14.2.2 完全平方公式课时作业
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14.2.2 完全平方公式
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1. [c-（a2)2]2等于（ ）
A. c -a2 B. c2 -2a4c+a8 C. c2 -a2 D. c2 -a4
2.下列各式中，与（﹣a+1）2相等的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+1 C．a2﹣2a+1 D．a2+2a+1
3.下列运算正确的是（ ）
A．﹣（x﹣y）2=﹣x2﹣2xy﹣y2 B．a2+a2=a4
C．a2?a3=a6 D．（xy2）2=x2y4
4.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A．a2﹣b2=（a﹣b）2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
5.已知(a＋b)2=9，(a－b)2=5，则ab的值为( )
A. －1 B. 1 C. －4 D. 4
6.如图，由四个相同的直角三角板拼成的图形，设三角板的直角边分别为a、b（a＞b），则这两个图形能验证的式子是（ ）
A．（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab B．（a2+b2）﹣（a﹣b）2=2ab
C．（a+b）2﹣2ab=a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
二、填空题
7.若a+b=2，则代数式a2﹣b2+4b= ．
8.若正有理数m使得二次三项式x2﹣2mx+36是一个完全平方式，则m= ．
9.若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m= ．
10.用图形面积可以表示一些等式．如图1可以表示（a+b）2=a2+2ab+b2，则图2表示的等式是 ．
11.若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k= ．
三、解答题
12.已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，求m2+n2的值．
13.已知M是含字母x的单项式，要使多项式4x2+M+1是某一个多项式的平方，求M的表达式．
14.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2+b2=6a+10b﹣34，其中c是△ABC中最长的边长，且c为整数，求c的值．
15.乘法公式的探究及应用．
图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：
方法2：
（2）观察图2请你写出下列三个代数式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a﹣b=5，ab=﹣6，求：a2+b2=
②（a+b）2=
②已知的值．
答案解析
一 、选择题
1.【考点】完全平方公式
【分析】根据完全平方公式与幂的乘方法求解
解：根据完全平方公式与幂的乘方法则可得：
[c-（a2)2]2=c2 -2a4c+a8 ，
故选B.
【点睛】本题考查了完全平方公式与幂的乘方，关键是掌握法则。
2.【考点】 完全平方公式．
【分析】根据完全平方公式展开即可．
解：（﹣a+1）2=a2﹣2a+1．
故选C．
3.【考点】完全平方公式,合并同类项法则,同底数幂的乘法,积的乘方与幂的乘方
【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方逐一计算可得．
解：A、﹣（x﹣y）2=﹣x2+2xy﹣y2，此选项错误；
B、a2+a2=2a2，此选项错误；
C、a2?a3=a5，此选项错误；
D、（xy2）2=x2y4，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方．
4.【考点】 完全平方公式的几何背景．
【分析】用a、b表示出4个小图形的面积，根据整体面积等于部分面积之和进行判断即可．
解：根据图形可知，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．故选：C．
【点评】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
5.【考点】完全平方公式的应用
【分析】把已知两个式子展开，再相加或相减即可求出答案．
解：∵（a+b）2=9，（a-b）2=5，
∴a2+2ab+b2=9①，a2-2ab+b2=5②，
①-②得4ab=4，
∴ab=1.
故选A.
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，注意：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2．
6.【考点】 完全平方公式的几何背景．
【分析】本题从图形的阴影面积着手算起，结果选项B符合．
解：前一个图阴影部分的面积：（a2+b2）﹣（a﹣b）2=2ab
后一个图形面积：=2ab
故选B．
【点评】本题考查了完全平方公式，从图形的阴影面积得到．很简单．
二 、填空题
7.【考点】 完全平方公式．
【分析】先根据平方差公式不想，代入后合并同类项，再变形，代入求出即可．
解：∵a+b=2，
∴a2﹣b2+4b
=（a+b）（a﹣b）+4b
=2（a﹣b）+4b
=2a+2b=2（a+b）
=2×2
=4，
故答案为：4．
8.【考点】完全平方式
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
解：∵x2﹣2mx+36是一个完全平方式，
∴m=±6，
∵m为正有理数，
∴m=6，
故答案为：6
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9.【考点】完全平方式．
【分析】本题考查的是完全平方式，这里首末两项是x和4的平方，那么中间项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故2（m﹣3）=±8，解得m的值即可．
解：由于（x±4）2=x2±8x+16=x2+2（m﹣3）x+16，
∴2（m﹣3）=±8，
解得m=﹣1或m=7．
故答案为：﹣1；7．
【点评】本题考查了完全平方式的应用，根据其结构特征：两数的平方和，加上或减去它们乘积的2倍，在已知首尾两项式子的情况下，可求出中间项的代数式，列出相应等式，进而求出相应数值．
10.【考点】完全平方公式的几何背景．
【分析】据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．
解：根据题意，大矩形的面积为：（2a+b）（a+b），
又各部分的面积之和=2a2+3ab+b2，
∴等式为（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2．
故答案为：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，是对（a-b）2=a2-2ab+b2的几何证明．
11.【考点】完全平方公式．
【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，可知m=1．k=﹣4，则m+k=﹣3．
解：∵x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，
∴m=1，k=﹣4，
∴m+k=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
三 、解答题
12.【考点】 完全平方公式．
【分析】由完全平方公式可知：（m﹣n）2展开含+2mn，而（m+n）2展开含﹣2mn，二者相加只剩下m2+n2的倍数，从而得出结论．
解：∵（m﹣n）2+（m+n）2=m2+n2﹣2mn+m2+n2+2mn=2（m2+n2）=8+2=10，
∴m2+n2=10÷2=5．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是：发现“（m-n）2展开含+2mn，而（m+n）2展开含-2mn，二者相加只剩下m2+n2的倍数”，本题属于基础题，难度不大，但是在解决该类问题时，部分同学利用完全平方公式展开，联立成方程组，从而耽误了做题时间，也极其容易在解方程组中出现错误．
13.【考点】完全平方式
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定M的值．
解：∵4x2+M+1=（2x）2+M+12，
∴M=±2?2x?1=±4x．
若M+4x2+1是多项式的平方，
则M=4x4．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
14.【考点】三角形三条边的关系，配方法的应用，非负数的性质
【分析】由a2+b2=6a+10b﹣34，通过配方法求得a，b的值，然后利用三角形的三边关系求得c的取值范围即可．
解：∵a2+b2=6a+10b﹣34∴a2﹣6a+9+b2﹣10b+25=0
∴（a﹣3）2+（b﹣5）2=0
∴a=3，b=5
∴5﹣3＜c＜5+3
即 2＜c＜8． 又∵c是△ABC中最长的边长
∴c=5.6.7
【点睛】此题主要考查了配方法的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行配方，难度不大．
15.【考点】 完全平方公式的几何背景．
【分析】（1）方法一、求出正方形的边长，再根据正方形面积公式求出即可；
方法二、根据大正方形面积减去4个矩形面积，即可得出答案；
（2）根据（1）阴影部分的面积相等，即可得出等式；
（3）①把a﹣b=5两边平方，利用完全平分公式，即可解答；
②根据（a+b）2=（a﹣b）2+4ab，即可解答；
③利用完全平分公式，即可解答．
解：（1）阴影部分是正方形，正方形的边长是m﹣n，即阴影部分的面积是（m﹣n）2，
又∵阴影部分的面积S=（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn．
（2）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab．
（3）①∵a﹣b=5，ab=﹣6，
∴（a﹣b）2=52
∴a2﹣2ab+b2=25，
a2+b2=25+2ab=25﹣12=13，
故答案为：13．
②（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=52+4×（﹣6）=1．
故答案为：1．
③
=
=
=（32﹣2）2﹣2
=47．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，关键是仔细审图，得出阴影部分面积的不同表示方法．
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1. [c-（a2)2]2等于（ ）
A. c -a2 B. c2 -2a4c+a8 C. c2 -a2 D. c2 -a4
2.下列各式中，与（﹣a+1）2相等的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+1 C．a2﹣2a+1 D．a2+2a+1
3.下列运算正确的是（ ）
A．﹣（x﹣y）2=﹣x2﹣2xy﹣y2 B．a2+a2=a4
C．a2?a3=a6 D．（xy2）2=x2y4
4.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A．a2﹣b2=（a﹣b）2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
5.已知(a＋b)2=9，(a－b)2=5，则ab的值为( )
A. －1 B. 1 C. －4 D. 4
6.如图，由四个相同的直角三角板拼成的图形，设三角板的直角边分别为a、b（a＞b），则这两个图形能验证的式子是（ ）
A．（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab B．（a2+b2）﹣（a﹣b）2=2ab
C．（a+b）2﹣2ab=a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
二、填空题
7.若a+b=2，则代数式a2﹣b2+4b= ．
8.若正有理数m使得二次三项式x2﹣2mx+36是一个完全平方式，则m= ．
9.若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m= ．
10.用图形面积可以表示一些等式．如图1可以表示（a+b）2=a2+2ab+b2，则图2表示的等式是 ．
11.若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k= ．
三、解答题
12.已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，求m2+n2的值．
13.已知M是含字母x的单项式，要使多项式4x2+M+1是某一个多项式的平方，求M的表达式．
14.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2+b2=6a+10b﹣34，其中c是△ABC中最长的边长，且c为整数，求c的值．
15.乘法公式的探究及应用．
图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：
方法2：
（2）观察图2请你写出下列三个代数式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a﹣b=5，ab=﹣6，求：a2+b2=
②（a+b）2=
②已知的值．
答案解析
一 、选择题
1.【考点】完全平方公式
【分析】根据完全平方公式与幂的乘方法求解
解：根据完全平方公式与幂的乘方法则可得：
[c-（a2)2]2=c2 -2a4c+a8 ，
故选B.
【点睛】本题考查了完全平方公式与幂的乘方，关键是掌握法则。
2.【考点】 完全平方公式．
【分析】根据完全平方公式展开即可．
解：（﹣a+1）2=a2﹣2a+1．
故选C．
3.【考点】完全平方公式,合并同类项法则,同底数幂的乘法,积的乘方与幂的乘方
【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方逐一计算可得．
解：A、﹣（x﹣y）2=﹣x2+2xy﹣y2，此选项错误；
B、a2+a2=2a2，此选项错误；
C、a2?a3=a5，此选项错误；
D、（xy2）2=x2y4，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方．
4.【考点】 完全平方公式的几何背景．
【分析】用a、b表示出4个小图形的面积，根据整体面积等于部分面积之和进行判断即可．
解：根据图形可知，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．故选：C．
【点评】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
5.【考点】完全平方公式的应用
【分析】把已知两个式子展开，再相加或相减即可求出答案．
解：∵（a+b）2=9，（a-b）2=5，
∴a2+2ab+b2=9①，a2-2ab+b2=5②，
①-②得4ab=4，
∴ab=1.
故选A.
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，注意：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2．
6.【考点】 完全平方公式的几何背景．
【分析】本题从图形的阴影面积着手算起，结果选项B符合．
解：前一个图阴影部分的面积：（a2+b2）﹣（a﹣b）2=2ab
后一个图形面积：=2ab
故选B．
【点评】本题考查了完全平方公式，从图形的阴影面积得到．很简单．
二 、填空题
7.【考点】 完全平方公式．
【分析】先根据平方差公式不想，代入后合并同类项，再变形，代入求出即可．
解：∵a+b=2，
∴a2﹣b2+4b
=（a+b）（a﹣b）+4b
=2（a﹣b）+4b
=2a+2b=2（a+b）
=2×2
=4，
故答案为：4．
8.【考点】完全平方式
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
解：∵x2﹣2mx+36是一个完全平方式，
∴m=±6，
∵m为正有理数，
∴m=6，
故答案为：6
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9.【考点】完全平方式．
【分析】本题考查的是完全平方式，这里首末两项是x和4的平方，那么中间项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故2（m﹣3）=±8，解得m的值即可．
解：由于（x±4）2=x2±8x+16=x2+2（m﹣3）x+16，
∴2（m﹣3）=±8，
解得m=﹣1或m=7．
故答案为：﹣1；7．
【点评】本题考查了完全平方式的应用，根据其结构特征：两数的平方和，加上或减去它们乘积的2倍，在已知首尾两项式子的情况下，可求出中间项的代数式，列出相应等式，进而求出相应数值．
10.【考点】完全平方公式的几何背景．
【分析】据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．
解：根据题意，大矩形的面积为：（2a+b）（a+b），
又各部分的面积之和=2a2+3ab+b2，
∴等式为（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2．
故答案为：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，是对（a-b）2=a2-2ab+b2的几何证明．
11.【考点】完全平方公式．
【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，可知m=1．k=﹣4，则m+k=﹣3．
解：∵x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，
∴m=1，k=﹣4，
∴m+k=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
三 、解答题
12.【考点】 完全平方公式．
【分析】由完全平方公式可知：（m﹣n）2展开含+2mn，而（m+n）2展开含﹣2mn，二者相加只剩下m2+n2的倍数，从而得出结论．
解：∵（m﹣n）2+（m+n）2=m2+n2﹣2mn+m2+n2+2mn=2（m2+n2）=8+2=10，
∴m2+n2=10÷2=5．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是：发现“（m-n）2展开含+2mn，而（m+n）2展开含-2mn，二者相加只剩下m2+n2的倍数”，本题属于基础题，难度不大，但是在解决该类问题时，部分同学利用完全平方公式展开，联立成方程组，从而耽误了做题时间，也极其容易在解方程组中出现错误．
13.【考点】完全平方式
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定M的值．
解：∵4x2+M+1=（2x）2+M+12，
∴M=±2?2x?1=±4x．
若M+4x2+1是多项式的平方，
则M=4x4．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
14.【考点】三角形三条边的关系，配方法的应用，非负数的性质
【分析】由a2+b2=6a+10b﹣34，通过配方法求得a，b的值，然后利用三角形的三边关系求得c的取值范围即可．
解：∵a2+b2=6a+10b﹣34∴a2﹣6a+9+b2﹣10b+25=0
∴（a﹣3）2+（b﹣5）2=0
∴a=3，b=5
∴5﹣3＜c＜5+3
即 2＜c＜8． 又∵c是△ABC中最长的边长
∴c=5.6.7
【点睛】此题主要考查了配方法的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行配方，难度不大．
15.【考点】 完全平方公式的几何背景．
【分析】（1）方法一、求出正方形的边长，再根据正方形面积公式求出即可；
方法二、根据大正方形面积减去4个矩形面积，即可得出答案；
（2）根据（1）阴影部分的面积相等，即可得出等式；
（3）①把a﹣b=5两边平方，利用完全平分公式，即可解答；
②根据（a+b）2=（a﹣b）2+4ab，即可解答；
③利用完全平分公式，即可解答．
解：（1）阴影部分是正方形，正方形的边长是m﹣n，即阴影部分的面积是（m﹣n）2，
又∵阴影部分的面积S=（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn．
（2）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab．
（3）①∵a﹣b=5，ab=﹣6，
∴（a﹣b）2=52
∴a2﹣2ab+b2=25，
a2+b2=25+2ab=25﹣12=13，
故答案为：13．
②（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=52+4×（﹣6）=1．
故答案为：1．
③
=
=
=（32﹣2）2﹣2
=47．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，关键是仔细审图，得出阴影部分面积的不同表示方法．