14.3 .2公式法（3）课时作业
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14.3 .2公式法（3）课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
把代数式2x2﹣18分解因式，结果正确的是（ ）
A．2（x2﹣9） B．2（x﹣3）2
C．2（x+3）（x﹣3） D．2（x+9）（x﹣9）
下列各式分解因式正确的是（ ）
A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2 B．2x2﹣4xy+9y2=（2x﹣3y）2
C．2x2﹣8y2=2（x+4y）（x﹣4y） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）
下列因式分解正确的是
A． 4m2-4m+1=4m（m-1） B． a3b2-a2b+a2=a2（ab2-b）
C． x2-7x-10=（x-2）（x-5） D． 10x2y-5xy2=5xy（2x-y）
a是有理数，则多项式﹣a2+a﹣的值（ ）
A． 一定是正数 B． 一定是负数
C． 不可能是正数 D． 不可能是负数
已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为(+x+a)(x+b)其中a,b均为整数，则a+3b=（ ）
A. 30 B. C. 31 D.
对于非零的两个实数a，b，规定，那么将结果再进行分解因式，则为（ ）
A.a(a+2)(a-2) B. a(a+4)(a-4)
C.(a+4)(a-4) D.a(a2+4)
二 、填空题
分解因式：2a2﹣8b2= ．
在实数范围内分解因式：a﹣4a3= ．
因式分解：x2﹣x﹣12= ．
若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017= ．
若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
三 、解答题
因式分解：
（1）20a3﹣30a2 （2）16﹣（2a+3b）2
（3）﹣16x2y2+12xy3z （4）5x2y﹣25x2y2+40x3y
分解因式：（1）25（x+y）2﹣9（x﹣y）2 （2）m2﹣3m﹣28
（3）x2+x﹣20．
分解因式
（1）x3﹣2x2+3x﹣2
（2）2x3+x2﹣5x﹣4
（3）x3﹣x2+2x﹣8．
我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
答案解析
一 、选择题
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3）．
故选：C．
【考点】公式法，提取公因式法分解因式
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
解：A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，正确；
B、2x2﹣4xy+9y2=无法分解因式，故此选项错误；
C、2x2﹣8y2=2（x+2y）（x﹣2y），故此选项错误；
D、x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
【考点】因式分解
【分析】A、利用完全平方公式分解；
B、利用提取公因式a2进行因式分解；
C、利用十字相乘法进行因式分解；
D、利用提取公因式5xy进行因式分解．
解：A、4m2-4m+1=（2m-1）2，故本选项错误；
B、a3b2-a2b+a2=a2（ab2-b+1），故本选项错误；
C、（x-2）（x-5）=x2-7x+10，故本选项错误；
D、10x2y-5xy2=xy（10x-5y）=5xy（2x-y），故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解，要想灵活运用各种方法进行因式分解，需要熟练掌握各种方法的公式和法则；分解因式中常出现错误的有两种：①丢项：整项全部提取后要剩1，分解因式后项数不变；②有些结果没有分解到最后，如最后一个选项需要一次性将公因式提完整或进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．
【考点】因式分解-运用公式法；非负数的性质：偶次方．
【分析】直接利用提取公因式法以及完全平方公式分解因式得出，再结合偶次方的性质得出即可．
解：∵﹣a2+a﹣=﹣（a﹣）2，
∴多项式﹣a2+a﹣的值不可能是正数．
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
【考点】因式分解-提公因式法
【分析】首先提取公因式，进而合并同类项得出a，b的值，进而得出答案．
解：∵（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13） =（3x-7）（2x-21-x+13） =（3x-7）（x-8）， =（3x+a）（x+b）， ∴a=-7，b=-8， 故a+3b=-7-24=-31，
故选择D
【点评】此题主要考查了提取公因式法的应用，正确提取公因式是解题关键．
【考点】用公式法因式分解
【分析】利用定义转换成数学式子，然后再分解因式
解：∵，
∴=a3-16a=a(a2-16)=a(a+4)(a-4).
故选B.
【点睛】本题考察了新定义和分解因式，弄清题中的新定义是解本题的关键．
二 、填空题
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：2a2﹣8b2，
=2（a2﹣4b2），
=2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：2（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
【考点】实数范围内分解因式；因式分解-提公因式法；因式分解-运用公式法．
【分析】先提公因式，再根据平方差公式分解即可．
解：a﹣4a3=a（1﹣4a2）
=a（1+2a）（1﹣2a）．
故答案为：a（1+2a）（1﹣2a）．
【点评】本题考查了对分解因式的方法的理解，能熟练地运用因式分解的方法分解因式是解此题的关键．
【考点】因式分解-十字相乘法等．
【分析】根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解．
解：x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．
【考点】因式分解的应用．
【分析】把2x2分解成x2与x2相加，然后把所求代数式整理成用x2﹣x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．
解：∵x2﹣2x﹣1=0，
∴x2﹣2x=1，
2x3﹣7x2+4x﹣2017
=2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2017，
=2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2017，
=6x﹣3x2﹣2017，
=﹣3（x2﹣2x）﹣2017
=﹣3﹣2017
=﹣2020，
故答案为：﹣2020．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．
【考点】因式分解的应用
【分析】根据a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2=ab[（a+b）2﹣4ab]，结合已知数据即可求出代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．
解：∵a+b=2，ab=﹣3，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=ab[（a+b）2﹣2ab][来源:中*国教育出版^网%~#]
=3（4+6）
=30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分解各种方法的灵活运用是解题的关键．
三 、解答题
【分析】多项式有公因式时，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，若2项，考虑平方差公式，若3项，考虑完全平方公式和十字相乘法．
解：（1）20a3﹣30a2=10a2（2a﹣3）；
（2）16﹣（2a+3b）2
=42﹣（2a+3b）2
=（4+2a+3b）（4﹣2a﹣3b）；
（3）﹣16x2y2+12xy3z=﹣4xy2（4x﹣3yz）；
（4）5x2y﹣25x2y2+40x3y=5x2y（1﹣5y+8x）；
【分析】多项式有公因式时，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，若2项，考虑平方差公式，若3项，考虑完全平方公式和十字相乘法．
解：（1 ）25（x+y）2﹣9（x﹣y）2
=[5（x+y）+3（x﹣y）][5（x+y）﹣3（x﹣y）]
=（8x+2y）（2x+8y）；
（2）m2﹣3m﹣28
=（m﹣7）（m+4）；
（3）x2+x﹣20
=（x+5）（x﹣4）．
【分析】（1）先变形为x3﹣2x2+x+2x﹣2，再三二分组，再根据提取公因式法和完全平方公式分解因式即可；
（2）先变形为2x3+x2﹣x﹣4x﹣4，再三二分组，再根据提取公因式法和十字相乘法分解因式即可；
（3）先变形为x3﹣x2﹣2x+4x﹣8，再三二分组，再根据提取公因式法和十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：（1）x3﹣2x2+3x﹣2
=x3﹣2x2+x+2x﹣2
=x（x﹣1）2+2（x﹣1）
=（x﹣1）（x2﹣x+2）；
（2）2x3+x2﹣5x﹣4
=2x3+x2﹣x﹣4x﹣4
=x（2x﹣1）（x+1）﹣4（x+1）
=（x+1）（2x2﹣x﹣4）；
（3）x3﹣x2+2x﹣8
=x3﹣x2﹣2x+4x﹣8
=x（x﹣2）（x+1）+4（x﹣2）
=（x﹣2）（x2+x+4）．
【点评】考查了因式分解﹣分组分解法，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
【考点】因式分解的应用．
【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，
∵＞＞＞＞，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．
【考点】因式分解的应用
【分析】（1）直接利用配方法得出关于x，y的值即可求出答案；
（2）直接利用配方法得出关于a，b的值即可求出答案；
（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．
解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8．
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
把代数式2x2﹣18分解因式，结果正确的是（ ）
A．2（x2﹣9） B．2（x﹣3）2
C．2（x+3）（x﹣3） D．2（x+9）（x﹣9）
下列各式分解因式正确的是（ ）
A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2 B．2x2﹣4xy+9y2=（2x﹣3y）2
C．2x2﹣8y2=2（x+4y）（x﹣4y） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）
下列因式分解正确的是
A． 4m2-4m+1=4m（m-1） B． a3b2-a2b+a2=a2（ab2-b）
C． x2-7x-10=（x-2）（x-5） D． 10x2y-5xy2=5xy（2x-y）
a是有理数，则多项式﹣a2+a﹣的值（ ）
A． 一定是正数 B． 一定是负数
C． 不可能是正数 D． 不可能是负数
已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为(+x+a)(x+b)其中a,b均为整数，则a+3b=（ ）
A. 30 B. C. 31 D.
对于非零的两个实数a，b，规定，那么将结果再进行分解因式，则为（ ）
A.a(a+2)(a-2) B. a(a+4)(a-4)
C.(a+4)(a-4) D.a(a2+4)
二 、填空题
分解因式：2a2﹣8b2= ．
在实数范围内分解因式：a﹣4a3= ．
因式分解：x2﹣x﹣12= ．
若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017= ．
若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
三 、解答题
因式分解：
（1）20a3﹣30a2 （2）16﹣（2a+3b）2
（3）﹣16x2y2+12xy3z （4）5x2y﹣25x2y2+40x3y
分解因式：（1）25（x+y）2﹣9（x﹣y）2 （2）m2﹣3m﹣28
（3）x2+x﹣20．
分解因式
（1）x3﹣2x2+3x﹣2
（2）2x3+x2﹣5x﹣4
（3）x3﹣x2+2x﹣8．
我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
答案解析
一 、选择题
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3）．
故选：C．
【考点】公式法，提取公因式法分解因式
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
解：A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，正确；
B、2x2﹣4xy+9y2=无法分解因式，故此选项错误；
C、2x2﹣8y2=2（x+2y）（x﹣2y），故此选项错误；
D、x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
【考点】因式分解
【分析】A、利用完全平方公式分解；
B、利用提取公因式a2进行因式分解；
C、利用十字相乘法进行因式分解；
D、利用提取公因式5xy进行因式分解．
解：A、4m2-4m+1=（2m-1）2，故本选项错误；
B、a3b2-a2b+a2=a2（ab2-b+1），故本选项错误；
C、（x-2）（x-5）=x2-7x+10，故本选项错误；
D、10x2y-5xy2=xy（10x-5y）=5xy（2x-y），故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解，要想灵活运用各种方法进行因式分解，需要熟练掌握各种方法的公式和法则；分解因式中常出现错误的有两种：①丢项：整项全部提取后要剩1，分解因式后项数不变；②有些结果没有分解到最后，如最后一个选项需要一次性将公因式提完整或进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．
【考点】因式分解-运用公式法；非负数的性质：偶次方．
【分析】直接利用提取公因式法以及完全平方公式分解因式得出，再结合偶次方的性质得出即可．
解：∵﹣a2+a﹣=﹣（a﹣）2，
∴多项式﹣a2+a﹣的值不可能是正数．
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
【考点】因式分解-提公因式法
【分析】首先提取公因式，进而合并同类项得出a，b的值，进而得出答案．
解：∵（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13） =（3x-7）（2x-21-x+13） =（3x-7）（x-8）， =（3x+a）（x+b）， ∴a=-7，b=-8， 故a+3b=-7-24=-31，
故选择D
【点评】此题主要考查了提取公因式法的应用，正确提取公因式是解题关键．
【考点】用公式法因式分解
【分析】利用定义转换成数学式子，然后再分解因式
解：∵，
∴=a3-16a=a(a2-16)=a(a+4)(a-4).
故选B.
【点睛】本题考察了新定义和分解因式，弄清题中的新定义是解本题的关键．
二 、填空题
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：2a2﹣8b2，
=2（a2﹣4b2），
=2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：2（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
【考点】实数范围内分解因式；因式分解-提公因式法；因式分解-运用公式法．
【分析】先提公因式，再根据平方差公式分解即可．
解：a﹣4a3=a（1﹣4a2）
=a（1+2a）（1﹣2a）．
故答案为：a（1+2a）（1﹣2a）．
【点评】本题考查了对分解因式的方法的理解，能熟练地运用因式分解的方法分解因式是解此题的关键．
【考点】因式分解-十字相乘法等．
【分析】根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解．
解：x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．
【考点】因式分解的应用．
【分析】把2x2分解成x2与x2相加，然后把所求代数式整理成用x2﹣x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．
解：∵x2﹣2x﹣1=0，
∴x2﹣2x=1，
2x3﹣7x2+4x﹣2017
=2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2017，
=2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2017，
=6x﹣3x2﹣2017，
=﹣3（x2﹣2x）﹣2017
=﹣3﹣2017
=﹣2020，
故答案为：﹣2020．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．
【考点】因式分解的应用
【分析】根据a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2=ab[（a+b）2﹣4ab]，结合已知数据即可求出代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．
解：∵a+b=2，ab=﹣3，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=ab[（a+b）2﹣2ab][来源:中*国教育出版^网%~#]
=3（4+6）
=30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分解各种方法的灵活运用是解题的关键．
三 、解答题
【分析】多项式有公因式时，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，若2项，考虑平方差公式，若3项，考虑完全平方公式和十字相乘法．
解：（1）20a3﹣30a2=10a2（2a﹣3）；
（2）16﹣（2a+3b）2
=42﹣（2a+3b）2
=（4+2a+3b）（4﹣2a﹣3b）；
（3）﹣16x2y2+12xy3z=﹣4xy2（4x﹣3yz）；
（4）5x2y﹣25x2y2+40x3y=5x2y（1﹣5y+8x）；
【分析】多项式有公因式时，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，若2项，考虑平方差公式，若3项，考虑完全平方公式和十字相乘法．
解：（1 ）25（x+y）2﹣9（x﹣y）2
=[5（x+y）+3（x﹣y）][5（x+y）﹣3（x﹣y）]
=（8x+2y）（2x+8y）；
（2）m2﹣3m﹣28
=（m﹣7）（m+4）；
（3）x2+x﹣20
=（x+5）（x﹣4）．
【分析】（1）先变形为x3﹣2x2+x+2x﹣2，再三二分组，再根据提取公因式法和完全平方公式分解因式即可；
（2）先变形为2x3+x2﹣x﹣4x﹣4，再三二分组，再根据提取公因式法和十字相乘法分解因式即可；
（3）先变形为x3﹣x2﹣2x+4x﹣8，再三二分组，再根据提取公因式法和十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：（1）x3﹣2x2+3x﹣2
=x3﹣2x2+x+2x﹣2
=x（x﹣1）2+2（x﹣1）
=（x﹣1）（x2﹣x+2）；
（2）2x3+x2﹣5x﹣4
=2x3+x2﹣x﹣4x﹣4
=x（2x﹣1）（x+1）﹣4（x+1）
=（x+1）（2x2﹣x﹣4）；
（3）x3﹣x2+2x﹣8
=x3﹣x2﹣2x+4x﹣8
=x（x﹣2）（x+1）+4（x﹣2）
=（x﹣2）（x2+x+4）．
【点评】考查了因式分解﹣分组分解法，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
【考点】因式分解的应用．
【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，
∵＞＞＞＞，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．
【考点】因式分解的应用
【分析】（1）直接利用配方法得出关于x，y的值即可求出答案；
（2）直接利用配方法得出关于a，b的值即可求出答案；
（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．
解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8．