专题09 函数与方程-庖丁解题2018-2019学年高一数学人教版（必修1） Word版含解析

考点53
函数的零点
考点54
零点个数的判定
考点55
二分法
考点56
一元二次方程根的分布
考点57
用二分法求近似解
考点58
分段函数的的应用
考点59
一次函数、二次函数的应用
考点60
函数模型的选择与应用
考点53 函数的零点

1．函数的零点
对于函数y＝f（x），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．
2．方程、函数、函数图象之间的关系
方程f（x）＝0有实数根?函数y＝f（x）的图象与x轴有交点?函数y＝f（x）有零点．
3．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

【例】求函数f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2的零点个数．
【解析】解法一：∵f（0）＝1＋0－2＝－1<0，f（2）＝4＋lg3－2>0，由零点存在性定理，f（x）在（0,2）上存在实根又f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2在（0，＋∞）为增函数，故f（x）有且只有一个零点．
解法二：（数形结合）在同一坐标系中作出g（x）＝2－2x和h（x）＝lg（x＋1）的图象（如图所示），由图象可知有且只有一个交点，即函数f（x）有且只有一个零点．

1．下列函数没有零点的是
A．f（x）＝0 B．f（x）＝2
C．f（x）＝x2－1 D．f（x）＝x－
【答案】B
【解析】函数f（x）＝2，不能满足方程f（x）＝0，因此没有零点．
2．若y＝f（x）在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是
A．若f（a）·f（b）<0，不存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0
B．若f（a）·f（b）<0，存在且只存在一个实数c∈（a，b），使得f（c）＝0
C．若f（a）·f（b）>0，不存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0
D．若f（a）·f（b）>0，有可能存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0
【答案】D
【解析】由零点存在性定理可知选项A不正确；
对于选项B，可通过反例“f（x）＝x（x－1）（x＋1）在区间[－2，2]上满足f（－2）·f（2）<0，但其存在三个零点：－1，0，1”推翻；选项C可通过反例“f（x）＝（x－1）·（x＋1）在区间[－2,2]上满足f（－2）·f（2）>0，但其存在两个零点：－1，1”推翻．
【解题技巧】确定函数f（x）的零点所在区间的常用方法
（1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）<0．若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点．
（2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
3．下列图象表示的函数中没有零点的是．
【答案】A
【解析】B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．
4．根据表格中的数据，可以断定函数f（x）＝ex－x－2的一个零点所在的区间是．
x
－1
0
1
2
3
ex
0．37
1
2．72
7．39
20．09
x＋2
1
2
3
4
5
A．（－1，0） B．（0，1）
C．（1，2） D．（2，3）
【答案】C
【思路归纳】确定函数的零点（方程的根）是否在区间（a,b）时，通常利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号．（1）先求f（a），f（b）；（2）判断f（a）f（b）的符号；（3）若f（a）f（b）<0,则零点在区间内，否则，不在区间内。
5．函数f（x）=ax2+2ax+c（a≠0）的一个零点是–3，则它的另一个零点是
A．–1 B．1
C．–2 D．2
【答案】B
【解析】设另一个零点是x，由根与系数的关系得–3+x=–=–2，所以x=1．即另一个零点是1，故选B．
【易错易混】利用根与系数的关系，一定要注意符号的变化．
6．已知是函数的一个零点．若，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B

1．函数f（x）＝lnx－的零点所在的大致区间是
A．（0，1） B．（1，2）
C．（2，e） D．（3，4）
【答案】C
【解析】f（2）＝ln2－＝ln2－1<0，f（e）＝lne－＝1－>0，f（2）·f（e）<0，故选C．
2．已知函数f（x）＝－log2x．在下列区间中，包含f（x）零点的区间是
A．（0,1） B．（1,2）
C．（2,4） D．（4，＋∞）
【答案】C
【解析】因为f（1）＝6－log21＝6>0，f（2）＝3－log22＝2>0，f（4）＝－log24＝－<0，
所以函数f（x）的零点所在区间为（2，4），故选C．
3．已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）对应值表
x
1
2
3
4
5
6
7
f（x）
136．136
15．552
－3．92
10．88
－52．488
－232．064
11．238
由表可知函数f（x）存在零点的区间有
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】∵f（2）f（3）<0，f（3）f（4）<0，f（4）f（5）<0，f（6）f（7）<0，∴共有4个零点．
4．求下列函数的零点．
（1）y＝－x2＋x＋6；
（2）y＝（x2－2）（x2－3x＋2）．
【答案】（1）－2,3；（2）－，，1,2．

足球比赛的跌宕起伏
据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲,再到大喜的过程（领先则喜，落后即悲）．
请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段?
答案是三次:（1）开场;（2）由领先到落后必经过“比分相同”时段;（3）由落后到领先必经过“平分”时段．
考点54 零点个数的判定

要确定零点个数要注意函数零点、方程的根、不等式解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意函数的定义域．

【例】函数f（x）＝x2－2x的零点个数．
A．3 B．2
C．1 D．0
【答案】A
【解析】由y＝x2与y＝2x的图象知零点个数为3个，故选A．
【解题技巧】将函数零点问题转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．

1．方程0．9x－x＝0的实数解的个数是
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】设f（x）＝0．9x－x，则f（x）为减函数，值域为R，故有1个．
2．已知f（x）是定义域为R的奇函数，且在（0，＋∞）内的零点有1003个，则f（x）的零点的个数为
A．1003 B．1004
C．2006 D．2007
【答案】D
3．函数f（x）=的零点是．
【答案】–2
【解析】本题易认为函数的零点有两个，即由x2–4=0求出x=±2，事实上x=2不在函数的定义域内．
【易错易混】解答本题易误认为x=2也是函数f（x）的零点，导致出现这种错误的原因是忽略了函数f（x）的定义域．
4．函数f（x）＝的零点个数为
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【解析】依题意，在考虑x>0时可以画出y＝lnx与y＝x2－2x的图像，可知两个函数的图像有两个交点，当x≤0时，函数f（x）＝2x＋1与x轴只有一个交点，所以函数f（x）有3个零点．故选D．
【解题技巧】判定函数零点个数的方法：
①一元n次方程根的个数的问题，一般采用分解因式法来解决．
②一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．
③指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题，一般用图象法来解决．
④利用函数的单调性判断函数零点的个数
5．函数g（x）=x2+a存在零点，则a的取值范围是
A．a>0 B．a≤0
C．a≥0 D．a<0
【答案】B
【解析】函数g（x）=x2+a存在零点，则x2=–a有解，所以a≤0．
6．已知函数f（x）＝4x＋m·2x＋1仅有一个零点，求m的取值范围，并求出零点．

1．函数f（x）=x2（x–1）（x+1）的零点个数是
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】令f（x）=0得x2（x–1）（x+1）=0得x=0或x=1或x=–1，故f（x）有3个零点．
2．函数f（x）＝的零点个数为________．
【答案】2
【解析】当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－；当x>0时，f（x）＝2x－6＋lnx，
因为f′（x）＝2＋>0，所以函数f（x）＝2x－6＋lnx在（0，＋∞）上单调递增，
因为f（1）＝2－6＋ln1＝－4<0，f（3）＝ln3>0，
所以函数f（x）＝2x－6＋lnx在（0，＋∞）上有且只有一个零点．
综上所述，函数f（x）的零点个数为2．
3．已知函数f（x）＝其中m>0．若存在实数b，使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
【答案】（3，＋∞）
【解析】如图，
当x≤m时，f（x）＝|x|．
当x>m时，f（x）＝x2－2mx＋4m，在（m，＋∞）为增函数．
若存在实数b，使方程f（x）＝b有三个不同的根，
则m2－2m·m＋4m<|m|．
∵m>0，
∴m2－3m>0，解得m>3．
4．已知函数f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2，求：
（1）函数f（x）的定义域；
（2）证明函数f（x）在定义域内为增函数；
（3）求函数f（x）的零点所在的大致区间，并求出零点的个数．
【答案】（1）（－1，＋∞）；（2）证明见解析；（3）（0,1），1
（3）因为f（0）＝－1，f（1）＝lg2>0，
所以f（0）f（1）<0．
所以函数f（x）的零点所在的区间为（0,1），
又因为函数f（x）在定义域内为增函数，
所以函数f（x）的零点只有一个．

上山下山
John是一个登山爱好者．星期一早晨7点他从山脚出发，沿着小路登上了山顶，到达山顶正好是晚上7点．他于第二天早上七点沿原路返回，晚上七点到达山脚．
在山脚他遇到了好朋友Tom，Tom对他说：你昨天上山和今天下山时，一定有同一时刻处在同一地点．John反驳道：“不可能，我中途还吃了零食，休息了片刻，和上山的速度根本不一样．”Tom说：“你错了．仔细想想，一定是存在这一时刻的．”
你想出来了吗？

考点55 二分法

二分法的概念:对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．

【例】用二分法求函数f（x）在（a，b）内的唯一零点时，精确度为0．001，则结束计算的条件是
A．|a－b|<0．1 B．|a－b|<0．001
C．|a－b|>0．001 D．|a－b|＝0．001
【答案】B
【解析】据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．
【思路归纳】这类题的步骤简记如下：（1）定区间，（2）找中点，（3）中值计算两边看；（4）同号去，异号算，零点落在异号间；（5）周而复始怎么办？精确度上来判断．

1．下列关于函数f（x），x∈[a，b]的命题中，正确的是
A．若x0∈[a，b]且满足f（x0）＝0，则x0是f（x）的一个零点
B．若x0是f（x）在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f（x）的零点是方程f（x）＝0的根，但f（x）＝0的根不一定是函数f（x）的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
【答案】A
【易错易混】函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点，才能将区一分为二，逐步得到零点的近似值，否则不能用二分法求函数零点．
2．用二分法求函数零点时，所求到的零点
A．一定是近似值 B．一定不是近似值
C．一定不是准确值 D．可以是准确值
【答案】D．
【解析】由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值．
【易错易混】函数的零点可能是准确值，也可能是近似值．只要满足，区间（a，b）内的任意任意一个实数都是近似解．
3．已知函数f（x）的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为
A．4，4 B．3，4
C．5，4 D．4，3
【答案】D．
4．用二分法研究函数y＝f（x）＝ex－3x的零点时，第一次经计算f（1）<0，f（2）>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次计算________．以上横线应填的内容为
A．（1，2）f（1．5） B．（1，3）f（1．5）
C．（1，2）f（1．25） D．（1，3）f（1．25）
【答案】A
【解析】∵f（1）<0，f（2）>0，
∴f（1）f（2）<0，应取区间（1，2），区间（1，2）的中点为1．5，选A项．
5．在用“二分法”求函数f（x）零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是
A．[1，4] B．[－2，1]
C．[－2，] D．[－，1]
【答案】D
【解析】∵第一次所取的区间是[－2，4]，
∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，
∴第三次所取的区间可能为，，，．
6．一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处焊口脱落，若采用“二分法”的思想，至多需要检测的次数是多少？

1．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是
①y＝3x2－2x＋5；②y＝；
③y＝＋1；④y＝x3－2x＋3；⑤y＝x2＋4x＋8．
A．①②③ B．⑤
C．①⑤ D．①④
【答案】B
【解析】⑤y＝x2＋4x＋8中Δ＝0，不满足f（a）·f（b）<0．
2．设f（x）＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈（1,2）内近似解的过程中得f（1）<0，f（1．5）>0，f（1．25）<0，则方程的根落在区间
A．（1，1．25） B．（1．25，1．5）
C．（1．5，2） D．不能确定
【答案】B
【解析】由已知f（1）<0，f（1．5）>0，f（1．25）<0，
∴f（1．25）·f（1．5）<0，因此方程的根落在区间（1．25,1．5）内，故选B．
3．用二分法求函数y=f（x）在区间[2，4]上零点的近似值，经验证有f（2）·f（4）<0．取区间的中点x1==3，计算得f（2）·f（x1）<0，则此时零点x0∈________（填区间）．
【答案】（2，3）
【解析】因为f（2）·f（3）<0，所以零点在区间（2，3）内．
4．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间（2,4）上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个含有根的区间是________．
【答案】（2,3）

在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
【解析】设闸门和指挥部所在处为A，B，首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段的中点D去查，发现BD段正常中，断定故障在CD段，再到CD段的中点E去查，这样每查一次，就可以把待查线路长度缩减为一半，故经过7次查找，就可以将故障发生的范围缩小到50～100m左右，即一两根电线杆附近．

考点56 一元二次方程根的分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系．比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧．

【例】函数f（x）＝x2＋2x，若f（x）>a在区间[1,3]上满足：①恒有解，则a的取值范围为________；②恒成立，则a的取值范围为________．
【答案】a<15a<3
【解题技巧】求解有关二次函数零点的问题，从以下几个方面考虑：（1）考虑抛物线的开口方向；（2）对称轴的位置；（3）区间端点的符号；（4）与y轴交点的位置。列出满足条件的不等式组，求出参数的取值范围．

1．函数f（x）＝x2＋4x＋a没有零点，则实数a的取值范围是
A．a<4 B．a>4
C．a4 D．a4
【答案】B．
【解析】Δ＝16－4a<0，∴a>4．故选B．
2．已知函数f（x）=x2+x+c，若f（0）>0，f（p）<0，则必有
A．f（p+1）>0 B．f（p+1）<0
C．f（p+1）=0 D．f（p+1）的符号不能确定
【答案】A
【解析】由f（0）>0得c>0．∵函数f（x）=x2+x+c图象的对称轴是，∴–10，故选A．
3．设函数，若，时，有，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
【易错易混】当二次函数的对称轴不确定时，应分类讨论，分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、中、右三种情况．题中根据单调性，可确定是其中一种情况．
4．方程的两根为，，且，，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵，，∴，
又且在上增函数，∴，即．
【易错易混】解题时，把看做自变量，构造出“对勾”函数，是解题的关键．
5．已知f（x）＝（x－a）（x－b）－2，并且α，β是函数f（x）的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是
A．a<αC．α【答案】C
【解析】∵α，β是函数f（x）的两个零点，∴f（α）＝f（β）＝0．
又f（x）＝（x－a）（x－b）－2，∴f（a）＝f（b）＝－2<0．
结合二次函数f（x）的图象，如图所示，可知，a，b必在α，β之间，只有C满足．
6．关于x的方程2x2－3x＋2m＝0有两实根均在[－1,1]内，求m的取值范围．
【解析】原方程可化为2m=–2x2+3x，该方程的根即为y=2m和y=–2x2+3x图象的交点的横坐标，
y=–2x2+3x=，x∈[–1，1]
做出该函数的图象如下：
当直线y=2m介于直线y=1和y=之间时，有两个交点，
即1≤2m≤时符合题意，
解得．

1．设函数f（x）＝x2＋x＋a（a>0），已知f（m）<0，则
A．f（m＋1）≥0 B．f（m＋1）≤0
C．f（m＋1）>0 D．f（m＋1）<0
【答案】C
【解析】∵f（x）的对称轴为x＝－，f（0）＝a>0，
∴f（x）的大致图象如图所示．
由f（m）<0，得－10，∴f（m＋1）>f（0）>0．
2．若函数f（x）＝x2－2x＋a有两个零点，则实数a的取值范围是
A．a<1 B．a>1
C．a≤1 D．a≥1
【答案】A
【解析】∵函数f（x）＝x2－2x＋a有两个零点；则方程x2－2x＋a＝0有两个不相等实数根，
即Δ＝（－2）2－4a>0，解得a<1．
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分别位于原点两侧，则a，b，c的取值范围是
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b<0，c>0 D．a<0，b>0，c<0
【答案】B
4．已知f（x）＝2（m＋1）x2＋4mx＋2m－1．
（1）m为何值时，函数有两个零点？
（2）如果函数的两个零点在原点左、右两侧，求实数m的取值范围．
【答案】（1）m<1且m≠－1；（2）．
【解析】（1）由题意，知，
解得m<1且m≠－1．
（2）根据二次函数的图象，函数的两个零点在原点左、右两侧，有两种情况（如图）：开口向上与开口向下．
因此或，解得－1
阿基里斯的故事
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄．在他和乌龟的竞赛中，乌龟在前面跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟．因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到乌龟的的起点时，乌龟已经又向前爬了一定的距离，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟这个新的起点时，乌龟又已经向前爬了一段距离，阿基里斯只能再追向那个更新的起点．就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停的奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！
最后结论：快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当它到达被追者的出发点，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点．
结论显然不对，你觉得错在哪里？
考点57 用二分法求近似解

用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤
（1）确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）<0，给定精确度ε；
（2）求区间（a，b）的中点c；
（3）计算f（c）；
①若f（c）＝0，则c就是函数的零点；
②若f（a）·f（c）<0，则令b＝c（此时零点x0∈（a，c））；
③若f（c）·f（b）<0，则令a＝c（此时零点x0∈（c，b））．
（4）判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复（2）～（4）．

【例】方程2x–1＋x＝5的解所在的区间是
A．（0，1） B．（1，2）
C．（2，3） D．（3，4）
【答案】C
【方法锦囊】（1）构造对应的函数，通过二分法去逼近其近似值．
（2）这一过程既体现了转化的数学思想，又体现了逼近的数学思想，值得我们好好把握．

1．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间（an，bn）内，当|an－bn|<ε时，函数的近似零点与真正的零点的误差不超过
A．ε B．ε
C．2ε D．ε
【答案】A
【解析】最大误差即为区间长度ε．
2．用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算f（0．64）<0，f（0．72）>0，f（0．68）<0，f（0．74）>0，则函数的一个精确度为0．1的正实数零点的近似值为．
A．0．64 B．0．74
C．0．7 D．0．6
【答案】C
【规律总结】用二分法求函数零点应注意的两个问题
（1）求函数的近似零点时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．
（2）求函数零点的近似值时，由于所选取的起始区间不同，最后得到的结果可以不同，但它们都是符合所给定的精确度的．
3．若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f（1）＝－2
f（1．5）＝0．625
f（1．25）≈－0．984
f（1．375）≈－0．260
f（1．4375）≈0．162
f（1．40625）≈－0．054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解（精确到0．1）为
A．1．2 B．1．3
C．1．4 D．1．5
【答案】C
【解析】依据题意，∵f（1．4375）≈0．162，且f（1．40625）≈－0．054，∴方程的一个近似解为1．4，故选C．
4．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：
x
0．2
0．6
1．0
1．4
1．8
2．2
2．6
3．0
3．4
…
y＝2x
1．149
1．516
2．0
2．639
3．482
4．595
6．063
8．0
10．556
…
y＝x2
0．04
0．36
1．0
1．96
3．24
4．84
6．76
9．0
11．56
…
那么方程2x＝x2的一个根所在区间为
A．（0．6，1．0） B．（1．4，1．8）
C．（1．8，2．2） D．（2．6，3．0）
【答案】C
5．若函数f（x）=x3–x–1在区间[1，1．5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下
x
1
1．5
1．25
1．375
1．3125
f（x）
–1
0．875
–0．2969
0．2246
–0．05151
那么方程x3–x–1=0的一个近似根（精确度为0．1）为
A．1．3 B．1．3125
C．1．4375 D．1．25
【答案】B
【解析】由于f（1．375）>0，f（1．3125）<0，且1．375–1．3125<0．1，故选B．
【易错易混】解答本题易出现选A的错误，导致出现这种错误的原因是对精确度的概念理解不清所致，精确度为0．1并不是让近似根保留1位小数，而是区间的右端点减去左端点的值的绝对值小于0．1．

1．下列是关于函数y=f（x），x∈[a，b]的几种说法：
①若x0∈[a，b]且满足f（x0）=0，则（x0，0）是f（x）的一个零点；
②若x0是f（x）在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f（x）的零点是方程f（x）=0的根，但f（x）=0的根不一定是函数f（x）的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
那么以上叙述中，正确的个数为
A．0 B．1
C．3 D．4
【答案】A
2．已知函数f（x）＝－log2x．在下列区间中，包含f（x）零点的区间是
A．（0,1） B．（1,2）
C．（2,4） D．（4，＋∞）
【答案】C
【解析】因为f（1）＝6－log21＝6>0，f（2）＝3－log22＝2>0，f（4）＝－log24＝－<0，
所以函数f（x）的零点所在区间为（2，4），故选C．
3．已知图象连续不断的函数y=f（x）在区间（0，0．1）上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度为0．01）的近似值，则应将区间（0，0．1）等分的次数至少为
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】B
【解析】由<0．01，得2n>10，所以n的最小值为4，故选B．
4．设函数与的图像的交点为，则所在的区间是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数与的图像的交点的横坐标就是函数的零点，
，，，由函数零点存在定理，得函数
的零点在，，故答案为B．
7．求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解．（精确度0．1）
【解析】设f（x）＝2x3＋3x－3，∵f（0）＝－3<0，f（1）＝2>0，∴函数在（0,1）内存在零点，即方程在（0,1）内有实数解，取（0,1）作为初始区间，利用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
（0,1）
0．5
f（0．5）<0
（0．5,1）
0．75
f（0．75）>0
（0．5,0．75）
0．625
f（0．625）<0
（0．625,0．75）
0．6875
f（0．6875）<0
（0．6875,0．75）
由于|0．6875－0．75|＝0．0625<0．1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解可取为0．75．

二分法在实际生活中的应用
常见的生活实例
1．有多个节点的输电线路的故障检测；
2．表演猜数字魔术；
3．疑似病毒感染体的快速排查；
4．几百杯的白水中，有一杯是咸的，如何快速找出哪杯咸水．
诸如此类的事件一般都可使用二分法来做．
现在以第三个为例简单说明操作过程：
操作前皆取样本且编号
一：混合所有样本血样，检验之，若无病毒特征，则所有被检者健康；
二：若第一步检出有病毒特征，则说明至少有一位携带病毒；
三：将样本均分为两组（均分与否其实皆可），各组分别取样混合，检验之；
重复以上操作．
考点58 分段函数的的应用

现实生活中有很多问题都可以用分段函数表示，如出租车计费、个人所得税等问题，分段函数是解决实际问题的重要模型．分段函数的每一段的自变量变化所遵循的规律不同，可先将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其整合到一起．要注意各段自变量的变化范围，特别是端点值．构造分段函数时，要力求准确简捷，做到分段合理，不重不漏，分段函数问题也是分类讨论问题．

【例】直角梯形OABC中，AB∥OC，AB=1，OC=BC=2，直线l：x=t截该梯形得到的位于l左边图形面积为S，则函数S=f（t）的图象大致为
【答案】C
【解析】由题意可知：
当0当1所以f（t）=
结合不同段上函数的性质，可知选项C符合．
【思路总结】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
（2）验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．

1．某人从甲地去乙地，一开始跑步前进，后来步行，图中横轴表示走的时间，纵轴表示该人距乙地的距离，则较符合该走法的图象是图中的
【答案】D
2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时,然后再以50千米/小时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t（小时）的函数解析式是
A．x＝60t B．x＝150－50t
C．x＝ D．x＝
【答案】D
【解析】显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数．
【解题技巧】分段函数模型的解题关键
（1）分段函数模型是通过对自变量x的分类讨论，将函数的解析式分段表示出来，是生活中常见的函数模型．
（2）建立分段函数模型的关键是确定分段的各部分的界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．
3．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费（不足1千米按1千米计价）；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算（不足1千米按1千米计价）．陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是
A．[5，6） B．（5，6]
C．[6，7） D．（6，7]
【答案】B
【解析】若按x千米（x∈Z）计价，则6＋（x－2）×3＋2×3＝24，得x＝6．故实际行程应属于区间（5，6]．
【易错易混】注意区间端点的值是否取到。
4．拟定从甲地到乙地通话mmin的电话费f（m）＝1．06·（0．50[m]＋1），其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数（如[3]＝3，[3．7]＝4，[5．2]＝6），则从甲地到乙地通话时间为5．5min的通话费为
A．3．71 B．3．97
C．4．24 D．4．77
【答案】C
5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：
y=其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为
A．15 B．40
C．25 D．130
【答案】C
【解析】y=60，若4x=60，则x=15>10，不合题意；
若2x+10=60，则x=25，满足题意．若1．5x=60，则x=40<100，不合题意．故拟录用人数为25．
6．某公司生产一种产品的固定成本为0．5万元，但每生产100件需要增加投入0．25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数
R（x）＝5x－（0≤x≤5）万元，其中x是产品售出的数量（单位：百件）．
（1）把利润表示为年产量的函数f（x）；
（2）年产量为多少时，当年公司所得利润最大？

1．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f（x）＝（A，c为常数）．已知工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是．
A．75，25 B．75，16
C．60，25 D．60，16
【答案】D
【解析】由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60．将c＝60代入＝15，得A＝16．
2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为
A．15 B．40
C．25 D．130
【答案】C
3．如图所示折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系图象，根据图象填空：
（1）通话2分钟，需付电话费元．
（2）如果t≥3，则电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系式为．
【答案】（1）3．6；（2）y=1．2t（t≥3）
【解析】（1）由图象可知，当t≤3时，
电话费都是3．6元．
（2）当t≥3时，y关于t的图象是一条直线，且经过（3，3．6）和（5，6）两点，故设函数关系式为y=kt+b，
则解得
故y关于t的函数关系式为y=1．2t（t≥3）．
4．某市一家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如表所示：
月份
用气量（立方米）
煤气费（元）
1
4
4
2
25
14
3
35
19
该市煤气收费的方法是：
煤气费=基本费+超额费+保险费．
若每月用气量不超过最低额度A（A>4）立方米时，只付基本费3元和每户每月定额保险费C（0（1）根据表格求A，B，C的值．
（2）若用户四月份用气量为30立方米，则应交煤气费多少元？
【答案】（1）5，0．5，1；（2）16．5

某商店迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满100元（可以是现金，也可以是奖励券或二者合计），就送20元奖励券；满200元，就送40元奖励券；满300元，就送60元奖励券……当日花钱最多的一位顾客共花出现金70040元，如果按照酬宾促销方式，他最多能得到优惠?
这位顾客花的70000元可得奖励券700×20＝14000（元），只有这位顾客继续把奖励券消费掉，才能得到最多优惠，当他把14000元奖励券消费掉可得140×20＝2800元奖励券，再消费又可得到28×20＝560（元）奖励券，560元消费再加上先前70040中的40元共消费600元应得奖励券6×20＝120元，120元奖励券消费时又得20元奖励券．∴他总共会得到14000＋2800＋560＋120＋20＝17500（元）优惠．
考点59 一次函数、二次函数的应用

一次函数，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，其解析式中含有k，b两个待定系数，当图象是直线时多用一次函数解决问题．
二次函数是最常使用的函数模型，其解析式中有三个待定系数，a的正负决定着函数的最值，需注意实际问题中自变量的含义．

【例】某汽车销售公司在A、B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：万元）为y1＝4．1x－0．1x2，在B地的销售利润（单位：万元）为y2＝2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在两地共销售16辆这种品牌汽车，则能获得的最大利润是
A．10．5万元 B．11万元
C．43万元 D．43．025万元
【易错易混】因为x是销售量，取不到11．5，因而最大利润不是，而是当或时，有最大利润．

1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0．8元，普通车存车费是每辆一次0．5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是
A．y=0．3x+800（0≤x≤2000，x∈N）
B．y=0．3x+1600（0≤x≤2000，x∈N）
C．y=–0．3x+800（0≤x≤2000，x∈N）
D．y=–0．3x+1600（0≤x≤2000，x∈N）
【答案】D
2．若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（小时）的函数关系用图象表示为
【答案】B
【解析】依题设可知，蜡烛高度h与燃烧时间t之间构成一次函数关系，
又∵函数图象必过点（0,20）、（4,0）两点，且该图象应为一条线段．∴选B．
【思路总结】若构建函数模型比较容易，可先建立函数模型，再结合模型选图象．
3．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t（分钟）与电话费s（元）的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差
A．10元 B．20元
C．30元 D．元
【答案】A
4．用长度为24m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为
A．3m B．4m
C．6m D．12m
【答案】A
【解析】设隔墙的长为xm，矩形面积为S，
则S＝x·＝x·（12－2x）＝－2x2＋12x＝－2（x－3）2＋18，
∴当x＝3时，S有最大值为18．
5．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以
1米/秒2的加速度匀加速开走，那么
A．人可在7秒内追上汽车
B．人可在10秒内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距最少为5米
D．人追不上汽车，其间距最少为7米
【答案】D
【解析】设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝t2，
车与人的间距d＝（s＋25）－6t＝t2－6t＋25＝（t－6）2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7．
【易错易混】注意题中条件是“匀加速开走”而不是“匀速开走”．
6．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【解析】（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为
＝12，
所以这时能租出88辆车．

1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是
A．310元 B．300元
C．290元 D．280元
【答案】B
【解析】由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y=ax+b，将（1，800），（2，1300）代入得a=500，b=300．当销售量x=0时，y=300．
2．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为
A．x=15，y=12 B．x=12，y=15
C．x=14，y=10 D．x=10，y=14
3．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，如果使得每天所赚的利润最大，那么他将销售价每件定为
A．11元 B．12元
C．13元 D．14元
【答案】D
【解析】设销售价每件定为x元，则每件利润为（x–8）元，销售量为[100–10（x–10）]，
根据利润=每件利润×销售量，可得销售利润y=（x–8）?[100–10（x–10）]=–10x2+280x–1600=–10（x–14）2+360，
∴当x=14时，y的最大值为360元，
∴该商人应把销售价格定为每件14元，可使每天销售该商品所赚利润最多．故选D．
4．A，B两城市相距100km，在两地之间距A城市xkm的D处建一垃圾处理厂来解决A，B两城市的生活垃圾和工业垃圾．为保证不影响两城市的环境，垃圾处理厂与市区距离不得少于10km．已知垃圾处理费用和距离的平方与垃圾量之积的和成正比，比例系数为0．25．若A城市每天产生的垃圾量为20t，B城市每天产生的垃圾量为10t．
（1）求x的范围；
（2）把每天的垃圾处理费用y表示成x的函数；
（3）垃圾处理厂建在距A城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最小？
【答案】（1）[10,90]；（2）y＝x2－500x＋25000（10≤x≤90）；（3）km

某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：
①如一次购物不超过200元，不予以折扣；
②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；
③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠．
某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，应付款多少呢
购物付款432元，实际标价为432×＝480元，如果一次购买标价176＋480＝656元的商品应付款500×0．9＋156×0．85＝582．6元．

考点60 函数模型的选择与应用

函数模型
（1）指数函数模型：f（x）＝abx＋c（a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1）；
（2）对数函数模型：f（x）＝mlogax＋n（m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1）；
（3）幂函数模型：f（x）＝axn＋b（a，b，n为常数，a≠0，n≠1）．

【例】某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），则这种细菌由1个繁殖成4096个需经过
A．12小时 B．4小时
C．3小时 D．2小时
【答案】C
【解题技巧】求解所给函数模型解决实际问题的关注点
（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
（3）利用该模型求解实际问题．

1．据你估计，一种商品在销售收入不变的条件下，其销量y与价格x之间的关系图最可能是下图中的．
【答案】C
【解析】销售收入不变，∴xy＝c（定值），∴y＝．
2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车0．3元/辆，普通自行车0．2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为
A．y＝0．2x（0≤x≤4000）
B．y＝0．5x（0≤x≤4000）
C．y＝－0．1x＋1200（0≤x≤4000）
D．y＝0．1x＋1200（0≤x≤4000）
【答案】C
【解析】由题意得y＝0．3（4000－x）＋0．2x＝－0．1x＋1200．
【易错易混】解决实际问题时要注意自变量的取值范围．
3．2011年全球经济开始转暖，据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0．2万，0．4万和0．76万，则该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系近似的是
A．y＝0．2x B．y＝（x2＋2x）
C．y＝ D．y＝0．2＋log16x
【答案】C
【解析】当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C．
【解题技巧】当根据题意不易建立函数模型时，逐一验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
4．今有一组实验数据如下表所示：
t
1．99
3．0
4．0
5．1
6．12
u
1．5
4．04
7．5
12
18．01
则能体现这些数据关系的函数模型是
A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝ D．u＝2t－2
【答案】C
【解析】可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C．
5．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
x
nm2
3
4
5
m6
y
0．97
1．59
1．98
2．35
2．61
A．y＝log2x B．y＝2x
C．y＝（x2－1） D．y＝2．61x
【答案】A
6．九十年代，政府气候变化专业委员会（IPCC）提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，1990年，1991年，1992年大气中的CO2浓度分别比1989年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位．若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y＝a·bx＋c（其中a，b，c为常数），且又知1994年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
【解析】若以f（x）＝px2＋qx＋r作模拟函数，则依题意得：
?
利用f（x），g（x）对1994年CO2浓度作估算，则其数值分别为：f（5）＝15可比单位，g（5）＝17．25可比单位，
∵|f（5）－16|<|g（5）－16|，
故f（x）＝x2＋x作模拟函数与1994年的实际数据较为接近，用f（x）＝x2＋x作模拟函数较好．

1．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是
A．消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多
C．甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/时．相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
【解析】汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”,由此理解A显然不对；B应是甲车耗油最少；C甲车以80千米/小时的速度行驶10km,消耗1升汽油．故D正确．
2．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是
【答案】B
【解析】图象反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．
3．某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A． B．
C． D．－1
4．某工厂的固定成本为3万元,该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元,设生产该产品x（百台）,其总成本为g（x）万元（总成本＝固定成本＋生产成本）,并且销售收入r（x）满足
r（x）＝
假定该产品产销平衡,根据上述统计规律求：
（1）要使工厂有盈利,产品数量x应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？
【答案】（1）大于300台小于1050台；（2）600台
【解析】依题意得g（x）＝x＋3,设利润函数为f（x）,则f（x）＝r（x）－g（x）
所以f（x）＝
（2）当3故当x＝6时,f（x）有最大值4．5．
而当x>7时,f（x）<10．5－7＝3．5．
所以当工厂生产600台产品时盈利最大．

提拔官员
有一个故事是讲唐代大官杨埙提拔官员的经过，他让两个职位相同的候选人解答下面这个问题，谁先答出就提拔谁．“有人在林中散步，无意中听到几个强盗在商量怎样分配抢来的布匹，若每人分6匹，就剩5匹；若每人分7匹，就差8匹，问共有强盗几人？布匹多少？”你能用一个简单算式求出强盗人数和布匹数吗？