2.3.3直线与双曲线的位置关系
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文档简介
2.3.3双曲线的简单几何性质
-------直线与双曲线的位置关系
1.理解直线与双曲线的位置关系.
2.掌握直线与双曲线位置关系的判断方法.
3.会用代数方法解决双曲线的弦长问题、中点弦问题.
学习目标
高考链接：
直线与圆锥曲线相结合是高考的热点也是难点，往往以第二问的形式出现；
知识回顾：椭圆与直线的位置关系及判断方法
判断方法
（3）判断?的符号
?=0
（1）联立方程组
（2）消去一个未知数，得到一元二次方程
相离
相切
相交
?>0
?<0
1) 位置关系种类
X
Y
O
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点个数
相离:0个交点
相交:一个交点
相交:两个交点
相切:一个交点
(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，直线L（K= ）与双曲线的渐近线平行或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
理论分析：
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
判断直线与双曲线位置关系的处理程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的
渐进线平行
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，
相交不一定两解，
两解不一定同支
②相切一点: △=0
③相 离: △＜0
注:
①相交两点: △＞0 同支： ＞0 异支: ＜0
一点: 直线与渐近线平行
一、交点——交点个数
二、弦长——弦长公式
三、中点弦的问题——点差法
直线与双曲线相交所产生的问题：
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线
(1)有两个公共点;
(2)与右支交于两点.
一、交点——交点个数
要使直线与双曲线有两个相异的公共点，
则（※）有两个不相等的实数根，应满足
要使直线与双曲线的右支有两个 相异的公共点，则应满足
（2）解：将直线 代入双曲线方程
化简整理
（※）
变式应用:
已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线
(1)没有公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)交于异支两点；
-1＜k＜1 ；
二、弦长——弦长公式
例2、过双曲线 的右焦点 倾斜角为
的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
三、弦的中点的问题——点差法
1.已知直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点.当k为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；
解：将y=kx+1代入3x2-y2=1
设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),
得(3-k2)x2-2kx-2=0,
它有两个实根，必须
∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上，
∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0,
即x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=0,
∴(k2+1) x1x2 +k(x1+x2 )+1=0,
解得k=±1.
五、综合问题
1 .直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法；
2. 中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标，
利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算，
使问题获解，但须注意检验直线与双曲线是否相交。
3.涉及双曲线的参数范围问题，求解的办法是利用问
题的存在性，如直线与双曲线相交时；或是运用判别
式大于零列不等式求解。
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线
(1)没有公共点;
(2)有两个公共点;
(3)只有一个公共点;
(4)交于异支两点；
(5)与左支交于两点.
(4)-1＜k＜1；
一、交点——交点个数
2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点
(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_________
3.过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的取值范围是（ ）
一、交点——交点个数
B
答案：C
一、交点——交点个数
交点个数为1的
情况总结
含焦点区域外
含焦点区域内
含焦点区域内
P
P
P
当点P在双曲线上时，能作3条直线与双曲线只有一个公共点。
P
当点P在其中一条渐近线上（中心除外）时，一条是切线，一条是与另一条渐近线平行。
P
当点P在含焦点区域内时，两条是分别与两条渐近线平行。
P
当点P在双曲线的中心时，不可能作出一条直线与双曲线只有一个公共点。
1、过点P且与双曲线只有一个公共点的直线最多有4条
2、也就是说过点P作与双曲线只有一个公共点的直线条数可能是4条、3条、2条、0条
1.过点P(1,1)与双曲线
只有一个交点的
直线共有_______条.
变题:将点P(1,1)改为
1.A(3,4)
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的?
4
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
（1，1）
。
-------直线与双曲线的位置关系
1.理解直线与双曲线的位置关系.
2.掌握直线与双曲线位置关系的判断方法.
3.会用代数方法解决双曲线的弦长问题、中点弦问题.
学习目标
高考链接：
直线与圆锥曲线相结合是高考的热点也是难点，往往以第二问的形式出现；
知识回顾：椭圆与直线的位置关系及判断方法
判断方法
（3）判断?的符号
?=0
（1）联立方程组
（2）消去一个未知数，得到一元二次方程
相离
相切
相交
?>0
?<0
1) 位置关系种类
X
Y
O
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点个数
相离:0个交点
相交:一个交点
相交:两个交点
相切:一个交点
(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，直线L（K= ）与双曲线的渐近线平行或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
理论分析：
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
判断直线与双曲线位置关系的处理程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的
渐进线平行
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，
相交不一定两解，
两解不一定同支
②相切一点: △=0
③相 离: △＜0
注:
①相交两点: △＞0 同支： ＞0 异支: ＜0
一点: 直线与渐近线平行
一、交点——交点个数
二、弦长——弦长公式
三、中点弦的问题——点差法
直线与双曲线相交所产生的问题：
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线
(1)有两个公共点;
(2)与右支交于两点.
一、交点——交点个数
要使直线与双曲线有两个相异的公共点，
则（※）有两个不相等的实数根，应满足
要使直线与双曲线的右支有两个 相异的公共点，则应满足
（2）解：将直线 代入双曲线方程
化简整理
（※）
变式应用:
已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线
(1)没有公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)交于异支两点；
-1＜k＜1 ；
二、弦长——弦长公式
例2、过双曲线 的右焦点 倾斜角为
的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
三、弦的中点的问题——点差法
1.已知直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点.当k为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；
解：将y=kx+1代入3x2-y2=1
设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),
得(3-k2)x2-2kx-2=0,
它有两个实根，必须
∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上，
∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0,
即x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=0,
∴(k2+1) x1x2 +k(x1+x2 )+1=0,
解得k=±1.
五、综合问题
1 .直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法；
2. 中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标，
利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算，
使问题获解，但须注意检验直线与双曲线是否相交。
3.涉及双曲线的参数范围问题，求解的办法是利用问
题的存在性，如直线与双曲线相交时；或是运用判别
式大于零列不等式求解。
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线
(1)没有公共点;
(2)有两个公共点;
(3)只有一个公共点;
(4)交于异支两点；
(5)与左支交于两点.
(4)-1＜k＜1；
一、交点——交点个数
2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点
(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_________
3.过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的取值范围是（ ）
一、交点——交点个数
B
答案：C
一、交点——交点个数
交点个数为1的
情况总结
含焦点区域外
含焦点区域内
含焦点区域内
P
P
P
当点P在双曲线上时，能作3条直线与双曲线只有一个公共点。
P
当点P在其中一条渐近线上（中心除外）时，一条是切线，一条是与另一条渐近线平行。
P
当点P在含焦点区域内时，两条是分别与两条渐近线平行。
P
当点P在双曲线的中心时，不可能作出一条直线与双曲线只有一个公共点。
1、过点P且与双曲线只有一个公共点的直线最多有4条
2、也就是说过点P作与双曲线只有一个公共点的直线条数可能是4条、3条、2条、0条
1.过点P(1,1)与双曲线
只有一个交点的
直线共有_______条.
变题:将点P(1,1)改为
1.A(3,4)
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的?
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1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
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