2018年高中数学新人教B版选修1-1课件：第三章导数及其应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课件（21张）

课件21张PPT。利用导数判断函数的单调性(4)对数函数的导数:(5)指数函数的导数: (3)三角函数 ： 一、复习回顾：基本初等函数的导数公式导数运算法则函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时函数单调性判定单调函数的图象特征1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数；2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数；若 f(x) 在G上是增函数或减函数，增函数减函数则 f(x) 在G上具有严格的单调性。G 称为单调区间G = ( a , b )二、复习引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。
若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；
若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1?[1，＋∞)(－∞，1]cosx增自主检测题单调性与导数有什么关系？精讲精析.观察函数y=x2－4x＋3的图象：总结:该函数在区间
（－∞，2）上单减,
切线斜率小于0,即其
导数为负,在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.
函数在该点单调性发生改变. 设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y ′ >0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y ′ <0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数. 判断函数单调性的常用方法：
（1）定义法
（2）导数法 结论：y ′ >0增函数y ′ <0减函数 思考：也就是说“f′(x)＞0”是“y＝f(x)在某个区间上递增”的充分不必要条件．例1 确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.
∴当x∈(1，+∞)时，
f′(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.
∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数 例题讲解例2 确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间
内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，
f(x)是增函数.
当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，
f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.
∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数. 用导数法确定函数的单调性时的步骤是：
（1）求出函数的导函数
（2）求解不等式f ′(x)>0，求得其解集，
再根据解集写出单调递增区间
（3）求解不等式f ′(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间注：单调区间不以“并集”出现。 2、导数的应用：判断单调性、求单调区间练习题1．函数y=3x－x3的单调增区间是( )
(A) (0，+∞) (B) (－∞，－1)
(C) (－1，1) (D) (1，+∞)2．设f(x)=x＋ (x<0)，则f(x)的单调增区间是( )
(A) (－∞，－2)
(B) (－2，0)
(C) (－∞，－ )
(D) (－ ，0)例3．如图，设有圆C和定点O，当l 从l0 开始在平面上绕O点匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下列四种情况中的哪一种？解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t)开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快，
图A表示S的增速是常数，与实际不符，图A应否定；
图B表示最后时段S的增速快，也与实际不符，图B也应否定；
图C表示开始时段与最后时段S的增速快，也与实际不符，图C也应否定；
图D表示开始与结束时段，S的增速慢，中间的时段增速快，符合实际，应选D。练习：如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象“平缓”.通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解释变化快慢的情况。∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)
∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数.
例4 证明函数f(x)= 在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.f(x1)－f(x2)=∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0， ∴ ＞0点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.
证法二：(用导数方法证)∵f′(x)=( )′=(－1)·x－2=－ ，x＞0，∴x2＞0，∴－ ＜0. ∴f′(x)＜0，∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数.总结：求函数y＝f(x)单调区间的步骤：