专题06 指数函数-庖丁解题2018-2019学年高一数学人教版（必修1） Word版含解析

考点29
根式的化简运算
考点30
根式与分数指数幂的互化
考点31
指数幂的运算
考点32
指数函数
考点33
指数函数定义域和特殊点
考点34
指数函数单调性与值域
考点35
指数函数的图象变换
考点36
指数函数综合题
考点37
指数式与对数式的互化
考点29 根式的化简运算

根式
（1）定义：如果，那么x称为a的n次方根.
（2）两个重要公式： a.

【例】计算： ＋ ＋ .
【解析】∵3－2＝()2－2＋1＝(－1)2，
∴原式＝ ＋ ＋ 
＝|1－|＋(1－)＋|1－|
＝－1＋1－＋－1＝－1．

1．＋（a–4）0有意义，则a的取值范围是
A．a≥2 B．2≤a<4或a>4
C．a≠2 D．a≠4
2．5－2的平方根是
A．＋ B．－
C．－ D．－，－
【答案】D．
【解析】∵5－2＝（－）2，从而5－2的平方根是－和－，从而选D项．
3．下列各式正确的是
A．＝－3 B．＝a
C．＝2 D．＝2
【答案】C
【解析】由于＝3，＝|a|，＝－2，故A、B、D错误，故选C．
【易错易混】解题时注意符号．
4．下列式子中成立的是
A．a＝ B．a＝－
C．a＝－ D．a＝
【答案】C
【解析】要使a有意义，则a≤0，
故a＝－（－a）＝－＝－，故选C．
5．＋的值是
A．0 B．2（a－b）
C．0或2（a－b） D．a－b
【答案】C
【解析】分类讨论，当a－b≥0时，原式＝（a－b）＋（a－b）＝2（a－b）；
当a－b<0时，原式＝－（a－b）＋（a－b）＝0．
【易错易混】＝，要解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式，还是偶次根式．
6．当有意义时，化简－的结果是
A．2x－5 B．－2x－1
C．－1 D．5－2x
【答案】C
【解题技巧】为使开偶次方后不出现符号错误，第一步先用绝对值表示开方的结果，第二步再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．

1．当a、b∈R，下列各式总能成立的是
A．（－）6＝a－b B．＝a2＋b2
C．－＝a－b D．＝a＋b
【答案】B
【解析】本题可以通过取特殊值排除，最后确定正确选项．如取a＝0，b＝1，A不成立；取a＝0，b＝－1，C不成立；取a＝－1，b＝－1，D不成立；因为a2＋b2≥0，所以B正确．
2．计算：＝
A．x B．－x
C．－x D．x
【答案】C
【解析】由已知，得－x3≥0，所以＝＝·＝·|x|＝－x，选C．
3．若xy≠0，那么等式＝－xy成立的条件是
A．x>0，y>0 B．x>0，y<0
C．x<0，y>0 D．x<0，y<0
【答案】C
【解析】∵xy≠0，∴x≠0，y≠0．由，得．选C．
4．求下列各式的值：
（1）＋＋；
（2）－（－3【答案】（1）–6；（2）–4

孤独的根三
初中我们就认识了根式，其中有个名字叫“根三”，高中我们还要更加深入认识根式，它的名字还是叫“根三”．话说，是根式中的一员，我们知道它是一个无理数，近似值约为1．7320508075689…，在数学上的谜“可能”已经解开，但在人生境界方面，可能没人逾越，下面请大家欣赏由大卫·范伯格写的诗，认真体会一下不仅仅是．
假如可以，把人生比作算术．
我想我会，如3般孤独
3这个数字，如此纯良美好
可我的3呵，却顶着个根号
隐居在这个绝望的窠臼——我多么希望自己能是个9！
因为这层艰险，9不会害怕
只需轻轻运算，就全部消化
可阳光永远照不到这儿
因为我是1．7320…
从我出生的那一刻起
就有个名字叫无理……
快看！是什么在我眼前闪？
莫不是另一个？
轻盈的脚步，与你如此相称
我们在一起，于是彼此相见……
就这样成为一个整数
不用再对着“有理”羡慕
仿佛有魔棒轻轻挥过
我们，从这尘世的枷锁解脱——终于粉碎这头顶的拘禁
而你我的心，从此更加靠近！

考点30 根式与分数指数幂的互化

根式与分数指数幂的互化
（1）；（2）；（3）

【例】若xy≠0，那么等式＝－xy成立的条件是
A．x>0，y>0 B．x>0，y<0
C．x<0，y>0 D．x<0，y<0
【答案】C
【解析】∵xy≠0，∴x≠0，y≠0．由，得．选C．
【解题技巧】解答本题是注意被开方数的取值范围．

1．已知x5＝6，则x等于
A． B．
C．－ D．±
【答案】B
【解析】由根式的定义知，x5＝6，x＝，选B．
【规律小结】化简计算时常将根式化为分数指数幂，求函数定义域时，为方便观察各式的取值范围，常将分数指数幂化成根式．
2．下列各式中成立的一项是
A．（）7＝n7m B．＝
C．＝（x＋y） D．＝
【答案】D
【解析】（）7＝n7m－7；＝；＝（x3＋y3）．
3．已知a＝，b＝，则的值为
A．1 B．
C．3 D．2
【答案】A
【解析】＝＝＝1．
【解题指南】若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
4．用分数指数幂分别表示=___________，=___________．
【答案】，
【解析】；；
【易错易混】可以实现分数指数幂与根式的互化，但要注意根指数是分数指数幂的分母．
5．用根式分别表示表示=，=___________．

1．使代数式（|x|－1）有意义的x的取值范围是
A．|x|≥1 B．－1C．|x|>1 D．x∈R，且x≠±1
【答案】D
【解析】（|x|－1）＝，∴|x|－1≠0，
即x≠±1．
∴x的取值范围是x∈R，且x≠±1．
2．用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）．
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）．
（2）．
3．已知0A．1 B．－1
C．1或－1 D．－
4．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个实数根，且a>b>0，求的值．
【答案】．
【解析】（1）∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两实数根，
∴∵a>b>0，∴>．
则2＝＝＝＝．
∴＝＝．

幂的玄机
有一天，一个叫杰米的百万富翁，碰上一件很奇怪的事．一个叫韦伯的人对他说：“我想和你定个合同，我将在整整一个月每天给你10万元，而你第一天只需给我一分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍．”杰米说：“真的？！你说话算数？”合同生效了，杰米由最初的欣喜若狂直到最后破产，指数爆炸让杰米吃了大苦头．这其中的奥妙玄机在哪呢？

考点31 指数幂的运算

指数幂的运算性质
（1）（2）（3）．

【例】若a>1，b>0，ab＋a–b＝2，则ab－a–b等于
A． B．2或－2
C．－2 D．2
【答案】D
【方法技巧】平方法在求值中的应用
遇到式子中含有指数互为相反数的数，通常用平方法进行解决，平方后观察条件和结论的关系，变形求解即可．

1．下列各式运算错误的是
A．（－a2b）2·（－ab2）3＝－a7b8
B．（－a2b3）3÷（－ab2）3＝a3b3
C．（－a3）2·（－b2）3＝a6b6
D．[－（a3）2·（－b2）3]3＝a18b18
【答案】C
【解析】对于A，（－a2b）2·（－ab2）3＝a4b2·（－a3b6）＝－a7b8，故A正确；对于B，
（－a2b3）3÷（－ab2）3＝－a6b9÷（－a3b6）＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，（－a3）2·（－b2）3＝a6·（－b6）＝－a6b6，故C错误；对于D，易知正确，故选C．
2．下列各式中正确的个数是
（1）＝（）n＝a（n是奇数且n>1，a是实数）；
（2）＝（）n＝a（n是正偶数，a是实数）；
（3）＋＝a＋b（a，b是实数）．
A．0 B．1
C．2 D．3
【易错易混】对指数幂的运算，要分清开方、乘方等的运算顺序，用好分数指数幂的运算法则与性质及一些乘法公式．
3．计算（2a－3b－）·（－3a－1b）÷（4a－4b－）得
A．－b2 B．b2 C．－b D．b
【答案】A
【解析】原式＝＝－b2．
【解题技巧】指数幂运算的一般原则
（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
4．－＋－（＋）0的值是
A．0 B．
C．1 D．
【答案】B
【解析】原式＝－＋0．5－1＝．
5．计算0．25－0．5＋－－的值为
A．7 B．3
C．7或3 D．5
【答案】B
【解析】0．25－0．5＋－－
＝2×＋3×－＝2＋3－2＝3．
6．完成下列式子的化简：
（1）（a－2b－3）·（－4a－1b）÷（12a－4b－2c）；
（2）2÷4×3．

1．计算++–，结果是
A．1 B．2
C． D．
【答案】B
【解析】原式=++–1=++1–1=2．
2．的值等于
A．1－ B．2－
C．－ D．
【答案】B
【解析】原式＝2····…·＝2·…·＝2＝2－．
3．已知，则的值=__________．
【答案】
4．已知67x＝27,603y＝81，求－的值．
【答案】–2
【解析】观察目标可以得到对条件进行如下变形，
∵67x＝27，∴67x＝33，∴，
同理，由603y＝81得，
两式相除得，
∴－＝－2．

举一反三
有一天，“至圣先师”孔子对他的学生说：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”意思是说，我举出一个墙角，你们应该要能灵活的推想到另外三个墙角，如果不能的话，我也不会再教你们了．
后来，大家就把孔子说的这段话变成了“举一反三”这句成语，意思是说，学一件东西，可以灵活的思考，运用到其他相类似的东西上！
考点32 指数函数

指数函数的概念:函数y＝ax（a>0,且a≠1）叫做指数函数．
【特别提醒】（1）底数是大于0且不等于1的常数；
（2）指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
（3）ax的系数必须为1；
（4）指数函数不会是多项式，如y=2x+1不是指数函数．

【例】已知函数f（x）是指数函数，且f＝，则f（3）＝________．
A．5 B．25
C．125 D．250
【思路归纳】设出指数函数，将已知点代入求出待定参数，求出指数函数的解析式；将x=3代入解析式，即可求出f（3）．

1．下列各项对正整数指数函数的理解正确的有
①底数a≥0；②指数x∈N＋；③底数不为0；④y＝ax（a>0，a≠1，x∈N＋）．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】由正整数指数函数定义知①错误，②③④正确故选D．
2．下列各函数中，是指数函数的是
A．y＝（－3）x B．y＝－3
C．y＝3x－1 D．y＝x
【答案】D
【解析】根据指数函数的定义，y＝ax（a>0且a≠1），可知只有D项正确．故选D．
3．函数y＝5x，x∈N＋的值域是
A．R B．N＋
C．N D．{5，52，53，54，…}
【易错易混】注意自变量的取值，准确写成集合的形式。
4．函数f（x）＝（a2－3a＋3）ax是指数函数，则有
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
【答案】C
【解析】由题意得解得a＝2．
【易错易混】根据指数函数的定义，可将“函数y=（a2–3a+3）ax是指数函数”转化为a2–3a+3=1，且底数满足：a>0且a≠1，进而解方程求出a值
5．经过点（－，）的指数函数的解析式为
A．y＝（）x B．y＝（）x
C．y＝（）x D．y＝（）x
【答案】A
【解析】将点（－，）代入指数函数y＝ax（a>0且a≠1）中，则a－＝，即（）＝（）3，所以＝，即a＝．

1．下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3，其中指数函数的个数是
A．0 B．1
C．2 D．3
2．指数函数的图像经过点（2，16）则的值是
A． B．
C．2 D．4
【答案】D
【解析】设出指数函数，将已知点代入求出待定参数，求出指数函数的解析式即可．设指数函数为（且）,将（2，16）代入得,解得a=4,所以．
3．指数函数y=f（x）的图象经过点，那么f（4）·f（2）等于
A．8 B．16
C．32 D．64
【答案】D
【解析】设f（x）=ax，由条件知f（–2）=，故a–2=，所以a=2，因此f（x）=2x，所以f（4）·f（2）=24×22=64．
4．若函数y＝（4－3a）x是指数函数，求实数a的取值范围．
【答案】{a|a<且a≠1}．
【解析】y＝（4－3a）x是指数函数，需满足：
解得a<且a≠1，
故a的取值范围为{a|a<且a≠1}．

棋盘与麦粒
传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴，他决定要重赏西塔，西塔说：“我不要你的重赏，陛下，只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行了．在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放满第64个格子就行了”．区区小数，几粒麦子，这有何难，“来人”，国王令人如数付给西塔．
计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒，第三格内放4粒，还没有到第二十格，一袋麦子已经空了．一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来．但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑现不了他对西塔的诺言．
原来，所需麦粒总数为：18446744073709551615．
这些麦子究竟有多少？打个比方，如果造一个仓库来放这些麦子，仓库高4公尺，宽10公尺，那么仓库的长度就等于地球到太阳的距离的两倍．而要生产这么多的麦子，全世界要两千年．尽管国家非常富有，但要这样多的麦子他是怎么也拿不出来的．这么一来，国王就欠了西塔好大一笔债．

考点33 指数函数定义域和特殊点

指数函数:（1）定义域为R，（2）图象过定点（0,1）．

【例】函数f（x）=的定义域．
【答案】（1，+∞）
【解析】若使函数有意义，需满足x–1>0，即x>1．函数的定义域为（1，+∞）．
【解题技巧】求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是型还是型，前者的定义域是R，后者的定义域与的定义域一致．

1．若函数f（x）＝3x＋3－x与g（x）＝3x－3－x的定义域为R，则
A．f（x）与g（x）均为偶函数
B．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
C．f（x）与g（x）均为奇函数
D．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
2．函数f（x）＝－1的定义域、g（x）＝－1的定义域正确的是
A．f（x）定义域是R，g（x）定义域是R
B．f（x）定义域是（－1，＋∞），g（x）定义域是R
C．f（x）定义域是R，g（x）定义域是（－1，＋∞）
D．以上都不对
【答案】A
【解析】f（x）＝（）x－1，定义域为R，g（x）＝－1的定义域为R，故选A．
3．函数y＝ax－3＋3（a>0，且a≠1）的图象过定点________．
【答案】（3，4）
【思路归纳】思路一：令指数，求得与的值即得定点的坐标；思路二：利用函数过定点，结合函数图象的平移求函数y＝ax－3＋3（a>0，且a≠1）的图象过定点得坐标．
4．函数y＝a2x＋b＋1（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（1，2），则b＝________．
【答案】－2
【解析】把点（1,2）代入，得2＝a2＋b＋1，∴a2＋b＝1恒成立．∴2＋b＝0，∴b＝－2．
5．求函数的定义域．
【答案】R
【解析】因为对于任意的，函数都有意义，所以函数的定义域为R．
【易错易混】指数型函数的定义域要考虑系数、底数、指数各部分都有意义。

1．设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B＝
A．[0,2] B．（1,3）
C．[1,3） D．（1,4）
【答案】C
【解析】本题考查指数函数集合的运算．
|x－1|<2，∴－2即－1∴20≤y≤22，即1≤y≤4，
∴A∩B＝[1,3）．
2．函数y＝ax－2＋1（a>0且a≠1）的图象必经过点
A．（0,1） B．（1,1）
C．（2,0） D．（2,2）
【答案】D
【解析】由y＝ax过定点（0,1），则y＝ax－2＋1中x－2＝0时y＝a0＋1＝2，即过点（2,2）．
3．已知函数f（x）＝ax，其中a>0，且a≠1，如果以P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））为端点的线段的中点在y轴上，那么f（x1）·f（x2）等于
A．1 B．a
C．2 D．a2
4．若函数y＝为奇函数．
（1）求a的值；
（2）求函数的定义域．
【答案】（1）－；（2）{x|x≠0}
【解析】∵函数y＝，
∴y＝a－．
（1）由奇函数的定义，可得f（－x）＋f（x）＝0，
即a－＋a－＝0，
∴2a＋＝0，∴a＝－．
（2）∵y＝－－，∴2x－1≠0，即x≠0．
∴函数y＝－－的定义域为{x|x≠0}．

《庄子》曰:"一尺之棰，日取其半，而万世不竭。"

考点34 指数函数单调性与值域

指数函数:（1）当a>1时，在R上为增函数．当0
【例】已知函数f（x）＝满足对任意的实数x1≠x2，都有成立，则实数a的取值范围为
A．（－∞，2） B．
C．（－∞，2] D．
【易错易混】不仅要保证分段函数在各自的区间上满足要求，要注意“衔接点”，x=2时的情况．

1．下列判断正确的是
A．2．52．5>2．53 B．0．82<0．83
C．π2<π D．0．90．3>0．90．5
【答案】D
【解析】∵y＝0．9x是减函数，且0．5>0．3，∴0．90．3>0．90．5
2．函数f（x）=3x–3（1A．（0，+∞） B．（0，9）
C． D．
【答案】C
【解析】因为1【易错易混】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意指数函数的值域为，切记准确运用指数函数的单调性．
3．若2x＋1<1，则x的取值范围是
A．（－1,1） B．（－1，＋∞）
C．（0,1）∪（1，＋∞） D．（－∞，－1）
【答案】D
【解析】由2x＋1<20，函数y＝2t在R上是增函数，所以x＋1<0，得x<－1，故选D．
4．已知a＝20．2，b＝0．40．2，c＝0．40．6，则
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
【解题技巧】比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值（0或1）法．
5．若函数f（x）＝a|x＋1|（a>0，且a≠1）的值域为[1，＋∞），则f（－4）与f（1）的关系是
A．f（－4）>f（1） B．f（－4）＝f（1）
C．f（－4）【答案】A
【解析】由题意知a>1，∴f（－4）＝a3，f（1）＝a2，由单调性知a3>a2，∴f（－4）>f（1）．
6．设f（x）＝，求f（x）的值域．
【解析】令y＝，（2x＋1）y＝2x－1,2x（y－1）＝－1－y,2x＝，
∵2x>0，∴>0，∴
或解得－1故值域为{y|－1
1．下列函数中，满足“f（x＋y）＝f（x）f（y）”的单调递增函数是
A．f（x）＝x3 B．f（x）＝3x
C．f（x）＝x D．f（x）＝x
【答案】B
2．设a＝0．60．6，b＝0．61．5，c＝1．50．6，则a，b，c的大小关系是
A．aC．b【答案】C
【解析】根据指数函数y＝0．6x在R上单调递减可得0．61．5<0．60．6<0．60＝1，
根据指数函数y＝1．5x在R上单调递增可得1．50．6>1．50＝1，∴b3．已知x，y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，则下列各式中正确的是
A．x＋y>0 B．x＋y<0
C．x－y>0 D．x－y<0
【答案】A
【解析】令f（x）＝2x－3－x．
因为y＝2x为增函数，由y＝3－x＝x为减函数，知y＝－3－x也是增函数，从而f（x）为增函数．
由2x－3－x>2－y－3y＝2－y－3－（－y），可知f（x）>f（－y）．
又f（x）为增函数，所以x>－y，故x＋y>0．故选A．
4．若a>0且a≠1，试比较a与a的大小．
【答案】（1）a>1时，a≥a；（2）0
动物细胞分裂
动物细胞的分裂过程体现指数函数的特点

考点35 指数函数的图象变换

指数函数y＝ax的图象
a>1
0图象

【例】为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
【答案】A
【解题技巧】平移变换
（1）把的图象向左平移个单位，则得到函数的图象；
（2）若向右平移个单位，则得到函数的图象；
（3）若向上平移个单位，则得到函数的图象；
（4）若向下平移个单位，则得到函数的图象；
以上平移规律简记为“左加右减，上加下减”．

1．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图象之间的关系是
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
【答案】A
【解析】∵y＝x＝2－x，
∴它与函数y＝2x的图象关于y轴对称．
【易错易混】关键是找到两个函数的关系，确定图象的对称性．
2．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为
【答案】C
3．若0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】∵b<－1，∴f（x）＝ax＋b的图象可以看作把y＝ax（0故f（x）＝ax＋b（04．函数y＝（）x＋1的图像关于直线y＝x对称的图像大致是
【答案】A
【解析】函数y＝（）x＋1的图像如图所示，关于y＝x对称的图像大致为A选项对应图像．
【解题技巧】对称变换
（1）函数与函数的图象关于y轴对称；
（2）函数与函数的图象关于x轴对称；
（3）函数与函数的图象关于原点对称；
（4）函数的图象关于y轴对称；
（5）函数函数与函数的图象关于y=x对称；
5．函数f（x）＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0【答案】D
6．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1（a>0，且a≠1）的图象有两个公共点，求a的取值范围．
【解析】当a>1时，通过平移变换和翻折变换可得如图（1）所示的图象，则由图可知1<2a<2，即1矛盾．当0
1．函数y＝ax－（a>0，且a≠1）的图象可能是
【答案】D
2．若函数y＝ax＋b的图象如图所示，则函数y＝＋b＋1的图象为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可知03．函数y＝（0【答案】D
4．设f（x）=3x，g（x）=．
（1）在同一坐标系中作出f（x），g（x）的图象．
（2）计算f（1）与g（–1），f（π）与g（–π），f（m）与g（–m）的值，从中你能得到什么结论？
【答案】（1）图象见解析；（2）3，3，3π，3π，3m，3m，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等．
【解析】（1）函数f（x）与g（x）的图象如图所示：
（2）f（1）=31=3，g（–1）==3．
f（π）=3π，g（–π）==3π．
f（m）=3m，g（–m）==3m．
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等．

银行复利计算
银行的复利计算应用了指数函数

考点36 指数函数综合题

指数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以基本函数的单调性为主，结合复合函数单调性判断法则，在函数定义域限制之下讨论．

【例】指数函数y＝b·ax在[b,2]上的最大值与最小值的和为6，则a＝
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－
【答案】A
【易错易混】解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质与奇偶性相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．

1．函数f（x）＝的图象关于
A．原点对称B．直线y＝x对称
C．直线y＝－x对称D．y轴对称
【答案】A
【解析】由题意可知，函数f（x）的定义域为R，且f（x）＝＝2x－2－x，f（－x）＝2－x－2x＝－f（x），
所以函数f（x）为奇函数，故选A．
【易错易混】先考虑函数的定义域是否关于原点对称，化简后在用定义判定．
2．函数f（x）＝a|x＋1|（a>0，a≠1）的值域为[1，＋∞），则f（－4）与f（1）的关系是
A．f（－4）>f（1） B．f（－4）＝f（1）
C．f（－4）【答案】A
【解析】由题意知a>1，∴f（－4）＝a3，f（1）＝a2，由单调性知a3>a2，∴f（－4）>f（1）．
3．已知函数f（x）＝（x－a）（x－b）（其中a>b）的图象如图所示，则函数g（x）＝ax＋b的图象是
【答案】A
【解题技巧】
4．函数y＝的值域是
A．[0，＋∞） B．[0，4]
C．[0，4） D．（0，4）
【答案】C
【解析】因为4x>0，所以16－4x<16．又因为16－4x≥0，所以0≤16－4x<16，即0≤<4，即y∈[0，4）．
【易错易混】要考虑到4x的范围，根式的要求．
5．已知集合M＝{－1,1}，N＝{x|<2x＋1<4，x∈Z}，则M∩N＝
A．{－1,1} B．{－1}
C．{0} D．{－1,0}
【答案】B
【解析】解法一：验证排除法：由题意可知0?M∩N，故排除C、D；又1?N，∴1?M∩N，故排除A，故选B．
解法二：M＝{－1,1}，
N＝{x|－16．已知函数f（x）＝－（a为常数）．
（1）证明：函数f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；
（2）若f（x）为奇函数，求a的值．
（2）∵f（x）为奇函数且在x＝0处有意义，
∴f（0）＝0，即－＝0．
∴a＝1．

1．下列函数为偶函数的是
A．f（x）＝x－1 B．f（x）＝x2＋x
C．f（x）＝2x－2－x D．f（x）＝2x＋2－x
【答案】D
【解析】函数f（x）＝x－1和f（x）＝x2＋x既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和选项B；选项C中f（x）＝2x－2－x，则f（－x）＝2－x－2x＝－（2x－2－x）＝－f（x），所以f（x）＝2x－2－x为奇函数，排除选项C；
选项D中f（x）＝2x＋2－x，则f（－x）＝2－x＋2x＝f（x），所以f（x）＝2x＋2－x为偶函数，故选D．
2．当x∈（－∞，－1]时，不等式（m2－m）·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是
A．（－2,1） B．（－4,3）
C．（－1,2） D．（－3,4）
3．已知方程|2x－1|＝a有两个不等实根，则实数a的取值范围是
A．（－∞，0）B．（1,2）C．（0，＋∞）D．（0,1）
【答案】D
【解析】函数y＝|2x－1|＝，其图象如图所示．由直线y＝a与y＝|2x－1|的图象相交且有两个交点，可得04．已知函数f（x）＝b·ax（式中a，b为常量，且a>0，a≠1）的图象经过点A（1,6），B（3,24）．
（1）求f（x）；
（2）若不等式x＋x－m≥0在x∈（－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）f（x）＝3·2x；（2）m≤
【解析】（1）把A（1,6），B（3,24）代入f（x）＝b·ax，得
结合a>0且a≠1，解得
∴f（x）＝3·2x．

“因”与“果”
客观事物存在相互的联系．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系，比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学成绩是“因”，物理成绩是“果”，或者反过来说．事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．

考点37 指数式与对数式的互化

指数式ab＝N（a>0，且a≠1）与对数式logaN＝b（a>0，且a≠1）可互相转化，即ab＝N?logaN＝B．

log5[log3（log2x）]＝0，则x等于
A． B．
C． D．
【答案】C
【思路归纳】此题中log5[log3（log2x）]=0是复合型对数方程解方程的问题，此类方程宜采取从外而内的方式逐层求解．

1．若loga＝b（a>0且a≠1），则下列等式正确的是
A．N＝a2b B．N＝2ab
C．N＝b2a D．N2＝ab
【答案】A
【解析】把loga＝b写成＝ab，∴N＝（ab）2＝a2b．
【解题技巧】指数式和对数式之间互化，要牢记转化公式：ab=N?b=logaN．
2．若a>0，且a≠1，c>0，则将ab＝c化为对数式为
A．logab＝c B．logac＝b
C．logbc＝a D．logca＝b
【答案】B
【解析】由对数的定义直接可得logac＝b．
3．若logx＝z则
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7x D．y＝z7x
【答案】B
【解析】由logx＝z得：xz＝，y＝x7z．
4．已知logx＝－4，则x＝
A． B．1
C．2 D．4
【易错易混】化对数式为指数式，再由有理指数幂的运算性质化简求值．注意根据条件，合理的舍去，避免增根．
5．方程2log3x＝的解是
A．9 B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵2log3x＝＝2－2．
∴log3x＝－2．
∴x＝3－2＝．
6．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．

1．若logx＝4，则x，y之间的关系正确的是
A．x4＝ B．y＝64x
C．y＝3x4 D．x＝
【答案】A
【解析】logx＝4＝logxx4，则x4＝．
2．已知方程x2＋xlog26＋log23＝0的两根为α、β，则（）α·（）β＝
A． B．36
C．－6 D．6
【答案】B
【解析】由题意知：α＋β＝－log26，（）α·（）β＝（）α＋β＝（）–log26＝4log26＝22log26＝36．
3．如果f（10x）＝x．则f（3）等于
A．log B．lg3
C．103 D．310
【答案】B
【解析】设10x＝t，则x＝lgt．于是f（t）＝lgt，故f（3）＝lg3．
4．若＝m，logy＝m＋2，求的值．
【答案】16

自然对数e和In
e有时被称为自然常数（Naturalconstant），是一个约等于2．71828182845904523536……的无理数。以e为底的对数称为自然对数（Naturallogarithm），数学中使用自然（Natural）这个词的还有自然数（Naturalnumber）。这里的“自然”并不是现代人所习惯的“大自然”，而是有点儿“天然存在，非人为”的意思。就像我们把食品分为天然食品和加工食品，天然食品就是未经人为处理的食品。但这样解读“自然”这个词太浅薄了！为了还原全貌，必须穿越到2500多年前的古希腊时代。