北师大版八年级数学下册第四章因式分解单元测试题（含答案）

第四章　因式分解
一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)
1．下列从左到右的变形，是因式分解的是(　　)
A．(3－x)(3＋x)＝9－x2
B．m3－mn2＝m(m＋n)(m－n)
C．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)
D．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z
2．一次课堂练习，小璇同学做了如下4道因式分解题，你认为小璇做得不正确的一题是(　　)
A．a3－a＝a(a2－1)
B．m2－2mn＋n2＝(m－n)2
C．x2y－xy2＝xy(x－y)
D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)
3．如果多项式4a2－(b－c)2＝M(2a－b＋c)，那么M表示的多项式应为(　　)
A．2a－b＋c B．2a－b－c
C．2a＋b－c D．2a＋b＋c
4．若a2＋8ab＋m2是一个完全平方式，则m应是(　　)
A．b2 B．±2b
C．16b2 D．±4b
5．对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9一定能(　　)
A．被8整除 B．被m整除
C．被m－91整除 D．被2m－1整除
6．若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．－1
7．因式分解x2＋ax＋b时，甲看错了a的值，分解的结果是(x＋6)(x－1)，乙看错了b的值，分解的结果是(x－2)(x＋1)，那么x2＋ax＋b因式分解的正确结果为(　　)
A．(x＋2)(x－3) B．(x－2)(x＋1)
C．(x＋6)(x－1) D．无法确定
8．若a，b，c是三角形三边的长，则代数式(a2－2ab＋b2)－c2的值(　　)
A．大于零 B．小于零
C．大于或等于零 D．小于或等于零
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
9．因式分解：3a2－3b2＝______________．
10．计算：＝________．
11．请在二项式x2－□y2中的“□”里面添加一个整式，使其能因式分解，你在“□”中添加的整式是________(写出一个即可)．
12．在半径为R的圆形钢板上，裁去半径为r的四个小圆，当R＝7.2 cm，r＝1.4 cm时，剩余部分的面积是________cm2(π取3.14，结果精确到个位)．
13．若△ABC的三边长分别是a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，则△ABC是____________．
14．如图4－Z－1，已知边长为a，b的长方形，若它的周长为24，面积为32，则a2b＋ab2的值为________．
图4－Z－1
三、解答题(本大题共5小题，共44分)
15．(9分)将下列各式因式分解：
(1)2x3y－2xy3；
(2)3x3－27x；
(3)(a－b)(3a＋b)2＋(a＋3b)2(b－a)．
16．(7分)给出三个多项式：x2＋2x－1，x2＋4x＋1，x2－2x，请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
17．(8分)阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m，n的值．
解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，
∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0，
∴(m－n)2＋(n－4)2＝0，
∴(m－n)2＝0，(n－4)2＝0，
∴n＝4，m＝4.
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)若a2＋b2－4a＋4＝0，则a＝________，b＝________；
(2)已知x2＋2y2－2xy＋6y＋9＝0，求xy的值；
(3)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2＋b2－4a－6b＋11＝0，求△ABC的周长．
18．(10分)如图4－Z－2①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
图4－Z－2
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积(直接用含m，n的代数式表示)．
方法一：________________________________________________________________________；
方法二：________________________________________________________________________.
(2)根据(1)的结论，请你写出代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系．
(3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：
已知实数a，b满足：a＋b＝6，ab＝5，求a－b的值．
19．(10分)阅读材料：
对于多项式x2＋2ax＋a2可以直接用公式法分解为(x＋a)2的形式．但对于多项式x2＋2ax－3a2就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，再减去a2这项，使整个式子的值不变．
解题过程如下：
x2＋2ax－3a2
＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2(第一步)
＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2(第二步)
＝(x＋a)2－(2a)2(第三步)
＝(x＋3a)(x－a)．(第四步)
参照上述材料，回答下列问题：
(1)上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到了哪种因式分解的方法(　　)
A．提公因式法 B．平方差公式法
C．完全平方公式法 D．没有因式分解
(2)从第三步到第四步用到的是哪种因式分解的方法：__________；
(3)请你参照上述方法把m2－6mn＋8n2因式分解．

1．[答案] B　
2．[解析] A　a3－a＝a(a2－1)＝a(a＋1)(a－1)．故选A.
3．[解析] C　4a2－(b－c)2＝[2a＋(b－c)][2a－(b－c)]＝(2a＋b－c)(2a－b＋c)．故选C.
4．[答案] D
5．[解析] A　因为(4m＋5)2－9
＝(4m＋5)2－32
＝(4m＋5＋3)(4m＋5－3)
＝(4m＋8)(4m＋2)
＝4·(m＋2)·2(2m＋1)
＝8(m＋2)(2m＋1)，
所以(4m＋5)2－9一定能被8整除．
6．[解析] A　∵(m－n)2－2m＋2n＝(m－n)2－2(m－n)＝(m－n)(m－n－2)，m－n＝－1，∴原式＝(－1)×(－1－2)＝3.故选A.
7．[解析] A　因为甲看错了a的值，分解的结果为(x＋6)(x－1)，所以b＝－6.因为乙看错了b的值，分解的结果是(x－2)(x＋1)，所以a＝－1.所以x2＋ax＋b＝x2－x－6＝(x＋2)(x－3)．
8．[解析] B　(a2－2ab＋b2)－c2＝(a－b)2－c2＝(a－b＋c)(a－b－c)．因为a，b，c是三角形三边的长，所以a＋c＞b，a＜b＋c，即a－b＋c＞0，a－b－c＜0，所以(a－b＋c)(a－b－c)＜0，即(a2－2ab＋b2)－c2＜0.故选B.　
[点评] 本题要充分挖掘题目的隐含条件，即a，b，c是三角形的三边长，则a，b，c应是正数且满足三角形三边的关系．
9．[答案] 3(a－b)(a＋b)
10．[答案] 
[解析] 原式＝＝＝.
11．[答案] 答案不唯一，如4
12．[答案] 138
[解析] 剩余部分的面积为πR2－4πr2.
当R＝7.2 cm，r＝1.4 cm时，πR2－4πr2＝π(R－2r)(R＋2r)＝π×(7.2－2.8)×(7.2＋2.8)＝π×4.4×10≈3.14×44≈138(cm2)．
13．[答案] 等腰三角形
[解析] ∵a＋2ab＝c＋2bc，
∴a＋2ab－c－2bc＝0，
∴(a－c)＋2b(a－c)＝0，
∴(a－c)(2b＋1)＝0.
∵2b＋1≠0，∴a＝c.
14．[答案] 384
[解析] 由题意易得a＋b＝12，ab＝32，∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝384.故答案为384.
15．[解析] (1)先提取公因式2xy，再用平方差公式；(2)先提取公因式3x，再运用平方差公式；(3)先提取公因式(a－b)，再运用平方差公式．无论哪一道题目都需要分解到底．
解：(1)2x3y－2xy3
＝2xy(x2－y2)
＝2xy(x＋y)(x－y)．
(2)3x3－27x
＝3x(x2－9)
＝3x(x＋3)(x－3)．
(3)(a－b)(3a＋b)2＋(a＋3b)2(b－a)
＝(a－b)[(3a＋b)2－(a＋3b)2]
＝(a－b)(3a＋b＋a＋3b)(3a＋b－a－3b)
＝8(a－b)2(a＋b)．
16．解：(1)＋
＝x2＋6x
＝x(x＋6)．
(2)＋
＝x2－1
＝(x＋1)(x－1)．
(3)＋
＝x2＋2x＋1
＝(x＋1)2.(答案不唯一，选择其中一种即可)
17．解：(1)2　0
(2)∵x2＋2y2－2xy＋6y＋9＝0，
∴x2＋y2－2xy＋y2＋6y＋9＝0，
即(x－y)2＋(y＋3)2＝0，
则x－y＝0，y＋3＝0，解得x＝y＝－3，
∴xy＝(－3)－3＝－.
(3)∵2a2＋b2－4a－6b＋11＝0，
∴2a2－4a＋2＋b2－6b＋9＝0，
∴2(a－1)2＋(b－3)2＝0，
则a－1＝0，b－3＝0，解得a＝1，b＝3，
∵a，b，c都是正整数，由三角形三边关系可知，三角形的三边长分别为1，3，3，则△ABC的周长为1＋3＋3＝7.
18．解：(1)方法一：(m＋n)2－4mn；
方法二：(m－n)2.
(2)(m＋n)2－4mn＝(m－n)2.
(3)由(2)可知(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝62－4×5＝16.
∴a－b＝4或a－b＝－4.
19．解：(1)C
(2)平方差公式法
(3)m2－6mn＋8n2
＝m2－6mn＋8n2＋n2－n2
＝m2－6mn＋9n2－n2
＝(m－3n)2－n2
＝(m－2n)(m－4n)．