2018-2019学年度湘教版数学九年级下册第一章二次函数 单元检测试卷（含答案）

2018-2019学年度湘教版数学九年级下册单元检测试卷
班级 姓名
第1章单元测试卷
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．[2018·上海]下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述，正确的是(　　)
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧部分是下降的
2．抛物线y＝x2＋2x＋1的顶点坐标是(　　)
A．(0，－1) B．(－1，1)
C．(－1，0) D．(1，0)
3．把二次函数y＝－3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是(　　)
A．y＝－3(x－2)2＋1
B．y＝－3(x＋2)2－1
C．y＝－3(x－2)2－1
D．y＝－3(x＋2)2＋1
4．对抛物线y＝－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是(　　)
A．与x轴有两个交点
B．开口向上
C．与y轴的交点坐标是(0，3)
D．顶点坐标是(1，－2)
5．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：m)的一部分，则水喷出的最大高度是(　　)
A．4 m B．3 m
C．2 m D．1 m
6．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y>0时，自变量x的取值范围是(　　)
A．x<－2 B．－2C．x>0 D．x>4
7．[2018·长沙]若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2＋ax－2a总不经过点P(x0－3，x02－16)，则符合条件的点P(　　)
A．有且只有1个 B．有且只有2个
C．有且只有3个 D．有无穷多个
8．如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0　　　　　　 　A　　　　　　　B
　　　　　　 　 C　　　 　　　D
9．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是(　　)
A．600 m2 B．625 m2
C．650 m2 D．675 m2
10．[2018·深圳]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确是(　　)
A．abc＞0
B．2a＋b＜0
C．3a＋c＜0
D．ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．将二次函数y＝x2－4x＋5化为y＝(x－h)2＋k的形式为__ __．
12．若二次函数y＝(m＋1)x2＋m2－9的图象经过原点且有最大值，则m＝____．
13．顶点为(－2，－5)且过点(1，－14)的抛物线的解析式为__ __．
14．如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD(篱笆正好用完)．设AB边长为x m，则菜园的面积y(m2)与x(m)的关系式为__ __(不要求写出自变量x的取值范围)．
15．[2018·广西]将抛物线y＝x2－6x＋21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为_ __．
16．[2018·泸州]已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为__ __．
三、解答题(共86分)
17．(12分)已知在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝－2x与二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象交于点A(－1，m)．
(1)求m，c的值；
(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
18．(12分)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，2)，B(0，－1)，C(1，－2)三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)画出二次函数的图象．
　
19．(12分)[2018·宁波]已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(1，0)，.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线y＝－x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
20．(12分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的纵坐标为－3，对称轴为直线x＝1，且抛物线过点(－1，0)．
(1)求抛物线的关系式；
(2)画出函数的图象，并利用图象回答：当x为何值时，y>0？当x为何值时，y<0?
21．(12分)[2018·随州]如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1.直线y＝－x＋c与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3.
求证：(1)2a＋b＋c＞0；
(2)a－b＋c＜0.
22．(12分)街心花园某商场经营某种品牌童装，购进时的单价是60元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．
(1)求出销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求出销售该品牌童装获得的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(3)若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于76元且不高于80元，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
23．(14分)已知抛物线y＝－mx2＋4x＋2m与x轴交于点A(α，0)，B(β，0)，且＋＝－2.
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴为直线l，抛物线与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形(保留作图痕迹)，并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、1．C
2．C
3．C
4．D 【解析】 ∵b2－4ac＝22－4×(－1)×(－3)<0，∴抛物线与x轴没有交点；∵a＝－1<0，∴抛物线开口向下；当x＝0时，y＝－3，∴抛物线与y轴的交点坐标是(0，－3)；通过配方或直接利用顶点坐标公式，易得其顶点坐标为(1，－2)．故选D.
5．A 【解析】 ∵水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x的一部分，∴水喷出的最大高度就是y＝－x2＋4x的顶点的纵坐标．∵y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴顶点坐标为(2，4)，∴水喷出的最大高度为4 m.
6．B
7．B 【解析】 ∵对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2＋ax－2a总不经过点P(x0－3，x02－16)，
∴x02－16≠a(x0－3)2＋a(x0－3)－2a，
∴(x0－4)(x0＋4)≠a(x0－1)(x0－4)，
∴(x0＋4)≠a(x0－1)，
∴x0＝－4或x0＝1，
∴点P的坐标为(－7，0)或(－2，－15)．
8．D　【解析】 每个阴影小正方形的边长为，面积为，故阴影部分的总面积为y＝4×＝x2，
∵0∴y＝x2的图象只是位于第一象限内的09．B 【解析】 设矩形的一边长为x m，则其邻边为(50－x)m.若面积为S，则S＝x(50－x)＝－x2＋50x＝－(x－25)2＋625.当x＝25时，S的最大值为625.
10．C
二、 11． y＝(x－2)2＋1
12． －3 【解析】 ∵二次函数的图象过原点，∴m2－9＝0，解得m＝3或m＝－3.又m＋1<0，∴m＝－3.
13． y＝－x2－4x－9 【解析】 设y＝a(x＋2)2－5，
则a(1＋2)2－5＝－14，解得a＝－1，
∴y＝－(x＋2)2－5，即y＝－x2－4x－9.
14． y＝－x2＋15x 【解析】 ∵AB边长为x m，而菜园ABCD是矩形菜园，∴BC＝(30－x)m，
菜园的面积＝AB·BC＝(30－x)·x，
∴y＝－x2＋15x.
y＝(x－4)2＋3
【解析】 y＝x2－6x＋21
＝(x2－12x)＋21
＝[(x－6)2－36]＋21
＝(x－6)2＋3，
故y＝(x－6)2＋3向左平移2个单位后，
得到新抛物线的解析式为y＝(x－4)2＋3.
16． 1 【解析】 ∵二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，
∴对称轴是直线x＝－＝－1.
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0.
∵－2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x＝1时，y＝a＋2a＋3a2＋3＝9，
∴3a2＋3a－6＝0，
解得a＝1或a＝－2(不合题意，舍去)．
故a＝1.
三、
17. 解：(1)∵点A(－1，m)在函数y＝－2x的图象上，
∴m＝2.(2分)
∴点A的坐标为(－1，2)．
∵点A在二次函数的图象上，
∴－1－2＋c＝2，
解得c＝5.(6分)
(2)∵二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋5，
∴y＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6，
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，6)．(12分)
　
答图
18. 解：(1)∵函数经过A(－1，2)，B(0，－1)，C(1，－2)三点，
∴
∴
∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－1.(6分)
(2)作图如答图．(12分)
19. 解： (1)把(1，0)，代入抛物线解析式得
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋.(6分)
(2)抛物线的解析式为y＝－x2－x＋＝－(x＋1)2＋2，
将抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位，解析式变为y＝－x2.得到新抛物线顶点在原点．(12分)
20. 解：(1)由题意，得解得
∴抛物线的关系式为y＝x2－2x－3.(6分)
(2)画出函数图象如答图所示．
当x<－1或x>3时，y>0；
当－1答图
21. 证明： (1)∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0.
∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，
∴b＝－2a，
∴2a＋b＋c＝2a－2a＋c＝c＞0.(6分)
(2)∵抛物线与x轴的一个交点在点(3，0)左侧，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(－1，0)右侧，
∴当x＝－1时，y＜0，
∴a－b＋c＜0.(12分)
22. 解：(1)根据题意得，y＝200＋(80－x)×20＝－20x＋1 800，
所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y＝－20x＋1 800(60≤x≤80)．
(2)w＝(x－60)y＝(x－60)(－20x＋1 800)＝－20x2＋3 000x－108 000，
所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式w＝－20x2＋3 000x－108 000.
(3)根据题意得76≤x≤80，
w＝－20x2＋3 000x－108 000的对称轴为x＝－＝75，
∵a＝－20＜0，∴抛物线开口向下，
∴当76≤x≤80时，w随x的增大而减小，
∴x＝76时，w有最大值，最大值＝(76－60)(－20×76＋1 800)＝4 480(元)．
所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4 480元．
23. 解：(1)由题意得α，β是方程－mx2＋4x＋2m＝0的两根，由根与系数的关系可得，
α＋β＝，αβ＝－2.
∵＋＝－2，
∴＝－2，即＝－2，
解得m＝1.
故抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋2.(6分)
(2)存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小．
∵y＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点D的坐标为(2，6)．
又∵抛物线与y轴的交点C的坐标为(0，2)，点E与点C关于对称轴对称，
∴点E的坐标为(4，2)，
作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，则点D′的坐标为(－2，6)，点E′的坐标为(4，－2)，
连接D′E′，交x轴于点M，交y轴于点N，
答图
此时，四边形DNME的周长最小，且最小周长等于D′E′＋DE，如答图所示．
延长E′E，D′D交于一点F.
在Rt△D′E′F中，D′F＝6，E′F＝8，
∴D′E′＝＝＝10，
设对称轴l与CE交于点G，
在Rt△DGE中，DG＝4，EG＝2，
∴DE＝＝＝2，
∴四边形DNME的周长的最小值为10＋2.(14分)