14.1 整式的乘法（6）
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14.1 整式的乘法（6）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
列各式中计算结果是x2-6x+5的是( )
A. （x-2）（x-3） B. （x-6）（x+1） C. （x-1）（x-5） D. （x+6）（x-1）
已知x+y=5，xy=2，则(x+1)(y+1)=（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
若多项式（2x﹣1）（x﹣m）中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
如果关于x的多项式（2x-m）与(x+5)的乘积中，常数项为15，则m的值为( )
A.3 B.－3 C.10 D.－l0
若（x+3）（x﹣1）=x2﹣mx+n，则m+n的值为（ ）
A．﹣5 B．2 C．1 D．﹣1
二 、填空题
如图是一块长方形ABCD的场地，长AB=m米，宽AD=n米，从A、B两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为___．
若的值使得x2＋4x＋a=(x－5)(x＋9)－2成立，则的值为_____________
下图是一个长方形，请你仔细观察图形，写出图中所表示的整式的乘法关系式为__________.
方程（x+3）(2x-5-(2x+1)(x-8)=41的解是______
若M=（x﹣2）（x﹣8），N=（x﹣3）（x﹣7），则M﹣N= ．
三 、解答题
如图，要设计一幅长为3xcm、宽为2ycm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横彩条的宽度为acm，竖彩条的宽度为bcm，问空白区域的面积是多少？
已知一个长方形绿化带的长为（6a+4b）米，宽为（3a﹣2b）米．
（1）求该绿化带的面积（用含有a、b的代数式表示）；
（2）当a=10，b=5时，该绿化带的面积是多少平方米？
已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作。
（1）若a=1，b=3，按上述规则操作3次，扩充所得的数是__________；
（2）若p>q>0，经过3次操作后扩充所得的数为（m，n为正整数），则m，n的值分别为__________.
观察下面的几个算式，你发现了什么规律？
①16×14=224=1×（1+1）+100+6×4
②23×27=621=2×（2+1）×100+3×7
③32×38=1216=3×（3+1）×100+2×8
（1）按照上面的规律，依照上面的书写格式，迅速写出81×89的结果；
（2）用公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab证明上面所发现的规律[提示：可设这个两位数分别是（10n+a）、（10n+b），其中a+b=10]；
（3）简单叙述以上所发现的规律．
答案解析
一 、选择题
【考点】多项式乘以多项式
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，进行计算即可得出正确答案．
解：A、（x-2）（x-3）=x2-6x+6，故本选项错误；
B、（x-6）（x+1）=x2-5x-6，故本选项错误；
C、（x-1）（x-5）=x2-6x+5，故本选项正确；
D、（x+6）（x-1）=x2+5x-6，故本选项错误；
故选C．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
【考点】混合运算-化简求值，多项式乘多项式法
【分析】所求式子利用多项式乘多项式法则计算，整理后将x+y与xy的值代入计算即可求出值．
解：∵x+y=5，xy=2，
∴(x+1)(y+1)=xy+x+y+1= =2+5+1=8．
故选C
【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：多项式乘多项式法则，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．
【考点】 多项式乘多项式．
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．
解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，
又∵乘积中不含x的一次项，
∴3+m=0，
解得m=﹣3．
故选：A．
【考点】多项式乘多项式
【分析】根据多项式与多项式相乘的法则把原式变形，根据题意得出关于m的方程，解之可得．
解：∵（2x﹣1）（x﹣m）=2x2﹣2mx﹣x+m=2x2﹣（2m+1）x+m，
∴2m+1=0，
解得：m=﹣，
故选：D．
【点评】本题考查的是多项式与多项式相乘的法则，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．
【考点】多项式乘多项式
【分析】利用多项式乘多项式的法则展开，依据常数项是15求解
解：（2x-m）?（x+5）=2x2+10x-mx-5m， ∵常数项为15， ∴-5m=15， ∴m=-3． 故选：B．
【点睛】此题考察了多项式乘多项式，解一元一次方程。关键是掌握多项式乘多项式
的运算法则。
【考点】多项式乘多项式
【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
解：∵（x+3）（x﹣1）=x2﹣mx+n，
∴x2+2x﹣3=x2﹣mx+n，
解得：m=﹣2，n=﹣3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式运算，正确掌握运算法则是解题关键．
二 、填空题
(m-2)(n-1)或mn-m-2n+2
【解析】由图可知：矩形ABCD中去掉小路后,草坪正好可以拼成一个新的矩形,且它的长为：(a?2)米,宽为(b?1)米.
所以草坪的面积应该是长×宽=(a?2)(b?1).
故答案为(a?2)(b?1).
点睛:此题考查了生活中的平移,根据图形得出草坪正好可以拼成一个长方形是解题关键.
－47
【解析】∵(x－5)(x＋9)－2=x2+9x-5x-45-2= x2+4x-47.
∴a=-47.
点睛：本题考查了多项式的乘法，根据多项式与多项式的乘法法则把右边化简，然后根据常数项相等求出a 值.
（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2
【解析】由图可知长方形的面积为：（a+b）（a+2b）=a2+2ab+ab+2b2= a2+3ab+2b2，
故答案为：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2
【考点】多项式乘以多项式，一元一次方程的解法
【分析】方程的左边，按多项式与多项式的乘法运算计算，再合并同类项，最后节方程．
解：2x2-5x+6x-15-（2x2-16x+x-8）=41，
2x2-5x+6x-15-2x2+16x-x+8=41，
16x-7=41，
16x=48，
x=3．
故答案为：x=3．
【点评】此题主要考查一元一次方程的解法，关键是掌握多项式与多项式的乘法运算．
【考点】多项式乘多项式
【分析】先算乘法，再去括号合并同类项，即可得出答案．
解：∵M=（x﹣2）（x﹣8），N=（x﹣3）（x﹣7），
∴M﹣N=（x2﹣10x+16）﹣（x2﹣10x+21）
=﹣5，
故答案：﹣5．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，能熟记多项式乘以多项式法则是解此题的关键．
三 、解答题
6xy－6ax－4by＋4ab(cm2)
【解析】试题分析：此题可将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，则空白部分组成一个长方形，这个大长方形长（3x-2b）cm，宽为（2y-2a），则空白部分的面积=长×宽即可得出．
试题解析：
可设想将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，将9个小矩形组合成“整体”，
一个大的空白长方形，则该长方形的面积就是空白区域的面积.
而这个大长方形长(3x?2b)cm,宽为(2y?2a)cm.
所以空白区域的面积为(3x?2b)(2y?2a)cm2.
即(6xy－6ax－4by＋4ab)cm2.
【考点】多项式乘多项式
【分析】（1）根据长方形的面积公式列出算式，再根据多项式乘多项式法则化简可得；
（2）将a、b的值代入计算可得．
解：（1）该绿化带的面积为（6a+4b）×（3a﹣2b）
=18a2﹣12ab+12ab﹣8b2
=18a2﹣8b2（平方米）；
（2）当a=10、b=5时，
18a2﹣8b2=18×100﹣8×25
=1800﹣200
=1600（平方米）．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及代数式的求值．
（1）255；（2）3，2
【解析】（1）a=1，b=3，按规则操作三次，第一次：c1=7；第二次c2=31；第三次c3=255；
（2）p>q>0，第一次得：c1=pq+p+q=(q+1)(p+1)?1；第二次得c2=(c1+1)(p+1)?1= (p+1)2(q+1)?1；所得新数大于任意旧数，第三次可得c3=(c2+1)(c1+1)?1=(p+1)3(q+1)2?1；故可得结论．
解： (1)a=1，b=3，按规则操作三次，
第一次：c1=ab+a+b=1×3+1+3=7；
第二次，7>3>1所以有：c2=3×7+3+7=31；
第三次：31>7>3所以有：c3=7×31+7+31=255；
(2)p>q>0，第一次得：c1=pq+p+q=(q+1)(p+1)?1；
因为c>p>q,所以第二次得：c2=(c1+1)(p+1)?1=(pq+p+q)p+p+(pq+p+q)=(p+1)2(q+1)?1；
所得新数大于任意旧数,所以第三次可得c3=(c2+1)(c1+1)?1=(p+1)3(q+1)2?1
∴m=3，n=2，
【考点】多项式乘多项式
【分析】（1）观察上面几个式子，发现：左边两个因数的十位数字相同，个位数字和是10；则右边的结果是一个四位数，其中个位和十位上的数是左边两个因数的个位相乘，百位和千位上的数是左边十位上的数字和大于十位数字1的数相乘．根据这一规律即可写出81×89=7209；
（2）根据（1）发现的两个数的特点，用字母表示出来，然后运用公式展开进行证明；
（3）既要叙述等式左边的规律，还要叙述等式右边的规律，即（1）中的叙述．
解：（1）81×89=8×（8+1）×100+1×9=7209；
（2）设这两个两位数分别是10n+a和10n+b，其中a+b=10，
（10n+a）（10n+b）=100n2+（a+b）×10n+ab
=100n2+100n+ab
=100n（n+1）+ab；
（3）两个十位数字相同，个位数字和是10的两个两位数相乘，等于它们的十位数字与十位数字加1的数相乘的100倍，再加上两个数的个位数字的积．
【点评】此题主要考查了整式混合运算的应用，找出题中的规律是解本题的关键．
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
列各式中计算结果是x2-6x+5的是( )
A. （x-2）（x-3） B. （x-6）（x+1） C. （x-1）（x-5） D. （x+6）（x-1）
已知x+y=5，xy=2，则(x+1)(y+1)=（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
若多项式（2x﹣1）（x﹣m）中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
如果关于x的多项式（2x-m）与(x+5)的乘积中，常数项为15，则m的值为( )
A.3 B.－3 C.10 D.－l0
若（x+3）（x﹣1）=x2﹣mx+n，则m+n的值为（ ）
A．﹣5 B．2 C．1 D．﹣1
二 、填空题
如图是一块长方形ABCD的场地，长AB=m米，宽AD=n米，从A、B两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为___．
若的值使得x2＋4x＋a=(x－5)(x＋9)－2成立，则的值为_____________
下图是一个长方形，请你仔细观察图形，写出图中所表示的整式的乘法关系式为__________.
方程（x+3）(2x-5-(2x+1)(x-8)=41的解是______
若M=（x﹣2）（x﹣8），N=（x﹣3）（x﹣7），则M﹣N= ．
三 、解答题
如图，要设计一幅长为3xcm、宽为2ycm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横彩条的宽度为acm，竖彩条的宽度为bcm，问空白区域的面积是多少？
已知一个长方形绿化带的长为（6a+4b）米，宽为（3a﹣2b）米．
（1）求该绿化带的面积（用含有a、b的代数式表示）；
（2）当a=10，b=5时，该绿化带的面积是多少平方米？
已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作。
（1）若a=1，b=3，按上述规则操作3次，扩充所得的数是__________；
（2）若p>q>0，经过3次操作后扩充所得的数为（m，n为正整数），则m，n的值分别为__________.
观察下面的几个算式，你发现了什么规律？
①16×14=224=1×（1+1）+100+6×4
②23×27=621=2×（2+1）×100+3×7
③32×38=1216=3×（3+1）×100+2×8
（1）按照上面的规律，依照上面的书写格式，迅速写出81×89的结果；
（2）用公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab证明上面所发现的规律[提示：可设这个两位数分别是（10n+a）、（10n+b），其中a+b=10]；
（3）简单叙述以上所发现的规律．
答案解析
一 、选择题
【考点】多项式乘以多项式
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，进行计算即可得出正确答案．
解：A、（x-2）（x-3）=x2-6x+6，故本选项错误；
B、（x-6）（x+1）=x2-5x-6，故本选项错误；
C、（x-1）（x-5）=x2-6x+5，故本选项正确；
D、（x+6）（x-1）=x2+5x-6，故本选项错误；
故选C．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
【考点】混合运算-化简求值，多项式乘多项式法
【分析】所求式子利用多项式乘多项式法则计算，整理后将x+y与xy的值代入计算即可求出值．
解：∵x+y=5，xy=2，
∴(x+1)(y+1)=xy+x+y+1= =2+5+1=8．
故选C
【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：多项式乘多项式法则，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．
【考点】 多项式乘多项式．
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．
解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，
又∵乘积中不含x的一次项，
∴3+m=0，
解得m=﹣3．
故选：A．
【考点】多项式乘多项式
【分析】根据多项式与多项式相乘的法则把原式变形，根据题意得出关于m的方程，解之可得．
解：∵（2x﹣1）（x﹣m）=2x2﹣2mx﹣x+m=2x2﹣（2m+1）x+m，
∴2m+1=0，
解得：m=﹣，
故选：D．
【点评】本题考查的是多项式与多项式相乘的法则，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．
【考点】多项式乘多项式
【分析】利用多项式乘多项式的法则展开，依据常数项是15求解
解：（2x-m）?（x+5）=2x2+10x-mx-5m， ∵常数项为15， ∴-5m=15， ∴m=-3． 故选：B．
【点睛】此题考察了多项式乘多项式，解一元一次方程。关键是掌握多项式乘多项式
的运算法则。
【考点】多项式乘多项式
【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
解：∵（x+3）（x﹣1）=x2﹣mx+n，
∴x2+2x﹣3=x2﹣mx+n，
解得：m=﹣2，n=﹣3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式运算，正确掌握运算法则是解题关键．
二 、填空题
(m-2)(n-1)或mn-m-2n+2
【解析】由图可知：矩形ABCD中去掉小路后,草坪正好可以拼成一个新的矩形,且它的长为：(a?2)米,宽为(b?1)米.
所以草坪的面积应该是长×宽=(a?2)(b?1).
故答案为(a?2)(b?1).
点睛:此题考查了生活中的平移,根据图形得出草坪正好可以拼成一个长方形是解题关键.
－47
【解析】∵(x－5)(x＋9)－2=x2+9x-5x-45-2= x2+4x-47.
∴a=-47.
点睛：本题考查了多项式的乘法，根据多项式与多项式的乘法法则把右边化简，然后根据常数项相等求出a 值.
（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2
【解析】由图可知长方形的面积为：（a+b）（a+2b）=a2+2ab+ab+2b2= a2+3ab+2b2，
故答案为：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2
【考点】多项式乘以多项式，一元一次方程的解法
【分析】方程的左边，按多项式与多项式的乘法运算计算，再合并同类项，最后节方程．
解：2x2-5x+6x-15-（2x2-16x+x-8）=41，
2x2-5x+6x-15-2x2+16x-x+8=41，
16x-7=41，
16x=48，
x=3．
故答案为：x=3．
【点评】此题主要考查一元一次方程的解法，关键是掌握多项式与多项式的乘法运算．
【考点】多项式乘多项式
【分析】先算乘法，再去括号合并同类项，即可得出答案．
解：∵M=（x﹣2）（x﹣8），N=（x﹣3）（x﹣7），
∴M﹣N=（x2﹣10x+16）﹣（x2﹣10x+21）
=﹣5，
故答案：﹣5．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，能熟记多项式乘以多项式法则是解此题的关键．
三 、解答题
6xy－6ax－4by＋4ab(cm2)
【解析】试题分析：此题可将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，则空白部分组成一个长方形，这个大长方形长（3x-2b）cm，宽为（2y-2a），则空白部分的面积=长×宽即可得出．
试题解析：
可设想将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，将9个小矩形组合成“整体”，
一个大的空白长方形，则该长方形的面积就是空白区域的面积.
而这个大长方形长(3x?2b)cm,宽为(2y?2a)cm.
所以空白区域的面积为(3x?2b)(2y?2a)cm2.
即(6xy－6ax－4by＋4ab)cm2.
【考点】多项式乘多项式
【分析】（1）根据长方形的面积公式列出算式，再根据多项式乘多项式法则化简可得；
（2）将a、b的值代入计算可得．
解：（1）该绿化带的面积为（6a+4b）×（3a﹣2b）
=18a2﹣12ab+12ab﹣8b2
=18a2﹣8b2（平方米）；
（2）当a=10、b=5时，
18a2﹣8b2=18×100﹣8×25
=1800﹣200
=1600（平方米）．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及代数式的求值．
（1）255；（2）3，2
【解析】（1）a=1，b=3，按规则操作三次，第一次：c1=7；第二次c2=31；第三次c3=255；
（2）p>q>0，第一次得：c1=pq+p+q=(q+1)(p+1)?1；第二次得c2=(c1+1)(p+1)?1= (p+1)2(q+1)?1；所得新数大于任意旧数，第三次可得c3=(c2+1)(c1+1)?1=(p+1)3(q+1)2?1；故可得结论．
解： (1)a=1，b=3，按规则操作三次，
第一次：c1=ab+a+b=1×3+1+3=7；
第二次，7>3>1所以有：c2=3×7+3+7=31；
第三次：31>7>3所以有：c3=7×31+7+31=255；
(2)p>q>0，第一次得：c1=pq+p+q=(q+1)(p+1)?1；
因为c>p>q,所以第二次得：c2=(c1+1)(p+1)?1=(pq+p+q)p+p+(pq+p+q)=(p+1)2(q+1)?1；
所得新数大于任意旧数,所以第三次可得c3=(c2+1)(c1+1)?1=(p+1)3(q+1)2?1
∴m=3，n=2，
【考点】多项式乘多项式
【分析】（1）观察上面几个式子，发现：左边两个因数的十位数字相同，个位数字和是10；则右边的结果是一个四位数，其中个位和十位上的数是左边两个因数的个位相乘，百位和千位上的数是左边十位上的数字和大于十位数字1的数相乘．根据这一规律即可写出81×89=7209；
（2）根据（1）发现的两个数的特点，用字母表示出来，然后运用公式展开进行证明；
（3）既要叙述等式左边的规律，还要叙述等式右边的规律，即（1）中的叙述．
解：（1）81×89=8×（8+1）×100+1×9=7209；
（2）设这两个两位数分别是10n+a和10n+b，其中a+b=10，
（10n+a）（10n+b）=100n2+（a+b）×10n+ab
=100n2+100n+ab
=100n（n+1）+ab；
（3）两个十位数字相同，个位数字和是10的两个两位数相乘，等于它们的十位数字与十位数字加1的数相乘的100倍，再加上两个数的个位数字的积．
【点评】此题主要考查了整式混合运算的应用，找出题中的规律是解本题的关键．