第二十二章 二次函数全章导学案

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第1课时 二次函数的概念
【学习目标】
1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2．探索并归纳二次函数的定义；3．能够表示简单变量之间的二次函数关系。
【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。
【课时类型】概念课
【学习过程】
一、学习准备
1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。
2．一次函数的关系式为y= (其中k、b是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y＝ (其中k是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k是 的常数)。
二、解读教材——数学知识源于生活
3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树， 这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y个，那么y= 。
4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。
5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？
一般地，形如y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数。它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。
例1 下列函数中，哪些是二次函数？
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？
(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

三、挖掘教材
6．对二次函数定义的深刻理解及运用
例2 若函数 是二次函数，求k的值。
分析：x的最高次数等于2，即k2-3k+2=2，求出k的值即可。
解：
即时练习：若函数是二次函数，则k的值为 。
四、反思小结
1．我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。
2．定义：一般地，形如y=ax?+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数。
3．二次函数y=ax?+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的几种不同表示形式：
(1) y=ax? (a≠0)； (2) y=ax?+c (a≠0且c≠0)； (3) y=ax?+bx (a≠0且b≠0)。
4．二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_____，且______项系数不为_____的整式。
【达标测评】
1．下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y=(x－1)(x+2) B．y=(x+1)2 C．y=2(x+3)2－2x2 D．y=1－x2
2．在边长为6 cm的正方形中间剪去一个边长为x cm(x<6)的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，则y与x之间的函数关系是 。
3．用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m?)与矩形一边长a(m)之间的关系式是 ，它是 函数。
4．正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，则y与x之间的函数表达式为 。
5．当m= 时，是二次函数；若函数是二次函数，则m= 。
6．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c都是常数）：当a 时，它是二次函数；当a ，b 时，它是一次函数；当a ，b ，c 时，它是正比例函数。
7．若函数y=(k2－4)x2+(k+2)x+3是二次函数，则k 。
第2课时 二次函数y＝ax2的图象与性质
【学习目标】1．能够利用描点法做出函数y＝ax2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2的性质；2．理解二次函数y＝ax2中a对函数图象的影响。
【学习重点】经历探索二次函数y＝ax2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。
【学习难点】能够利用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2的性质。
【学习过程】
一、学习准备
1．正比例函数y=kx(k≠0)是图像是 。
2．一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是 。
3．反比列函数y=(k≠0)的图像是 。
4．当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤是： ， ， 。
二、解读教材
5．试作出二次函数y＝x2的图象。
（1）画出图象：①列表：（注意选择适当的x值，并计算出相应的y值）
x …… ……
y＝x2 …… ……
②描点：（在右图坐标系中描点）
③连线：（应注意用光滑的曲线连接各点）
（2）根据图像，进行小结：
①y＝x2的图像是 ，且开口方向是 。
②它是 对称图像，对称轴是 轴。在对称轴的左侧（x>0）,y随x的增大而 ；在对称轴的右侧（x<0），y随x的增大而 。
③图像与对称轴有交点，称为抛物线的顶点，从图中可以看出也是图像的最低点，
此时，坐标为（ ， ）。
④因为图像有最低点，所以函数有最 值，当x=0时，y最小= 。
6．变式训练1 作出二次函数y＝-x2的图象。
x …… ……
y＝-x2 …… ……
小结：①y＝-x2的图像是 ，且开口向 。
②对称轴是 ，在对称轴左右的增减性分别是：在对称轴左侧，y随x的增大 ，在对称轴的右侧，y随x的增大 。
③顶点坐标是：（ ， ），且从图像看出它有最 点，所以函数有最 值。当x=0时， 。
7．变式训练2 作出y＝2x2 ，y＝0.5x2 的图像。
x
y＝2x2
y=0.5x2
三、挖掘教材
8．根据上面的图象，从图象的开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标、最值等五个方面进行归纳。
表达式 草图 开口 对称轴 顶点 最值 增减性
x>0 x<0
y=ax2(a>0)
y=ax2(a<0)
同时，a决定图象在同一直角坐标系中的开口方向，|a|越小图象开口 。
9．例 已知：抛物线，当x>0时，y随x的增大而增大，求m的值。
10．已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8），（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
四、反思小结
二次函数的y＝ax2（a≠0）的图象与性质：五个方面理解： ， ， ， ， 。
【达标测评】
1．抛物线y=2x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，y随着x的增大而增大；在 侧,y随着x的增大而减小。当x= 时，函数y的值最小,最小值是 。抛物线y=2x2的图象在 方（除顶点外）。
2．函数y＝x2的顶点坐标为 ，若点（a，4）在其图象上，则a的值是 。
3．函数y＝x2与 y＝-x2的图象关于 对称，也可以认为y＝-x2 是函数y＝x2的图象绕 旋转得到的。
4．求出函数y=x+2与函数y＝x2的图象的交点坐标 。
5．若a>1，点（a-1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y＝x2的图象上，判断y1，y2，y3的大小关系是 。
第3课时 二次函数y＝ax2+k的图象与性质
【学习目标】1．会用描点法作出函数y＝ax2+k的图象，能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2+k的性质；
2．理解二次函数y＝ax2+k中a和k对函数图象的影响；
3．理解二次函数y＝ax2与y＝ax2+k的关系。
【学习过程】一、学习准备1．画出两条抛物线的草图并填空。
抛物线 y＝x2 y＝-x2
开口方向
对称轴
增减性 在对称轴左侧， y随x的增大而 。
在对称轴右侧， y随x的增大而 。
顶点坐标
最值 当x=0时，ymax= 。











二、解读教材 2．用描点法作出二次函数y＝2x2+1的图像。
x …… 0 ……
y＝2x2+1 …… ……
小结：①y＝2x2+1的图像是 ，且开口向 。
②对称轴是 ，在对称轴左右的增减性分别是：
在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 。
③顶点是：( ， )，且从图像看它有最 点，则函数y有最 值，即当x= 时y有最 值是 。
3．在同一直角坐标系中，作出二次函数y＝-x2，y＝-x2+2，y＝-x2-2的图像。
x …… ……
y＝-x2 …… ……
y＝-x2+2 …… ……
y＝-x2-2 …… ……






小结：
①抛物线y＝ax2+k的开口方向由 决定，当 时，开口向上；当 时，开口向下。
②对称轴是 ，当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 。 且函数y当x=0时ymin= 。当a<时，在对称轴左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 。且函数y当x=0时ymax= 。
③顶点坐标是（ ， ）。
④y＝-x2的顶点坐标是（ ， ），y＝-x2+2的顶点坐标是（ ， ）所以y＝-x2 向 平移 个单位便可以得到y＝-x2+2。y＝-x2-2的顶点坐标是（ ， ）所以y＝-x2+2向 平移 个单位便可以得到y＝-x2-2。
4．变式训练1二次函数y=x2+3的图像是 线，开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ；当x>0时，y随x的增大而 。当x= 时，y有最 值为 。
三、挖掘教材---抛物线y＝ax2+k可以由抛物线y＝ax2经过向上（k>0）或向下(k<0)平移|k|个单位得到。
5．函数y＝-2x2的图像向下平移3个单位，就得到函数 ；函数y=-4+x2的图像可以看作函数y=x2的图像向 平移 个单位而得到。
6．已知：二次函数y＝ax2+1的图像与反比列函数y=的图像有一个公共点是（-1，-1）。
（1）求二次函数及反比例函数解析式；
（2）在同一坐标系中画出它们的图形，说明x取何值时，二次函数与反比例函数都随x的增大而减小。
四、反思小结：1．填表回忆
函数 草图 开口方向 对称轴 增减性 顶点坐标 最值
y=ax2(a>0)
y=ax2(a<0)
y=ax2+k (a>0)
y=ax2+k (a<0)
2.抛物线y=ax2+k 可以由抛物线y=ax2经过向 （k>0）或向 (k<0)平移 个单位得到。
【达标测评】
1．抛物线y=-x2-5可以看作是抛物线 经过向 平移 个单位得到。
2．抛物线y=x2+4 的开口向 ，对称轴是 ，在对称轴左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ；顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值为 。
3．抛物线y=-3x2上有两点A（x，-27），B（2，y），则x= ，y= 。
4．抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点为（2，b），则k= ，b= 。























第4课时 二次函数y=a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的图象与性质
【学习目标】1．能够作出函数y=a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a，h，k对二次函数图象的影响；
2．能够正确说出二次函数的顶点式y＝a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
【学习重点】能够作出函数y=a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的图象，正确说出y＝a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
【学习过程】
一、学习准备
1．说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况。
（1）y=2x? （2）y=-2x?+1
2．请说出二次函数y=ax?+c与y=ax?的关系。
3．我们已知y=ax?，y=ax?+c的图像及性质，现在同学们可能想探究y=ax?+bx的图像，那我们就动手画图像。
x …… ……
y=x?+x …… ……
列表、描点、连线。
二、解读教材
4．由学习准备可知，我们如果知道一条抛物线的顶点坐标，那么画图像就比较简单，所以我们可以先配成完全平方式结构。现在我们画二次函数y=3(x-1)2+2的图象．在同一直角坐标系中作 y=3x?， y=3(x-1)2 ，y=3(x-1)2+2的图像，并结合图像完成下表。

函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值



观察后得到：二次函数y＝3x2，y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的图象都是抛物线．并且形状相同，开口方向相同，只是位置不同，顶点不同，对称轴不同，将函数y＝3x2的图象向右平移1个单位，就得到函数y=3(x-1)2的图象；再向上平移2个单位，就得到函数y=3(x-1)2+2的图象．
三、挖掘教材
5．抛物线的顶点式y＝a(x-h)2+k
在前面的学习中你发现二次函数y＝a(x-h)2+k中的a，h，k 决定了图形什么？用自己的语言整理得：
同桌交流看是否有遗漏！然后填写下表。
y=a(x-h)2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
a＞0
a＜0
即时练习：直接说出抛物线y=-0.5x?，y=-0.5x?-1，y=-0.5（x+1）?，y=-0.5（x+1）?-1 的开口方向、对称轴、顶点坐标。

6．例 已知：抛物线y=a(x-h)2+k的形状及开口方向与y=-2x2+1相同，当x=2时，函数有最大值3，求a，h，k的值。
即时练习
已知抛物线的顶点坐标是（3，5）且经过点A（2，-5），请你求出此抛物线的解析式。
7.例 二次函数的顶点坐标是 ，把它的图像向右平移2个单位再向下平移2个单位此时得到的抛物线顶点坐标为 ，它的解析式为 。
四、反思小结
1．一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数为y=ax2+c，y＝a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的图象．（规律为：上正下负，右正左负）



2．二次函数的顶点式y＝a(x-h)2+k的图象是轴对称图形，对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k),a决定开口方向和大小， a＞0时，开口向上，有最小值k； a＜0时，开口向下，有最大值k。
【达标测评】
1．指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值。
(1) y=2(x-3)2-5 (2) y=-0.5(x+1)2 (3) y=-0.75x2-1
(4) y=2(x-2)2+5 (5) y=-0.5(x+4)2+2 (6) y=-0.75(x-3)2
2．函数y= x2的图象向 平移 个单位得到y=x2+3的图象；再向 平移 个单位得到y＝(x-1)2+3的图象。
第5课时 二次函数的图象与性质
【学习目标】1．理解用配方法推导二次函数的顶点坐标，对称轴公式的过程；
2．会用公式求二次函数的顶点坐标，对称轴；
3．会画二次函数的图象，理解二次函数的性质。
【学习重点】会用公式求二次函数的顶点坐标，对称轴。
【学习难点】理解用配方法推导公式的过程。
【课时类型】公式法则学习
一、学习准备
1．理解记忆：
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 直线 （h，k）
向下
2．二次函数的顶点坐标是 ，对称轴是 。
二、解读教材
3．公式推导——二次函数图象的顶点坐标，对称轴公式。
由上一节课，我们看到一个二次函数通过配方化成顶点式来研究了二次函数中的a、h、k对二次函数图象的影响。但我觉得，这样的恒等变形运算量较大，而且容易出错。那么这节课，我们就研究一般形式的二次函数图象的作法和性质。
例1 求二次函数图象的顶点坐标，对称轴。
解：
=
=
=
二次函数的顶点坐标是（），对称轴是直线。
4．公式应用——用公式求函数的顶点坐标，对称轴。
(1)分别用配方法，公式法确定下列二次函数的顶点坐标，对称轴并比较其解值。
① ②

5．实际操作——画二次函数的图象
（2）已知：二次函数
①指出函数图象的顶点坐标，对称轴。②画出所给函数的草图，并研究它的性质。
三、挖掘教材——二次函数的性质
6．抛物线（）通过配方可变形为y=
(1)开口方向：当时，开口向 ；当时，开口向 。
(2)对称轴是直线 ；顶点坐标是 。
(3)最大（小）值：当，时，ymin=；
当，时，ymax= 。
(4)增减性：
当时，对称轴左侧（），y随x增大而 ；对称轴右侧（），y随x增大而 ；
当时，对称轴左侧（），y随x增大而 ；对称轴右侧（），y随x增大而 ；
【达标测评】
根据公式法指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标，对称轴、最值和增减性。
① ②


③ ④









第6课时 二次函数与一元二次方程
【学习目标】1．体会二次函数与一元二次方程之间的联系；
2．理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
【学习重点】把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系。
【学习难点】应用一元二次方程根的判别式、求根公式对二次函数及其图象进行进一步的理解，并结合二次函数的图象加以分析以解决一些问题。
【学习过程】
一、学习准备
1．已学二次函数的哪两种表达式？ 2．分解因式：x2-2x-3； 3．解方程：x2 -2x-3=0
二、解读教材
4．一元二次方程的两根x1，x2在哪里？
在坐标系中画出二次函数y= x2 -2x-3的图象，研究抛物线与x轴的交点，你发现了什么？



再找一个一元二次方程和二次函数试一试吧!
5．二次函数的两根式（交点式）
二次函数的另一种表达式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）叫做二次函数的两根式又称交点式。
练习：将下列二次函数化为两根式：
（1）y=x2+2x-15； （2）y= x2+x-2； （3）y=2x2+2x-12；
（4）y=3(x-1)2-3 （5）y=4x2+8x+4； （6）y=-2(x-3)2+8x
三、挖掘教材
6．抛物线与x轴是否有交点？
例 你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数的图象与x轴何时有两个交点，何时一个交点，何时没有交点吗？



即时训练：（1）已知二次函数y=mx2-2x+1的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为 。
（2）抛物线y=x2-(m-4)x-m与x轴的两个交点y轴对称，则其顶点坐标为 。
（3）抛物线y=x2-(a+2)x+9与x轴相切，则a= 。
7．弦长公式：抛物线与x轴的两个交点的距离叫弦长（如下图中的AB）。
例 求抛物线y= x2 -2x-3与x轴两个交点间的距离。
总结：已知抛物线与x轴的交点坐标是A（x1，0）和B（x2，0），
那么抛物线的对称轴x= ，AB=== 。
即时训练：抛物线y=2(x-2)(x＋5)的对称轴为 ，与x轴两个交点的距离为 。
四、反思小结——二次函数与一元二次方程的关系
知识点1．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况 ， ， ，交点横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的 。
知识点2．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴的弦长公式： 。
【达标测评】
1．抛物线y=-9(x-4)(x＋6)与x轴的交点坐标为 。
2．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= 。
3．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 。
4．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
与x轴不相交的抛物线是（ ）
A．y=3x2-4 B．y=-2x2-6 C．y=-x2-6 D．y=-(x+2)2-1
6．已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点。

7．抛物线y=mx2＋(3－2m)x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点。
（1）求m的取值范围； （2）判断点P(1，1)是否在此抛物线上？

8．二次函数y=x2－(m－3)x－m的图象如图所示。
（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？
（2）当m为何值时，方程x2－(m－3)x－m=0的两个根均为负数？
（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积。


第7课时 刷图训练
【学习目标】据二次函数系数a、b、c画出抛物线的必要条件：开口方向、对称轴、顶点坐标与坐标轴的交点坐标。
【学习重点】二次函数一般式与顶点式、交点式的互化；找特殊点的坐标。
【候课朗读】
【学习过程】
一、学习准备
1．二次函数的一般式为：y=???????????? （其中，a、b、c为常数）；顶点式为：y=???????????? ，它的顶点坐标是 ，对称轴是 ；交点式为： （其中，是时得到的一元二次方程的根）。
2．函数()中，确定抛物线的开口方向：当＞0时 ，当＜0时 ；和确定抛物线的对称轴的位置：当、同号时对称轴在y轴的 侧；当、异号时对称轴在x轴的 侧；（可记为“左同右异” ）确定抛物线与 的交点位置：当＞0时交于y轴的 半轴；当＜0时交于y轴的 负半轴。
二、阅读理解
3．定义：抛物线的草图：能大致体现抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与y轴的交点、x 轴上的两根为整根的抛物线叫抛物线的草图。
4．在抛物线的三种解析式的图象信息：
一般式能直接体现开口方向、与y轴的交点；顶点式能直接体现开口方向、对称轴、顶点坐标；两根式能直接体现开口方向、与x轴的两个交点。因此，它们各有优劣，其中以顶点式为最佳。
5．灵活转化三种形式并画出草图
①，（用配方法）
例1 作出函数的大致图象。
解：
EMBED Equation.DSMT4

则大致图象是（画在上左图中）：
即时练习：在上右图中作出函数的大致图象。
②，（对称轴公式+代值）
例2 作出函数的大致图象。
解：∴

则大致图象是：（画在左图中）
即时练习：在右图中作出函数的大致图象。
③（公式法）
例3 作出函数的大致图象。
解：∵，
，
∴则大致图象是：（在空白处画图）
即时练习：在右边空白处作出函数的大致图象。
④两根式（先转化为一般式，再转换成顶点式）
例4 作出函数的大致图象。
解：


则大致图象是：
6．含有参数的抛物线中的图象信息
例5 作出函数的大致图象。
即时练习：在右边空白处画出函数y=－x2+n的大致图象。
变式训练：画出函数y=－x2+mx+3的大致图象。
三、巩固训练：作出下列函数的大致图象
① ②

③ ④







第8课时 根据抛物线得到二次函数系数信息
【学习目标】根据图象得到及它们之间的关系。
【学习重点】读图、找出特殊点的坐标。
【学习过程】一、学习准备
二次函数中，它的顶点坐标式可写为：__________________，对称轴是 ，顶点坐标是 ，还可以写为： ，其中对称轴是__________，顶点坐标是 。
二、典例示范
例1 已知函数的图象如图所示，为该图象的对称轴，根据图象信息，你能得到关于系数的一些什么结论？
解：由图可得：
⑴＞0；
⑵＜＜0；
⑶，即，由⑴可得＜0；
又＜1而a＞0则得＜，∴2a+b>0；
⑷由⑴⑵⑶得＞0；
⑸考虑时＜0，所以有＜0；
⑹考虑时＞0，所以有＞0；
⑺考虑时＞0，所以有＞0，同理时，＞0；
⑻图象与x轴有两个交点，所以＞0。
例2 如图是二次函数图像的一部分，图像过点A，对称轴，给出四个结论：
①＞，②，③，④＜，其中正确的结论是（ ）
A、②④ B、①④ C、②③ D、①③
分析：由图象可以知道＜0；抛物线与x轴有两个交点，
∴＞0，即＞；
又对称轴，即，∴，＜0；
∴，均为负数，＜；当时，抛物线有最高点，
∴＞0；综上，正确的是①④，故选B。
例3 如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是_____。
分析：由图象可知：＜0；当时，
即，∴，但是＜0，故。
三、巩固训练
1．抛物线如图所示，则（ ）
A、＞0，＞0，＞0 B、＞0，＜0，＜0 C、＞0，＞0，＜0 D、＞0，＜0，＞0
2．已知二次函数的图像如图所示，下列结论中正确的个数是（ ）
①＜0，②＞0，③＞0，④
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
3．已知函数的部分图像如图所示，则c 0，当x_____时，y随x的增大而减小。




4．已知一次函数的图像过点，则关于抛物线的三条叙述：①过定点；②对称轴可以是；③当＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3，其中正确叙述的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
5．已知二次函数的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（ ）
A、－1＜x＜3 B、x＞3 C、x＜-1 D、x＞3或x＜-1
6．抛物线的图象与x轴的一个交点是，顶点是，下列说法中不正确的是（ ）
A、抛物线的对称轴是 B、抛物线开口向下
C、抛物线与x轴的另一个交点是 D、当时，y有最大值是3
7．已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A、 B、C、 D、



8．在直角坐标系中画一个二次函数y=ax2+bx+c的图象，且满足b<0，c<0。 。
9．已知y=x2+ax+a-1的图象如图所示，则a的取值范围是 。
10．据图抛物线y=ax2+bx+c确定式子符号：①a 0，②b 0，③c 0，④b2-4ac 0，⑤a+b+c 0，⑥a-b+c 0。
11．若函数y=ax2+bx+c的对称轴x=1如图所示，则下列关系成立的是：（ ）
A、abc>0 B、a+b+c<0 C、a2>ab-ac D、4ac-b2>0
12．若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则直线y=abx+c不经过 象限。





























第9课时 求二次函数的解析式（一）
【学习目标】1．掌握已知三点，会用一般式求函数的表达式；
2．掌握已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求函数的表达式。
3．掌握已知两根及一点，用两根式求函数解析式。
【学习重点】用一般式、顶点式求函数的表达式。
【学习难点】用顶点式和两根式求函数的表达式。
【学习过程】
一、学习准备：
1．已知一次函数经过点（1，2），（-1，0），则一次函数的解析式为 。
2．二次函数的一般式为 ，二次函数的顶点式 ，二次函数的两根式（或交点式）为 。
二、方法探究（一）——已知三点，用一般式求函数的表达式。
3．例1 二次函数的图象经过（0，2），（1，1），（3，5）三点，求二次函数的解析式。



4．即时练习 已知抛物线经过A（-1，0），B（1，0），C（0，1）三点，求二次函数的解析式。



三、方法探究（二）——已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求出函数的解析式。
5．例2 已知抛物线的顶点坐标为（-2，3），且经过点（-1，7），求函数的解析式。
解：设抛物线的解析式为。
把顶点（－2，3）,即h=-2 , k=3 代入表达式为

再把（－1，7）代入上式为
　　
　　解得
　　所以函数解析式为
　　即
6．即时练习 （1）抛物线经过点（0，－8），当时，函数有最小值为－9，求抛物线的解析式。

（2）已知二次函数，当时，函数有最大值2，其过点(0，2)，求这个二次函数的解析式。



四、方法探究（三）——已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求出函数的解析式。
7．例3 已知抛物线经过（－1，0），（3，0），且过（2，6）三点，求二次函数的表达式。
解：设抛物线的解析式为
把抛物线经过的（－1，0），（3，0）两点代入上式为：

再把（2，6）带入上式为
解得
所以函数的解析式为
即
8．即时练习 已知抛物线经过A（-2，0），B（4，0），C(0，3)，求二次函数的解析式。
五、反思小结——求二次函数解析式的方法
1．已知三点，求二次函数解析式的步骤是什么？
2．用顶点式求二次函数的解题思路是：已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求解析式比较简单。
3．用两根式求二次函数的解题思路是：已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求解析式比较简单。
【达标测评】求下列二次函数的解析式：
1．图象过点（1，0）、（0，-2）和（2，3）。

2．当x=2时，y=3，且过点（1，-3）。

3．图象与x轴交点的横坐标分别为2和-4，且过点(1，-10)



第10课时 求二次函数的解析式（二）
【学习目标】1．了解二次函数的三种表示方式；
2．会灵活地运用适当的方法求二次函数的解析式。
【学习重点】灵活地运用适当的方法求二次函数的解析式。
【学习过程】
一、学习准备
1．函数的表示方式有三种： 法， 法， 法。
2．二次函数的表达式有： 、 ， 。
二、典型例题——用适当的方法求出二次函数的表达式
3．例1 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标是－1，3，顶点坐标是（1，－2），求函数的解析式（用三种方法）






4．即时练习：用适当的方法求出二次函数的解析式。
一条抛物线的形状与相同，且对称轴是直线，与y轴交于点（0，1），求抛物线的解析式。



5．例2 已知如图，抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C。
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；
⑵当点CO=时，求抛物线的解析式。





6．即时练习：已知直线y=2x-4与抛物线y=ax2+bx+c的图象相交于A（-2，m），B(n，2)两点，且抛物线以直线x=3为对称轴，求抛物线的解析式。



三、反思小结——求二次函数解析式的方法
1．已知三点或三对x、y的对应值，通常用。
2．已知图象的顶点或对称轴，通常用。
3．已知图象与x轴的交点坐标，通常用。
四、巩固训练
1．已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，该二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点的坐标为(4,0)。
（1）求B点的坐标
（2）求这个二次函数的关系式；


2．如图，在平面直角坐标系中，直线 HYPERLINK "http://www.mathschina.com" 与轴交于点，与轴交于点，抛物线 HYPERLINK "http://www.mathschina.com" 经过三点。
（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标。
（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；
若不存在，请说明理由。










第11课时 利用二次函数求最大利润
【学习目标】1．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，体会数学“建模”思想，并感受数学的应用价值；
2．并能运用公式当x=－时，y最大（小）值=解决实际问题。
【学习重点】用“数形结合”的思想理解公式，并能运用公式解决实际问题。
【学习难点】分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系。
【学习过程】一、学习准备
1．二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条____________，它的对称轴是直线x=－，顶点是______________。
2．二次函数y=-2x2+3x-1的图象开口______，所以函数有最_______值，即当x= 时，ymax =_________。
二、解读教材
3．例1 某商经营T恤衫，已知成批购买时的单价是5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是15元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售200件。问销售价是多少时，可以获利最多？
分析：若设销售单价为x(x≤15)元，所获利润为y元，则：
(1)销售量可以表示为______________________________；(2)销售额可以表示为____________________________；
(3)销售成本可以表示为____________________________；(4)所获利润可表示为y=_________________________。
解：设＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 根据题意得关系式：y=____________________，即y= 。
∵a= <0，∴y有最 值。
即当x=_______________=______________时，ymax=_________________=__________________。
答：
方法小结：解决此类问题的一般步骤是：
(1)设——设出问题中的两个变量（即设未知数）；
(2)列——用含变量的代数式表示出等量关系，列出函数解析式；
(3)自——找出自变量的取值范围；
(4)图——作出函数图像（注意自变量的取值范围）；
(5)最——在自变量的取值范围内，取函数的最值；
(6)答——根据要求作答。
4．即时练习
某商店购买一批单价为20元的 日用品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件。据销售经验，提高销售单价会导致销售量的 减少，即销售单价每提高一元，销售量相应减少20件。如何提高销售价，才能在半月内获得最大利润？


三、挖掘教材
5．例2 某商经营T恤衫，已知成批购买时的单价是5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是15元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售200件。如果售价不高于10元，问销售价是多少时，可以获利最多？



6．即时练习
求二次函数y= x2-2x-3在-2≤x≤0时的最大、最小值。

四、反思小结
1．二次函数是解决实际问题中“最值”问题类较好的数学模型；
2．注意解决此类问题的一般步骤——“设”，“列”，“自”，“图”，“最”，“答”。
【达标测评】
1．某商店购买一批单价为8元的商品，如果以单价10元销售，那么每天可以售出100件。据销售经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少10件。将销售价定为多少，才能使每天获得最大利润？最大利润是多少？


2．某旅行社组团旅游，30人起组团，每人单价800元，每团乘坐一辆准载50人的大客车。旅行社对超过30人的团给予优惠，即每增加一人，每人的单价降低10元。你能帮助计算一下，当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？



第12课时 利用二次函数求最大面积
【学习目标】 1．经历探索最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验；
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用公式：当x=时, y最大（小）=解决实际问题中的最大（小）值问题。
【学习重点】 利用二次函数的有关知识解决实际问题。
【学习过程】一、学习准备
1．函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，若a>0，则当x=-时，y( )= ；若a<0，则当x= 时，y( )= 。
2．在二次函数y=2x2-8x+9中当x= 时，函数y有最 值等于 。
3．如图，在边BC长为20cm，高AM为16cm的△ABC内接矩形EFGH，并且它的一边FG在△ABC的边BC上，E、F分别在AB、AC上，若设EF为xcm，请用x的代数式表示EH。
解：∵矩形EFGH， ∴EH∥BC ∴ △AEH∽___________。
又∵BC上的高AM交EH于T。
∴=_______，即=________。
∴EH= 。
二、解读教材
4．在上题图中，若要使矩形EFGH获得最大面积，那么它的长和宽各是多少？最大面积是多少？
解：设矩形面积为y，而EF=x，EH= ，
则y= = 。
∵a= -<0 则y有最_______值。
∴当x=______时，则y最大值=______________。此时EH= 。
答： 。
5．想一想：活动4通过设EH为xcm能解决问题吗？（试一试吧！）
6．即时练习：（1）在Rt△的内部作内接矩形ABCD，其中AB和AD分别在两条直角边上，点C在斜边上。
①设矩形ABCD的边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？
②设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
解：


（2）将（1）题变式：其它条件和图形都不变，设AD边的长为x m，则问题又怎样解决呢？
三、挖掘教材：
7．在Rt△QMN的内部作内接矩形ABCD，点A和D分别在两直角边上，BC在斜边MN上。
①设矩形的边BC=xm，则AB边的长度如何表示？
②设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的最大值是多少?



8．即时练习 如图，某村修一条水渠，横断面是等腰梯形，底角∠C=120°，两腰与下底AD的和为4m。当水渠深（x）为何值时，横断面积（S）最大？最大值为多少？
解：

四、反思小结：通过学习上节和本节解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？
我认为解决此类问题的基本思路是： 。
【训练提高】
1．用48m长的竹篱笆围建一矩形养鸡场，养鸡场一面用砖砌成，另三面用竹篱笆围成，并且在与砖墙相对的一面开2m宽的门(不用篱笆)，问养鸡场的边长为多少m时，养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?

2．正方形ABCD边长5cm，等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形重合部分面积为Scm2，解答下列问题：
(1)当t=3s时，求S的值；
(2)当t=3s时，求S的值；
(3)当5s≤t≤8s时，求S与t的函数关系式，并求S的最大值。






第13课时 专题复习——二次函数与几何
【学习目标】1．能由几何图形建立二次函数模型解决有关几何问题。
2．能从抛物线中找出几何图形解决有关几何问题。
【学习重难点】利用二次函数图象性质解决几何问题。
一、学习准备
1．写出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴 ，顶点坐标 。
2．谈一谈二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点个数的情况：
。
3．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴的交点是 。
二、专题讲练
例1 如图，等腰直角三角形ABC以2米/秒的速度沿直线m向正方向移动，直到AB和CD重合，设x秒时三角形与正方形重叠部分的面积为y平方米，其中正方形的边长等于AB且为10米。
(1)写出y与x的关系表达式。
(2)当x=2，3，4时，y分别是多少？
(3)当重叠部分面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多少时间？
分析：在运动变化过程中，两个变量的关系可用函数
表达式来描述，最终用函数知识来解决。





例2．抛物线y=x2+bx与x轴交于A、B两点，顶点坐标为P。
(1)证明△ABP一定是等腰三角形。
(2)当b取何值时, △ABP是直角三角形？
(3)当b取何值时, △ABP是等边三角形？




例3．如图，已知二次函数y＝-mx2+4m的顶点坐标为(0，2)，矩形ABCD的顶点B，C在x轴上，A、D两点在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内。
(1)求二次函数的解析式。
(2)设A坐标为(x，y)，试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围。





【达标测评】
1．如图所示，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，
则△ABC面积为：（ ）
A 、6 B、4 C、3 D、1
2．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q，过点Q的直线y＝2x+m与x轴交于点A，与这条抛物线交于另一点B，若SΔBPQ＝3SΔAPQ，求这个二次函数解析式。








3．已知在△ABC中，BC=20，高AD=16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上，G、H 分别在AC、AB上，求内接矩形EFGH的最大面积。






4．某学校的围墙上端由一段段相同的拱形栅栏组面，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的路径A 、B间，按相同的间距0.2m用5根立柱加固,拱高OC为0.6m，以Ｏ为原点, OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,根据以上的数据，则一段栅栏所需立柱的总长度(精确到0.1m) 。







5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交与点A和B，与y轴交于点C，若AC=20，BC=15，∠ACB=90?，求这个二次函数的解析式。






6．已知二次函数图象的顶点坐标C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上。
（1）求m的值及这个二次函数的关系式。
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标，若不存在，请说明理由。






第14课时 复习与小结——知识梳理
【学习目标】1．正确梳理本章重要知识之间的区别和联系；
2．熟练掌握二次函数的图象与性质，并会利用二次函数的图象与性质解决问题。
【学习重点】掌握二次函数的图象与性质。
【学习难点】运用二次函数的图象与性质解决问题。
【学习过程】
一、知识结构






二、回顾与思考
1．二次函数的图象是一条 ，它的顶点坐标是 ，对称轴是直线 。
2．二次函数中a，b，c的作用：
（1）a值决定抛物线的开口 ，值决定抛物线的开口 ：①当a＞0时，开口向 ；②当a＜0时，开口向 ；③越大，抛物线的开口越 ，越小，抛物线的开口越 ，相同的抛物线，通过平移（或旋转、折叠）一定能够互相 。
（2）a和b值共同决定抛物线的对称轴、极值和增减性等：①当b=0时，对称轴为 ；②当a、b同号时，对称轴在y轴的 侧；③当a、b异号时，对称轴在y轴的 侧；④当a>0，且x= 时，函数有最 值是 ， 此时x＞时，y随x的增大而 ，当x＜时，y随x的增大而 ；⑤当a<0，且x= ，函数有最 值是 ，此时当x＞时，y随x的增大而 ，当x＜时，y随x的增大而 。（可在旁边画出草图分析）
（3）c值决定抛物线与 的交点的位置：①当c=0时，抛物线经过 ，②当c>0时，与y轴交于 半轴，③当c<0时，与y轴交于 半轴，抛物线与y轴的交点坐标是 。
（4）△（）值决定抛物线与x轴的交点的个数：①当△>0时，一元二次方程有两个 的实数根，抛物线与x轴有 个交点，②当△=0时，一元二次方程有两个 的实数根，抛物线与x轴有 个交点，③当△<0时，一元二次方程
实数根，抛物线与x轴有 个交点。
（5）二次函数解析式的三种形式：①一般式：，②顶点式：
③交点式：，抛物线与x轴的交点坐标是（x1，0）和（x2,0）。（又称两根式x1，x2是当函数值y=0时所得一元二次方程的两根）。
（6）抛物线与形状相同，
位置不同。移动方法如右图所示。
（7）已知抛物线与x轴的交点坐标是A（x1，0）和B（x2，0），那么抛物线的对称轴x= ，AB=== 。
三、典型示范
例1．函数、、的图象的共同特征是（ ）
A、开口都向上，且都关于y轴对称 B、开口都向下，且都关于x轴对称
C、顶点都是原点，且都关于y轴对称 D、顶点都是原点，且都关于x轴对称
分析：研究二次函数的图象与性质，一般从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、与坐标轴的交点、最值等探究。
例2．已知二次函数。（1）迅速化为顶点式。（2）写出它的顶点坐标和对称轴，并画出它的大致图象，口述性质。（3）根据图象指出：①当取何值时，随值的增大而减小。②当取何值时，有最大（小）值，值是多少？③求抛物线与、两坐标轴的交点坐标。④当取何值时？？ ？
解：

例3已知抛物线y=x2+mx+m-1在直线y=5上截得线段长为6，则此抛物线解析式为 。
例4．已知△ABC中，BC=8，BC上的高h=4，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为，则△DEF的面积关于的函数的图象大致为（ ）

分析：利用△AEF与△ABC相似，确定EF的长，写出关于的函数关系式，确定自变量x取值范围，得图象。
例5．已知二次函数y=x2-x+c
（1）求它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）c为何值时，顶点在x轴上？
（3）若这个函数的图象过原点，求这个函数的解析式，并判断x取何值时y随x的增大而减小？
分析：(1)用公式法或配方法解决；(2)可用顶点纵坐标为0或△=0解决；(3)将(0，0)代入解析式即可求出c值。




例6．一批名牌中都商场销售衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，尽快增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每件衬衫降价x元，商场每天的赢利为y。（1）你能写出y和x的关系吗？（2）当每件衬衫降价多少元时，商场可获得最大利润？最大利润为多少元？




【达标测评】
1．已知二次函数，则它的顶点坐标是 ，对称轴是 ；图象与轴的交点为 ，与轴的交点为 。
2．函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，则a值为 ，这个交点坐标是 。
3．如果抛物线的顶点在轴上，那么 。
4．把抛物线y=x2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为 。
5．二次函数的顶点坐标为（,），则。
6．抛物线如图所示：当= 时，=0；当 时，>0；当 时，<0；当 时，随的增大而增大；当 时，随的增大而减小。
7．请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上。 。
8．抛物线顶点为P(-1，-8)且经过点(0，-6)，则此抛物线的解析式为 。
9．函数在同一直角坐标系内的图象大致是：（ ）





10．二次函数的图象如图，则、、、的取值范围是：（ ）
A、＞0，＜0，＜0，＞0 B、＜0，＜0，＜0，＜0
C、＞0, ＞0，＜0，＞0 D、＞0，＜0，＞0, ＞0
11．下列图中阴影部分的面积与算式的结果相同的是：（ ）





12．求满足下列条件的二次函数解析式：
（1）图象过（1，0）、（0，-2）和（2，3）。

（2）图象与x轴的交点的横坐标为-2和1，且过点（2，4）。

（3）当x=2时，y=3，且过点（1，-3）。

13．如图所示，是一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，点A 和A、点B和B分别关于轴对称，隧道拱部分BCB为一条抛物线，最高点C离路面AA的距离为8m，点B离路面为6m，隧道的宽度AA为16m；
（1）求隧道拱抛物线BCB的函数解析式；
（2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽度为4m，车载大型
设备的顶部与路面的距离均为7m，它能否通过这个隧道？请说明理由。



注意：(1)关于x的代数式一定是整式，其中a，b，c为常数且a≠0；
(2)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项哟！

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

你画出这条抛物线的“尖”了吗？

y

O

x

y=a(x-横)2+纵

y = ax2

y = a(x – h )2

上下平移

左右平移

左右平移

y = a( x – h )2 + k

上下平移

y = ax2 + k

横==h，纵==k

x

y

O

对称轴在y轴的左边同号，对称轴在y轴的右边，异号——“左同右异”

第3题

第2题

第1题

-3

y

x

O

-1

3

x

y

O

-1

3

x

y

O

1

-2

-1

1

2

3

第5题

第6题

第7题

x

y

O

1

-1

x

y

O

x

y

O

x

y

O

1

第9题

第12题

第11题

第10题

A

O

x

y

B

F

C

注意自变量范围哟！

这是一个二级图形哟！
公式：

利用相似三角形性质和矩形面积公式列出二次函数，应用其性质解决。

M

A

C

D

P

Q

R

B

l

B

C

m

D

A

B

C

x

O

y

A

D

B

A

x

O

C

y

H

A

G

C

F

D

E

B

x

O

A

B

y

C

x



A

B

C

O

B

A

C

D

P

x

E

y

O

注意知识框架哟!

相关概念

图象与性质

二次函数

解析式的确定

二次函数

一般式

顶点式

两根式

抛物线


对称轴


顶点


开口方向


对称轴


顶点坐标


增减性


极值

可记为“左同右异”

y = ax2

y = a(x – h )2

上下平移

左右平移

左右平移

y = a( x – h )2 + k

上下平移

y = ax2 + k

A

D

C

B

A

D

C

B






21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）



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