第4章 锐角三角函数单元测试B卷（含解析）

九年级上册第四章锐角三角函数单元测试B卷
考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题（共10题；共30分）
1. 在△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，BC=3，那么cosB的值是（?? ）
A.??????????????????????????????????????? B.?????????????????????????????????????? C.?????????????????????????????????????? D.?
2. 已知sin35°=cosα，则α为（???? ）
A.?35°????????????????????????????????????? ??B.?55°???????????????????????????????????????C.?75°???????????????????????????? ???????????D.?65°
3. 在 中， ， 若cosB= ，则sinA的值为 (?? )
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
4. 若锐角α满足sinα＞ ，且cosα＞ ，则α的范围是（?? ）
A.?0°＜α＜30°????????????????????B.?30°＜α＜60°????????????????????C.?60°＜α＜90°????????????????????D.?45°＜α＜90°
5. 在Rt△ABC中， ， ， ，下列选项中一定正确的是（ ??）
A.?；????????????????? B.?；???????????????? C.?；????????????????? D.?．
6. 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA=1，sinB= ，你认为△ABC最确切的判断是（??? ）
A.?等腰三角形?????????????????? B.?等腰直角三角形?????????????????? C.?直角三角形??????????????????? D.?锐角三角形
7. △ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB﹣ ）（2sinA﹣ ）=0，则△ABC一定是（?? ）
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.有一个角是60°的三角形
8. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，AB的中垂线MN交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC= ?，则BC=（?? ）A.?8cm??????????????????? ?B.?4cm???????????????????? ?C.?6cm?????????????????????? ???D.?10cm
9. 一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ??）A.?米2???????? ?B.?米2???? ?? C.?（4+ ）米2????? ? D.?（4+4tanθ）米2
如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA= ，则下列结论：①DE=3cm；②EB=1cm；③=15cm2 正确的个数为（??? ）A．3个??????? B．2个???????????? C．1个?????????????? D．0个
二、填空题（共8题；共24分）
11. 计算：（π﹣3.14）0+2cos60°=________．
12. 在△ABC中，∠C=90°，若tanA= ，则sinB=________．
13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则sin ?=________
14. 已知一个斜坡的坡度i=1：， 那么该斜坡的坡角的度数是________?度．
15. 已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是________?
16. 如图，在正方形ABCD中，AD= ，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为________.17. 一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为________米．18. 如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为________米．
三、计算题（共2题；共12分）
19. ( 6分 ) 计算：
20. ( 6分 ) 先化简，再求代数式 的值，其中m=2cos30°－tan45°
四、解答题（共4题；共32分）
21. ( 8分 ) 如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据： ≈2.449，结果保留整数）
22. ( 8分 ) 如图，海中有一小岛P，在距小岛P的16 海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？
23. ( 8分 ) 某地发生8.1级地震，震源深度20千米．救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据 ≈1.41， ≈1.73）
24. ( 8分 ) 如图所示，某教学活动小组选定测量山顶铁塔AE的高，他们在30m高的楼CD的底部点D测得塔顶A的仰角为 ，在楼顶C测得塔顶A的仰角为 若小山高 ，楼的底部D与山脚在同一水平面上，求铁塔的高 参考数据： ，
五、综合题（共2题；共22分）
25. ( 10分 ) 关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．
（1）求sinA的值；
（2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．
26. ( 12分 ) 日照间距系数反映了房屋日照情况，如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数 ，其中 为楼间水平距离， 为南侧楼房高度， 为北侧楼房底层窗台至地面高度.如图②，山坡 朝北， 长为 ，坡度为 ，山坡顶部平地 上有一高为 的楼房 ，底部 到 点的距离为 .
（1）求山坡 的水平宽度 ；
（2）欲在 楼正北侧山脚的平地 上建一楼房 ，已知该楼底层窗台 处至地面 处的高度为 ，要使该楼的日照间距系数不低于 ，底部 距 处至少多远？

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示： cosB= ．故答案为：D．【分析】根据余弦函数的定义即可直接得出答案。
2.【答案】B
【考点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵sin35°=cosα， ∴α=90°﹣35°=55°．故选B．【分析】根据锐角三角函数的概念，可以证明：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
3.【答案】B
【考点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】∵在△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴sinA=cosB= .故答案为：B.【分析】根据直角三角形的两锐角互余得出∠A+∠B=90°，根据，互余两角，其中一个的正弦值，等于另一个的余弦值，即可得出答案。
4.【答案】B
【考点】锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由正弦函数随角的增大而增大，余弦函数随角的增大而减小，得 30°＜α＜60°，故选：B．【分析】根据特殊角三角函数值，锐角函数的增减性，可得答案．
5.【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图， A、sinA= ，所以BC= ，故A不符合题意；B、cosA= ，所以 ，故B符合题意；C、tanA= ，所以BC=btanA，故C不符合题意；D、cotA= ，所以 BCcotA，故D不符合题意．故答案为：B．【分析】根据锐角函数的定义，正弦函数等于对边比斜边；余弦函数等于邻边比斜边；正切函数等于对边比邻边；余切函数等于邻边比对边；即可一一得出答案。
6.【答案】B
【考点】三角形内角和定理，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意得：∠A=45°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°．故答案为：B．【分析】由特殊角的锐角三角函数值可得∠A=45°，∠B=45°，再由三角形内角和定理可得∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°。
7.【答案】D
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB﹣ ）（2sinA﹣ ）=0，∴tanB﹣ =0或2sinA﹣ =0，即tanB= 或sinA= ．∴∠B=60°或∠A=60°．∴△ABC有一个角是60°．故答案为：D．
【分析】根据两个因式的积0，则这两个因式至少有一个因式为0可得tanB-=0或2sinA-=0，解得tanB= ，或sinA= ，因为△ABC中，∠A，∠B均为锐角，由特殊角的锐角三角函数可得∠B=60°或∠A=60°．所以△ABC有一个角是60°．
8.【答案】A
【考点】线段垂直平分线的性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：∵MN为AB的中垂线，∴BD=AD．设AD=acm，∴BD=acm，CD=（16﹣a）cm，∴cos∠BDC= ，∴a=10．∴在Rt△BCD中，CD=6cm，BD=10cm，∴BC=8cm．故答案为：A．【分析】利用垂直平分线的性质可得BD=AD，设AD=acm，则CD=（16-a）cm，由cos∠BDC=CD：BD，可求出a的值，再由勾股定理可得BC的值.
9.【答案】D
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC?tanθ=4tanθ（米），∴AC+BC=4+4tanθ（米），∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+4tanθ（米2）；故答案为：D．【分析】根据解直角三角形中正切的定义，得到BC=AC?tanθ，求出地毯的面积的表达式.
10.【答案】A．
【考点】菱形的性质，解直角三角形，平行四边形的面积
【解析】【解答】由题意可得，菱形的边长为5cm，又cosA= ，所以AE=4，则DE=3cm；EB=1cm；S菱形ABCD=5×3=15cm2 ， 故答案为：A．【分析】根据菱形的四边都相等可得菱形的边长为5cm，在直角三角形ADE中，由cosA=,求得AE的值；再由勾股定理可得DE；S菱形ABCD=ABDE=5×3=15cm2。
二、填空题
11.【答案】2
【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】原式=1+2× ，=1+1，=2.故答案为：2.【分析】根据0指数的意义，特殊锐角三角函数值分别化简，再按有理数的混合运算顺序算出答案。
12.【答案】
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示： ∵∠C=90°，tanA= ，∴设BC=x，则AC=2x，故AB= x，则sinB= .故答案为： ?．【分析】根据正切函数的定义由tanA=?， 设BC=x，则AC=2x，根据勾股定理表示出AB的长，再根据正弦函数的定义即可得出答案。
13.【答案】
【考点】锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵sinA＝ ＝ ，∴∠A＝60°，∴ ＝30°，∴sin ＝sin30°＝ ．故答案为： ．【分析】根据正弦函数的定义，求出sinA的值，根据特殊锐角的三角函数值求出∠A的度数，进而得出∠A一半的度数，根据特殊锐角函数值即可得出答案。
14.【答案】30
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵tanα=1：= ， ∴坡角=30°．【分析】坡度=坡角的正切值，据此直接解答．
15.【答案】20°＜∠A＜30°
【考点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．故答案为：20°＜∠A＜30°．【分析】利用特殊角的三角函数值以及互余两角的锐角三角函数关系得出∠A的取值范围．
16.【答案】
【考点】三角形的面积，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形
【解析】【解答】如图， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，∴∠ABP=60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP=60°，AP=AB= ，∵AD= ，∴AE=4，DE=2，∴CE= ﹣2，PE=4﹣ ，过P作PF⊥CD于F，∴PF= PE= ﹣3，∴三角形PCE的面积= CE?PF= ×（ ﹣2）×（ ﹣3）= ，故答案为： ．【分析】过P作PF⊥CD于F，由旋转的长性质可得PB=BC=AB，根据旋转角为30°何正方形的性质可得∠ABP=60°，于是可得△ABP是等边三角形，则∠BAP=60°=∠AED，AP=AB，解直角三角形ADE可得AE和DE的长，则CE=CD-DE，PE=AE-AP，解直角三角形PEF可求得PF的长，所以可得三角形PCE的面积=CE?PF.
17.【答案】
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：在Rt△BCD中，∵tan∠CBD= ，∴BD= ，在Rt△ACD中，∵tan∠A= = ，∴tanα= ，解得：CD= ，故答案为： ．【分析】在Rt△BCD中有BD= ，在Rt△ACD中，根据tan∠A= = 可得tanα= ，解之求出CD即可得．
18.【答案】14+2
【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【解答】如图，延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E． ∵∠DCE=30°，CD=8米，∴CE=CDcos∠DCE=8× （米），∴DE=4米，设AB=x，EF=y，∵DE⊥BF，AB⊥BF，∴△DEF∽△ABF，∴ ，即 ①，∵1米杆的影长为2米，根据同一时间物高与影长成正比可得，= …②，①②联立，解得x=14+2 （米）．【分析】这是一道解直角三角形的应用型问题，所以先将图形补充完整。延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E．在直角三角形CDE中，用∠DCE的余弦可求得CE的长，则DE的长可求，设AB=x，EF=y，由题意易得△DEF∽△ABF，则可得比例式，,代入则可得关于x、y的方程；再根据同一时间物高与影长成正比又可得关于x、y的方程；联立解方程组即可得到电线杆的高度。
三、计算题
19.【答案】解：原式=﹣3﹣2 + ﹣1+ ﹣1=﹣5
【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据负指数的意义，二次根式的性质，0指数的意义，绝对值的意义，特殊锐角三角函数值，分别化简，再根据实数的运算算出结果。
20.【答案】解：原式= = = = 当m= = 时，原式=
【考点】利用分式运算化简求值，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将分式进行化简，先将括号内的进行通分化简，然后再将除法转变为乘法，化成最简分式，最后将特殊的锐角三角函数的值带入即可.
四、解答题
21.【答案】解：作PC⊥AB交于C点， 由题意可得∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80（海里）．在Rt△APC中，PC=PA?cos∠APC=40 （海里）．在Rt△PCB中，PB= ≈98（海里）．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】构造直角三角形，作PC⊥AB交于C点；由方位角易知∠APC=30°，∠BPC=45°，则根据解直角三角形的知识解答即可．
22.【答案】解:过P作PB⊥AM于B, 在Rt△APB中,∵∠PAB=30°,∴PB= AP= ×32=16海里,∵16＜16 故轮船有触礁危险,为了安全,应该变航行方向,并且保证点P到航线的距离不小于暗礁的半径16 海里,即这个距离至少为16 海里,设安全航向为AC,作PD⊥AC于点D,? 由题意得,AP=32海里,PD=16 海里,∵sin∠PAC= ,∴在Rt△PAD中,∠PAC=45°,∴∠BAC=∠PAC-∠PAB=45°-30°=15°,答:轮船自A处开始至少沿东偏南15°度方向航行,才能安全通过这一海域.
【考点】含30度角的直角三角形，解直角三角形
【解析】【分析】先解直角三角形ABP求得PB的值，小于，故轮船有触礁危险；再作出改变航向后的图形，且点P到航向AC的距离PD=，求得∠BAC的度数即可说明轮船自A处如何改变航向才能安全通过这一海域.
23.【答案】解：过C作CD⊥AB， 设CD=x米，∵∠ABE=45°，∴∠CBD=45°，∴DB=CD=x米，∵∠CAD=30°，∴AD= ?CD= x米，∵AB相距2米，∴ x﹣x=2，解得：x= ?．答：生命所在点C与探测面的距离是 米．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过C作CD⊥AB，设CD=x米，根据等腰直角三角形的性质得出DB=CD=x米，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AD=CD=?x，然后根据AB=AD-BD即可列出方程，求解即可。
24.【答案】解：如图，过点C作 于点F， 设塔高 ，作 于点F，则四边形BDCF是矩形，， ，∴EF=BE-BF=62-30=32，在 中， ，，在 中， ， ， ，，，答：该铁塔的高AE约为58米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设塔高? AE = x ?，作? CF ⊥ AB ?于点F，根据楼高和山高可求出EF ， 继而得出AF，在Rt△AFC中表示出CF，在Rt△ABF中由tan∠ACF=AE:CF，从而求出AE的值.
五、综合题
25.【答案】（1）解：根据题意得△=25sin2A-16=0，∴sin2A= ，∴sinA=± ，∵∠A为锐角，∴sinA= （2）解：由题意知，方程y2-10y+k2-4k+29=0有两个实数根，则△≥0，∴100-4（k2-4k+29）≥0，∴-（k-2）2≥0，∴（k-2）2≤0，又∵（k-2）2≥0，∴k=2，把k=2代入方程，得y2-10y+25=0，解得y1=y2=5，∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5．分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=AC=5， ∵sinA= ，∴AD=3，BD=4∴DC=2，∴BC=2 ．∴△ABC的周长为10+2 ；当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D， 在Rt△ABD中，AB=5，∵sinA= ，∴AD=DC=3，∴AC=6．∴△ABC的周长为16，综合以上讨论可知：△ABC的周长为10+2 或16．
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个相等的实数根知其根的判别式等于0，从而得出方程求出并根据实际情况得出sinA的值；（2）由题意知，方程y2-10y+k2-4k+29=0有两个实数根，故则△≥0，从而得出不等式，根据偶次方的非负性从而求解得出k的值，把k的值代入原方程求解得出y的值，从而判断出△ABC是等腰三角形，且腰长为5．分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=AC=5，根据锐角三角函数的定义及sinA的值，求出BC的长，根据三角形周长的计算方法得出答案；当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，根据锐角三角函数的定义及sinA的值等腰三角形的三线合一求出AC的长，根据三角形周长的计算方法得出答案；
26.【答案】（1）解：∵EF的坡度i=1:0.75=4：3∴EH:FH=4：3在Rt△EFH中，EF2=EH2+FH2即16x2+9x2=25x2=152解之：x=3∴FH=9，EH=12答：山坡 的水平宽度 的长为9m。（2）解：延长BA、FH，两延长线交于点G,∵EH=12，AB=22.5∴AG=EH=12，AE=HG=4∴L=CG=CF+FH+HG=CF+13BG=AB+AG=22.5+12=34.5∴（CF+13）:（BG-PC）≥1.25即（CF+13）:（34.5-0.9）≥1.25解之：CF≥29CF取最小整数∴CF=29
【考点】勾股定理，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据EF的坡度，可得出EH:FH=4：3，再利用勾股定理，建立方程求解即可。(2）根据题意添加辅助线，延长BA、FH，两延长线交于点G,根据矩形的性质，可得出AG=EH=12，AE=HG=4，再求出L=13+CF及BG的长，根据该楼的日照间距系数(日照间距系数 ）≥ ，建立不等式，求出不等式的最小整数解即可。