第14章 整式的乘法与因式分解单元检测试题B卷（含答案）

第14章 整式的乘法与因式分解单元检测试题B卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
一 、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。的）
下列计算正确是（　　）
A．a2?a3=a6 B．a3﹣a2=a C．（a3）2=a6 D．2a5÷a4=a
如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（　　）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）=a2+ab
下列计算错误的是（　　）
A．a2÷a0?a2=a4 B．a2÷（a0?a2）=1
C．（﹣1.5）8÷（﹣1.5）7=﹣1.5 D．﹣1.58÷（﹣1.5）7=﹣1.5
一个长方形的面积为x2﹣2xy+x，长是x，则这个长方形的宽是( )
A．x﹣2y B．x+2y C．x﹣2y﹣1 D．x﹣2y+1
下列分解因式正确的是( )
A.x3-x=x(x2-1)． B.(a+3)(a-3)=a2-9
C.a2-9=(a+3)(a-3). D.x2+y2=(x+y)(x-y).
当m为正整数时，计算xm﹣1xm+1（﹣2xm）2的结果为（　　）
A．﹣4x4m B．2x4m C．﹣2x4m D．4x4m
已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值( )
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
如果5x=m，5y=n，那么5x﹣y等于（　　）
A．m+n B．m﹣n C．mn D．
如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（　　）
A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2 m+6
要使(x2＋ax＋1)·(－6x3)的展开式中不含x4项，则a应等于( )
A. 6 B. －1 C. D. 0
对实数a、b，定义运算☆如下：a☆b=，例如2☆3=．计算[2☆（﹣4）]×[（﹣4）☆（﹣2）]=　　　　　　．　
n是整数，式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（ ）
A．是0 B．总是奇数
C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数
二 、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共24分）
已知a、b满足，则________.
化简：（a+4）（a﹣2）﹣a（a+1）=　 　．
若a﹣b=1，则整式a﹣（b﹣2）的值是　　．
已知实数m，n满足m-n2=1，则代数式m2+2n2+4m-1的最小值等于_________．
我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”.此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律.
（1）请仔细观察，填出(a＋b)4的展开式中所缺的系数．(a＋b)4＝a4＋4a3b＋_____a2b2＋4ab2＋b4
（2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期____．
如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：3=22﹣12，3就是一个智慧数，在正整数中，从1开始，第2017个智慧数是　 　．
三 、解答题（本大题共8小题，共78分）
如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的直居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道．问剩余草坪的面积是多少平方米？
已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．
老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
×（﹣xy）=3x2y﹣xy2+xy
（1）求所捂的多项式；
（2）若x=，y=，求所捂多项式的值．
（）如果，求的值．
（）已知，求的值．
在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x4﹣y4=（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x=9，y=9时，x﹣y=0，x+y=18，x2+y2=162，则密码018162．对于多项式4x3﹣xy2，取x=10，y=10，用上述方法产生密码是什么？
连续整数之间有许多神奇的关系，
如：32+42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a，b，c（a＜b＜c）
若a2+b2=c2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”；
若a2+b2＜c2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；
若a2+b2＞c2，则称这样的正整数组为“梦幻数组”．
（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”；
（2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：
若有3个连续整数：=2；
若有5个连续整数：=2；
若有7个连续整数：=2；
…
由此获得启发，若存在n（7＜n＜11）个连续正整数也满足上述规律，求这n个数．
阅读下列各式：（a?b）2=a2b2，（a?b）3=a3b3，（a?b）4=a4b4…
回答下列三个问题：
（1）验证：（2×）100=　 　，2100×（）100=　 　；
（2）通过上述验证，归纳得出：（a?b）n=　 　； （abc）n=　 　．
（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2017×22016×42015．
在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0．求m和n的值．
解：因为m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝(m2＋2mn＋n2)＋(n2－6n＋9)
＝(m＋n)2＋(n－3)2＝0
所以m＋n＝0，n－3＝0即m＝－3．n＝3
问题(1)若x2＋2xy＋2y2－4y＋4＝0，求xy的值．
(2)若a、b、c是△ABC的长，满足a2＋b2＝10a＋8b－41，c是△ABC中最长边的边长，且c为偶数，那么c可能是哪几个数？
第14章 整式的乘法与因式分解单元检测试题B卷答案解析
一 、选择题
【考点】整式的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】各项利用同底数幂的乘法，单项式除以单项式法则，以及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．
解：A、a2?a3=a5，错误；
B、原式不能合并，错误；
C、（a3）2=a6，正确；
D、2a5÷a4=2a，错误，
故选C
【点评】此题考查了整式的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【考点】 完全平方公式的几何背景．
【分析】根据图形得出阴影部分的面积是（a﹣b）2和b2，剩余的矩形面积是（a﹣b）b和（a﹣b）b，即大阴影部分的面积是（a﹣b）2，即可得出选项．
解：从图中可知：阴影部分的面积是（a﹣b）2和b2，剩余的矩形面积是（a﹣b）b和（a﹣b）b，
即大阴影部分的面积是（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，
故选C．
【考点】同底数幂的除法，同底数幂的乘法，零指数幂
【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，逐项判定即可．
解：∵a2÷a0?a2=a4，
∴选项A不符合题意；
∵a2÷（a0?a2）=1，
∴选项B不符合题意；
∵（﹣1.5）8÷（﹣1.5）7=﹣1.5，
∴选项C不符合题意；
∵﹣1.58÷（﹣1.5）7=1.5，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
【考点】整式的除法．
【分析】由长方形面积公式知，求长方形的宽，则由面积除以它的长即得．
解：（x2﹣2xy+x）÷x
=x2÷x﹣2xy÷x+x÷x
=x﹣2y+1．
故选：D．
点评：本题考查了整式的除法，用多项式的每一项除以单项式，再合并起来即可．
【考点】因式分解的意义
【分析】原式各项利用因式分解的方法计算得到结果，即可做出判断．
解：因为，故A选项错误；
因为属于计算，故B选项错误；
因为，故C选项正确；
因为，故D选项错误。
故选择C
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方
【分析】利用同底数幂的乘法与幂的乘方的知识求解即可求得答案．
解：∵m为正整数时，
∴xm﹣1xm+1（﹣2xm）2=xm﹣1xm+1?4x2m=4x（m﹣1）+（m+1）+2m=4x4m．
故选：D．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方的知识．注意掌握指数与符号的变化是解此题的关键．
【考点】因式分解的应用；三角形三边关系．
【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．
解：∵（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．
故选：B．
【点评】此题主要考查了因式分解的实际运用，正确应用平方差公式是解题关键．
【考点】同底数幂的除法
【分析】直接根据同底数幂的除法法则进行计算即可．
解：∵5x=m，5y=n，
∴5x﹣y=5x÷5y=m÷n=．
故选：D．
【点评】本题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法法则是解答此题的关键．
【考点】平方差公式的几何背景
【分析】由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积剩余部分的面积可以求出，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．
解：依题意得，剩余部分为：
（m+3）2﹣m2=m2+6m+9﹣m2=6m+9，
而拼成的矩形一边长为3，
∴另一边长是（6m+9）÷3=2m+3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则．
【考点】单项式与多项式相乘
【分析】根据单项式与多项式相乘的法则展开，然后让x4项的系数等于0，列式求解即可．
原式=，
根据题意可得：-6a=0，
解得：a=0，
故选D．
【点评】本题考查了单项式与多项式相乘，不含某一项就是让这一项的系数等于0．
【考点】实数的运算；负整数指数幂．
【分析】先判断算式a☆b中，a与b的大小，转化为对应的幂运算，再进行乘法运算．
解：[2☆（﹣4）]×[（﹣4）☆（﹣2）]，
=2﹣4×（﹣4）2，
=×16，
=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、正指数幂、新定义等考点的运算．
【考点】因式分解的应用
【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的．
解：当n是偶数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）=[1﹣1]（n2﹣1）=0，
当n是奇数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）=×（1+1）（n+1）（n﹣1）=，
设n=2k﹣1（k为整数），则==k（k﹣1），
∵0或k（k﹣1）（k为整数）都是偶数，
故选C．
【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．
二 、填空题
【考点】运用公式法-完全平方公式
【分析】先根据完全平方公式的特征对等式的左边进行因式分解可得:,再根据非负数的非负性可得:,然后代入求解即可.
解:因为,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以.
【点睛】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解,解决本题的关键是要熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解.
【考点】单项式乘多项式；多项式乘多项式
【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则化简得出答案．
解：（a+4）（a﹣2）﹣a（a+1）
=a2+2a﹣8﹣a2﹣a
=a﹣8．
故答案为：a﹣8．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
【考点】整式的加减—化简求值．
【分析】先化简，再整理，使结果中出现a﹣b的形式，再代入计算即可．
解：a﹣（b﹣2）=a﹣b+2，
∵a﹣b=1，
∴a﹣b+2=1+2=3．
故答案是3．
【点评】本题考查整式的加减，涉及代入求值．　
【考点】配方法的应用,非负数的性质：偶次方
【分析】已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可确定出最小值．
解：∵m-n2=1，即n2=m-1≥0，m≥1，∴原式=m2+2m-2+4m-1=m2+6m+9-12=（m+3）2-12，则代数式m2+2n2+4m-1的最小值等于（1+3）2-12=4．故答案为：4．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【考点】完全平方公式
【分析】（1）根据杨辉三角，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，然后写出各项的系数即可；（2）根据814=（7+1）14=714+14×713+91×712+…+14×7+1可知814除以7的余数为1，从而可得答案．
解：（1）（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab2+b4，
（2）∵814=（7+1）14=714+14×713+91×712+…+14×7+1，
∴814除以7的余数为1，
∴假如今天是星期三，那么再过814天是星期四．
【点睛】本题考查了完全平方公式，能发现（a+b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）n-1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．
【考点】平方差公式．
【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），因为m，n是正整数，因而m+n和m﹣n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．
解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1）2﹣k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．
对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）2﹣（k﹣1）2（k=2，3，…）．
即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．
对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），其中x，y为正整数，
当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x﹣y）被4整除，而4k+2不被4整除；
当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x﹣y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．
所以不存在自然数x，y使得x2﹣y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．
因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．
因为2017=（1+3×672），4×（672+1）=2692，所以2692是第2017个“智慧数”，
故答案为：2692．
【点评】本题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．　
三 、解答题
【考点】多项式乘多项式
【分析】根据剩余草坪的面积=大长方形面积﹣通道的面积计算即可．
解：（4a+3b）（2a+3b）﹣（6ab+5b2）
=8a2+6ab+12ab+9b2﹣6ab﹣5b2
=8a2+12ab+4b2（平方米），
答：剩余草坪的面积是（8a2+12ab+4b2）平方米．
【点评】本题考查多项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则，属于中考常考题型．
【考点】因式分解的应用
【分析】先求出x﹣y=4，进而求出2x=7，而2x2﹣2xy=2x（x﹣y），代入即可得出结论．
解：∵x2﹣y2=12，
∴（x+y）（x﹣y）=12，
∵x+y=3①，
∴x﹣y=4②，
①+②得，2x=7，
∴2x2﹣2xy=2x（x﹣y）=7×4=28．
【考点】单项式乘多项式
【分析】（1）设多项式为A，则A=（3x2y﹣xy2+xy）÷（﹣xy）计算即可．
（2）把x=，y=代入多项式求值即可．
解：（1）设多项式为A，
则A=（3x2y﹣xy2+xy）÷（﹣xy）=﹣6x+2y﹣1．
（2）∵x=，y=，
∴原式=﹣6×+2×﹣1=﹣4+1﹣1=﹣4．
【点评】本题考查单项式乘多项式、多项式除以单项式的法则，解题的关键是利用乘法与除法是互为逆运算，把乘法转化为除法解决问题，属于基础题．
【考点】幂的乘方
【分析（1）由，可求得，又由，即可求出答案；（2）利用幂的乘方的逆运算把化为，把已知代入即可求解.
解:（）因为，
所以，
所以．
（）因为，
所以．
【点睛】熟记幂的乘方法则，利用幂的乘方的逆运算是关键
【考点】因式分解的应用．
【分析】首先将多项式4x3﹣xy2进行因式分解，得到4x3﹣xy2=x（2x+y）（2x﹣y），然后把x=10，y=10代入，分别计算出2x+y=及2x﹣y的值，从而得出密码．
解：原式=x（4x2﹣y2）=x（2x+y）（2x﹣y），
当x=10，y=10时，
x=10，2x+y=30，2x﹣y=10，
故密码为103010或101030或301010．
【点评】本题是中考中的新题型．考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．
【分析】（1）根据“魔幻数组”的定义，找出所有的“魔幻数组”即可得出结论；
（2）根据规律找出n=9，设出这9个数，再根据“科幻数组”的特征找出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论．
解：（1）1，2，3及2，3，4．
（2）由已知可得：
32+42=52，102+112+122=132+142，212+222+232+242=252+262+272，…
故可知n=9，可设这9个数为m﹣4，m﹣3，m﹣2，m﹣1，m，m+1，m+2，m+3，m+4，则有：
（m﹣4）2+（m﹣3）2+（m﹣2）2+（m﹣1）2+m2=（m+1）2+（m+2）2+（m+3）2+（m+4）2，
整理得：m2﹣40m=0，由题意m不为0，故m=40，
∴这9个数为36，37，38，39，40，41，42，43，44．
【点评】本题考查了新定义的应用，根据新定义的意义找出方程是解题的关键．
【考点】同底数幂的乘法，积的乘方
【分析】（1）先算括号内的乘法，再算乘方；先乘方，再算乘法；
②根据有理数乘方的定义求出即可；
③根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案．
解：（1）（2×）100=1，2100×（）100=1；
②（a?b）n=anbn，（abc）n=anbncn，
③原式=（﹣0.125）2015×22015×42015×[（﹣0.125）×（﹣0.125）×2]
=（﹣0.125×2×4）2015×
=（﹣1）2015×
=﹣1×
=﹣．
故答案为：1，1；anbn，anbncn．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方，掌握运算法则是解答此题的关键．
【考点】因式分解方法的应
【分析】（1）根据x2+2xy+2y2-4y+4=0，应用因式分解的方法，判断出（x+y）2+（y-2）2=0，求出x、y的值各是多少，再把它们相乘，求出xy的值是多少即可；
（2）首先根据a2+b2=10a+8b-41，应用因式分解的方法，判断出（a-5）2+（b-4）2=0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出△ABC的最大边c的值是多少即可；
解：(1)∵x2+2xy+2y2?4y+4=0，
∴(x2+2xy+y2)+(y2?4y+4)=0，
∴(x+y)2+(y?2)2=0，
∴x+y=0，y?2=0，
∴x=?2，y=2，
∴xy=(?2)×2=?4，
即xy的值是?4.
(2)∵a2+b2=10a+8b?41，
a2+b2?10a?8b+41=0，
∴(a2?10a+25)+(b2?8b+16)=0，
∴(a?5)2+(b?4)2=0，
∴a?5=0，b?4=0，
∴a=5，b=4，
∵5?4∴5?c<9，
∵c是偶数，
∴△ABC的最长边c的值可能是6、8.
【点评】（1）此题主要考查了因式分解方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
（2）此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
　

第14章 整式的乘法与因式分解单元检测试题B卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
一 、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。的）
1.下列计算正确是（　　）
A．a2?a3=a6 B．a3﹣a2=a C．（a3）2=a6 D．2a5÷a4=a
2.如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（　　）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）=a2+ab
3.下列计算错误的是（　　）
A．a2÷a0?a2=a4 B．a2÷（a0?a2）=1
C．（﹣1.5）8÷（﹣1.5）7=﹣1.5 D．﹣1.58÷（﹣1.5）7=﹣1.5
4.一个长方形的面积为x2﹣2xy+x，长是x，则这个长方形的宽是( )
A．x﹣2y B．x+2y C．x﹣2y﹣1 D．x﹣2y+1
5.下列分解因式正确的是( )
A.x3-x=x(x2-1)． B.(a+3)(a-3)=a2-9
C.a2-9=(a+3)(a-3). D.x2+y2=(x+y)(x-y).
6.当m为正整数时，计算xm﹣1xm+1（﹣2xm）2的结果为（　　）
A．﹣4x4m B．2x4m C．﹣2x4m D．4x4m
7.已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值( )
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
8.如果5x=m，5y=n，那么5x﹣y等于（　　）
A．m+n B．m﹣n C．mn D．
9.如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（　　）
A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2 m+6
10.要使(x2＋ax＋1)·(－6x3)的展开式中不含x4项，则a应等于( )
A. 6 B. －1 C. D. 0
11.对实数a、b，定义运算☆如下：a☆b=，例如2☆3=．计算[2☆（﹣4）]×[（﹣4）☆（﹣2）]=　　　　　　．　
12.n是整数，式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（ ）
A．是0 B．总是奇数
C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数
二 、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共24分）
13.已知a、b满足，则________.
14.化简：（a+4）（a﹣2）﹣a（a+1）=　 　．
15.若a﹣b=1，则整式a﹣（b﹣2）的值是　　．
16.已知实数m，n满足m-n2=1，则代数式m2+2n2+4m-1的最小值等于_________．
17.我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”.此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律.
（1）请仔细观察，填出(a＋b)4的展开式中所缺的系数．(a＋b)4＝a4＋4a3b＋_____a2b2＋4ab2＋b4
（2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期____．
18.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：3=22﹣12，3就是一个智慧数，在正整数中，从1开始，第2017个智慧数是　 　．
三 、解答题（本大题共8小题，共78分）
19.如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的直居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道．问剩余草坪的面积是多少平方米？
20.已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．
21.老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
×（﹣xy）=3x2y﹣xy2+xy
（1）求所捂的多项式；
（2）若x=，y=，求所捂多项式的值．
22.（）如果，求的值．
（）已知，求的值．
23.在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x4﹣y4=（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x=9，y=9时，x﹣y=0，x+y=18，x2+y2=162，则密码018162．对于多项式4x3﹣xy2，取x=10，y=10，用上述方法产生密码是什么？
24.连续整数之间有许多神奇的关系，
如：32+42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a，b，c（a＜b＜c）
若a2+b2=c2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”；
若a2+b2＜c2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；
若a2+b2＞c2，则称这样的正整数组为“梦幻数组”．
（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”；
（2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：
若有3个连续整数：=2；
若有5个连续整数：=2；
若有7个连续整数：=2；
…
由此获得启发，若存在n（7＜n＜11）个连续正整数也满足上述规律，求这n个数．
25.阅读下列各式：（a?b）2=a2b2，（a?b）3=a3b3，（a?b）4=a4b4…
回答下列三个问题：
（1）验证：（2×）100=　 　，2100×（）100=　 　；
（2）通过上述验证，归纳得出：（a?b）n=　 　； （abc）n=　 　．
（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2017×22016×42015．
26.在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0．求m和n的值．
解：因为m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝(m2＋2mn＋n2)＋(n2－6n＋9)
＝(m＋n)2＋(n－3)2＝0
所以m＋n＝0，n－3＝0即m＝－3．n＝3
问题(1)若x2＋2xy＋2y2－4y＋4＝0，求xy的值．
(2)若a、b、c是△ABC的长，满足a2＋b2＝10a＋8b－41，c是△ABC中最长边的边长，且c为偶数，那么c可能是哪几个数？
第14章 整式的乘法与因式分解单元检测试题B卷答案解析
一 、选择题
1.【考点】整式的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】各项利用同底数幂的乘法，单项式除以单项式法则，以及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．
解：A、a2?a3=a5，错误；
B、原式不能合并，错误；
C、（a3）2=a6，正确；
D、2a5÷a4=2a，错误，
故选C
【点评】此题考查了整式的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.【考点】 完全平方公式的几何背景．
【分析】根据图形得出阴影部分的面积是（a﹣b）2和b2，剩余的矩形面积是（a﹣b）b和（a﹣b）b，即大阴影部分的面积是（a﹣b）2，即可得出选项．
解：从图中可知：阴影部分的面积是（a﹣b）2和b2，剩余的矩形面积是（a﹣b）b和（a﹣b）b，
即大阴影部分的面积是（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，
故选C．
3.【考点】同底数幂的除法，同底数幂的乘法，零指数幂
【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，逐项判定即可．
解：∵a2÷a0?a2=a4，
∴选项A不符合题意；
∵a2÷（a0?a2）=1，
∴选项B不符合题意；
∵（﹣1.5）8÷（﹣1.5）7=﹣1.5，
∴选项C不符合题意；
∵﹣1.58÷（﹣1.5）7=1.5，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
4.【考点】整式的除法．
【分析】由长方形面积公式知，求长方形的宽，则由面积除以它的长即得．
解：（x2﹣2xy+x）÷x
=x2÷x﹣2xy÷x+x÷x
=x﹣2y+1．
故选：D．
点评：本题考查了整式的除法，用多项式的每一项除以单项式，再合并起来即可．
5.【考点】因式分解的意义
【分析】原式各项利用因式分解的方法计算得到结果，即可做出判断．
解：因为，故A选项错误；
因为属于计算，故B选项错误；
因为，故C选项正确；
因为，故D选项错误。
故选择C
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6.【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方
【分析】利用同底数幂的乘法与幂的乘方的知识求解即可求得答案．
解：∵m为正整数时，
∴xm﹣1xm+1（﹣2xm）2=xm﹣1xm+1?4x2m=4x（m﹣1）+（m+1）+2m=4x4m．
故选：D．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方的知识．注意掌握指数与符号的变化是解此题的关键．
7.【考点】因式分解的应用；三角形三边关系．
【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．
解：∵（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．
故选：B．
【点评】此题主要考查了因式分解的实际运用，正确应用平方差公式是解题关键．
8.【考点】同底数幂的除法
【分析】直接根据同底数幂的除法法则进行计算即可．
解：∵5x=m，5y=n，
∴5x﹣y=5x÷5y=m÷n=．
故选：D．
【点评】本题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法法则是解答此题的关键．
9.【考点】平方差公式的几何背景
【分析】由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积剩余部分的面积可以求出，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．
解：依题意得，剩余部分为：
（m+3）2﹣m2=m2+6m+9﹣m2=6m+9，
而拼成的矩形一边长为3，
∴另一边长是（6m+9）÷3=2m+3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则．
10.【考点】单项式与多项式相乘
【分析】根据单项式与多项式相乘的法则展开，然后让x4项的系数等于0，列式求解即可．
原式=，
根据题意可得：-6a=0，
解得：a=0，
故选D．
【点评】本题考查了单项式与多项式相乘，不含某一项就是让这一项的系数等于0．
11.【考点】实数的运算；负整数指数幂．
【分析】先判断算式a☆b中，a与b的大小，转化为对应的幂运算，再进行乘法运算．
解：[2☆（﹣4）]×[（﹣4）☆（﹣2）]，
=2﹣4×（﹣4）2，
=×16，
=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、正指数幂、新定义等考点的运算．
12.【考点】因式分解的应用
【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的．
解：当n是偶数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）=[1﹣1]（n2﹣1）=0，
当n是奇数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）=×（1+1）（n+1）（n﹣1）=，
设n=2k﹣1（k为整数），则==k（k﹣1），
∵0或k（k﹣1）（k为整数）都是偶数，
故选C．
【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．
二 、填空题
13.【考点】运用公式法-完全平方公式
【分析】先根据完全平方公式的特征对等式的左边进行因式分解可得:,再根据非负数的非负性可得:,然后代入求解即可.
解:因为,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以.
【点睛】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解,解决本题的关键是要熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解.
14.【考点】单项式乘多项式；多项式乘多项式
【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则化简得出答案．
解：（a+4）（a﹣2）﹣a（a+1）
=a2+2a﹣8﹣a2﹣a
=a﹣8．
故答案为：a﹣8．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
15.【考点】整式的加减—化简求值．
【分析】先化简，再整理，使结果中出现a﹣b的形式，再代入计算即可．
解：a﹣（b﹣2）=a﹣b+2，
∵a﹣b=1，
∴a﹣b+2=1+2=3．
故答案是3．
【点评】本题考查整式的加减，涉及代入求值．　
16.【考点】配方法的应用,非负数的性质：偶次方
【分析】已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可确定出最小值．
解：∵m-n2=1，即n2=m-1≥0，m≥1，∴原式=m2+2m-2+4m-1=m2+6m+9-12=（m+3）2-12，则代数式m2+2n2+4m-1的最小值等于（1+3）2-12=4．故答案为：4．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
17.【考点】完全平方公式
【分析】（1）根据杨辉三角，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，然后写出各项的系数即可；（2）根据814=（7+1）14=714+14×713+91×712+…+14×7+1可知814除以7的余数为1，从而可得答案．
解：（1）（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab2+b4，
（2）∵814=（7+1）14=714+14×713+91×712+…+14×7+1，
∴814除以7的余数为1，
∴假如今天是星期三，那么再过814天是星期四．
【点睛】本题考查了完全平方公式，能发现（a+b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）n-1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．
18.【考点】平方差公式．
【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），因为m，n是正整数，因而m+n和m﹣n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．
解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1）2﹣k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．
对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）2﹣（k﹣1）2（k=2，3，…）．
即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．
对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），其中x，y为正整数，
当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x﹣y）被4整除，而4k+2不被4整除；
当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x﹣y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．
所以不存在自然数x，y使得x2﹣y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．
因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．
因为2017=（1+3×672），4×（672+1）=2692，所以2692是第2017个“智慧数”，
故答案为：2692．
【点评】本题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．　
三 、解答题
19.【考点】多项式乘多项式
【分析】根据剩余草坪的面积=大长方形面积﹣通道的面积计算即可．
解：（4a+3b）（2a+3b）﹣（6ab+5b2）
=8a2+6ab+12ab+9b2﹣6ab﹣5b2
=8a2+12ab+4b2（平方米），
答：剩余草坪的面积是（8a2+12ab+4b2）平方米．
【点评】本题考查多项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则，属于中考常考题型．
20.【考点】因式分解的应用
【分析】先求出x﹣y=4，进而求出2x=7，而2x2﹣2xy=2x（x﹣y），代入即可得出结论．
解：∵x2﹣y2=12，
∴（x+y）（x﹣y）=12，
∵x+y=3①，
∴x﹣y=4②，
①+②得，2x=7，
∴2x2﹣2xy=2x（x﹣y）=7×4=28．
21.【考点】单项式乘多项式
【分析】（1）设多项式为A，则A=（3x2y﹣xy2+xy）÷（﹣xy）计算即可．
（2）把x=，y=代入多项式求值即可．
解：（1）设多项式为A，
则A=（3x2y﹣xy2+xy）÷（﹣xy）=﹣6x+2y﹣1．
（2）∵x=，y=，
∴原式=﹣6×+2×﹣1=﹣4+1﹣1=﹣4．
【点评】本题考查单项式乘多项式、多项式除以单项式的法则，解题的关键是利用乘法与除法是互为逆运算，把乘法转化为除法解决问题，属于基础题．
22.【考点】幂的乘方
【分析（1）由，可求得，又由，即可求出答案；（2）利用幂的乘方的逆运算把化为，把已知代入即可求解.
解:（）因为，
所以，
所以．
（）因为，
所以．
【点睛】熟记幂的乘方法则，利用幂的乘方的逆运算是关键
23.【考点】因式分解的应用．
【分析】首先将多项式4x3﹣xy2进行因式分解，得到4x3﹣xy2=x（2x+y）（2x﹣y），然后把x=10，y=10代入，分别计算出2x+y=及2x﹣y的值，从而得出密码．
解：原式=x（4x2﹣y2）=x（2x+y）（2x﹣y），
当x=10，y=10时，
x=10，2x+y=30，2x﹣y=10，
故密码为103010或101030或301010．
【点评】本题是中考中的新题型．考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．
24.【分析】（1）根据“魔幻数组”的定义，找出所有的“魔幻数组”即可得出结论；
（2）根据规律找出n=9，设出这9个数，再根据“科幻数组”的特征找出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论．
解：（1）1，2，3及2，3，4．
（2）由已知可得：
32+42=52，102+112+122=132+142，212+222+232+242=252+262+272，…
故可知n=9，可设这9个数为m﹣4，m﹣3，m﹣2，m﹣1，m，m+1，m+2，m+3，m+4，则有：
（m﹣4）2+（m﹣3）2+（m﹣2）2+（m﹣1）2+m2=（m+1）2+（m+2）2+（m+3）2+（m+4）2，
整理得：m2﹣40m=0，由题意m不为0，故m=40，
∴这9个数为36，37，38，39，40，41，42，43，44．
【点评】本题考查了新定义的应用，根据新定义的意义找出方程是解题的关键．
25.【考点】同底数幂的乘法，积的乘方
【分析】（1）先算括号内的乘法，再算乘方；先乘方，再算乘法；
②根据有理数乘方的定义求出即可；
③根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案．
解：（1）（2×）100=1，2100×（）100=1；
②（a?b）n=anbn，（abc）n=anbncn，
③原式=（﹣0.125）2015×22015×42015×[（﹣0.125）×（﹣0.125）×2]
=（﹣0.125×2×4）2015×
=（﹣1）2015×
=﹣1×
=﹣．
故答案为：1，1；anbn，anbncn．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方，掌握运算法则是解答此题的关键．
26.【考点】因式分解方法的应
【分析】（1）根据x2+2xy+2y2-4y+4=0，应用因式分解的方法，判断出（x+y）2+（y-2）2=0，求出x、y的值各是多少，再把它们相乘，求出xy的值是多少即可；
（2）首先根据a2+b2=10a+8b-41，应用因式分解的方法，判断出（a-5）2+（b-4）2=0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出△ABC的最大边c的值是多少即可；
解：(1)∵x2+2xy+2y2?4y+4=0，
∴(x2+2xy+y2)+(y2?4y+4)=0，
∴(x+y)2+(y?2)2=0，
∴x+y=0，y?2=0，
∴x=?2，y=2，
∴xy=(?2)×2=?4，
即xy的值是?4.
(2)∵a2+b2=10a+8b?41，
a2+b2?10a?8b+41=0，
∴(a2?10a+25)+(b2?8b+16)=0，
∴(a?5)2+(b?4)2=0，
∴a?5=0，b?4=0，
∴a=5，b=4，
∵5?4∴5?c<9，
∵c是偶数，
∴△ABC的最长边c的值可能是6、8.
【点评】（1）此题主要考查了因式分解方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
（2）此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．