6.2 反比例函数的图象与性质课时作业（2）

6.2 反比例函数的图象与性质课时作业（2）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
已知反比例函数的图象在第二、四象限内，则m的值是（ ）
A. 2 B. -2 C. 土2 D.
已知反比例函数y=﹣，则下列有关该函数的说法正确的是（　　）
A. 该函数的图象经过点（2，2） B. 该函数的图象位于第一、三象限
C. 当x＞0时，y的值随x的增大而增大 D. 当x＞﹣1时，y＞4
已知反比例函数y=﹣，当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围是（　　）
A. 0＜y＜1 B. 1＜y＜2 C. 2＜y＜3 D. ﹣3＜y＜﹣2
如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数的图象经过点A，则k的值是( )
A． 4 B． 4 C． 2 D． 2
如图，反比例函数的图象经过正方形ABCD的顶点A和中心E，若点D的坐标为，则k的值为　　
A. 2 B. C. D.
如果反比例函数的图象经过点，那么这个函数的解析式为( )
A． y= B． y= C． y= D． y=-
二 、填空题
已知反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则k的值可以是　 　．（写出满足条件的一个k的值即可）
函数y1=x与y2=的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是　 　．
如图，点P是反比例函数（x＜0）图象的一点，PA垂直于y轴，垂足为点A，PB垂直于x轴，垂足为点B．若矩形PBOA的面积为6，则k的值为　　　　　　．
如图，已知点A是反比例函数y=﹣的图象上的一个动点，连接OA，若将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为　 　．
如图，直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为　 　．
三 、解答题
如图，已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为4．
（Ⅰ）求k和m的值；
（Ⅱ）设C（x，y）是该反比例函数图象上一点，当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围．
如图，已知反比例函数（k≠0）的图象过点A（-3,2）。
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）若B（x1，y1），C（x2，y2），D（x3，y3）是这个反比例函数图象上的三个点，若x1>x2>0>x3，请比较y1，y2，y3的大小，并说明理由。
设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与原点的距离为．
（1）求 关于x的函数解析式，并画出这个函数的图像
（2）若反比例函数 的图像与函数 的图像交于点A，且点A的横坐标为2．①求k的值；②结合图像，当 时，写出x的取值范围．
如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？
答案解析
一 、选择题
【考点】反比例函数的图像与性质
解：∵反比例函数的图象在第二、四象限内，
∴ ，解得：.
故选B.
【点睛】若函数是关于的反比例函数，且图象在第二、四象限，则需同时满足两个条件：（1）；（2）.
【考点】反比例函数的图像与性质
解：∵当x＝2时，y＝-2,故不正确；
∵-4<0, ∴该函数的图象位于第二、四象限，故不正确；
∵该函数的图象位于第二、四象限，
∴当x＞0时，y的值随x的增大而增大 ，故正确；
∵当x＞﹣1时，y<4, 故不正确；
故选C.
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
【考点】反比例函数的性质
【分析】由题意易得当﹣3＜x＜﹣2时，函数的图象位于第二象限，且y随x的增大而增大，再计算出当x=-3和x=-2时对应的函数值，即可作出判断了.
解：∵在中，﹣6＜0，
∴当﹣3＜x＜﹣2时函数的图象位于第二象限内，且y随x的增大而增大，
∵当x=﹣3时，y=2，当x=﹣2时，y=3，
∴当﹣3＜x＜﹣2时，2＜y＜3，
故选C．
【点睛】熟悉“反比例函数的图象和性质”是正确解答本题的关键.
【考点】反比例函数系数k的几何意义
【分析】根据正方形ABOC边长是2，确定出A的坐标，代入反比例解析式求出k的值即可．
解：∵正方形ABOC边长为2，
∴AB=AC=2，
∵A在第二象限，
∴A（-2，2），
把A（-2，2）代入反比例解析式得：k=-4，
故选B.
【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质
【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而可以得到点E的坐标，进而求得k的值，从而可以解答本题．
解：∵反比例函数y=的图象经过正方形ABCD的顶点A和中心E，点D的坐标为（-1，0），
∴点A的坐标为（-1，-k），
∴点E的坐标为（-1+0.5k，-0.5k），
∴-0.5k=，
解得，k=-2，
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的知识解答．
【考点】求反比例函数解析式
【分析】把代入，得k=（-4）×（-5）=20.可确定函数解析式.
解：把代入，得k=（-4）×（-5）=20，
所以，.
故选：C
【点睛】本题考核知识点：求反比例函数解析式. 解题关键点：求出比例系数k.
二 、填空题
【考点】反比例函数的性质
【分析】根据反比例函数的性质：反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则可知2﹣k＞0，解得k的取值范围，写出一个符合题意的k即可．
解：由题意得，反比例函数y=的图象在第一、三象限内，
则2﹣k＞0，
故k＜2，满足条件的k可以为1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，双曲线的两个分支在一，三象限，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两个分支在二，四象限，y随x的增大而增大．
【考点】反比例函数的性质；正比例函数的性质；坐标与图形变化﹣旋转．
【分析】结合图形判断各个选项是否正确即可．
解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；
②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；
③结合图象的2个分支可以看出，当x=2时，y=2+=4，即在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故正确；
∴正确的有①③．
故答案为：①③．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据矩形PBOA的面积为6，得出|k|=6，再根据反比例函数的图象得出k＜0，从而求出k的值．
【解答】解：∵矩形PBOA的面积为6，
∴|k|=6，
∵反比例函数（x＜0）的图象过第二象限，
∴k＜0，
∴k=﹣6；
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，用到的知识点是过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，注意k的取值范围．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】设A（m，n），过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，得到AC=n，OC=﹣m，根据全等三角形的性质得到AC=OD=n，CO=BD=﹣m，于是得到结论．
解：∵点A是反比例函数y=﹣的图象上的一个动点，
设A（m，n），
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴AC=n，OC=﹣m，
∴∠ACO=∠ADO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠AOC=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠BOD，
在△ACO与△ODB中，
∴△ACO≌△ODB，
∴AC=OD=n，CO=BD=﹣m，
∴B（n，﹣m），
∵mn=﹣2，
∴n（﹣m）=2，
∴点B所在图象的函数表达式为y=，
故答案为：y=．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，根与系数的关系，二次函数的性质
【分析】根据双曲线y=过A，B两点，可设A（a，），B（b，），则C（a，）．将y=x+m代入y=，整理得x2+mx﹣3=0，由于直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，所以a、b是方程x2+mx﹣3=0的两个根，根据根与系数的关系得出a+b=﹣m，ab=﹣3，那么（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．再根据三角形的面积公式得出S△ABC=AC?BC=m2+6，利用二次函数的性质即可求出当m=0时，△ABC的面积有最小值6．
解：设A（a，），B（b，），则C（a，）．
将y=x+m代入y=，得x+m=，
整理，得x2+mx﹣3=0，
则a+b=﹣m，ab=﹣3，
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．
∵S△ABC=AC?BC
=（﹣）（a﹣b）
=??（a﹣b）
=（a﹣b）2
=（m2+12）
=m2+6，
∴当m=0时，△ABC的面积有最小值6．
故答案为6．
三 、解答题
【考点】反比例函数的性质
【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y=，可求出k的值；
（Ⅱ）先分别求出x=1和4时，y的值，再根据反比例函数的性质求解．
解：（Ⅰ）∵△AOB的面积为4，
∴ (?xA)?yA＝4，
即可得：k=xA?yA=﹣8，
令x=2，得：m=4；
（Ⅱ）当1≤x≤4时，y随x的增大而增大，
令x=1，得：y=﹣8；
令x=4，得：y=﹣2，
所以﹣8≤y≤﹣2即为所求．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是用待定系数法确定函数的解析式，它是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式,反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）把点A（-3,2）代入函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程来求k的值即可；（2）反比例函数的y=的图象在每一个象限内都是减函数．得出结论。
解：（1）将点A（-3,2）代入，求得k=-6，即；
∵k=-6＜0,
∴图像在二、四象限内
在每一象限内，y随x的增大而增大
∵x1>x2>0>x3
∴点B、C在第四象限，点D在第二象限
即y1<0，y2<0，y3>0
∴y3>y1>y2
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征．解题时，需要熟练掌握反比例函数图象的性质．
【考点】反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，根据实际问题列一次函数表达式
【分析】（1）根据P点坐标以及题意，对x范围分情况讨论即可得出 关于x的函数解析式.
（2）将A点的横坐标分别代入 关于x的函数解析式，得出A（2,2）或A（2,-2），再分别代入反比例函数解析式得出k的值；画出图像，由图像可得出当 时x的取值范围.
（1）解：∵P（x，0）与原点的距离为y1 ，
∴当x≥0时，y1=OP=x，
当x＜0时，y1=OP=-x，
∴y1关于x的函数解析式为 ，即为y=|x|，
函
数图象如图所示：
（2）解：∵A的横坐标为2，
∴把x=2代入y=x，可得y=2，此时A为（2，2），k=2×2=4，
把x=2代入y=-x，可得y=-2，此时A为（2，-2），k=-2×2=-4，
当k=4时，如图可得，y1＞y2时，x＜0或x＞2.
当k=-4时，如图可得，y1＞y2时，x＜-2或x＞0.
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【分析】（1）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；
（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．
解：（1）∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，
∴B（3，2），
∵F为AB的中点，
∴F（3，1），
∵点F在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴k=3，
∴该函数的解析式为y=（x＞0）；
（2）由题意知E，F两点坐标分别为E（，2），F（3，），
∴S△EFA=AF?BE=×k（3﹣k），
=k﹣k2
=﹣（k2﹣6k+9﹣9）
=﹣（k﹣3）2+
当k=3时，S有最大值．
S最大值=．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．