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第14章 全等三角形单元测试卷
满分150分，时间120分钟
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下面两个三角形中,一定全等的是（ ）
A．两个等边三角形
B．有一个角是95°,且底相等的两个等腰三角形
C．两腰相等的两个等腰三角形
D．斜边相等的两个直角三角形
2．如图甲、乙、丙三个三角形中能确定和右图△ABC完全重合的是（ ）
A． 甲和丙 B． 丙和乙 C． 只有甲 D． 只有丙
3．如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，下列结论中不正确的是 （ ）
A． ∠DAE=∠CBE B． ΔDEA不全等于ΔCEB
C． CE=DE D． ΔEAB是等腰三角形
4．如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF； ②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F； ④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E.
其中能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A． 1组 B． 2组 C． 3组 D． 4组
5．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′，且b－a＝b′－a′，b＋a＝b′＋a′，则这两个三角形( )
A． 不一定全等 B． 不全等 C． 全等，根据“ASA” D． 全等，根据“SAS”
6．下列结论不正确的是( )
A． 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
B． 一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
C． 一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
D． 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
7．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是( )
A． 相等 B． 互补 C． 互补或相等 D． 不相等
8．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
9．如图，已知AC和BD相交于O点，AD∥BC，AD＝BC，过点O任作一条直线分别交AD，BC于点E，F，则下列结论：①OA＝OC；②OE＝OF；③AE＝CF；④OB＝OD，其中成立的个数是( )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
10．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于N，∠E＝∠F＝90°，∠EAC＝∠FAB，AE＝AF.给出下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③BE＝CF；④△ACN≌△ABM.其中正确的结论是( )
①③④ B． ②③④ C． ①②③ D． ①②④
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC＝________．
12．如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB=10，CF=6，则BD=____________．
13．如图，在△ABC中，AB=AC=24厘米，BC=16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
14．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为____________．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）如图，点A，C，D，B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．
16．（8分）有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，施工队要知道A、B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离，请解释其中的道理。
17．（8分）如图AB、CD相交于点O，AO＝BO，AC∥DB。那么OC与OD相等吗？说明你的理由。
小明的解题过程如下，请你说明每一步的理由。
解：OC＝OD，理由如下：
∵AC∥DB （ 已 知 ）
∴∠A=∠B ∠C=∠D （ ）
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD （ ）
∴OC＝OD （ ）
18．（8分）已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足EA＝CF．链接AD，求证：DE＝DF．
19．（10分）已知，如图，△ABC中，AB=AC．
(1)作∠BAC的平分线AD，交BC于点D，(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法).
(2)求证：AD⊥BC．
20．（10分）如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA⊥OC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：AB+CD=AC．
（12分）在平面直角坐标系中，A点的坐标为(0，4)，B点的坐标为(3，0)，C(a，b)为平面直角坐标系内一点，若∠ABC＝90°，且BA＝BC，求ab的值．
22．（12分）如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB＝CD，③CE＝BF.
(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式：“如果 ， ，那么 ”)；
(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
23．（14分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C任作一射线CM，交AB于M，分别过A，B作AE⊥CM，BF⊥CM，垂足分别为E，F.
(1)求证：∠ACE=∠CBF；
(2)求证：AE=CF；
(3)直接写出AE，BF，EF的关系式.中小学教育资源及组卷应用平台
第14章 全等三角形单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下面两个三角形中,一定全等的是（ ）
A．两个等边三角形
B．有一个角是95°,且底相等的两个等腰三角形
C．两腰相等的两个等腰三角形
D．斜边相等的两个直角三角形
解：判定三角形全等有四个定理,条件中必须是三个元素,并且一定有一组对应边相等,从已知条件入手,结合全等的判定方法,通过分析推理,对选项一个个进行验证．
故选B．
2．如图甲、乙、丙三个三角形中能确定和右图△ABC完全重合的是（ ）
A． 甲和丙 B． 丙和乙 C． 只有甲 D． 只有丙
解：∵a=BC，c=AB，50°=∠B，
∴甲与△ABC全等（SAS），即两图形能重合；
∵85°=∠A，c=AB，50°=∠B，
∴丙与△ABC全等（ASA），即两图形能重合；
乙的已知条件不能证明与△ABC全等，即不能与△ABC重合，
故选A．
3．如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，下列结论中不正确的是 （ ）
A． ∠DAE=∠CBE B． ΔDEA不全等于ΔCEB
C． CE=DE D． ΔEAB是等腰三角形
解：∵∠1+∠C+∠ABC=∠2+∠D+∠DAB=180°，且∠1=∠2，∠C=∠D，
∴∠ABC=∠DAB，
∴∠ABC﹣∠2=∠DAB﹣∠1，
∴∠DAB=∠CBA．故A正确；
在△DEA和△CEB中
，
∴△DEA≌△CEB（AAS），故B错误；
∴AC=BD．
∵∠1=∠2，
∴BE=AE，
∴△EAB是等腰三角形，AC﹣AE=BD﹣BE，故D正确；
∴CE=DE．故C正确．
故选B．
4．如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF； ②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F； ④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E.
其中能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A． 1组 B． 2组 C． 3组 D． 4组
解：①可以利用SSS来进行判定；②可以利用SAS来进行判定；③可以利用ASA来进行判定；④无法判定三角形全等.
故选C.
5．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′，且b－a＝b′－a′，b＋a＝b′＋a′，则这两个三角形( )
A． 不一定全等 B． 不全等 C． 全等，根据“ASA” D． 全等，根据“SAS”
解：，
①+②得：b=b'；
②﹣①得：a=a'，
即AC=A'C'，CB=C'B'．
，
在△ABC和△A′B′C′中，∵，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．
故选D．
6．下列结论不正确的是( )
A． 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
B． 一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
C． 一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
D． 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
解：A．两个锐角对应相等的两个直角三角形，没有对应边相等，不能判定三角形全等；
B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形角形，符合AAS或ASA，能判定三角形全等；
C．一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形，符合AAS或ASA，能判定三角形全等；
D．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合SAS或SSS或HL，能判定三角形全等．
根据三角形全等的判定，正确的是B、C、D，不正确的是A．
故选A．
7．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是( )
A． 相等 B． 互补 C． 互补或相等 D． 不相等
解：第一种情况，当两个三角形全等时，是相等关系，
第二种情况，如图，AC=AC′，高CD=C′D′，∴∠ADC=∠AD′C′，
在Rt△ACD和Rt△AC′D′中，∵，
∴Rt△ACD≌Rt△AC′D′（HL），∴∠CAD=∠C′AD′，
此时，∠CAB+∠C′AB=180°，是互补关系．
所以选“相等或互补”．
故选C．
8．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
解：要使△ABP与△ABC全等，必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，即3个单位长度，所以点P的位置可以是P1，P3，P4三个，
故选C.
9．如图，已知AC和BD相交于O点，AD∥BC，AD＝BC，过点O任作一条直线分别交AD，BC于点E，F，则下列结论：①OA＝OC；②OE＝OF；③AE＝CF；④OB＝OD，其中成立的个数是( )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
解：根据已知条件可得△AOD≌△COB，△AOE≌△COF，△DOE≌△BOF，根据这些三角形全等可以得出这四个结论.
故选D．
10．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于N，∠E＝∠F＝90°，∠EAC＝∠FAB，AE＝AF.给出下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③BE＝CF；④△ACN≌△ABM.其中正确的结论是( )
A． ①③④ B． ②③④ C． ①②③ D． ①②④
解：∵∠EAC=∠FAB，∴∠EAB=∠CAF．
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，∴△ABE≌△ACF，
∴∠B=∠C，BE=CF．
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④．
故选A．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC＝________．
解：在△BOC和△AOD中，∵OA=OB，∠O=∠O，OC=OD，∴△BOC≌△AOD，∴∠C=∠D=35°．∵∠DAC=∠O+∠D=50°+35°=85°，∴∠AEC=180°﹣∠DAC﹣∠C
=180°﹣85°﹣35°=60°．
故答案为：60°．
12．如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB=10，CF=6，则BD=____________．
解：∵AB∥FC，
∴∠ADE=∠EFC，
∵E是DF的中点，
∴DE=EF，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE，
∴AD=CF，
∵AB=10，CF=6，
∴BD=AB-AD=10-6=4．
故答案为：4
13．如图，在△ABC中，AB=AC=24厘米，BC=16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，
∵AB=AC=24厘米，点D为AB的中点，
∴BD=12厘米，
∵∠ABC=∠ACB，
∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD=CP或BP=CP，
即12=16 4x或4x=16 4x，
解得：x=1或x=2，
x=1时，BP=CQ=4，4÷1=4；
x=2时，BD=CQ=12，12÷2=6；
即点Q的运动速度是4或6，
故答案为：4或6
14．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为____________．
解：过D、E分别作DN⊥AD、EM⊥AD，交AD的延长线与M，交BC与N。
∵AD∥BC ，AB⊥BC，∴四边形ABND是矩形，∴AD＝BN＝2 ∵将腰CD以D为中心逆时针旋转90°∴∠1＋∠3＝90°∵DN⊥AD ∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠2，∵DN⊥AD，AD∥BC ∴DN⊥BC ，又∵EM⊥AD ∴∠EMD＝∠CND＝90°又∵DC＝DE ∴△DCN≌△DEM（AAS）∴ME＝CN S△ADE＝即3＝，∴EM＝CN＝3 ∴BC＝BN+CN＝2+3＝5
故答案为：5
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）如图，点A，C，D，B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．
证明：∵AC=BD，
∴AC+CD=BD+CD，
∴AD=BC，
在△AED和△BFC中，
，
∴△AED≌△BFC（ASA），
∴DE=CF.
16．（8分）有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，施工队要知道A、B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离，请解释其中的道理。
解：在△ABC和△DEC中，
AC=CD，∠ACB=∠ECD（对顶角），BC=EC，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB=ED，
即量出DE的长，就是A、B的距离
17．（8分）如图AB、CD相交于点O，AO＝BO，AC∥DB。那么OC与OD相等吗？说明你的理由。
小明的解题过程如下，请你说明每一步的理由。
解：OC＝OD，理由如下：
∵AC∥DB （ 已 知 ）
∴∠A=∠B ∠C=∠D （ ）
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD （ ）
∴OC＝OD （ ）
解：OC=OD，理由如下：
∵AC∥DB（已知），
∴∠A=∠B，∠C=∠D（两直线平行，内错角相等）
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OC=OD（全等三角形对应边相等）．
18．（8分）已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足EA＝CF．链接AD，求证：DE＝DF．
解：连接AD，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC中点，
∴AD=DC，AD平分∠BAC，∠C=45°，
∴∠EAD=∠C=45°，
在△ADE和△CDF中
，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF．
19．（10分）已知，如图，△ABC中，AB=AC．
(1)作∠BAC的平分线AD，交BC于点D，(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法).
(2)求证：AD⊥BC．
解：（1）如图，AD即为所作角平分线
（2）∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD
又AB=AD，AD=AD
∴ΔABD ΔACD
∴∠BDA=∠CDA
∵∠BDA+∠CDA=180°
∴∠BDA=∠CDA=90°
∴AD⊥BC.
20．（10分）如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA⊥OC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：AB+CD=AC．
解：
（1）如图，延长AO交CD延长线于点E，
∵O为BD中点，∴BO=DO，
在△AOB和△EOD中，
，
∴△AOB≌△EOD，
∴AO=AE，
∵OA⊥OC，
∴AC=CE，
∴CO平分∠ACD；
（2）∵△AOB≌△EOD，
∴AB=DE,
∵AC=CE，CE=CD+DE，
∴AC=CD+DE=CD+AB.
21．（12分）在平面直角坐标系中，A点的坐标为(0，4)，B点的坐标为(3，0)，C(a，b)为平面直角坐标系内一点，若∠ABC＝90°，且BA＝BC，求ab的值．
解：当点C在x轴上方．如图1，
作CD⊥x轴．
∵A点的坐标为（0，4），B的坐标为（3，0），∴OA=4，OB=3．
∵∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠CBD．
在△ABO和△BCD中，∵，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD=OA=4，CD=OB=3，
∴C点坐标为（7，3），
∴ab=7×3=21；
当点C在x轴下方．如图2，作CE⊥x轴，
与（1）证明方法一样可证得△ABO≌△BCE（AAS），
∴BE=OA=4，CE=OB=3，∴OE=4﹣3=1，
∴C点坐标为（﹣1，﹣3），
∴ab=﹣1×（﹣3）=3．
故ab的值为21 或3．
22．（12分）如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB＝CD，③CE＝BF.
(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式：“如果 ， ，那么 ”)；
(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
解：(1)命题1：如果①，②，那么③；命题2：如果①，③，那么②
(2)命题1的证明：
∵①AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵②AB＝CD，
∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝DB，
在△AEC和△DFB中，
∵∠E＝∠F，∠A＝∠D，
AC＝DB，∴△AEC≌△DFB(AAS)，
∴CE＝BF③(全等三角形对应边相等)；
命题2的证明：
∵①AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
在△AEC和△DFB中，
∵∠E＝∠F，∠A＝∠D，
③CE＝BF，∴△AEC≌△DFB(AAS)，
∴AC＝DB(全等三角形对应边相等)，则AC－BC＝DB－BC，即AB＝CD②.
注：命题“如果②，③，那么①”是假命题．
23．（14分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C任作一射线CM，交AB于M，分别过A，B作AE⊥CM，BF⊥CM，垂足分别为E，F.
(1)求证：∠ACE=∠CBF；
(2)求证：AE=CF；
(3)直接写出AE，BF，EF的关系式.
解：（1）∵AE⊥CM．BF⊥CM，
∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CAE=∠BCF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF，∴∠ACE=∠CBF．
（2）∵△ACE≌△CBF，∴AE=CF．
（3）结论：BF=AE+EF．
∵△ACE≌△CBF，∴AE=CF，CE=BF，
∴BF=EF+CF=EF+AE．
