＝g（x）－8，∴f（－2）＝g（－2）－8＝10?g（－2）＝18．
∴g（2）＝－18．∴f（2）＝g（2）－8＝－18－8＝－26．
5．设f（x）为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f（x）＝2x＋2x＋b（b为常数），则f（－1）＝
A．3 B．1 C．－1 D．－3
【答案】D
【解析】因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以有f（0）＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，所以当x≥0时，f（x）＝2x＋2x－1，所以f（－1）＝－f（1）＝－（21＋2×1－1）＝－3．
【解题技巧】奇函数在处有意义，则过点，利用此隐含条件可以求出解析式中的系数．
6．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图像与f(x)的图像重合，设a>b>0，给出下列不等式：
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)；
②f(b)－f(－a)③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)；
④f(a)－f(－b)其中成立的是________．
【答案】①③
【解析】－f(－a)＝f(a)，g(－b)＝g(b)，
∵a>b>0，∴f(a)>f(b)，g(a)>g(b)．
∴f(b)－f(－a)＝f(b)＋f(a)＝g(b)＋g(a)>g(a)－g(b)＝g(a)－g(－b)，∴①成立．
又∵g(b)－g(－a)＝g(b)－g(a)，∴③成立．
7．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，求f(x)在R上的解析式f(x)．
【解析】设x<0，则－x>0，∵f(x)是定义在R上的偶函数，
f(x)＝f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，
∴f(x)＝．

1．函数f(x)＝ax2＋bx＋2a－b是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝
A．－ B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】由偶函数的定义，知[a－1,2a]关于原点对称，所以2a＝1－a，解得a＝．
又f(x)为偶函数，则b＝0．所以a＋b＝．
2．函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∴f(x)为偶函数,一定在图象上，而，∴一定在图象上．
【解题技巧】此题也可不必研究奇偶性，直接带入解析式验证即可．
3．如图是偶函数y＝f(x)的局部图像，根据图像所给信息，下列结论正确的是
A．f(－1)－f(2)>0 B．f(－1)－f(2)＝0
C．f(－1)－f(2)<0 D．f(－1)＋f(2)<0
【答案】C
【解析】∵y＝f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，
∵由图得f(x)在[1,3]上递增，
∴f(1)4．已知函数f(x)=，令g(x)=f．
(1)如图，已知f(x)在区间[0，+∞)的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．
(2)求证：f(x)+g(x)=1(x≠0)．
【答案】（1）见解析（2）见解析
故f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示．
因为g(x)=f==(x≠0)，
所以g(x)+f(x)=+==1，
即g(x)+f(x)=1(x≠0)．

一张纸你能对折几次？
我们数学作业本中的一张纸，最多能对折几次？答案肯定是不确定的，每个人对折的结果也不同．人力对折世界记录是7次，机器对折世界记录是9次．
对折后的厚度阻碍了继续对折，怎样计算这个厚度呢？
学生的作业本每张一般不会超过0.08 mm，我们假设一张纸厚0.01 mm，开始折叠．每折一次厚度就翻一倍．
所以折N次后纸的厚度为：0.01 mm2n．
如果折九次的话，纸的厚度约为：10.24mm约为一厘米，一厘米厚的纸，你见过么？此时面积也已经非常小，再对折已经非常困难了．
假设把一张厚度为1 mm的纸对折100次，其厚度为21000.001米，也就是1267650600228229401496703205.376米，可以超过地球至月球的距离，惊人啊！
考点26 奇偶性与单调性的综合

根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：
（1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．
（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．

【例】设偶函数的定义域为R，当x时是增函数，则，，的大小关系是
A．>> B．>>
C．<< D．<<
【答案】A
【解析】由函数为偶函数得，当x时是增函数，所以
>，从而>>．
【名师点睛】由于偶函数在轴两侧的单调性相反，故不可直接由得出
．

1．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数是偶函数，所以，因为，函数在上是增函数，所以，即．
【解题技巧】抽象函数借助草图，性质一目了然．
2．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为5，那么在区间上是
A．增函数且最小值是–5 B．增函数且最大值是–5
C．减函数且最大值是–5 D．减函数且最小值是–5
【答案】A
【解析】奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性．
3．若奇函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数，又f（－3）＝0，则{x|x·f（x）<0}等于
A．{x|x>3，或－3C．{x|x>3，或x<－3} D．{x|0【答案】D
【解题技巧】借助抽象函数的图象，{x|x·f（x）<0}取第二象限和第四象限的图象，找出对应的的值即可．
4．已知函数在[－5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，满足，则下列不等式一定成立的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数在[－5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，所以在上也是单调函数，又因为，所以在上是单调递增函数，在[0,5]上是单调递减函数，所以．
【解题技巧】单调性可以比较大小解不等式．抽象函数的草图能直观的反应函数的性质．
5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1，2)
C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【答案】C
【解析】∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x．作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－26．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则与的大小关系是
A．> B．<
C． D．≤
【答案】C
【解析】，因为是偶函数，在上是减函数，所以．
【解题技巧】从函数的角度理解有最小值．
7．奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，
且f(1－a)＋f(2a－1)<0，求实数a的取值范围．
【解析】由f(1－a)＋f(2a－1)<0，得f(1－a)<－f(2a－1)，
∵f(x)是奇函数，∴f(1－a)又∵f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，
∴
解得0即所求实数a的取值范围是0
1．函数是偶函数，则的大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若二次函数想满足是偶函数，则m=0，因此函数为，
则．
所以．
2．已知函数f（x）在[－5,5]上是偶函数，f（x）在[0,5]上是单调函数，且f（－4）A．f（－1）C．f（－3）f（1）
【答案】D
【解析】∵函数f（x）在[－5,5]上是偶函数，∴f（－4）又f（x）在[0,5]上是单调函数．∴f（x）在[0,5]上递减，从而f（0）>f（1）．
3．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．
【答案】(－2,0)∪(2,5]
【解析】由奇函数的图象关于原点对称，作出函数f(x)在[－5,0)的图象如图所示，
由图象可以看出，不等式f(x)<0的解集是(－2，0)∪(2,5]．
4．奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围．
【答案】(1,2)

文献增长规律
文献指数增长规律是美国著名科学家与情报学家普赖斯(DerekdesollA．Price)发现的．1949年,普赖斯在拉弗尔斯学院(即现在的新加坡大学)图书馆通过对该馆收藏的1665年至1900年英国皇家学会主办的《哲学汇刊》杂志以及1665年至1900年每隔50年间世界出版的科学杂志的统计分析,得出了科学期刊是按指数增长的初步结论．接着,他又统计分析了《物理学文摘》等其它三十种文献杂志中的期刊论文增长情况,得到了相同的结论．据此,普赖斯把这一结论扩大到整个科学领域．他指出:“似乎没有任何理由怀疑任何正常的、日益增长的科学领域内的文献是按指数增长的”．文献计量研究中的这一著名规律可用如下数学方程式表示F(t)=aebt(a>0,b>0)式中t代表时间,以年为单位;a代表统计初始时刻(t=0)的文献量;b代表持续增长率,即某一年文献的累积增加量与前一年文献累积总数的比值．
考点27 二次函数

形如的函数叫作二次函数，其中a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)称为二次函数的一般式．二次函数的解析式还有其他两种形式，顶点式：
零点式：

【例】若不等式对于一切成立，则a的最小值是
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】设则对称轴为
应有解得．
若
应有f(0)=1>0恒成立，
若，即–1≤a≤0,则应有恒成立，
综上，有
【方法技巧】求二次函数在[m，n]上的最值的步骤：(1)配方，找对称轴；(2)判断对称轴与区间的关系；(3)求最值．若对称轴在区间外，则f(x)在[m，n]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴处取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得．

1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是
【答案】D
【解析】∵a>b>c，a＋b＋c＝0，∴a>0，又∵b＝－(a＋c)，∴Δ＝b2－4ac＝(a－c)2>0，∴抛物线开口向上，
且与x轴有两个交点．故选D．
2．函数，且，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易知f(x)开口向上，由可知f(x)的对称轴为，又，画出f(x)的图象可知B正确．
3．已知函数，若，，则
A． B．
C． D．与的大小不能确定
【解析】依题意，函数的对称轴为直线．又∵，，
∴，∴．
【答案】C
【解题技巧】比较两点函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两个点转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较它们的大小．
4．已知二次函数的图象与函数的图象的形状一样，开口方向相同，且其顶点为，则此函数的解析式为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】开口形状一样，则的系数一样，可设再代入顶点．
5．函数的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值为
A．0 B．0或1
C．0或1或9 D．0或1或9或12
【答案】C
【解析】当时，函数变为，它的图象与x轴有且只有一个交点，∴满足题意．
当时，要使函数图象与x轴有且仅有一个交点，需，解得或．故选C．
【易错易混】该函数未必是二次函数，要注意对a分情况讨论．
6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：
f(x－1)＝f(3－x)且方程f(x)＝2x有等根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m，n(m(2)∵f(x)＝－(x－1)2＋1≤1，
∴4n≤1，即n≤．
而抛物线y＝－x2＋2x的对称轴为x＝1，
∴若满足题设条件的m，n存在，
则?又m∴m＝－2，n＝0，这时，定义域为[－2,0]，值域为[－8,0]．
由以上知满足条件的m，n存在，m＝－2，n＝0．

1．函数的值域是
A．R B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，∴．故选C．
2．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，因此对称轴为x=1．
当时，，∴．
当时，，∴．
∴．
3．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)的解析式为________．
【答案】f(x)＝x2－4x＋3
【解析】x2＋ax＋b＝0的两根为1,3,函数f(x)解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3．
4．讨论函数y＝x2－2(2a＋1)x＋3在[－2,2]上的单调性．
【答案】见解析
【解析】函数的对称轴为x=2a+1,
当a≤－时，函数在[－2,2]上为增函数;
当－当a≥时，函数在[－2,2]上为减函数．
【解题技巧】二次函数的对称性，以对称轴为界，与开口方向有关．

二次函数的爱我和你站在同一个平面我在第一象限你在第二象限数学家将你我抽象成两点立在二次函数的抛物线 不管这条线如何延伸都不会有交点我只希望将系数改变不要把我们疏离的更远等到时间冻结那一天我沿着线爬到你身边不会再像牛郎织女那样遥远 Y轴是我们的对称线对折就可以想见带着你回到坐标原点交融在一起到永远
考点28 函数的对称性

函数的对称性是函数的一个重要性质，充分体现了数学的形式美，给学生以美的感受的同时，锻炼学生的思维，拓展学生的视野，丰富学生的想象．函数的对称性是函数的奇偶性的拓展，而函数的奇偶性就是函数的对称性的特例．

【例】，则___________．
【答案】11
【方法技巧】函数的图象关于点对称，则；反之亦成立．

1．函数f(x)＝x2＋1的图像关于________点对称．
【答案】(0,1)
【解析】f(x)的图像是由y＝x2的图像向上平移一个单位得到的．
2．设是奇函数，满足f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，，则的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解本题的关键是把通过f(x＋2)＝f(x)和奇偶性把自变量转化到区间[0，1]上进行求值．先利用f(x＋2)＝f(x)，再利用奇偶性得:．
【方法技巧】周期性与奇偶性相结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
3．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝__________．
【答案】3
【解析】因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，
又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，
则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3．
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________．
【答案】0
【解析】f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(－x)＝－f(x)，
?f(x)＝f(1－x)，
所以f(－x)＝f(1＋x)＝－f(x)，f(2＋x)＝－f(1＋x)＝f(x)，
所以f(0)＝f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，f(0)＝f(2)＝f(4)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0．
【方法技巧】注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
5．已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系
A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c
【答案】D
【解析】因f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得．
由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∵1<2<>f(e)，∴b>a>C．
6．设函数f(x)的定义域为R，并且图象关于y轴对称，
当x≤－1时，y＝f(x)的图象是经过点(－2,0)与(－1,1)的射线，又在y＝f(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2)，且经过点(1,1)的一段抛物线．
(1)试求出函数f(x)的表达式，作出其图象；
(2)根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数是增函数还是减函数．
【解析】(1)当x≤－1时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
由已知得
解得所以f(x)＝x＋2(x≤－1)．
由于函数图象关于y轴对称，则由x≥1，得－x≤－1，f(－x)＝－x＋2，
且f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－x＋2(x≥1)．
当－1由已知得m＝－1，即f(x)＝－x2＋2(－1所以函数f(x)的表达式为f(x)＝图象如图所示．
(2)从图象可看出，函数f(x)的单调区间有(－∞，－1]，(－1,0]，(0,1)，[1，＋∞)．
其中，f(x)在区间(－∞，－1]和(－1,0]上是增函数；在区间(0,1)和[1，＋∞)上是减函数．

1．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝__________．
【答案】3
【解析】因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，
又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，
则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3．
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋3)＝f(x)若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为
A．(－1,4) B．(－2,0)
C．(－1,0) D．(－1,2)
【答案】A
【解析】∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(5)＝f(2)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，f(5)＝，∴<1，即<0，解得－1【技巧方法】此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
3．定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f(5)的大小关系是__________．
【答案】f(5)4．已知函数f(x)的定义域为(3－2a，a＋1)，且f(x＋1)为偶函数，求实数a的值．
【答案】2
【解析】∵f(x)的定义域为(3－2a，a＋1)，
∴由3－2a∴f(x＋1)的定义域为(2－2a，a)．
又∵f(x＋1)为偶函数，其定义域关于原点对称，
∴2－2a＝－a，a＝2．

投资回报率
投资回报率（ROI）是指通过投资而应返回的价值，即企业从一项投资活动中得到的经济回报．它涵盖了企业的获利目标．
利润和投入经营所必备的财产相关，因为管理人员必须通过投资和现有财产获得利润．
投资可分为实业投资和金融投资两大类，人们平常所说的金融投资主要是指证券投资．
证券投资的分析方法主要有如下三种：基本分析、技术分析、演化分析，其中基本分析主要应用于投资标的物的选择上，技术分析和演化分析则主要应用于具体投资操作的时间和空间判断上，作为提高投资分析有效性和可靠性的重要补充．
投资回报率（ROI）=年利润或年均利润/投资总额×100%，从公式可以看出，企业可以通过降低销售成本，提高利润率；提高资产利用效率来提高投资回报率．投资回报率（ROI）的优点是计算简单．投资回报率（ROI）往往具有时效性——回报通常是基于某些特定年份．
投资项目的利润必须按照某种模式增长，才有可能获得更大的回报．