沪科版八年级数学上册15.4.2角的平分线的性质课件(共27张PPT)
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学上册15.4.2角的平分线的性质课件(共27张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 378.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-12-02 21:59:12 | ||
图片预览
文档简介
15.4.2角平分线的性质
沪科版八年级数学上册
旧知回顾
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
o
B
C
A
1
2
符号语言：
∵射线OC是∠AOB的角平分线
∴ ∠1= ∠2
1.角平分线的定义：
2、点到直线距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.
O
P
A
B
点P到直线AB的距离就是垂线段PO的长度
旧知回顾
旧知回顾
3.三角形的角平分线：
在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
如何做角平分线呢？
1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
情境问题
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
活动2
A
D
B
C
2、证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应角相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
A
D
B
C
E
尺规作角的平分线
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
射线ＯＣ即为所求．
根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.
A
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
为什么OC是角平分线呢？
O
Ｏ
想一想：
已知：OM=ON，MC=NC
求证：OC平分∠AOB
证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
1〉平分平角∠AOB
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。
A
B
O
C
D
实践应用
角平分线有什么性质呢？
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：____________
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
www.12999.com
角平分线的性质：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
A
O
B
P
E
D
猜想：
C
数学符号表示已知和求证：
即
注意
特别是文字性叙述的几何证明题
P
A
O
B
C
E
D
1
2
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证: PD=PE
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）
∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
P
A
O
B
C
E
D
1
2
你还可以得到其他什么结论？
1.先证所缺条件
2.写齐条件：一个中心三个基本点
1.OD=OE
2.PO是∠DPE的平分线
O
D
E
P
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
几何语言描述：
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A
C
B
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线的性质：
不必再证全等
作用：
判断线段相等的依据.
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
判断正误：
练习1
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，（ ）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√
不必再证全等
如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.
A
D
O
B
E
P
C
4
随课巩固
例1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点D到AB的距离为？
A
C
D
B
E
E
DE=CD=BC-BD=8-5=3
在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.
求证：AC=BD.
O
A
B
E
C
D
课堂练习
提示：有角平分线的条件，常考虑角平分线性质
要证∴ △AEC≌△BED
有哪些条件？需要先证吗？
请写出证明过程
例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。
A
B
C
P
E
D
F
M
N
例题讲解
N
D
N
A
B
C
P
D
N
A
B
C
P
D
N
E
F
A
B
C
P
D
N
A
B
C
P
A
B
C
P
点拨：有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线段
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BF是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等
A
B
C
P
D
E
F
结论：两内角平分线的交点到三边的距离相等
练习：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｐ
F
G
H
Ｂ
Ｐ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｐ
F
G
H
Ｂ
Ｐ
证明：过点P作PG 、PF、PH分别垂直于AB、BC、CA，垂足为G、F、H
∵BD是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PG=PF
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PF=PH.
∴ PG=PF=PH.
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
两外角平分线的交点到三边的距离相等
①
②
③
得到结论：
小结:
及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
判断线段相等的依据.
1.如何作一个已知角的角平分线
沪科版八年级数学上册
旧知回顾
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
o
B
C
A
1
2
符号语言：
∵射线OC是∠AOB的角平分线
∴ ∠1= ∠2
1.角平分线的定义：
2、点到直线距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.
O
P
A
B
点P到直线AB的距离就是垂线段PO的长度
旧知回顾
旧知回顾
3.三角形的角平分线：
在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
如何做角平分线呢？
1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
情境问题
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
活动2
A
D
B
C
2、证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应角相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
A
D
B
C
E
尺规作角的平分线
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
射线ＯＣ即为所求．
根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.
A
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
为什么OC是角平分线呢？
O
Ｏ
想一想：
已知：OM=ON，MC=NC
求证：OC平分∠AOB
证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
1〉平分平角∠AOB
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。
A
B
O
C
D
实践应用
角平分线有什么性质呢？
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：____________
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
www.12999.com
角平分线的性质：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
A
O
B
P
E
D
猜想：
C
数学符号表示已知和求证：
即
注意
特别是文字性叙述的几何证明题
P
A
O
B
C
E
D
1
2
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证: PD=PE
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）
∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
P
A
O
B
C
E
D
1
2
你还可以得到其他什么结论？
1.先证所缺条件
2.写齐条件：一个中心三个基本点
1.OD=OE
2.PO是∠DPE的平分线
O
D
E
P
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
几何语言描述：
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A
C
B
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线的性质：
不必再证全等
作用：
判断线段相等的依据.
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
判断正误：
练习1
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，（ ）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√
不必再证全等
如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.
A
D
O
B
E
P
C
4
随课巩固
例1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点D到AB的距离为？
A
C
D
B
E
E
DE=CD=BC-BD=8-5=3
在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.
求证：AC=BD.
O
A
B
E
C
D
课堂练习
提示：有角平分线的条件，常考虑角平分线性质
要证∴ △AEC≌△BED
有哪些条件？需要先证吗？
请写出证明过程
例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。
A
B
C
P
E
D
F
M
N
例题讲解
N
D
N
A
B
C
P
D
N
A
B
C
P
D
N
E
F
A
B
C
P
D
N
A
B
C
P
A
B
C
P
点拨：有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线段
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BF是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等
A
B
C
P
D
E
F
结论：两内角平分线的交点到三边的距离相等
练习：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｐ
F
G
H
Ｂ
Ｐ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｐ
F
G
H
Ｂ
Ｐ
证明：过点P作PG 、PF、PH分别垂直于AB、BC、CA，垂足为G、F、H
∵BD是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PG=PF
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PF=PH.
∴ PG=PF=PH.
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
两外角平分线的交点到三边的距离相等
①
②
③
得到结论：
小结:
及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
判断线段相等的依据.
1.如何作一个已知角的角平分线