新湘教版 数学 九年级上 4.2 正切教学设计
课题
4.2 正切
单元
第四单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①经历锐角的正切的探索过程，理解正切的概念以及三角函数的概念；
②掌握正切的符号，会根据正切的定义正确求出锐角的正弦值。
③记住特殊角（30°、45°、60°）的正、余弦，正切值；
④能由特殊角度来求角的正切值，由正切值求特殊角的度数；
⑤会用计算器求锐角的正切值，也能由正切值求角的度数。
过程与方法：
①采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、发现、动手操作、归纳、交流等文学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习.
②领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
③通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：
①通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识。
②使学生亲身经历求特殊角的余弦弦值的过程，以及用计算器计算有关余弦的值，感受数学知只的实用性，培养学生积极的情感和态度。
重点
正切的概念、特殊角的三角函数值值，以及有关三角函数的计算。
难点
正切的概念、特殊角的三角函数值值，以及有关三角函数的计算。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
在上节课中，我们已经学习了有关正弦、余弦的定义，以及特殊角度的正弦、余弦的值。而我们这节课要进一步探究直角三角形两直角边的关系。在上新课之前，我们一起回忆下前面学习的知识。
sinα=????
?角α的对边
角α的斜边
=
????
????
cosα=????
?角α的邻边
角α的斜边
=
????
????
sin30°=
1
2
sin45°=
2
2
sin60°=
3
2
cos60°=
1
2
sin45°=
2
2
cos30°=
3
2
锐角三角函数：
1、sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角.
(注意数形结合，构造直角三角形）.
2、sinA、 cosA是一个比值（数值）.。
3、sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
面我们已经研究了直角三角形中的对边与斜边、邻边与斜边的关系。
知道：在直角三角形中， 当一个锐角的大小确定时， 那么不管这个三角形的大小如何， 这个锐角的直角边与斜边的比值也就确定（是一个常数）. 那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？
∠??的对边
∠??的邻边
=
BC
????
=
??
??
是否为一个常数？
/
如图，△ABC和△A’B’C’都是直角三角形，其中，∠A=∠D=∠α，∠C=∠F=90°，则
????
????
=
????
????
成立吗？为什么？
/
∵∠A=∠D=∠α，∠C=∠F=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF
∴
????
????
=
????
????
，即 BC·DF=AC·EF
∴
????
????
=
????
????
.
在直角三角形中，当锐角α的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠ α的对边与邻边的比是一个固定值.
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
从刚刚导入新课的探究中，我们可以得正切的定义：
在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A.
tanA=????
?角A的对边
角A的邻边
=
a
b
/
【探究知识】 1.如何求tan30°、tan60°的值？
解：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=60°,∠A=30°.
于是∠A的对边BC=
1
2
AB.
∴AC2=AB2-BC2=（2BC）2-BC2=3BC2.
∴AC=
3
????
因此tan30°=
BC
AC
=
BC
3
????
=
3
3
； tan60°=
AC
BC
=
3
BC
????
=
3
.
2.如何求 sin 45°的值？
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°.
于是 ∠B = 45°.
从而AC = BC.
因此tan 45°=
BC
AC
=
AC
BC
=1.
/
接下来，我们看一些具体的例子：
【例1】计算：tan45°+tan230°·tan260°
解：原式=1+（
3
3
）2·（
3
）2
=1+1
=2
从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角A,都有唯一确定的比值sin A(或cos A, tan A)与它对应.并且我们还知道，当锐角a变化时，它的比值sin A(cos A, tan A)也随之变化.因此，我们把锐角A的正弦、余弦和正切统称为角A的锐角三角函数.
/
对于锐角三角函数，它们之间有什么关系呢？
tanA=
a
b
=
sinA
cosA
=
a
c
b
c
=
a
b
结论：tanA=
????????
????????
【例2】计算：2tan45°sin30°+3tan230°+tan260°·cos30°
解：原式=2×1×
1
2
+3×（
3
3
）2+（
3
）2×
3
2
=1+3×
1
3
+3×
3
2
=1+1+×
3
3
2
=2+
3
3
2
我们对这部分的内容进行一个小结：
/
【例3】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
/
对于一般锐角α（30°，45°，60°除外）的正切值， 我们可以利用计算器来求.
1.已知角的度数，求正切值：
例：求25°角的余弦值:在计算器上依次按键， /的显示结果为0.6427….
2.如果已知正切值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.
例，已知tanα = 0.391，依次按键，/，显示结果为40.000…，表示角α 约等于40°.
【做一做】利用计算器计算：
（1） tan 21°15 ′ ≈ 0.3888 （精确到0.0001）；
（2） tan 89° 27 ′≈ 104.1709 （精确到0.0001）；
（3） 若tan α = 1.2862， 则α ≈ 52.1 (精确到0.1°）；
（4） 若tan α = 108.5729， 则α ≈ 89.5 （精确到0.1°）.
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握正切的概念、特殊角的正余弦值以及正切值,并能进行简单的计算。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生掌掌握正切的概念、特殊角的正余弦值以及正切值,并能进行简单的计算
让学生知道本节课的学习内容和重点。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
课堂练习
1．填空：
/
2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝5，AB＝12，那么tan B的值是( A )
5
12
B.
12
5
C.
12
13
D.
5
13
3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A等于( D)
A.
3
5
B.
4
5
C.
3
4
D.
4
3
4．用计算器求下列锐角的正切值；(精确到0.000 1)
(1)32°； (2)43°5′； (3)65°23′.
0.6249 0.9352 2.1825
5．已知下列正切值，用计算器求对应的锐角α.(精确0.1°)
(1)tan α＝1.482 6； (2)tan α＝7.915 9；
56.0° 82.8°
/
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
/
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
正切
/
借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业
教材第119页练习第1、2、3、4题.
/
4.2 正切
班级：___________姓名：___________得分：__________
一．选择题。
1．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=
4
3
，BC=8，则AB等于（ ）
A．6 B．
32
3
C．10 D．12
2．sin60°+tan45°的值等于（ ）
A．
2
B．
3
+2
2
C．
3
D．1
3．Rt△ACB中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则tan∠A=（ ）
A．
4
3
B．
4
5
C．
3
5
D．
3
4
4．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则tanB的值为（ ）
/
A．
3
5
B．
3
4
C．
4
5
D．
4
3
5．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（ ）
/
A．
4
5
B．
4
3
C．
3
4
D．
3
5
二．填空题。
6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若tanA=3，AB=
10
，则BC=
7．如图，Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=4，tanA=
4
3
，则AB= ．
/
8．如图，在Rt△ABD中，∠A=90°，点C在AD上，∠ACB=45°，tan∠D=
2
3
，则
????
????
= ．
/
9．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=37°，则BC的长为 （注：tan∠B=0.75，sin∠B=0.6，cos∠B=0.8）
/
10．3．在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，tanA的值为 .
三．解答题。
11．计算：
（1）sin260°﹣tan30°?cos30°+tan45°
（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos254°
12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，tanB=
4
3
，求AB的值．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．
（1）求tan∠BOA的值；
（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标．
/
试题解析
一．选择题
1．【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：∵tanA=
4
3
，
∴sinA=
4
5
，
∴
????
????
=
4
5
，
∴AB=10，
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
2．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【解答】解：sin60°+tan45°
=
3
2
+1
=
3
+2
2
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
3．【分析】利用勾股定理列式求出AC，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可．
【解答】解：如图，根据勾股定理得，AC=
??
??
2
???
??
2
=
5
2
?
4
2
=3，
所以，tan∠A=
????
????
=
4
3
．
故选：A．
/
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．
4．【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据正切函数的意义，可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC=
??
??
2
???
??
2
=
1
0
2
?
8
2
=6，
由正切函数的意义，得
tanB=
????
????
=
8
6
=
4
3
，
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用正切函数等于对边比邻边是解题关键．
5．【分析】过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，
/
则tan∠BAC=
????
????
=
3
4
，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切．
二．填空题
6．【分析】由tanA=
????
????
=3可设BC=3x，则AC=x，依据勾股定理列方程求解可得．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，tanA=
????
????
=3，
∴设BC=3x，则AC=x，
由BC2+AC2=AB2可得9x2+x2=10，
解得：x=1（负值舍去），
则BC=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义和勾股定理．
7．【分析】在Rt△ABC中，已知tanA，BC的值，根据tanA=
????
????
，可将AC的值求出，再由勾股定理可将斜边AB的长求出．
【解答】解：Rt△ABC中，∵BC=4，tanA=
????
????
=
4
3
，
∴AC=
????
????????
=3，
则AB=
??
??
2
+??
??
2
=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，求出AC的值是解题的关键．
8．【分析】由tan∠D=
????
????
=
2
3
可设AB=2x、AD=3x，根据∠ACB=45°知AC=AB=2x，得出CD=x，继而可得答案．
【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠D=
????
????
=
2
3
，
∴设AB=2x，AD=3x，
∵∠ACB=45°，
∴AC=AB=2x，
则CD=AD﹣AC=3x﹣2x=x，
∴
????
????
=
??
2??
=
1
2
，
故答案为：
1
2
．
【点评】本题主要考查锐角三角形函数的定义，解题的关键是熟练掌握正切函数的定义及等腰三角形的性质．
9．【分析】利用正切的定义得到tanB=
????
????
，然后把tan∠B=0.75，sAC=3代入计算即可．
【解答】解：∵∠C=90°，
∴tanB=
????
????
，
∴BC=
3
??????37°
=
3
0.75
=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦、余弦和正切的定义．
10．【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：sinA=
??
??
=
??
3??
=
1
3
，∴tanA=
1
2
2
=
2
4
，
【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
三．解答题
11．【分析】根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．
【解答】解：（1）原式=（
3
2
）2﹣
3
3
×
3
2
+1=
3
4
﹣
3
4
+1=1
（2）原式=（cos245°+sin245°）+（sin254°+cos254°）=1+1=2
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练运用特殊角的锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
12．【分析】利用锐角三角函数定义求出BC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可．
/
/
【点评】此题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
13．【分析】（1）根据正切的定义，对边与相邻的斜边的比，即可求解；
（2）根据图形，确定旋转以后的位置，可以直接写出坐标．
【解答】解：（1）tan∠BOA=
????
????
=
2
4
=
1
2
；
（2）点C的坐标是（﹣2，4）．
【点评】本题主要考查了正切的定义以及图形的旋转，正确理解定义是解题的关键．
/
课件28张PPT。4.2 正切数学湘教版 九年级上?回顾知识 锐角三角函数：
1、sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角.
(注意数形结合，构造直角三角形）.
2、sinA、 cosA是一个比值（数值）.。
3、sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.回顾知识导入知识 前面我们已经研究了直角三角形中的对边与斜边、邻边与斜边的关系。
知道：在直角三角形中， 当一个锐角的大小确定时， 那么不管这个三角形的大小如何， 这个锐角的直角边与斜边的比值也就确定（是一个常数）. 那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？?导入知识?? 在直角三角形中，当锐角α的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠ α的对边与邻边的比是一个固定值.讲解知识 在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A.思考：tanA和tanB是什么关系？tanA和tanB互为倒数，即tanA（90°-A）=1讲解知识 1.如何求tan30°、tan60°的值？ ?讲解知识2.如何求 tan 45°的值？??????????讲授知识讲解知识【例1】计算：tan45°+tan230°·tan260°? 从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角A,都有唯一确定的比值sin A(或cos A, tan A)与它对应.并且我们还知道，当锐角a变化时，它的比值sin A(cos A, tan A)也随之变化.因此，我们把锐角A的正弦、余弦和正切统称为角A的锐角三角函数.讲解知识??? 对于锐角三角函数，它们之间有什么关系呢？讲解知识??讲解知识【例2】计算：2tan45°sin30°+3tan230°+tan260°·cos30°?讲解知识?????????讲解知识 有关特殊角的三角函数值的计算，先直接写出三角函数值，将运算转化为实数的混合运算，然后根据实数的运算法则计算．讲解知识【例3】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.解：由勾股定理得因此讲解知识 已知直角三角形的任意两边长求某个锐角的三角函数值时，运用数形结合思想，首先画出符合题意的直角三角形，然后根据勾股定理求出未知边长，最后结合锐角三角函数的定义求三角函数值．讲解知识对于一般锐角α（30°，45°，60°除外）的正切值， 我们可以利用计算器来求. 1.已知角的度数，求正切值：
例：求25°角的余弦值:在计算器上依次按键， 的显示结果为0.6427….
2.如果已知正切值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.
例如，已知tanα = 0.391，依次按键， ，显示结果为40.000…，表示角α 约等于40°.讲解知识 利用计算器计算：
（1） tan 21°15 ′ ≈ （精确到0.0001）；
（2） tan 89° 27 ′≈ （精确到0.0001）；
（3） 若tan α = 1.2862， 则α ≈ (精确到0.1°）；
（4） 若tan α = 108.5729， 则α ≈ （精确到0.1°）.0.3889104.170952.189.5?????????课堂练习 1．填空：?课堂练习AD4．用计算器求下列锐角的正切值；(精确到0.000 1)
(1)32°； (2)43°5′； (3)65°23′.
5．已知下列正切值，用计算器求对应的锐角α.(精确到0.1°)
(1)tan α＝1.482 6； (2)tan α＝7.915 9；课堂练习0.62490.93522.182556.0°82.8°?课堂练习??课堂总结?????????板书设计?????????作业布置教材第119页练习第1、2、3、4题. 谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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