15.4.2角平分线的性质课件课件(共27张PPT)
文档属性
| 名称 | 15.4.2角平分线的性质课件课件(共27张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 684.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-12-02 22:05:17 | ||
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文档简介
15.4.2角平分线的性质
★ 什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？
操作与思考1：
B
O
A
C
信不信由你
如图，AB＝AD，BC＝DC，沿着AC画一条射线AE，AE就是∠BAC的角平分线， 你知道为什么吗？
D
·
·
·
·
C
B
A
E
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
如何用尺规作角的平分线？
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
探究
探索1
将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?
O
A
B
A
O
B
E
D
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
在∠AOB的平分线OC上任取一点P，然后，作点P到∠AOB两边的垂线段PD、PE，画一画，量一量，从中你有什么新发现？你能说明其中的道理吗？
B
O
A
C
·
D
P
E
画一画,想一想,议一议
命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
A
O
B
P
E
D
角平分线的性质
定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
O
B
P
E
D
1
2
∵∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
随堂练习
B
O
A
C
·
D
P
E
1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵
∴PD=PE
PD⊥OA，PE⊥OB
2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，则点D到AB的距离为_________。
动脑筋
3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， 求BE，AE的长和△AED的周长。
E
D
C
B
A
练一练
3在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
E
D
C
B
A
4.△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且
BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
A
B
C
D
E
（点D到AB的距离是3）
如图，由 于点 D ， 于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？
OB
PE
^
PD
^
OA
议一议
到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。
已知：如图， ，
，垂足分别是
A、B，PD=PE ，
求证：点P在 的角平分线上。
B
A
D
O
P
E
解：设要截取的长度为Ｘm,则：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该集贸市场应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｓ
Ｏ
公路
铁路
解得：Ｘ＝0.025m
＝2.5cm
Ａ
则点Ａ即为所求的点
想一想
到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
已知：如图， ， ， 垂足分别是 D、E，PD=PE，
求证：点P在 的角平分线上。
证明：
\
作射线OP
\ 点P在 角的平分线上
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
（ HL）
\
（全等三角形的对应角相等）
OP = OP （公共边）
PD = PE （ 已 知 ）
\
≌
角平分线的判定
B
A
D
O
P
E
∵
角平分线的判定的应用书写格式：
OP 是 的平分线
PD= PE
\
（到一个角的
两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
∵
D
E
O
P
A
B
角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。
B
A
D
O
P
E
C
\
PD = PE
OP 是 的平分线
∵
∵
\
OP 是 的平分线
PD = PE
用途：证线段相等
用途：判定一条射线是角平分线
例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，
且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
A
B
C
E
F
D
4.已知：如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ .
求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要求不用三角形全等的判定）
B
C
A
C′
5已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F，BE、CF相交于D， BD=CD 。
求证： AD平分∠BAC 。
A
B
C
F
E
D
课堂练习
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相 交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）
∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、CA的距离相等
D
E
F
A
B
C
P
M
N
练习：
如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？
拓展与延伸
1、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
A
A
A
A
A
A
A
D
N
E
B
F
M
C
A
2、已知PA=PB， ∠1+ ∠2=1800，
求证：OP平分∠AOB
A
O
B
P
1
2
E
F
3 已知：如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD和∠C的外角平分线CE相交于点P。
求证：点P在∠BAC的平分线上。
C
A
B
P
D
E
课堂小结
1.角平分线的性质定理：
在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径.
★ 什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？
操作与思考1：
B
O
A
C
信不信由你
如图，AB＝AD，BC＝DC，沿着AC画一条射线AE，AE就是∠BAC的角平分线， 你知道为什么吗？
D
·
·
·
·
C
B
A
E
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
如何用尺规作角的平分线？
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
探究
探索1
将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?
O
A
B
A
O
B
E
D
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
在∠AOB的平分线OC上任取一点P，然后，作点P到∠AOB两边的垂线段PD、PE，画一画，量一量，从中你有什么新发现？你能说明其中的道理吗？
B
O
A
C
·
D
P
E
画一画,想一想,议一议
命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
A
O
B
P
E
D
角平分线的性质
定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
O
B
P
E
D
1
2
∵∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
随堂练习
B
O
A
C
·
D
P
E
1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵
∴PD=PE
PD⊥OA，PE⊥OB
2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，则点D到AB的距离为_________。
动脑筋
3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， 求BE，AE的长和△AED的周长。
E
D
C
B
A
练一练
3在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
E
D
C
B
A
4.△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且
BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
A
B
C
D
E
（点D到AB的距离是3）
如图，由 于点 D ， 于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？
OB
PE
^
PD
^
OA
议一议
到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。
已知：如图， ，
，垂足分别是
A、B，PD=PE ，
求证：点P在 的角平分线上。
B
A
D
O
P
E
解：设要截取的长度为Ｘm,则：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该集贸市场应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｓ
Ｏ
公路
铁路
解得：Ｘ＝0.025m
＝2.5cm
Ａ
则点Ａ即为所求的点
想一想
到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
已知：如图， ， ， 垂足分别是 D、E，PD=PE，
求证：点P在 的角平分线上。
证明：
\
作射线OP
\ 点P在 角的平分线上
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
（ HL）
\
（全等三角形的对应角相等）
OP = OP （公共边）
PD = PE （ 已 知 ）
\
≌
角平分线的判定
B
A
D
O
P
E
∵
角平分线的判定的应用书写格式：
OP 是 的平分线
PD= PE
\
（到一个角的
两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
∵
D
E
O
P
A
B
角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。
B
A
D
O
P
E
C
\
PD = PE
OP 是 的平分线
∵
∵
\
OP 是 的平分线
PD = PE
用途：证线段相等
用途：判定一条射线是角平分线
例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，
且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
A
B
C
E
F
D
4.已知：如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ .
求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要求不用三角形全等的判定）
B
C
A
C′
5已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F，BE、CF相交于D， BD=CD 。
求证： AD平分∠BAC 。
A
B
C
F
E
D
课堂练习
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相 交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）
∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、CA的距离相等
D
E
F
A
B
C
P
M
N
练习：
如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？
拓展与延伸
1、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
A
A
A
A
A
A
A
D
N
E
B
F
M
C
A
2、已知PA=PB， ∠1+ ∠2=1800，
求证：OP平分∠AOB
A
O
B
P
1
2
E
F
3 已知：如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD和∠C的外角平分线CE相交于点P。
求证：点P在∠BAC的平分线上。
C
A
B
P
D
E
课堂小结
1.角平分线的性质定理：
在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径.