2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（第二课时）
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不共线向量有不同的方向，它们的位置关系可以用夹角来表示.关于向量的夹角，我们规定：
已知两个非零向量 和 (如图)，作 ， ，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 和 的夹角.
当θ=0°时， 与 同向；
当θ=180°时， 与 反向；
如果 与 的夹角是90°，我们说 与 垂直，记作 ⊥ .
向量夹角的的求解方法
(1)求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念来确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角，过程简记为“一作二证三算”.
向量夹角的的求解方法
(2)向量的夹角的实质是从一起点出发的两个非零向量构成的角，可结合平面几何知识加以解决.
(3)解决求向量夹角的问题时，关键是利用已知条件准确地作出图形，先明确向量的方向及夹角，再根据条件求解.
向量夹角的的求解方法
(4)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角.
(5)求两向量的夹角，若无图形，需作出图形，明确要求的角，当两向量起点不同时，可采用平移或作延长线的方法使两向量的起点相同，找到向量的夹角，最后结合平面几何知识加以解决.
设E为平行四边形ABCD所在平面内一点，满足 ，则 =( )
A.
B.
C.
D.
解析：如图所示，
平行四边形ABCD中， ，∴ ；
∴
答案：A
已知 ， ， ，则( )
A.A、B、D三点共线
B.A、B、C三点共线
C.B、C、D三点共线
D.A、C、D三点共线
解析：∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ 与 共线，
∴A、B、D三点共线.
答案：A
如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若 ，则 =( )
A.
B.
C.2
D.
解析：∵BD=2DC，
∴
∵
∴λ= ，μ= ，∴ .
答案：A
1.向量夹角的概念
2.向量夹角问题的求解方法
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（第三课时）
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如图，光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一个是木块受水平于斜面的力F1的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果，即G=F1+ F2，G=F1+ F2叫做把重力G分解.
平面向量的正交分解
由平面向量的基本定理，对平面上任意向量 均可分解为不共线的两个向量 和 ，
使 .
平面向量的正交分解
在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.此时，这两个互相垂直的向量组成的基底为正交基底.
正交分解是平面向量的基本定理的特殊形式，就是在正交基底下分解向量.
平面向量的坐标表示
如图1，在平面直角坐标系内，分别取以x轴、y轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底，对于平面上的一个向量 ，如图2，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得 .
平面向量的坐标表示
图1 图2
平面向量的坐标表示
这样，平面内的任一向量 都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量 的(直角)坐标，记作 =(x，y)，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标，把 =(x，y)叫做向量的坐标表示.
在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示.
平面向量的坐标表示
注意：
①点的坐标与向量的坐标的区别与联系：
点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反应的是向量的大小和方向，其仅仅由大小和方向决定，与位置无关.只有起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标才相等.
平面向量的坐标表示
注意：
②(x，y)在平面直角坐标系下有双重意义，它即可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量.为加以区分，常说点(x，y)或向量(x，y).
平面向量的坐标表示
注意：
③几个特殊向量的坐标 ， ， .
④由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即 x1=x2且y1=y2，其中 (x1，y1)， (x2，y2).
平面向量的坐标表示
注意：
⑤要把点的坐标和向量的坐标区分开来，相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同.
给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应.
其中正确说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：向量平移坐标不变，故③错，①②④均对.
答案：C
设若向量 =(1，2)，且A点坐标为(2，3)，则B点坐标为( )
A.(2，6)
B.(3，5)
C.(1，1)
D.(-1，-1)
解析：设点B的坐标为(x，y)，∵向量 =(1，2)，且A点坐标为(2，3)，∴(2，3)=(x，y)-(2，3)=(x-2，y-3)，
∴x-2=1、y-3=2，解得 x=3、y=5，故B点坐标为(3，5).
答案：B
平面直角坐标系中，直线x-2y+3=0的一个方向向量是( )
A.(1，2)
B.(2，1)
C.(1，-2)
D.(-2，1)
解析：直线x-2y+3=0的斜率为k= ，所以该直线的一个方向向量是(1， )，可化为(2，1).
答案：B
1.平面向量的正交分解
2.平面向量的坐标表示
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（第四课时）
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平面向量的坐标运算
1.若 (x1，y1)， (x2，y2)，则 .
即两个向量的和的坐标，等于这两个向量相应坐标的和.
2.若 (x1，y1)， (x2，y2)，则 .
即两个向量的差的坐标，等于这两个向量相应坐标的差.
平面向量的坐标运算
3.已知定点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
这就是说，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的中点的坐标减去始点的坐标.
当且仅当向量的始点是坐标原点时，向量的坐标才和向量的终点坐标相同.
平面向量的坐标运算
4.若 (x，y)，λ∈R，则λ (λx，λy).
即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
对于向量的坐标运算首先要牢记法则，才能熟练运用，其次要注意：
①相等向量的坐标是相同的，但是起点和终点的坐标却不一定相同；
②通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对能表示一个向量.
平面向量的坐标运算的应用
(1)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算规则进行计算.在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标，求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.
平面向量的坐标运算的应用
(2)由于平行四边形两组对边互相平行，也就是说平行四边形一组对边构成的两个向量共线，如果将平行四边形置于平面直角坐标系中，那么就可运用共线向量坐标的条件，从而就可解决相关问题.
(3)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的.
已知 =(3，1)， =(-2，5)，则 =( )
A.(2，7)
B.(2，-7)
C.(13，-7)
D.(13，13)
解析：∵ =(3，1)， =(-2，5)，
∴ =(9，3)-(-4，10)=(13，-7).
答案：C
若向量 =(2，3)， =(-1，2)，则 的坐标为( )
A.(1，5)
B.(1，1)
C.(3，1)
D.(3，5)
解析：∵向量 =(2，3)， =(-1，2)，
∴ =(1，5).
答案：A
已知点A(0，1)，B(2，1)，向量 =(-3，-2)，则向量 =( )
A.(5，2)
B.(-5，-2)
C.(-1，2)
D.(1，2)
解析：设C=(a，b)，
点A(0，1)，B(2，1)，向量 =(-3，-2)，
，
则向量 =(-3，-2)-(2，0)=(-5，-2).
答案：B
1.平面向量的坐标运算
2.平面向量的坐标运算的应用
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（第五课时）
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设 (x1，y1)， (x2，y2)，则 ∥ 的充要条件是x1y2-x2y1=0，
即 ∥ x1y2-x2y1=0.
注意：当 时，x2=y2=0，一定有x1y2-x2y1=0，可知无论 是否为 ，都有 ∥ x1y2-x2y1=0.
两个向量共线的几种不同表示方法.
已知 (x1，y1)， (x2，y2)，且 .
① ∥ (λ∈R).这是几何运算，体现了向量 与向量 的长度及方向之间的关系.
② ∥ x1y2-x2y1=0，这是代数运算.
③当x2y2≠0时， ∥ ，即两个向量的相应坐标成比例.
平面向量共线的坐标表示的应用
(1)证明三点共线
①向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.
②证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
平面向量共线的坐标表示的应用
(2)利用向量共线求交点
①平面图形的交点一定存在三点共线，从向量的角度上就有两个向量共线，再由共线定理可得出向量坐标的方程(组)，从而求出交点坐标.
平面向量共线的坐标表示的应用
(2)利用向量共线求交点
②利用向量的坐标运算求线段交点坐标的一般方法：
第一步：设线段AC、BD交于点P(x，y)，并以AC、BD为对角线作四边形ABCD；
第二步：在四边形中寻找向量间的相等或共线关系；
第三步：利用向量的坐标表示这些关系，将问题转化为方程(组)问题；
第四步：解这个方程(组)，可得到答案.
已知 =(2，3)， =(x，-6)，若 ∥ ，则x的值为( )
A.9
B.-9
C.4
D.-4
解析：根据题意， =(2，3)， =(x，-6)，则 =(4，6)，若 ∥ ，则有4×(-6)=6x，解可得x=-4.
答案：D
已知 =(3，2)， =(6，y)，若 ∥ ，则y等于( )
A.-9
B.-4
C.4
D.9
解析：根据题意， =(3，2)， =(6，y)，
若 ∥ ，则有3y=2×6，解可得y=4.
答案：C
已知向量 =(1，-2)， =(k，4)，且 ∥ ，则实数k的值为( )
A.-2
B.2
C.8
D.-8
解析：∵ ∥ ，∴-2k-4=0，解得k=-2.
答案：A
1.用坐标表示的平面向量共线的条件
2.平面向量共线的坐标表示
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（第一课时）
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平面向量的基本定理
如果 、 是同一平面内两个不共线的向量 ，那么对这一平面内任意向量 ，有且仅有一对实数λ1、λ2，使 .不共线的 、 叫做平面内表示所有向量的一组基底.
平面向量的基本定理包括两个方面的内容，
一是存在性，即存在实数λ1、λ2，使 .
二是唯一性，即对任意向量 ，存在唯一的实数对λ1、λ2，使 .
平面向量的基本定理的常用方法
(1)已知 、 ，求作 的方法如下：
①利用三角形法则；②利用平行四边形法则
平面向量的基本定理的常用方法
(2)已知基底 、 ，用 、 表示其它向量 的方法如下：
①利用三角形法则或利用平行四边形法则；
②设 ，用待定系数法求出x，y.
(3)平面向量的基本定理的唯一性及其应用
设 、 是同一平面内的两个不共线向量，
若 ，则
平面向量的基本定理的应用
平面向量的基本定理是向量运算代数化的基础，要理解其实质，对于基底的选取是任意的，只要是不共线的两个向量都可以作为一组基底，因此常用基底表示向量，用来证明平面几何中的线线平行、重合、相交，线线相等问题.
平面向量的基本定理的应用
注意：
(1)基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行.
(2)由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一.
在△ABC中，D是边AB上的中点，记 ， ，则向量 =( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵D为AB的中点， ， ，
∴
答案：C
在矩形ABCD中，点E为CD的中点， ， ，则 =( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意：点E为CD的中点，ABCD是矩形，取AB的中点F，则 .(如图)
∵ ， ， ，
∴
答案：C
如图， ， ， ， ，则下列等式中成立的是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由 ，得 ，
即 ，即
答案：C
1.平面向量的基本定理的内容
2.平面向量的基本定理的意义
