2018年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3直线与平面的夹角课件5新人教B版选修2_1（29张）
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| 名称 | 2018年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3直线与平面的夹角课件5新人教B版选修2_1（29张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-11-26 17:02:10 | ||
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文档简介
课件29张PPT。
3.2.3 直线与平面的夹角[学习目标]
?
1．了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念．
2．了解三个角θ，θ1，θ2的意义，会利用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求平面的斜线与平面内的直线的夹角．
[知识回顾]
怎样求两条异面直线所成的角？
答案 (1)几何法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解．
向量法包括了“基向量法”与“坐标法”[预习导引]
1．线线角、线面角的关系式
如图所示，已知OA是平面α的斜线段，O是斜足，线段AB垂直于α，B为垂足，则直线OB是斜线OA在平面α内的_____ ___．设OM是α内通过点O的任一条直线，OA与OB所成的角为θ1，OB与OM所成的角为θ2，OA与OM所成的角为θ，则θ，θ1，θ2之间的关系为_________ ___________(*)
在上述公式中，因0≤cos θ2≤1，所以cos θ≤cos θ1.
因为θ1和θ都是锐角，所以θ1≤θ.
正射影cos θ1cos θ2cosθ＝2．最小角定理
_____和它在平面内的_____所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中__________ ．
3．直线与平面的夹角
(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为_____．
(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为_____．
(3)斜线和它在平面内的______________叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).斜线射影最小的角90°0°射影所成的角知识点一 用定义求线面角
?例1 在正四面体ABCD中，E为棱AD中点，连CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值． 解 如图，过A、E分别作AO⊥平面BCD，EG⊥平面BCD，O、G为垂足．
∴AO=2GE，AO、GE确定平面AOD，连接GC，则∠ECG为CE和平面BCD所成的角．∵AB＝AC＝AD，∴OB＝OC＝OD.
∵△BCD是正三角形，
∴O为△BCD的中心，连接OD并延长交BC于F，则F为BC的中点．
令正四面体棱长为1，规律方法 利用定义法求线面角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法：①斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影．跟踪变式1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.
PD＝DC，E是PC的中点．
求EB与平面ABCD夹角的余弦值．
解 取CD的中点M，则EM∥PD，
又∵PD⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，
∴BE在平面ABCD上的射影为BM，
∴∠MBE为BE与平面ABCD的夹角，
设PD＝DC＝a，
知识点二 由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求线面角规律方法 公式cos θ＝cos θ1·cos θ2在解题时经常用到，可用来求线面角θ1，在应用公式时，一定要分清θ，θ1，θ2，分别对应图形中的哪个角．跟踪变式2 四面体P-ABC，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值( )
答案 D解析 如图，设A在平面BPC内的射影为O，∵∠APB＝∠APC.
∴点O在∠BPC的角平分线上，
∴∠OPC＝30°，∠APO为PA与平面PBC所成的角．∴cos∠APB＝cos∠APO·cos∠OPC，
知识点三 向量法求线面角规律方法 (1)用向量法可避开找角的困难，但计算繁琐，所以注意计算上不要失误．
(2)在求已知平面的法向量时，若图中有垂直于平面的直线时，可直接确定法向量；当图中没有垂直于平面的直线时，可设出平面法向量的坐标，用解不定方程组的方法来确定法向量．跟踪变式3 如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值．解 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，如图．
则D(0，0，0)，A(0，0，2)，M(1，0，2)，N(0，1，0)， A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 A2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为 ( )
答案 C
解析 建系如图，设正方体的棱长
为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，
B(1，1，0)，C1(0，1，1)，A(1，0，
0)，
A．60° B．90° C．105° D．75°
答案 B1．空间向量的具体应用主要体现为两种方法——基向量法和坐标法．这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论．这样就把立体几何问题转化为空间向量来研究，体现了化归与转化思想．
2．直线与平面所成角的求法
(1)几何法：找出斜线在平面上的射影，则斜线与射影所成角就是线面角，可通过解由斜线段、垂线段和射影线段构成的直角三角形获解．3．公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的理解
由0≤cosθ2≤1，∴cosθ≤cosθ1，从而θ1≤θ.在公式中，
令θ2＝90°，则cos θ＝cosθ1·cos 90°＝0.
∴θ＝90°，即当AC⊥BC时，AC⊥AO.
此即三垂线定理，反之若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例.再见
3.2.3 直线与平面的夹角[学习目标]
?
1．了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念．
2．了解三个角θ，θ1，θ2的意义，会利用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求平面的斜线与平面内的直线的夹角．
[知识回顾]
怎样求两条异面直线所成的角？
答案 (1)几何法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解．
向量法包括了“基向量法”与“坐标法”[预习导引]
1．线线角、线面角的关系式
如图所示，已知OA是平面α的斜线段，O是斜足，线段AB垂直于α，B为垂足，则直线OB是斜线OA在平面α内的_____ ___．设OM是α内通过点O的任一条直线，OA与OB所成的角为θ1，OB与OM所成的角为θ2，OA与OM所成的角为θ，则θ，θ1，θ2之间的关系为_________ ___________(*)
在上述公式中，因0≤cos θ2≤1，所以cos θ≤cos θ1.
因为θ1和θ都是锐角，所以θ1≤θ.
正射影cos θ1cos θ2cosθ＝2．最小角定理
_____和它在平面内的_____所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中__________ ．
3．直线与平面的夹角
(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为_____．
(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为_____．
(3)斜线和它在平面内的______________叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).斜线射影最小的角90°0°射影所成的角知识点一 用定义求线面角
?例1 在正四面体ABCD中，E为棱AD中点，连CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值． 解 如图，过A、E分别作AO⊥平面BCD，EG⊥平面BCD，O、G为垂足．
∴AO=2GE，AO、GE确定平面AOD，连接GC，则∠ECG为CE和平面BCD所成的角．∵AB＝AC＝AD，∴OB＝OC＝OD.
∵△BCD是正三角形，
∴O为△BCD的中心，连接OD并延长交BC于F，则F为BC的中点．
令正四面体棱长为1，规律方法 利用定义法求线面角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法：①斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影．跟踪变式1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.
PD＝DC，E是PC的中点．
求EB与平面ABCD夹角的余弦值．
解 取CD的中点M，则EM∥PD，
又∵PD⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，
∴BE在平面ABCD上的射影为BM，
∴∠MBE为BE与平面ABCD的夹角，
设PD＝DC＝a，
知识点二 由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求线面角规律方法 公式cos θ＝cos θ1·cos θ2在解题时经常用到，可用来求线面角θ1，在应用公式时，一定要分清θ，θ1，θ2，分别对应图形中的哪个角．跟踪变式2 四面体P-ABC，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值( )
答案 D解析 如图，设A在平面BPC内的射影为O，∵∠APB＝∠APC.
∴点O在∠BPC的角平分线上，
∴∠OPC＝30°，∠APO为PA与平面PBC所成的角．∴cos∠APB＝cos∠APO·cos∠OPC，
知识点三 向量法求线面角规律方法 (1)用向量法可避开找角的困难，但计算繁琐，所以注意计算上不要失误．
(2)在求已知平面的法向量时，若图中有垂直于平面的直线时，可直接确定法向量；当图中没有垂直于平面的直线时，可设出平面法向量的坐标，用解不定方程组的方法来确定法向量．跟踪变式3 如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值．解 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，如图．
则D(0，0，0)，A(0，0，2)，M(1，0，2)，N(0，1，0)， A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 A2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为 ( )
答案 C
解析 建系如图，设正方体的棱长
为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，
B(1，1，0)，C1(0，1，1)，A(1，0，
0)，
A．60° B．90° C．105° D．75°
答案 B1．空间向量的具体应用主要体现为两种方法——基向量法和坐标法．这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论．这样就把立体几何问题转化为空间向量来研究，体现了化归与转化思想．
2．直线与平面所成角的求法
(1)几何法：找出斜线在平面上的射影，则斜线与射影所成角就是线面角，可通过解由斜线段、垂线段和射影线段构成的直角三角形获解．3．公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的理解
由0≤cosθ2≤1，∴cosθ≤cosθ1，从而θ1≤θ.在公式中，
令θ2＝90°，则cos θ＝cosθ1·cos 90°＝0.
∴θ＝90°，即当AC⊥BC时，AC⊥AO.
此即三垂线定理，反之若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例.再见