专题07 对数函数-庖丁解题2018-2019学年高一数学人教版（必修1） Word版含解析

考点38
对数与对数运算
考点39
换底公式的应用
考点40
对数函数的定义
考点41
对数函数的定义域
考点42
对数函数的单调性与特殊点
考点43
对数函数的值域与最值
考点44
对数函数的图象与性质
考点45
反函数
考点46
对数函数的综合题
考点38 对数与对数运算
1．如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN．
3．对数的运算：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
loga（M·N）＝logaM＋logaN；
loga＝logaM－logaN；
logaMn＝nlogaM（n∈R）．
【例】计算下列各式：
（1）10lg3－log41＋2log26；
（2）22＋log23＋32－log39．
【解析】（1）10lg3－log41＋2log26＝3－0＋6＝9．
（2）22＋log23＋32－log39＝22×2log23＋＝4×3＋＝12＋1＝13．
1．对数式loga－2（5－a）＝b中，实数a的取值范围是
A．（－∞，5） B．（2，5）
C．（2，＋∞） D．（2，3）∪（3，5）
【答案】D
【解析】由题意，得∴2【易错易混】本题在求解中因漏掉底数的限制条件而导致错解．
2．下列各式中正确的个数是
①lg（lg10）＝0；②lg（lne）＝0；③若10＝lgx，x＝10；④若log25x＝，得x＝±5．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】B
3．lg8＋3lg5的值为
A．－3 B．－1
C．1 D．3
【答案】D
【解析】lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3（lg2＋lg5）＝3lg10＝3．
4．已知a＝log32，用a来表示log38－2log36
A．a－2 B．5a－2
C．3a－（1＋a）2 D．3a－a2－1
【答案】A
【解析】log38－2log36＝3log32－2（log32＋log33）＝3a－2（a＋1）＝a－2．
【解题技巧】（1）利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
（2）对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积（商）的对数拆成两对数之和（差）；②“收”；将同底对数的和（差）收成积（商）的对数．
5．计算：
A．4 B．2
C．log23 D．不确定
【答案】A
【解析】（32===4．
【解题指南】解答本题可将9写成32的形式，然后利用指数幂的运算性质及对数恒等式即可求出原式的值．
6．化简：的结果是
A． B．1
C．2 D．4
1．已知lg2＝a，lg3＝b，则lg12＝
A．a2＋b B．2a＋b
C．a＋2b D．a＋b2
【答案】B
【解析】lg12＝lg4＋lg3＝2lg2＋lg3＝2a＋b．
2．方程lgx＋lg（x－1）＝1－lg5的根是．
A．–1 B．2
C．1或2 D．–1或2
【答案】B
【解析】方程变形为lg[x（x－1）]＝lg2，所以x（x－1）＝2，解得x＝2或x＝－1．经检验x＝－1不合题意，舍去，所以原方程的根为x＝2，故选B．
3．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx（yx）的值是
A．1 B．0
C．x D．y
【答案】B
4．已知f（x）=lgx，若f（ab）=1，求f（a2）+f（b2）．
【答案】2
【解析】因为f（ab）=1，所以lg（ab）=1，即lga+lgb=1，
所以f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=2（lga+lgb）=2．
赌徒谬误
一战期间，为了躲避炮火，前线的士兵们往往藏身于弹坑之中．士兵们一般都愿意找新弹坑而不是老弹坑，他们相信老弹坑比较危险，被新一轮炮弹命中的可能性较大，而新弹坑在一段时间内将会比较安全一些……该现象被逻辑学家和数学家称为“赌徒谬误”——输了钱之后，赌徒总觉得下一轮的运气会比较好，但事实真的如此吗？
考点39 换底公式的应用
换底公式：logab＝（a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0）．
用换底公式证明以下结论：
①logab＝；②logab·logbc·logca＝1；③loganbn＝logab；④loganbm＝logab；⑤＝－logab．
【例】已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为
A．3 B．8
C．4 D．log48
【规律小结】将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
1．log49343等于
A．7 B．2
C． D．
【答案】D
【解析】log49343＝＝＝．
2．log29×log34＝
A． B．
C．2 D．4
【答案】D
【解析】log29×log34＝×＝×＝4．
【解题技巧】利用对数的换底公式将原式中的对数转化为常用对数，再计算．
3．化简：log225·log38·log59＝．
A．4 B．8
C．12 D．16
4．化简：（log32＋log92）（log43＋log83）
A．0 B．
C．1 D．
【答案】D
【解析】原式＝（log32＋log32）×（log23＋log23）＝log32×log23＝．
【规律总结】换底公式可将不同底的对数换算为常用对数或自然对数，是对数运算中非常重要的工具．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，
如（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）等，将会达到事半功倍的效果．
5．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为
A．a－b B．
C．ab D．a＋b
【答案】B
【解析】log32＝＝．
6．计算的值．
解法二：
．
解法三：
．
1．＝
A． B．
C．1 D．2
【答案】A
【解析】原式＝＝＝，故选A．
2．若log23·log3m＝，则m＝
A．2 B．
C．4 D．1
【答案】B
【解析】∵log23·log3m＝log2m＝，∴m＝2＝，故选B．
3．log242＋log243＋log244等于
A．1 B．2
C．24 D．
【答案】A
【解析】log242＋log243＋log244＝log24（2×3×4）＝log2424＝1．
4．已知log23＝a，log37＝b，求log1456（用含a，b的式子表示）．
换底公式歌
换底公式真神奇，换成新底可任意，
原底加底变分母，真数加底变分子．

考点40 对数函数的定义
对数函数的概念
（1）函数y＝y＝logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量．a叫做对数函数的底数。函数的定义域是（0,+∞）,值域是R．
（2）特别地,我们称以10为底的对数函数y=lgx为常用对数函数,称以无理数e为底的对数函数y=㏑x为自然对数函数．
【例】已知，且，下列四组函数中表示相等函数的是
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】C
【易错易混】要注意不因要化简以后的解析式形同，定义域也要相同．
1．http://www.ks5u.com/下列函数是对数函数的是
A．y＝loga（2x） B．y＝lg10x
C．y＝loga（x2＋x） D．y＝lnx
【答案】D
【解析】由对数函数的概念，知D正确．
【概念辨析】对于对数函数的概念应注意以下三个方面：
①定义域：因为对数函数y＝logax是由指数函数y＝ax变化而来的，对数函数的自变量x恰好对应指数函数的函数值y，所以对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，即x∈（0，＋∞）．
②底数：对数函数y＝logax的底数a>0，且a≠1．
③形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y＝logax（a>0，且a≠1，x>0）中，logax前面的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则不是对数函数．
2．下列函数表达式中，是对数函数的有①y=logax（a∈R）；②y=log8x；③y=lnx；④y=logx（x+2）．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】由于形如y=logax（a>0，且a≠1）的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有
②、③，其他的均不符合．故选B．
3．已知下列函数：
①；
②；
③；
④．
其中是对数函数的是_______（只填序号）．
【答案】③
4．函数f（x）=（a2+a–5）logax为对数函数，则f（x）=．
【易错易混】判断函数是否为对数函数：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的正常数；（3）自变量为正数．
5．下列各组函数中，表示同一函数的是
A．和
B．和
C．和
D．和
【答案】D
【解析】对于，定义域不同，对于，对应法则不同，对于，定义域不同，对于，，故选
6．已知对数函数f（x）＝（m2－m－1）log（m＋1）x，求f（27）．
【解析】若f（x）＝（m2－m－1）log（m＋1）x为对数函数，则
?
∴m＝2，
∴f（x）＝log3x，
∴f（27）＝log327＝3．
1．http://www.ks5u.com/对数函数y=log（a+1）x中实数a的取值范围是
【答案】{a|a>–1且a≠0}
【解析】由a+1>0且a+1≠1，得a>–1且a≠0．所以对数函数y=log（a+1）x中实数a的取值范围是{a|a>–1且a≠0}．故答案为{a|a>–1且a≠0}．
2．下列函数中是对数函数的是
【答案】A
【解析】形如y＝logax（a>0，且a≠1）的函数才是对数函数，只有A是对数函数，故选A．
3．若对数有意义，则的取值范围是
A． B．
C．或 D．
4．函数f（x）＝（a2－a＋1）log（a＋1）x是对数函数，求实数a的值．
【答案】1
【解析】∵函数f（x）＝（a2－a＋1）log（a＋1）x是对数函数．
∴a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1．
又a＋1>0，a＋1≠1，∴a＝1．
神奇的梦
俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想没有解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人提示他解答的方法．醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔．“对数”一词就是纳皮尔首先创造的，意思是比数，他最早用“人造的数”来表示对数，那么“对数”到底是什么？需要我们来研究对数．

考点41 对数函数的定义域
求含有对数的函数的定义域问题，一要遵循常规的求定义域的原则，即对分式、偶次根式、零指数幂等考虑限制条件，同时注意对数的真数大于零，底数大于零且不等于1的条件．
【例】函数的定义域是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】要使原题有意义，必须满足：，解得．
【易错易混】定义域要写成区间或集合的形式．
1．下列各组函数中，定义域相同的一组是
A．y＝ax与y＝logax（a>0，且a≠1）
B．y＝x与y＝
C．y＝lgx与y＝lg
D．y＝x2与y＝lgx2
【答案】C
2．函数y＝的定义域是
A．（0,1] B．（0，＋∞）
C．（1，＋∞） D．[1，＋∞）
【答案】D
【解析】由得解得x≥1．
【解题技巧】直接利用对数函数真数大于零进行计算即可．
3．已知函数f（x）＝的定义域为M，g（x）＝ln（1＋x）的定义域为N，则M∩N等于
A．{x|x>－1} B．{x|x<1}
C．{x|－1【答案】C
【解析】由题意得M＝{x|x<1}，N＝{x|x>－1}，则M∩N＝{x|－1【规律总结】定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念．（1）若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；（2）若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1．
4．函数f（x）＝ln（x2－x）的定义域为
A．（0，1] B．[0，1]
C．（－∞，0）∪（1，＋∞） D．（－∞，0]∪[1，＋∞）
【答案】C
【解析】由x2－x>0，得x>1或x<0．
5．函数f（x）＝＋lg（1＋x）的定义域是．
A．（－∞，－1） B．（1，＋∞）
C．（－1,1）∪（1，＋∞） D．（－∞，＋∞）
【答案】C
【解析】要使函数有意义，须满足：解之得x>－1且x≠1．故其定义域为（－1，1）∪（1，＋∞）．
6．设函数f（x）＝ln（x2＋ax＋1）的定义域为A．
（1）若1∈A，－3?A，求实数a的取值范围；
（2）若函数y＝f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．
1．函数的定义域为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】使函数有意义，满足，得，函数的定义域，故答案为C．
2．函数f（x）=log2（x2+2x–3）的定义域是
A． B．
C．∪ D．∪（1，+∞）
【答案】D
【解析】由对数函数的真数大于零可知，x2+2x–3>0，解得x<–3，或x>1，所以函数f（x）=log2（x2+2x–3）的定义域是∪（1，+∞）．
3．函数y=的定义域___________________．
【答案】{x|x<}
【解析】由∴所求函数定义域为{x|x<}
4．http://www.ks5u.com/求下列函数的定义域．
（1）y=．
（2）y=ln（x+1）+．
【答案】（1）{x|x>–1且x≠1}；（2）{x|–1高考志愿
小王在填报高考志愿时犯了难，他既感到南开大学的应用数学专业不错，又觉得复旦大学的应用物理专业也挺好，他拿不定主意，最后老师给他定了一个填报原则：如果数学分数超过130分，就报南开；如果理综分数超过220分，就报复旦；如果数学分数超过了130分，理综分数也超过了220分，就报南开；如果数学分数没超过130分，理综分数也没超过220分，就报复旦．人的一生中会遇到很多选择，依据自身条件作出适合自已的选择是人生不可回避的问题．

考点42 对数函数的单调性与特殊点
对数函数的性质
（1）对数函数的图象都经过点（1,0），且图象都在第一、四象限．
（2）当01时函数为增函数，图象向下无限接近y轴．
【例】函数f（x）＝3loga（2x－7）－3（a>0，且a≠1）的图象经过定点P，则点P的坐标为________．
【答案】（3，－3）
【解析】令2x－7＝1，得x＝3．又f（3）＝3loga1－3＝－3，所以f（x）的图象经过定点P（3，－3）．
【解题技巧】在求解定点时，用换元的思想，令对数的真数为1，求解y的值即得．
1．下列区间中，函数在其上为减函数的是．
A．（－∞，1]B．C．D．
【答案】D
2．函数f（x）＝log5（2x＋1）的单调增区间是________．
【答案】
【解析】由2x＋1>0得，函数f（x）的定义域为，
令t＝2x＋1（t>0），则y＝log5t．
∵y＝log5t在（0，＋∞）上为增函数，t＝2x＋1在上为增函数，
∴函数y＝log5（2x＋1）的单调增区间是．
3．函数的单调递增区间是
A． B．（0,1]
C．（0，＋∞） D．[1，＋∞）
【答案】D
【解析】f（x）的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞）．
【易错易混】确定单调区间，还要考虑到函数自身的定义域．
4．下列区间中，函数f（x）＝|ln（2－x）|在其上为增函数的是
A．（－∞，1] B．
C． D．[1,2）
【答案】D
5．已知f（x）＝loga|x－1|在（0,1）上递减，那么f（x）在（1，＋∞）上
A．递增无最大值B．递减无最小值C．递增有最大值D．递减有最小值【答案】C
【解析】设u＝|x－1|，则y＝logau．
∵当x∈（0,1）时，u＝|x－1|为减函数，∴由f（x）＝loga|x－1|在（0,1）上递减可得，a>1．
∵x∈（1，＋∞）时，u＝x－1为增函数，且无最大值，
∴f（x）＝loga（x－1）在（1，＋∞）上为增函数，且无最大值．
【易错易混】对a分a>1和06．已知函数f（x）＝lg（x＋1），解关于x的不等式0【解析】由得－1由0因为x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10x＋10，解得－由得－故原不等式的解集为．
1．函数关于原点对称的函数
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设P（x，y）为上任意一点，则P关于x轴的对称点为A（–x，–y）,点A在上，故有，所以，故选B。
2．设函数f（x）＝ln（1＋x）－ln（1－x），则f（x）是
A．奇函数，且在（0,1）上是增函数B．奇函数，且在（0,1）上是减函数
C．偶函数，且在（0,1）上是增函数D．偶函数，且在（0,1）上是减函数
【答案】A
3．函数的单调递增区间为
A．（0，＋∞） B．（－∞，0）
C．（2，＋∞） D．（－∞，－2）
【答案】D
【解析】首先由得函数的定义域为（－∞，－2）（2，＋∞）；再令，则在（0，＋∞）是减函数，又因为在（－∞，－2）上是减函数；由复合函数的单调性可知：函数的单调递增区间为（－∞，－2）；故选D．
4．已知y＝loga（2－ax）在[0,1]上是x的减函数，求a的取值范围．
【答案】0排兵布阵
2013年乒乓球世界杯男子团体赛中，中国队以全胜的战绩取得了五连冠．在赛后谈到男子团体赛决赛对中华台北队的排兵布阵时，中国乒乓球队总教练刘国梁说了他当时的思路：1．预测中华台北队队员的出场顺序；2．根据中华台北队的出场顺序，安排许昕对阵庄智渊；3．张继科在前两场中出场；4．马龙与许昕配对进行双打比赛，结果中国队以3：1战胜中华台北队，夺得男子团体赛冠军．如果你是中国队总教练，你会怎样排兵布阵呢？
考点43 对数函数的值域与最值
对数函数的值域为R,求对数函数的最值要注意定义域和单调性．
【例】函数f（x）＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0，1]，则b－a的最小值为．
【答案】
【解析】当f（x）＝0时，x＝1，当f（x）＝1时，x＝3或，故要使值域为[0，1]，b－a的最小值为1－＝．
【解题指南】先画出f（x）＝|log3x|的图象，数形结合求解b－a的最小值．
1．函数在区间上的最小值是
A． B．0
C．1 D．2
【答案】B
2．函数f（x）＝log2（3x＋1）的值域为
A．（0，＋∞） B．[0，＋∞）
C．（1，＋∞） D．[1，＋∞）
【答案】A
【解析】∵3x>0，∴3x＋1>1，又∵2>1，
∴f（x）＝log2（3x＋1）>log21＝0，即f（x）>0．故选A．
【易错易混】要注意3x的取值范围，利用复合函数的单调性确定值域．
3．已知函数f（x）＝的值域为[－1,1]，则函数f（x）的定义域是．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知得，－≤≤，即≤x≤．故选A．
【解题技巧】根据单调性，根据值域逆向求函数的定义域．
4．已知，则f（x）的最小值为
A．–2 B．–3
C．–4 D．0
5．函数f（x）=log2x在区间[a，2a]上的最大值是最小值的2倍，则a等于
A． B．
C． D．2
【答案】D
【解析】∵2>1，∴f（x）=log2x是增函数．
∴2log2a=log22a，∴loga2=1，∴a=2，故选D．
6．求函数f（x）＝log（x2＋2x＋3）的值域．
【解析】∵x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2≥2，
∴定义域为R．
∴f（x）≤log2＝－1，
∴值域为（－∞，－1]．
1．若f（x）是对数函数且f（9）=2，当x∈[1，3]时，f（x）的值域是_________．
【答案】[0，1]
【解析】设f（x）=logax，因为loga9=2，所以a=3，即f（x）=lox，又因为x∈[1，3]，所以0≤f（x）≤1．
2．函数的最大值为_________．
【答案】2
3．函数的最小值为_________．
【答案】
【解析】
所以，当，即时，取得最小值．
4．已知函数f（x）=loga（ax–）（a>0，a≠1为常数）．
（1）求函数f（x）的定义域．
（2）若a=2，x∈[1，9]，求函数f（x）的值域．
【答案】（1）；（2）[0，log215]
（2）a=2时，f（x）=log2（2x–），令2x–=t，则
t=2x–=2–，
因为x∈[1，9]，所以t∈[1，15]，
所以log21≤log2（2x–）≤log215，
即0≤f（x）≤log215，
所以函数f（x）的值域为[0，log215]．
地震震级
图中表示地震的震级的图象，像不像对数函数的图象？
考点44 对数函数的图象与性质
对数函数的图象
0a>1
（1）对数函数的图象都经过点（1,0），且图象都在第一、四象限．
（2）当01时，图象向下无限接近y轴．
（3）对于相同的a（a>0且a≠1）,函数与的图象关于x轴对称．
【例】若函数（a>0，a≠1）是定义域为R的增函数，则函数f（x）＝loga（x＋1）的图像大致是
【易错易混】>1转化为01．函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象大致是
【答案】A
【解析】由于函数f（x）＝ln（x2＋1）的定义域为R，则可排除选项B；又该函数是偶函数，则可排除选项C；而当x＝0时，f（0）＝ln（02＋1）＝0，则满足条件的只能是选项A中的图象．
2．若点（a，b）在y＝lgx图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是
A． B．（10a，1－b）
C． D．（a2，2b）
【答案】D
3．函数f（x）＝lnx的图象与函数g（x）＝x2－4x＋4的图象的交点个数为
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【解析】函数f（x）＝lnx，g（x）＝x2－4x＋4＝（x－2）2的图象如图所示．
由图象知f（x）与g（x）的图象有2个交点，故选C．能正确作图是解析本题的关键．
【解题技巧】（1）对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）时，常利用数形结合思想；（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
4．已知lga+lgb=0,则函数f（x）=ax与函数g（x）=–logbx的图象可能是
【易错易混】如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．
5．与函数y＝（）x的图象关于直线y＝x对称的函数是
A．y＝4x B．y＝4－x
C．y＝logx D．y＝log4x
【答案】C
【解析】作出图象观察可知函数y＝（）x的图象与y＝logx的图象关于直线y＝x对称．
6．已知f（x）＝是R上的增函数，求a的取值范围．
【解析】f（x）是R上的增函数，则当x≥1时，y＝logax是增函数，
∴a>1．
又当x<1时，函数y＝（6－a）x－4a是增函数．
∴6－a>0，∴a<6．
又（6－a）×1－4a≤loga1，得a≥．
∴≤a<6．
1．当a>1时，函数y=logax和y=（1－a）x的图象只可能是
【答案】B
【解析】当a>1时，函数y=logax在上单调递增，排除选项C,D；当a>1时，1－a<0，函数y=（1－a）x在R上单调递减，故选B．
2．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1（x）＝2log2（x＋1），f2（x）＝log2（x＋2），f3（x）＝log2x2，f4（x）＝log2（2x），则“同形”函数是
A．f2（x）与f4（x） B．f1（x）与f3（x）
C．f1（x）与f4（x） D．f3（x）与f4（x）
【答案】A
3．函数y=x+a与的图象可能是_______．
【答案】③
【解析】当a>1时，函数y=logax在上单调递增，函数y=x+a与y轴的交点在y轴的正方向，排除②④；
当04．已知f（x）＝log2（x＋1），当点（x，y）在函数y＝f（x）的图象上时，点在函数y＝g（x）的图象上．
（1）写出y＝g（x）的解析式．（2）求方程f（x）－g（x）＝0的根．
【答案】（1）g（x）＝log2（3x＋1）；（2）x＝0或x＝1
对数函数性质助记口诀
对数增减有思路，函数图象看底数，
底数只能大于0，等于1来也不行，
底数若是大于1，图象从下往上增；
底数0到1之间，图象从上往下减．
无论函数增和减，图象都过（1，0）点．
考点45 反函数
反函数
（1）对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）和指数函数y＝ax互为反函数．
（2）互为反函数的主要性质：
A．定义域,值域互换；
B．若点在原函数的图像上,则在其反函数的图像上；
C．图像关于对称．
【例】已知函数f（x）是函数y=logax（a>0且a≠1）的反函数，则函数y=f（x）+2图象恒过点的坐标为
A．（1，0） B．（0，1）
C．（1，2） D．（0，3）
【答案】D
1．已知函数f（x）与函数g（x）＝ex互为反函数，则
A．f（x）＝lgx（x∈R）B．f（x）＝lgx（x>0）
C．f（x）＝lnx（x∈R）D．f（x）＝lnx（x>0）
【答案】D
【解析】∵g（x）＝ex的反函数为y＝lnx（x>0），故选D．
2．与函数y＝（）x的图象关于直线y＝x对称的函数是
A．y＝4x B．y＝4－x
C．y＝logx D．y＝log4x
【答案】C
【解析】作出图象观察可知函数y＝（）x的图象与y＝logx的图象关于直线y＝x对称，互为反函数
3．函数y＝（0．2）－x＋1的反函数是
A．y＝log5x＋1 B．y＝logx5＋1
C．y＝log5（x－1） D．y＝log5x－1
【答案】C
【解析】由y＝（0．2）－x＋1，可得x＝（0．2）－y＋1，
故选C.
【解题技巧】将x,y互换，用x表示y，注意函数的定义域．
4．已知a>0,且a1,f（x）=logax,g（x）=ax那么，下列四个命题中假命题是
A．f（x）与g（x）有相同的单调性
B．f（x）与g（x）有相同的定义域和相同的值域
C．f（x）与g（x）有相同的奇偶性
D．若f（x）与g（x）的图象有交点，则交点在直线y=x上
【答案】B
【易错易混】互为反函数的定义域与值域互换，注意区别。
5．若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a>0，且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）等于
A． B．log2x
C． D．x2
【答案】A
【解析】函数y＝f（x）是函数y＝ax（a>0，且a≠1）的反函数，，图象经过点（，a），，，所以，故选A．
【解题技巧】解这类题有两个方法：
（1）直接求反函数，代入求值。
利用原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域
1．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则
A． B．
C． D．
【答案】D
2．若f（x）是对数函数且f（9）=2，当x∈[1，3]时，f（x）的值域是．
【答案】[0，1]
【解析】设f（x）=logax，因为loga9=2，所以a=3，即f（x）=lox，又因为x∈[1，3]，所以0≤f（x）≤1．
3．若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a>0，且a≠1）的反函数，且f（2）＝1，则f（x）＝
A． B．2x－2
C． D．log2x
【答案】D
【解析】函数y＝ax（a>0，且a≠1）的反函数是f（x）＝logax，又f（2）＝1，即loga2＝1，
所以a＝2，故f（x）＝log2，故选D．
4．求函数=（≥－1）的反函数．
【答案】（）
【解析】由原函数求出关于的关系式，再、对换，原函数的值域是反函数的定义域。因此，
将=两边平方，得，即。将、对换，得．
又函数=的值域为，所以的定义域为．故选A．
农夫过河
一名农夫要将一只狼、一只羊和一袋白菜运到河对岸，但农夫的船很小，每次只能载下农夫本人和狼及羊、或者农夫与白菜．但他不能把羊和白菜留在岸边，因为羊会吃掉白菜；也不能把狼和羊留在岸边，因为狼会吃掉羊．那么，农夫如何将这三样东西送过河呢？

考点46 对数函数的综合题
对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以基本函数的单调性为主，结合复合函数单调性判断法则，在函数定义域限制之下讨论．
【例】已知函数f（x）＝2＋log2x，x∈[1,2]，则函数y＝f（x）＋f（x2）的值域为
A．[4,5] B．[4，]
C．[4，] D．[4,7]
【答案】B
【解题技巧】（1）要使函数有意义，需每一个真数都大于零．
（2）将函数式化简，转化成复合函数，利用其单调性求解．
1．已知定义在R上的奇函数f（x），当x>0时，f（x）＝log2（2x＋1），则f等于
A．log23 B．log25
C．1 D．－1
【答案】D
【解析】依题意得f＝－f＝－log2＝－1，故选D．
2．已知a＝3，b＝log，c＝log2，则
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．b>a>c
【答案】A
【解析】因为3>1,0b>c，故选A．
【解题技巧】比较大小的方法
（1）图象法：比较形如，，即底数不同真数相同的对数的大小，可在同一坐标系下分别作出与的图象以及直线，根据图象分布规律，观察交点的高低来比较大小．
（2）中间量法：若两个对数的底数与真数都不相同，则需借助中间量间接的比较两对数的大小，常用的中间量有0，1，等．
3．若01的解是
A．x>a B．aC．x>1 D．0【答案】B
【解析】易得04．函数f（x）＝2|log2x|的图像大致是
5．若0A．增函数且f（x）>0 B．增函数且f（x）<0
C．减函数且f（x）>0 D．减函数且f（x）<0
【答案】D
【解析】∵01，又0【解题技巧】解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质：
（1）要分清函数的底数是a∈（0,1），还是a∈（1，＋∞）；
（2）确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；
（3）如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．
6．已知f（x）＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f（x）]2＋f（x2）的最大值及y取得最大值时的x的值．
1．设logbN1，且a＋b＝1，则必有
A．1C．1【答案】B
【解析】∵0>logaN>logbN?logNb>logNa，∴a2．已知函数f（x）＝且关于x的方程f（x）＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
【答案】a>1
【解析】如图，在同一坐标系中分别作出y＝f（x）与y＝－x＋a的图像，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．
3．若函数f（x）＝（a>0，且a≠1）的值域是[4，＋∞），则实数a的取值范围是________．
【答案】（1，2]
【解析】由题意f（x）的图象如图，则
∴14．已知函数f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x），a>0且a≠1．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）当a>1时，求使f（x）>0的x的取值范围．
【答案】（1）{x|－1（3）由f（x）>0，得loga（x＋1）－loga（1－x）>0．
猴子吃桃
猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个．第二天早上又将剩下的桃子吃了一半，又多吃了一个，以后每天早上都吃剩下的一半多一个，到第十天早上想吃时，发现只剩下一个桃子了，那么第一天猴子共摘了多少个桃子？