人教版数学七年级上册
第四章 几何图形初步
4.3 角
4.3.3 余角和补角
知识梳理 分点训练
知识点1 余角与补角
1. ∠α=39°，则∠α的余角的度数为( )
A. 61° B. 51° C. 41° D. 21°
2. 如图，已知点O是直线AB上一点，∠1=68°，则∠2的度数为( )
A. 22° B. 68° C. 108° D. 112°
第2题 第3题
3. 如图，将一副直角三角板如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的度数为 .?
4. 一个角的余角的2倍比这个角的补角少38°，那么这个角是多少度?
知识点2 方位角
5. 如图所示的四条射线中，表示南偏西60°的是( )
A. 射线OA B. 射线OB C. 射线OC D. 射线OD
第5题 第6题
6. 如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠AOB=90°，则OB表示( )
A. 北偏西30° B. 北偏西60°
C. 东偏北30° D. 东偏北60°
7. 下午15时，一艘船从港口A出发，以每小时15海里的速度沿北偏东60°的方向行驶，下午17时到达B岛.这时船在港口A的什么位置?
课后提升 巩固训练
8. 下列语句错误的是( )
A. 锐角的补角一定是钝角 B. 一个锐角和一个钝角一定互补
C. 互补的两角不能都是钝角 D. 互余且相等的两角都是45°
9. 如图，一艘轮船行驶在O处同时测得小岛A，B的方向分别为北偏东75°和西南方向，则
∠AOB等于( )
A.100° B. 120° C. 135° D. 150°
第9题 第10题
10. 如图，直角三角尺AOB的直角顶点O在直线CD上，若∠AOC=35°，则∠BOD的度数为( )
A. 65° B. 55° C. 45° D. 35°
11. 已知∠α的补角为105°12′，则它的余角为( )
A. 15°12′ B. 15°48′ C. 35°12′ D. 35°48′
12. 已知岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是( )
A B C D
13. 一个角的余角比它的补角的还少20°，则这个角是 度.
14. 将两个能完全重合的三角板如图放置，(即两个直角顶点重合)，我们可得∠α= ∠β，其中的道理是 .?
15. 小聪从点A出发向北偏东60°方向走了一段距离到点B，小王从点A出发，沿南偏东40°方向到点C，则∠BAC是 .?
16. 如图，已知∠AOB=160°，∠AOC=∠BOD=90°.
(1)写出与∠COD互余的角；
(2)求∠COD的度数；
(3)图中是否有互补的角?若有，请写出来.
17. 如图所示，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至点B，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点，求∠ABC的余角.
18. 如图，一只蚂蚁从O点出发，沿东北方向爬行2.5 cm碰到障碍物B后，折向北偏西60°的方向爬行3 cm到C.
(1)画出蚂蚁的爬行路线；
(2)求出∠OBC的度数.
?拓展探究 综合训练
19. 如图(1)所示，∠AOB，∠COD都是直角.
(1)试猜想∠AOD与∠COB在大小上是相等，还是互余、互补的关系?你能用推理的方法说明你的猜想是否合理吗?
(2)当∠COD绕着点O旋转到图(2)的位置时，你原来的猜想还成立吗?
参考答案
1. B 【解析】因为∠α=39°，所以∠α的余角=90°－39°=51°.故选B.
2. D 【解析】∠2=180°－∠1=180°－68°=112°.故选D.
3. 160° 【解析】∠AOC=∠DOC－∠AOD=90°－20°=70°，∠BOC=∠AOC＋∠AOB=70°＋90°=160°.
4. 解：设这个角为x°，由题意得180－x－38=2(90－x)，解得x=38，所以这个角是38度.
5. C 【解析】由图可知，射线OC表示南偏西60°.故选C.
6. B 【解析】如图所示.∠1=90°－30°=60°，所以OB表示北偏西60°.故选B.
7. 解：15×(17－15)=30(海里)，这时，船在港口A的北偏东60°，距离港口A30海里的位置.
8. B 【解析】例如∠α=130°，∠β=20°，∠α＋∠β≠180°，故选项A，C，D都正确，选项B错误，故选B.
9. D 【解析】∠AOB=90°－75°＋45°＋90°=150°.故选D.
10. B 【解析】∠BOD=180°－90°－35°=55°，故选B.
11. A 【解析】因为∠α的补角为105°12′，所以∠α=180°－105°12′=74°48′，所以∠α的余角为90°－74°48′=15°12′.故选A.
12. D
13. 75 【解析】设这个角为x°，则它的余角为(90°－x°)，补角为(180°－x°)，根据题意可得90－x=(180－x)－20，解得x=75.
14. 等角的余角相等 【解析】设两三角板直角重叠的角为∠1，可知∠α＋∠1=90°，∠β＋∠1=90°，
所以∠α=∠β.(等角的余角相等)
15. 80 【解析】方位角如图所示，∠BAC=180°－60°－40°=80°.
16. 解：(1)因为∠AOC=∠BOD=90°，所以∠COD＋∠AOD=90°，∠COD＋∠BOC=90°，所以与∠COD互余的角是∠AOD和∠BOC.
(2)∠BOC=∠AOB－∠AOC=160°－90°=70°，所以∠COD=∠BOD－∠BOC=90°－70°=20°.
(3)∠COD与∠AOB，∠AOC与∠BOD互补.
17. 解：过点B作BD⊥AC交AC于点D，由题意得∠BAC=45°，∠DBC=15°，所以∠DBA=45°，
故∠ABC=45°＋15°=60°，所以∠ABC的余角=90°－∠ABC=90°－60°=30°.
18. 解：(1)先以O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画45°的角，使它的一边OB′落在东与北之间，在射线OB′上取OB等于2.5 cm；同理以B点为顶点，画出BC=3 cm，则OB，BC是蚂蚁所爬行的路线. 如图所示.
(2)由题意知，点O在点B的西南方向，所以∠DBO=45°，因为∠CBE=60°，所以∠CBD=30°，所以∠OBC=∠CBD＋∠DBO=30°＋45°=75°.
