高一必修2第二章《立体几何》综合训练（含答案）

高中数学《立体几何》第二章（位置关系、平行）
综合训练（提高卷）
一、选择题．
1．室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线(　　)
A．异面　　　　　　　 B．相交
C．平行 D．垂直
2．设P是△ABC所在平面α外一点，H是P在α内的射影，且PA，PB，PC与α所成的角相等，则H是△ABC的(　　)
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
3．如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是
A．A1D B．AA1 C．A1D1 D．A1C1
4．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中(　　)
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是(　　)
A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α
B．若m?α，n?β，m∥n，则α∥β
C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
D．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
6．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为(　　)
A．90° B．45°
C．60° D．30°
7．点P是等腰△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，底边BC＝6，AB＝5，则P到BC的距离为(　　)
A．4 B.
C．3 D．2
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
9．设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α(　　)．
A．不存在
B．只有1个
C．恰有4个
D．有无数多个
10．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q 分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．点P在对角线BD1上，且BP＝BD1，给出下列四个命题：
①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC．
其中正确命题的序号为(　　)
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④
二、填空题．
11．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则当M满足条件_________时，有MN∥平面B1BDD1．
12．如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD.
13．若四面体只有一条棱长是1，其余各棱长都是2，则该四面体的体积的是 ．
14．在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中，与MN平行的是__________．
三、解答题．
15．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为8 cm，M，N，P分别是AB，A1D1，BB1的中点．
(1)画出过M，N，P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线；
(2)设过M，N，P三点的平面与B1C1交于Q，求PQ的长．
16．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是正方体，在图(1)中E、F分别是D1C1、B1B的中点，画出图(1)、(2)中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．
17．△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC.设EA＝AB＝2a，DC＝a，且F为BE的中点，如图．
(1)求证：DF∥平面ABC；
(2)求证：AF⊥BD；
18如图，在四棱锥E—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE＝BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE．
(1)求证：AE⊥BC；
(2)如果点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE．
参考答案：
一、选择题．
1答案：D解析：当直尺与地面垂直时，地面上的任意一条直线都和直尺所在的直线垂直；
当直尺所在的直线与地面不垂直时，过直尺所在的直线作一与地面垂直的平面，此平面与地面的交线设为a，则地面内任一与交线a垂直的直线都与直尺所在的直线垂直．
2答案：B解析：由题意知Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，得HA＝HB＝HC，所以H是△ABC的外接圆圆心．
3答案：D．解析： 由于A1C1⊥B1D1，根据正方体特征可得BB1⊥A1C1，故A1C1⊥平面BB1D1D，B1O?平面BB1D1D，所以B1O⊥A1C1.
4答案：B解析：当AC＝1时，由DC＝1，AD＝，得∠ACD为直角，DC⊥AC，又因为DC⊥BC，所以DC⊥面ABC.所以DC⊥AB.
5答案：D解析：选项A的已知条件中加上m?β，那么命题就是正确的，也就是面面垂直的性质定理．选项B错误，容易知道两个平面内分别有一条直线平行，那么这两个平面可能相交也可能平行．选项C错误，因为两个平面各有一条与其平行的直线，如果这两条直线垂直，并不能保证这两个平面垂直．选项D正确，由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因为m⊥β，所以m⊥α.
6答案：D解析：取BC中点H，连接EH，FH，则∠EFH为所求，
可证△EFH为直角三角形，EH⊥EF，FH＝2，EH＝1，
∴∠EFH＝30°.
7答案：A解析：作AD⊥BC于D，连接PD，易证PD⊥BC，故PD的长即为P到BC的距离．
AD＝ 
＝
＝4.
∴PD＝
＝
＝4.
8答案：D解析：在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线，垂足为E，连接BE.
?C1E⊥平面BDD1B1，
∴∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值．
∵BC1＝＝，C1E＝＝，
∴sin∠C1BE＝＝＝.
9答案：D．解；设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m、n，直线m、n确定了一个平面β．作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面α有无数多个．
10答案：C．解：
E，F分别为AC，MN的中点，G为EF与BD1的交点，显然△D1FG∽△BEG，故＝＝，即BG＝BD1，又BP＝BD1，故点G与点P重合，所以平面APC和平面ACMN重合，MN?平面APC，故命题①不正确，命题④也不正确，结合选项可知选C．
二、填空题．
11答案：M∈线段FH．
解:当M点满足在线段FH上有MN∥面B1BDD1．
12答案：E是SA的中点解析：当E是SA的中点时，连接EB，ED，AC.
设AC与BD的交点为O，连接EO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点．
又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．
∴OE∥SC.
∵SC?平面EBD，OE?平面EBD，
∴SC∥平面EBD.
13答案：．
解： 设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD⊥面BCM，且VA—BCM=VD—BCM，所以VABCD=SΔBCM·AD．
CM===．设N是BC的中点，则MN⊥BC，MN===，
从而SΔBCM=×2×=，
故VABCD=××1=．
14答案：面ABD，面ABC解析：如图，设DC的中点为E，则重心M、N分别在中线AE、BE上，且＝＝，
∴MN∥AB，
而AB?面ABC，AB?面ABD
∴MN∥面ABD，MN∥面ABC.
三、解答题．
15答案：(2) cm．
解：(1)设M，N，P三点确定的平面为α，则α与平面AB1交于MP.
设MP∩A1B1＝R，
则RN是α与平面A1B1C1D1的交线．
设RN∩B1C1＝Q，则PQ是α与平面BB1C1C的交线，如图所示．
(2)∵正方体的棱长为8 cm，∴B1R＝BM＝4cm.
在△RA1N中，＝，∴B1Q＝×4＝(cm)．
在Rt△PB1Q中，∵PB1＝4 cm，B1Q＝ cm．
∴PQ＝＝(cm)．故所求PQ的长为cm．
16解：作法：在图(1)中过点E作EN平行于BB1，交CD于点N，连接NB并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．
在图(2)中，延长DC，过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．
证明：在图(1)中，∵直线EN∥BF，
∴B、N、E、F四点共面．
∴EF与BN相交，交点为M.
∵M∈EF，且M∈NB，而EF?平面AEF，NB?平面ABCD，
∴M是平面ABCD与平面AEF的公共点．
又∵点A是平面AEF和平面ABCD的公共点，故AM为两平面的交线．
在图(2)中，C1M在平面CDD1C1内，
∴C1M与DC的延长线相交，交点为M，则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又点B是这两个平面的公共点，因此直线BM是两平面的交线．
17解析：(1)证明：如图所示，取AB的中点G，连接CG，FG.
∵EF＝FB，AG＝GB，
∴FG綊EA.
又DC綊EA，∴FG綊DC.
∴四边形CDFG为平行四边形，
故DF∥CG.
∵DF?平面ABC，CG?平面ABC，
∴DF∥平面ABC.(4分)
(2)证明：∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥CG.
又△ABC是正三角形，
∴CG⊥AB.
∴CG⊥平面AEB.
∴CG⊥AF.
又∵DF∥CG，
∴DF⊥AF.
又AE＝AB，F为BE中点，
∴AF⊥BE.又BE∩DF＝F，
∴AF⊥平面BDE.
∴AF⊥BD.
18证明：(1)因为BM⊥平面ACE，AE?平面ACE，所以BM⊥AE．
因为AE⊥BE，且BE∩BM＝B，
BE、BM?平面EBC，所以AE⊥平面EBC．
因为BC?平面EBC，所以AE⊥BC．
(2)法1：取DE中点H，连接MH、AH．
因为BM⊥平面ACE，EC?平面ACE，所以BM⊥EC．
因为BE＝BC，所以M为CE的中点．[来源:学*科*网]
所以MH为△EDC的中位线，所以MH平行且等于 DC．
因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC平行且等于AB．
故MH平行且等于 AB．因为N为AB的中点，所以MH平行且等于AN．
所以四边形ANMH为平行四边形，所以MN∥AH．
因为MN?平面ADE，AH?平面ADE，
所以MN∥平面ADE．
法2：取EB的中点F，连接MF、NF．
因为BM⊥平面ACE，EC?平面ACE，
所以BM⊥EC．
因为BE＝BC，所以M为CE的中点，所以MF∥BC．
因为N为AB的中点，所以NF∥AE，
因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC．
所以MF∥AD．
因为NF、MF?平面ADE，AD、AE?平面ADE，
所以NF∥平面ADE，MF∥平面ADE．
因为MF∩NF＝F，MF、NF?平面MNF，
所以平面MNF∥平面ADE．
因为MN?平面MNF，
所以MN∥平面ADE．