第四章 锐角三角函数单元测试A卷（含解析）

九年级上册第四章锐角三角函数单元测试A卷
考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题（共10题；共30分）
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（?? ）
A.?3???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
2.下列运算结果正确的是
A.?3a3·2a2=6a6???????????????????B.?(-2a)2= -4a2???????????????????C.????????????????????D.?
3.计算：（??? ）
A.??????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA的值等于，则AB的长度是（??? ）
A.?3??????????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????????C.?5??????????????????????????????????????D.?
5.如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（?? ）
A.?扩大为原来的两倍???????????????B.?缩小为原来的 ?????????????????????C.?不变?????????????????????D.?不能确定
6.在△ABC中，∠C＝90°，，那么∠B的度数为（?? ）
A.?60°??????????????????????????????B.?45°????????????????????????????????C.?30°?????????????????????????????D.?30°或60°
7.如图，滑雪场有一坡角α为20°的滑雪道，滑雪道AC的长为200米，
则滑雪道的坡顶到坡底垂直高度AB的长为（?? ）A.?200tan20°米?????????????????B.?米?????????????????????C.?200sin20°米?????????????????????D.?200cos20°米
如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，
则tan∠BDE的值是（?? ）A.?????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在
同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地
出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B
两地之间的距离为（?? ）A.?800sinα米??????????????????????????B.?800tanα米??????????????????????????C.?米??????????????????????????D.?米
10.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，
若点A在反比例函数（x＞0）的图象上，则经过点B
的反比例函数解析式为（?? ）A.???????????????B.???????????C.????????????????D.?
二、填空题（共8题；共24分）
11.在△ABC中，∠C=90°，若，则sinB=________．
12.计算： sin260°+cos260°﹣tan45°=________．
13.坡角为α=60°，则坡度i=________．
14.在△ABC中，若，则∠C的度数是________.
15.已知△ABC中，AB=10，，∠B=30°，则△ABC的面积等于________．
16.如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离
BC是30m，那么塔AC的高度为________m（结果保留根号）．17.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，
图中四个直角三角形是全等的，若大正方形ABCD的面积是小正方形
EFGH面积的13倍，则tan∠ADE的值为________．18.如图，一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数（k＞0）的
图象相交于A、B两点，与x轴交与点C，若，
则k的值为________．三、计算题（共2题；共12分）
19.计算：．
20.先化简，再求值：，其中a=sin30°．
四、解答题（共4题；共32分）
21.如图，A，B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）。经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上。已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越保护区？为什么？
22.某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm．温馨提示：sin15°≈0.26，cosl5°≈0.97，tan15°≈0.27）
23.如图,两座建筑物的水平距离BC为60m。从C点测得A点的仰角α为53° ,从A点测得D点的俯角 β为37° ,求两座建筑物的高度(参考数据:，，，，，）
24.如图所示，在某海域，一般指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC=60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向.于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（参考数据：，，，结果精确到0.1小时）
五、综合题（共2题；共22分）
25.如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（参考数据：参见第23、24小题）（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．
26.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点A(1,2) 和B(-2,m) ．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出时，x的取值范围；
（3）过点B作 轴， 于点D，点C是直线
BE上一点，若 ，求点C的坐标．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，∴∠A的正切值为 =3，故答案为：A．【分析】根据正切函数的定义即可直接得出答案。
2.【答案】D
【解析】【解答】A、原式=6a5 ， 故不符合题意；B、原式=4a2 ， 故不符合题意；C、原式=1，故不符合题意；D、原式= ，故符合题意．故答案为：D【分析】根据单项式乘以单项式，系数的积作为积的系数，对于相同的字母，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；根据特殊锐角三角函数值即可一一得出答案，再进行判断即可。
3.【答案】C
【解析】【解答】（ ）﹣1+tan30°?sin60°=2+ =2+ = ，故答案为：C．【分析】根据负指数的意义，特殊锐角三角函数值，分别化简，再根据实数的运算法则，算出答案。
4.【答案】D
【解析】【解答】Rt△ABC中，∠C=90°，∴cosA= ，∵AC=4，cosA= ，∴ ，∴AB= ，故答案为：D.【分析】根据余弦函数的定义，由cosA=，即可建立方程，求解得出AB的长。
5.【答案】C
【解析】【解答】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.故答案为：C.【分析】根据相似三角形的性质可知三角形的边长扩大，角度不会发生改变，即锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.
6.【答案】C
【解析】【解答】∵ ，∴∠A=60°.∵∠C＝90°，∴∠B=90°-60°=30°.【分析】根据特殊锐角的三角函数值得出∠A=60°.再根据三角形的内角和即可得出答案。
7.【答案】C
【解析】【解答】解：∵sin∠C= ，∴AB=AC?sin∠C=200sin20°．故答案为：C．【分析】根据正弦函数的定义由sin∠C= A B∶ A C，从而得出AB=AC?sin∠C，从而得出答案。
8.【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴BE= BC= AD，∴△BEF∽△DAF，∴ = ，∴EF= AF，∴EF= AE，∵点E是边BC的中点，∴由矩形的对称性得：AE=DE，∴EF= DE，设EF=x，则DE=3x，∴DF= =2 x，∴tan∠BDE= = = ；故答案为：A．【分析】根据矩形的性质得出，AD=BC，AD∥BC，根据中点的定义得出BE=?BC=?AD，然后判断出△BEF∽△DAF，根据相似三角形对应边成比例得出,故EF=?AF，EF=?AE，由矩形的对称性得：AE=DE，故EF=?DE,设EF=x，则DE=3x，根据勾股定理表示出DF，根据正切函数的定义即可得出tan∠BDE的值。
9.【答案】D
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα= ，∴AB= ，故答案为：D．【分析】根据题意可得出∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，利用锐角三角函数的定义，可求出AB的长。
10.【答案】C
【解析】【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D， ∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∴ =tan30°= ，∴ = ，∵ ×AD×DO= xy=3，∴S△BCO= ×BC×CO= S△AOD=1，∴S△AOD=2，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣ ．故答案为：C．【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，根据同角的余角相等得出∠BOC=∠OAD，然后判断出△BCO∽△ODA，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由=tan30°=,根据相似三角形面积的比等于相似比得出S△BCO∶S△AOD=1∶3，再根据反比例函数k的几何意义知S△AOD=3，从而得出S△AOD=2，根据根据反比例函数k的几何意义即可得出经过B点的反比例函数的解析式。
二、填空题
11.【答案】
【解析】【解答】解：如图所示： ∵∠C=90°，tanA= ，∴设BC=x，则AC=2x，故AB= x，则sinB= .故答案为： ?．【分析】根据正切函数的定义由tanA=?， 设BC=x，则AC=2x，根据勾股定理表示出AB的长，再根据正弦函数的定义即可得出答案。
12.【答案】0
【解析】【解答】 .故答案为： .【分析】根据特殊锐角三角函数值分别化简，再根据实数的混合运算顺序算出答案。
13.【答案】
【解析】【解答】解：坡度i=tanα=tan60°= ．故答案为： ．【分析】根据坡度就是坡角的正切值，再根据特殊锐角三角函数即可得出答案。
14.【答案】105°
【解析】【解答】解：由题意得, 则 ?则 ?故答案为：105°.【分析】根据绝对值的非负性，偶次方的非负性，由几个非负数的和等于0，则这几个数都等于0，从而得出关于cosA与tanB的方程，求解再根据特殊锐角三角函数值得出∠A,∠B的度数，再根据三角形的内角和即可算出答案。
15.【答案】15 或10
【解析】【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时， 在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5 ，在Rt△ACD中，∵AC=2 ，∴CD= ，则BC=BD+CD=6 ，∴S△ABC= ?BC?AD= ×6 ×5=15 ；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时， 由①知，BD=5 ，CD= ，则BC=BD-CD=4 ，∴S△ABC= ?BC?AD= ×4 ×5=10 ．综上，△ABC的面积是15 或10 ，故答案为15 或10 ．【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，根据三角函数的定义，由AD=ABsinB，BD=ABcosB，算出AD，BD的长，在Rt△ACD中，根据勾股定理算出CD的长，根据相等的和差算出BC的长，根据三角形的面积计算方法算出△ABC的面积；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知BD,CD的长，根据BC=BD-CD算出BC的长，根据三角形的面积计算方法算出△ABC的面积。
16.【答案】
【解析】【解答】解：∵在点B处测得塔顶A的仰角为30°，∴∠B=30°，∵BC=30m，∴tan∠B= ?∴AC= BC＝30× ＝10 m，故答案为：10 .【分析】根据题意可得出∠B=30°，BC=30m，再利用解直角三角形，可求出AC的长。
17.【答案】
【解析】【解答】解：设小正方形EFGH面积是a2 ， 则大正方形ABCD的面积是13a2 ， ∴小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的边长是 ，∵图中的四个直角三角形是全等的，? ∴AE=DH， 设AE=DH=x，在Rt△AED中，AD2=AE2+DE2 ， 即 ，解得：x1=2a，x2=-3a（舍去），∴AE=2a，DE=3a，? ∴tan∠ADE= ．【分析】根据大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍可设小正方形EFGH面积是a2 ， 然后求把大正方形的边长用含a的代数式表示，在直角三角形ADE中，用勾股定理即可将AE用含a的代数式表示，根据tan∠ADE=即可求解。
18.【答案】3
【解析】【解答】如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D， ∵tan∠AOC= = ，∴设点A的坐标为（3a，a），∵一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y= （k＞0）的图象相交于A、B两点，∴a=3a﹣2，得a=1，∴1= ，得k=3，故答案为：3．【分析】由已知tan∠AOC的值，因此添加辅助线过点A作AD⊥x轴，转化到直角三角形中，设点A的坐标为（3a，a），由两图像相交于点A、B，将点A的坐标代入一次函数解析式求出a的值，就可得出点A的坐标，然后利用待定系数法求出k的值。
三、计算题
19.【答案】解：原式 ??
【解析】【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，60°角的正弦值，和任何不等于零的数的零次方都等于1求解即可。
20.【答案】解：原式= = = ，当a=sin30°= 时，原式= =﹣1.
【解析】【分析】把整式看成分母为1的式子然后通分计算括号里的异分母分式的减法，再计算括号外的除法，把各个分式的分子分母能分解因式的分别分解因式，再将除式的分子分母交换位置，将除法转变为乘法，然后约分化为最简分式；根据特殊锐角三角函数值得出x的值，再代入分式运算化简的结果，按实数的混合运算算出答案。
四、解答题
21.【答案】解：作点P到直线AB的垂线段PE， 则线段PE的长，就是点P到直线AB的距离，根据题意，∠APE=∠PAC=30°，∠BPE=∠PBD=45°，则在Rt△PAE和Rt△PBE中，， BE=PE，而AE+BE=AB， 即 ， ∴PE= ，∵PE>50，即保护区中心到公路的距离大于半径50千米，∴公路不会穿越保护区.
【解析】【分析】作点P到直线AB的垂线段PE，则线段PE的长，就是点P到直线AB的距离，只要算出PE的长，再与50比大小即可得出结论，在Rt△PAE和Rt△PBE中，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AE=PE?tan∠APE=PE?tan30°，表示出AE,根据等腰直角三角形的性质得出 BE=PE，然后由AE+BE=AB，建立方程，求解即可求出PE的长。
22.【答案】解：在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=10m，∴AD=ABsin∠ABD=10×sin30°=5，在Rt△ACD中，∠ACD=15°，sin∠ACD= ，∴AC= ≈19.2m，即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2米
【解析】【分析】将所要解决的问题转化到直角三角形中，在Rt△ABD中，由AD=ABsin∠ABD，求出AD的长，再在Rt△ACD中，由AC=，就可求出AC的长。
23.【答案】解：过点D作DE⊥AB于于E， 则DE=BC=60m，在Rt△ABC中，tan53°= = ，∴AB=80（m）．在Rt△ADE中，tan37°= = ，∴AE=45（m），∴BE=CD=AB﹣AE=35（m）．答：两座建筑物的高度分别为80m和35m．
【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于于E，根据矩形的性质得出则DE=BC=60m，在Rt△ABC中，根据正切函数的定义得出,从而得出AB的长，在Rt△ADE中，根据正切函数的定义得出,从而得出AE的长，根据BE=CD=AB﹣AE得出答案。
24.【答案】解：因为A在B的正西方，延长AB交南北轴于点D，则AB⊥CD于点D∵∠BCD=45°，BD⊥CD∴BD=CD在Rt△BDC中，∵cos∠BCD= ，BC=60海里即cos45°= ，解得CD= 海里∴BD=CD= 海里在Rt△ADC中，∵tan∠ACD= 即 tan60°= = ，解得AD= 海里??????????? ∵AB=AD－BD∴AB= － =30（ ）海里∵海监船A的航行速度为30海里/小时则渔船在B处需要等待的时间为 = = ≈2.45－1.41=1.04≈1.0小时∴渔船在B处需要等待1.0小时
【解析】【分析】因为A在B的正西方，延长AB交南北轴于点D，则AB⊥CD于点D，根据等腰直角三角形的性质得出BD=CD，在Rt△BDC中，根据余弦函数的定义，由cos∠BCD=CD∶BC得出CD的长，从而得出BD的长，在Rt△ADC中，根据正切函数的定义，由tan∠ACD=AD∶CD，得出AD的长，根据AB=AD－BD得出AB的长，再根据时间等于路程除以速度即可得出答案。
五、综合题
25.【答案】（1）解：延长DC交AN于H． ∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，∴∠BDH=30°，∵∠CBH=30°，∴∠CBD=∠BDC=30°，∴BC=CD=10（米）（2）解：在Rt△BCH中，CH= BC=5，BH=5 ≈8.65，∴DH=15，在Rt△ADH中，AH= = =20，∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4（米）
【解析】【分析】（1）延长DC交AN于H根据三角形的内角和得出∠BDH=30°，根据角的和差及等量代换得出∠CBD=∠BDC=30°，根据等角对等边得出BC=CD=10（米）；（2）在Rt△BCH中根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出CH,BH的长，在Rt△ADH中，根据正切函数的定义，由AH=得出AH的长，最后根据AB=AH﹣BH算出答案。
26.【答案】（1）解： 点 在反比例函数 的图象上，，反比例函数的解析式为 ，点 在反比例函数 的图象上，，则点B的坐标为 ，由题意得， ，解得， ，则一次函数解析式为： （2）解：由函数图象可知，当 或 时， （3）解： ， ，，由题意得， ，在 中， ，即 ，解得， ， 当点C在点D的左侧时，点C的坐标为 ，当点C在点D的右侧时，点C的坐标为 ，当点C的坐标为 或 时， ．
【解析】【分析】（1）分别将点A、B的坐标代入反比例函数解析式求出k和m的值，再将点A、B的坐标代入一次函数解析式，建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，就可得出两函数的解析式。（2）要求一次函数值大于反比例函数值，要看直线x-=1，直线x=-2，y轴，三条直线将两函数分成四部分，这四部分的自变量的取值范围分别是﹣1＜x＜0、x＞1．x＜-2，-2＜x＜0，即可观察一次函数图象在反比例函数图象上方时所对应的x的取值范围。（3）由AC = 2 CD，可求出∠DAC的度数，根据点A、B的纵坐标，可求出AD的长，再在 Rt △ ADC 中，利用勾股定理求出CD的长，然后分情况讨论：当点C在点D的左侧时；当点C在点D的右侧时，分别写出点C的坐标。