24.4弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
【知识与技能】
经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力.了解弧长计算公式，并会应用弧长公式解决问题，提高学生的应用能力.
【过程与方法】
通过等分圆周的方法，体验弧长扇形面积公式的推导过程，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.
【情感态度】
通过对弧长和扇形面积公式的推导，理解整体和局部的关系.通过图形的转化，体会转化在数学解题中的妙用.
【教学重点】
弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积.
【教学难点】
运用弧长和扇形面积公式计算比较复杂图形的面积.
一、情境导入，初步认识
问题1 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只羊，问：
（1）这只羊的最大活动面积是多少？
（2）如果这只羊只能绕过柱子n°角，那么它的最大活动面积是多少？
问题2 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.
如图，根据图中的数据你能计算的长吗？求出弯道的展直长度.
【教学说明】通过这样两个实际问题引入有关弧长和扇形面积的计算，从而引入课题。同时，这也是本节中最常见的两种类型.
二、思考探究，获取新知
1.探索弧长公式
思考1 你还记得圆的周长的计算公式吗？圆的周长可以看作多少度的圆周角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少?n°的圆心角所对的弧长多少？
分析：在半径为R的圆中，圆周长的计算公式为：C=2πR，则：
圆的周长可以看作360°的圆心角所对的弧；
∴1°的圆心角所对的弧长是：1/360·2πR=πR/180；
2°的圆心角所对的弧长是：2/360·2πR=πR/90；
4°的圆心角所对弧长是：4/360·2πR=πr/45；
∴n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180；
由此可得出n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180.
【教学说明】①在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式可以按推导过程来理解记忆；③区分弧、弧度、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等；弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中才可能是等弧.
小练习：①应用弧长公式求出上述弯道展直的长度.
②已知圆弧的半径为50cm，圆心角为60°，求此圆弧的长度.
答案：①500π+140(mm) ②50π/3(cm)
2.扇形面积计算公式
如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
思考2 扇形面积的大小与哪些因素有关？（学生思考并回答）
从扇形的定义可知，扇形的面积大小与扇形的半径和圆心角有关.扇形的半径越长，扇形面积越大；扇形的圆心角越大，扇形面积越大.
思考3若⊙O的半径为R，求圆心角为n°的扇形的面积.
【教学说明】此问题有一定的难度，目的是引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤，利用迁移方法探究新问题，归纳结论.
小练习：
①如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的23/36.
②扇形面积是它所在圆的面积的23，这个扇形的圆心角的度数是240°；
③扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是：2S/r.
【教学说明】这几个小练习是帮助学生理解扇形面积公式的推导，加深对公式以及扇形面积和弧长之间的转化关系的记忆.
三、典例精析，掌握新知
例1（教材112页例2）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径为0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m2）.
解：连接OA、OB，作弦AB的垂线OD交 于点C.
∵OC=0.6，DC=0.3，∴OD=OC-DC=0.3
在Rt△OAD中，OA=0.6，OD=0.3，由勾股定理可知：AD=0.3；在Rt△OAD中，OD=1/2OA.∴∠OAD=30°，∠AOD=60°，∴∠AOB=120°.
∴有水部分的面积为：S=S扇形OAB-S△OAB=0.12π-12×0.63×0.3≈0.22(m2).
例2如图，⊙O1半径是⊙O2的直径，C是⊙O1上一点，O1C交⊙O2于点B，若⊙O1的半径等于5cm，AC的长等于⊙O1周长的110，则AB的长是cm.
分析：由AC的长是⊙O1周长的1/10可知：
∠AO1C=36°，∠AO2B=2∠AO1B=72°，O2A=5/2，
∴ 的长l=72π/180×5/2=π.
【教学说明】例1是求弓形面积，弓形面积是扇形面积与三角形面积的差或和，因此掌握了扇形面积公式，弓形面积就迎刃而解了，例2是结合弧长公式和圆有关知识进行求解.可由学生合作交流完成.
四、运用新知，深化理解
完成教材第113页练习3个小题.
【教学说明】这几个练习较为简单，可由学生自主完成，教师再予以点评.
五、师生互动，课堂小结
通过这堂课的学习，你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解决实际问题吗？
【教学说明】教师先提出问题，然后师生共同回顾，完善认知.
1.布置作业：从教材“习题24.4”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.
本节课从复习圆周长公式入手，根据圆心角与所对弧长之间的关系，推导出了弧长公式.后又用类比的方法，推出扇形面积，两个公式的推导中，都渗透着由“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的辩证思想，再由学生比较两个公式时，又很容易得出两者之间的关系，明确了知识间的联系.
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
【知识与技能】
通过实物演示让学生知道圆锥的侧面展开图是扇形；知道圆锥各部分的名称，能够计算圆锥的侧面积和全面积.
【过程与方法】
通过展开圆锥知道圆锥的全面积是扇形和底面圆形，通过制作圆锥，理解圆锥与扇形和圆之间的关系，进一步体会数学中的转化思想，培养学生动手操作能力和分析问题解决问题的能力.
【情感态度】
通过把圆锥展开和制作圆锥，理解事物之间的联系，激发学生动手的欲望和积极思考的兴趣.
【教学重点】
计算圆锥的侧面积和全面积.
【教学难点】
圆锥侧面展开的扇形和底面圆之间有关元素的计算.
一、情境导入，初步认识
多媒体播放:青青草原上的蒙古包，介绍蒙古包资料.
请同学们仔细观察蒙古包图片，说说它整体框架近似地看成是由哪些几何体构成的?你知道怎么计算包围在它外表毛毡的面积吗?
【教学说明】通过播放视频，吸引学生的注意力，在学生欣赏过程中思考数学问题，在轻松愉快的状态下开始这节课.
二、思考探究，获取新知
1.圆锥的相关概念
由具体的圆锥模型认识它的侧面展开图，认识圆锥各部分的名称.
把一个圆锥模型沿着母线剪开.让学生观察圆锥的侧面展开图，学生很容易得出:圆锥的侧面展开图是一个扇形；
圆锥的全面展开图是一个扇形和一个圆.
如图，连接圆锥顶点和底面圆上任意点的线段叫做圆锥的母线(图中的线段l)，连接顶点和底面圆心的线段叫圆锥的高（图中的h）.
问题 圆锥有多少条母线？圆锥的母线有什么性质？
通过这个问题使学生理解，在讨论圆锥的侧面展开图时，无论从哪里展开都行.
【结论】圆锥有无数条母线，圆锥的母线长相等.
2.圆锥的侧面积和全面积.
设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么把圆锥侧面展开后的扇形的半径为：l，扇形的弧长为：2πr，因此圆锥的侧面积为；1/2·2πr·l=πrl.圆锥的全面积为：πrl+πr2=πr(l+r).
【教学说明】让学生探究、思考、合作交流，找出图中隐藏的等量关系，明确圆锥侧面积，全面积的计算方法，学会分析问题、解决问题的方法.
三、典例精析，掌握新知
例1(教材114页例3)蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为12m2，高为3.2m，外围高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（π取3.142，结果取整数）？
解：由题意可知:下部圆柱的底面积为12m2，高为1.8m，
∴上部圆锥的高为：3.2-1.8=1.4（m）.
圆柱的底面圆半径为： (m)≈1.954(m).
∴圆柱的侧面积为：2π×1.954×1.8≈22.10(m2)，
圆锥的母线长为：≈2.404(m).
圆锥侧面展开扇形的弧长为：2π×1.954≈12.28(m).
圆锥的侧面积为：1/2×2.404×12.28≈14.76(m2)
∴搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡：
20×(22.10+14.76)≈738(m2)
【教学说明】这个例题也是弧长、扇形面积公式在圆锥中的应用.在计算扇形面积时，学生常常把圆锥底面半径当做是扇形的半径，所以在解题前要理解清楚这个扇形中各个元素与圆锥各个元素之间的关系，即扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长.
例2 如图所示是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图是扇形OAB，经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，下底圆直径是4cm，母线长EF=8cm，求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积（结果保留π）.
【教学说明】此例综合考查了弧长公式，扇形面积公式的灵活应用.教师在讲解前，可先让学生自由思考，然后评析.最后可让优秀学生上台板书解题过程.
四、运用新知，深化理解
1.圆锥底面圆的半径为5cm，母线长为8cm，则它的侧面积为_____cm2.
2.圆锥底面圆的直径为6cm，高为4cm，则它的全面积为______cm2.
3.已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为______.
4.亮亮想制作一个圆锥模型，模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作的，再用一块圆形铁皮做底，请你帮他计算这块铁皮的半径为_____cm.
【教学说明】1、2题是圆锥的侧面积和全面积的计算，3、4题则较难，这两题教师作图引导学生分析问题，再由学生讨论交流完成，并写出解题过程.
【答案】1. 40π
五、师生互动，课堂小结
圆锥的侧面展开图是什么？如何计算圆锥的侧面积和全面积？你还有什么疑惑？
【教学说明】教师先提出问题，然后让学生进行回顾与思考，反思学习体会，完善知识结构.
1.布置作业:从教材“习题24.4”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.
1.本节课从观察圆锥模型开始，通过猜想侧面展开图的形状，然后由老师具体操作验证结论的正确性，并能运用所学知识推导出圆锥的侧面积和全面积公式，培养了学生观察、猜想、探索等方面的能力.
2.本小节教材是复习圆周长公式推出弧长公式，复习圆面积公式推出扇形面积公式，是在小学基础知识上的提升，圆柱和圆锥的侧面积的计算，是将立体图形化为平面图形，通过具体操作，学生可以获得直观的感受，对于学习高中立体几何，会大有帮助.
