江苏省连云港市2019届高三上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年高三期中质量调研试卷（连云港市）
数学2018.11.22
?. 填空题：每题 5 分，共 70 分．
1. 已知集合A={1,3},B={1,2,m}，若 AB，则实数 m＝　　　　　　．
考点：集合的运算。
答案：3
解析：因为{1,3}{1,2,m}，所以，m=3
2. 求 log21+ log42 = ＝　　　　
考点：对数运算，换底公式。
答案：
解析：原式＝0+＝
3. 若 tanα=，且角α的终边经过点 P(x， 1)，则 x＝　　　　
考点：三角函数的定义。
答案：2
解析：tanα=，所以，x＝2
4. 命题：“x > 1， x2 - 2 > 0”是　　　　命题．（ 填“真”、“假’”）
考点：常用逻辑用语。
答案：真
解析：取x＝2，可以判断x2 - 2 > 0成立，所以是真命题。
5. 已知函数 f(x) = 是奇函数，则 f(x) < 0 的解集为　　　　
考点：函数的奇偶性，一元二次不等式。
答案：｛x｜x＞1或－1＜x＜0｝
解析：函数 f(x) 是奇函数，所以， f(－x) = ＝－，
化为：，即＝0，所以，，
f(x) = ＜0，即＞0
或，
解得：x＞1或－1＜x＜0
6. 已知向量= (1， 2)， = (m－1， m)，若 = 2，则向量与 夹角的余弦值为＝　　　
考点：平面向量的数量积。
答案：
解析：因为 = 2，
所以，(1， 2) (m－1，m)＝2，即（m－1）+2m＝2，解得：m＝1
所以，= (m－1， m)＝（0,1），
＝｜｜＝×1×cosθ＝2，所以，cosθ＝
7. 已知直线 y = kx- 2 与曲线 y = xlnx 相切，则实数 k 的值为　　　　
考点：函数的导数及其应用。
答案：1+ln2
解析：，设切点为（a，b），则
，即，即，解得：，
所以，
8. 已知实数 xy 满足，则当 2x－y 取得最小值时， x2 +y2 的值为　　　　
考点：线性规划。
答案：5
解析：不等式组所表示的平面区域如图所示，
当z＝2x－y过点B（1,2）时，取得最小值，此时x2 +y2 的值为5。

9. 已知双曲线 x2 - y2 = 1 的一条渐近线被圆 C：(x- 2)2 + y2 = r2(r > 0) 截得的线段长为 2，则圆 C 的半径r＝　　　　
考点：双曲线方程及其性质，直线与圆的方程。
答案：2
解析：双曲线 x2 - y2 = 1 的渐近线为，圆心（2,0），半径：r
圆心到渐近线的距离为：d＝，弦长为：2
＝2
10. 若函数 f(x) = 3sin(x+) 与 g(x) = 8tanx 的图象在区间 (0， ) 上交点的横坐标为 x0，则 cos2x0 的值为　　　
考点：三角恒等变换，诱导公式。
答案：
解析：f(x) = 3sin(x+)＝3，联立方程组：，即
，化为：，解得：，
即，所以，。
11.已知为正常数，，若使，则实数的取值范围是_______.
考点：二次函数和指数函数的图象，分段函数图象的画法。
答案：（2，＋∞）
解析：为正常数，
当x≥0时，过定点（0,3），单调递增，对称轴为：＜0，
当x＜0时，，单调递增，，画出2个函数图象如下图，

因为使，
所以，＞3，即＞2

12.在三角形中，是的角平分线，则=____.
考点：平面向量的三角形法则、数量积。
答案：
解析：如图所示，∵是的角平分线，∵，
∴＝＝＝，
∴＝（）＝＝＝

13.椭圆的两个顶点过A,B分别作与垂直的直线交椭圆与，若，则椭圆的离心率________.
考点：椭圆方程及其性质，平面向量，数学计算能力。
答案：
解析：如下图，设D（，），C（，），
∵AB⊥AD，AB⊥BC，　∴AD∥BC，

又∵BC＝3AD，　　　∴，即，
∴，即
∵C，D在椭圆上，∴，即，
即：，
即：，化简，得：，
又，所以，，直线AD为：，
点D在直线AD上，所以，，所以，，即，


14. 在三角形中，，则当角最大时，三角形的
面积为________.
考点：三角函数，三角恒等变换，三角形的面积计算。
答案：
解析：y=tanx在（0，）上是增函数，所以，角B最大时，也就最大，最大，
即f（A）＝最大，
看成是（cosA，sinA）是点（4，0）之间连线的斜率的相反数，
动点（cosA，sinA）的轨迹是圆心在原点，半径为1的圆，
当过点（4，0）的直线与圆相切时，k＝，
所以，的最大值为，所以，
解得：，
tanB＝，解得：。
sinC＝sin（A＋B）＝，
因为B最大，且sinA=sinC，
所以，A=C，即a=c
又AB+BC＝4，即：a＋c＝4，所以，a=c＝2
S＝＝


?. 解答题：共 90 分
15. (本小题 14 分)
已知向量 = (1，2sinθ)，= (sin(θ+)，1)，θR。
(1) 若⊥，求 tanθ的值；
(2) 若∥，且 θ (0，)，求 θ的值
考点：平面向量的数量积，平行向量的性质，三角恒等变换。
解析：（1）依题意，得：?＝0，即
sin(θ+)+2sinθ＝0，展开，得：
sinθcos＋cosθsin+2sinθ＝0，
化简，得：sinθ＋cosθ＝0，解得：tanθ＝－
（2）因为∥，所以，2sinθsin(θ+)＝1，展开得：
2sinθ（sinθcos＋cosθsin）＝1，
即：2sin2θ＋2sinθcosθ＝2，
即：1－cos2θ＋sin2θ＝2，
化为：sin（2θ－）＝，因为θ (0，)，所以，2θ－ ()，
所以，2θ－＝，解得：θ＝

16. (本小题 14 分)
设二次函数 f(x) = ax2 +bx+c，函数 F(x) = f(x)－x 的两个零点为 m，n(m < n)．
(1) 若 m =－1， n = 2，求不等式 F(x) > 0 的解集；
(2) 若 a >0，且 0 < x < m < n < ，比较 f(x) 与 m 的大小
考点：函数的零点，一元二次不等式。
解析：（1） F(x) = f(x)－x＝ax2 +bx+c－x＝ax2 +（b－1）x+c，
函数 F(x) 有两个零点为－1,2，所以，
，解得：，
所以， F(x) ＝ax2 －x－2＝（＞0，
（1）当＞0时，F(x) ＝（＞0的解为：x＞2或x＜－1，
（2）当＜0时，F(x) ＝（＞0的解为：－1＜x＜2，
综上所述：
当＞0时，F(x) ＞0的解集为：
当＜0时，F(x) ＞0的解集为：（－1,2）

（2）函数 F(x) ＝ax2 +（b－1）x+c有两个零点为 m，n(m < n)．
所以，
，解得：，
所以， F(x) ＝ax2 －x＋＝（
f(x) －m＝F(x)+x－m＝（+x－m＝（，
因为 a >0，且 0 < x < m < n < ，
所以，，＝＞0
所以，f(x) －m＜0，即f(x) ＜m

17. (本小题 14 分)
已知椭圆 C：的离心率为，以短轴为直径的圆被直线 x+y－1 = 0 截得的弦长为．
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 设 A， B 分别为椭圆的左、右顶点， D 为椭圆右准线 l 与 x 轴的交点， E 为 l上的另一个点，直线 EB 与椭圆交于另一点F，是否存在点 E，使 R)? 若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由
考点：椭圆的标准方程及其性质。
解析：圆心为（0,0），半径为R,，依题意，得：b＝R，

圆心到直线x+y－1 = 0的距离为：，又弦长为，
所以，R2＝＝3，所以，b＝R＝
离心率e＝＝，即，又，解得：，
椭圆 C 的方程为：
（2）依题意，有A（－2,0），B（2,0），c＝1，
椭圆的右准线方程为：，所以，D（4,0）

设l上的另一个点E（4，t），则
直线BE方程为：，与椭圆C联立方程：
消去y可得：
点B（2,0），F（x，y）是直线与椭圆的2个交点，所以，由韦达定理，得：2，
所以，，代入BE方程，解得：，
所以，F（，），从而，，，），
因为R)，即共线，所以，有
＝，解得：，所以，E（4，

18. (本小题 16 分)
规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球 A 是指该球的球心点 A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为 1 的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
(1) 如图 1，设母球 A 的位置为 (0， 0)，目标球 B 的位置为 (4， 0)，要使目标球 B 向 C(8， -4) 处运动，求母球 A 球心运动的直线方程；
(2) 如图 2，若母球 A 的位置为 (0， -2)，目标球 B 的位置为 (4， 0)，能否让母球 A 击打目标 B 球后，使目标 B 球向 (8，－4) 处运动?
(3) 若 A 的位置为 (0，a) 时，使得母球 A 击打目标球 B 时，目标球 B(4， 0) 运动方向可以碰到目标球 C(7，-5)，求 a 的最小值（只需要写出结果即可）

考点：直线方程，圆的标准方程，平面向量。
解析：（1）点B（4,0）与点C（8，－4）所石室的直线方程为：x＋y－4＝0，
依题意，知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线x＋y－4＝0上，且在第一象限，
此时｜AB｜＝2，设A，B两球碰撞时球A的球心坐标为（a，b），
则有：，解得：，，
即：A，B两球碰撞时球A的球心坐标为（，），
所以，母球A运动的直线方程为：

（2）因为＝（，2+），＝（，），
而?＝（，2+）（，）＝4－2＞0，
所以，∠是锐角，
所以，点B（4,0）到线段的距离小于2，即球A的球心还到直线BC上时，就会也B球碰撞，故目标B球不可能向（8，－4）处运动。





19.对于函数与，若存在实数满足，且，则称为的一个点.
(1)证明：函数与不存在的点；
(2)若函数与存在的点，求的范围；
(3)已知函数，证明：存在正实数，对于区间内任意一个皆是函数的点.
考点：函数的导数及其应用，分类讨论的思想。
解析：（1）证明：因为恒成立，
所以，不存在实数满足，
故不存在的点
（2）构造函数F（x）＝＝，
函数F（x）的定义域为（0，＋∞），
＝0，得：x＝1，
x (0，1) 1 (1，＋∞)
－ 0 ＋
F（x） ↘ ↗
x＝1是F（x）的唯一极小值点，也是最小值点，
所以，F（x）min＝F（1）＝0，即F（x）≥0恒成立，
所以，在定义域（0，＋∞）内，x0－1≥lnx0恒成立，
当x0≥1时，｜x0－1｜＝x0－1，｜lnx0｜＝lnx0，
因为x0－1≥lnx0恒成立，所以，｜x0－1｜≥｜lnx0｜恒成立，为的一个点.
当0＜x0＜1时，｜x0－1｜＝－（x0－1），｜lnx0｜＝－lnx0，
由x0－1≥lnx0，得：－（x0－1）≤－lnx0，即｜x0－1｜≤｜lnx0｜，此时不是的一个点.
所以，的取值范围为［1，＋∞）.


20. 已知函数（其中）
（1）求的单调减区间；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）设只有两个零点（），求的值.
考点：函数的导数及其应用。
解析：
（1）的定义域为｛x｜x≠0｝，
＝＜0，解得：x＜1，
所以，的单调减区间为（－∞，0）和（0,1）