直线与平面垂直
教材分析
本节课主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理和性质定理的探讨及运用。它是在学习了空间的点、直线、平面之间的位置关系和直线与平面平行的判定及其性质之后进行的空间另一种重要位置关系的学习。直线与平面的垂直关系是直线与平面相交的一种特殊情况，它既是直线与平面位置关系的深化，又是研究面面垂直、线面角、面面角等知识的基础，在本章中起到了承上启下的作用。通过本节内容的学习研究，可进一步完善学生的知识结构，更好的培养学生观察发现、空间想象以及推理论证的能力。
教学目标
通过对实例的观察，提炼和理解直线和平面垂直定义。
通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，探究直线与平面垂直的性质定理，并能运用其解决相关问题。
在探索直线与平面垂直判定定理的过程中培养学生观察发现能力、空间想象能力和合情推理能力，感悟和体验“空间问题转化为平面问题”
“线面垂直转化为线线垂直”等数学转化与化归思想方法。
教学重点、难点
运用直观感知、问题探究、操作确认等方法，概括得出直线与平面垂直的定义判定定理和性质定理。
四．教学方法、手段
从学生熟悉的实际生活问题引入课题，通过抽象概括，帮助学生直观感受并操作确认两个定理．
五.教学用品:多媒体、矩形纸片、三角板
六．教学过程
１．复习回顾
直线与平面有哪些位置关系？
直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交这三种位置关系。
２．知识建构
探究一 直线与平面垂直的概念
问题情境
(1)广场上竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉？你能列举一些类似的实例吗？
(2)将一本书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置关系，此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？
问题1观察圆锥，它给我们以轴垂直于底面的形象．轴与底面内的哪些直线垂直呢？
追问:能不能说轴垂直于底面中的所有直线?若能,则在底面内任取一条直线,怎么说明它与轴垂直?
设计意图通过生活中的实例和几何体中的线面“垂直”的位置关系，初步感知“线面垂直”。让学生通过这些例子感知“线面垂直”是“线面相交”的一种特殊情况，生活中存在着大量的“线面垂直”的位置关系。
上述旗杆与地面，书脊与桌面，圆锥的高与底面的位置关系，称为直线与平面垂直．一般的，怎样定义直线与平面垂直？
直线和平面垂直的定义:如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线和平面的交点称为垂足。
师:怎样画出直线与平面垂直时的直观图？
强调画直线与平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。
直线和平面垂直的定义从以下方面来理解:
关键词“任意”表示所有，不能用“无数”代替。
直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况。
等价于对于任意直线，都有
直线和平面垂直的判定方法之一：定义法
设计意图在对定义分析的过程中，始终抓住线线垂直和线面垂直互相转化这条主线。通过对关键词“任意”的分析，使学生体会到“无数”不能代表所有，当直线与平面内无数条互相平行的直线垂直时，该直线不一定垂直于平面，这个辨析过程也为判定定理做了铺垫。
问题2 在平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．那么，在空间，(1)过一点有几条直线与已知平面垂直？(2)过一点有几个平面与已知直线垂直？
结论:过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。
点到平面的距离的定义:从平面外一点引这个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.（点线距离转化为两点间的距离）
探究二直线与平面垂直的判定方法
问题3 在同一平面中,如果两条平行直线中的一条垂直于第三条直线,那么另一条也垂直于第三条直线.在空间的线面关系上,我们可以类比得到怎样的结论?
例1求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
已知：，.求证：
分析：要证，需证与内任意一条直线垂直
（学生板演）
设计意图:此题是利用定义进行证明，解题时，让学生板演和评价，使学生得到充分的训练和表达，同时对证明格式提出规范性要求。证明之后，使学生认识到直线的平移不改变直线与平面的垂直关系。从直观的判断上升到理性的思考，符合学生的认知规律。
问题4如果直线与平面内的一条直线垂直,能得到线面垂直吗?如果直线与平面内的两条直线垂直,能得到线面垂直吗?如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直吗?
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
符号语言：若，则
图形语言:
说明：（1）判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记清楚；（2）直线与平面垂直的判定定理是判定直线与平面垂直的常用方法。设计意图直线与平面垂直的判定定理不需要证明，只需要通过生活中的实例，直观感知并操作确认。
探究三直线与平面垂直的性质
问题5在联合国广场上,竖立着各国的国旗,这些旗杆都与地面垂直,请问这些旗杆之间是怎样的位置关系?能否从理论上证明这一点?
例2 已知：，求证：
（在教师的指导下，学生尝试证明，然后给出过程）
设计意图性质定理的提出以上面例题为背景，与例题自然衔接，并用生活中的现象加以验证。定理的证明一定要让学生先尝试，在实践中提高自己的思辨能力，并深刻领悟“正难则反”的思想。
例3 已知：直线//平面。
求证：直线上各点到平面的距离相等。
让学生思考片刻，老师再指导和帮助学生寻找出解题途径。要证明结论，需证明直线上任意两点到平面的距离相等，将这两条线段夹在两平行线之间，故构造辅助面完成证明。
一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离.（线面距离转化为点面距离）
3.尝试应用
书本38页 练习3
在三棱锥中，求证:（学生板演，老师给予点评）
设计意图让学生充分体验直线与平面垂直的定义和性质定理的应用，加深对它们的认识和理解。进一步强化书写的规范性。
4．课堂练习
已知直线与平面，指出下列命题是否正确，并说明理由：
（1）若，则与相交；
（2）若，则；
（3）若，则。
如图，已知，垂足分别为，且。
求证：
5.课堂总结
（1）直线与平面垂直的定义中，“任意一条直线”与“所有直线”是一个意思，但不能说成“无数条直线”。
（2）判断直线与平面垂直，方法有一定义法；二两条平行线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面；三直线与平面垂直的判定定理。
（3证明几何问题常规的方法有两种:直接证明和间接证明，直接法是依据定义定理和公理，并适当引用平面几何的知识；用直接证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接方法。
（4）应用直线与平面的定义判定定理和性质定理解决相关问题。
七．教学设计说明
本节的知识结构，主要是在从“特殊到一般”，“降维转化”两种思想的引领下产生的，同时遵循“直观感知，操作确认”的教学要求，让学生参与知识的产生、发展的过程。高中数学新课标的理念是:数学课堂教学是数学活动的教学，教师的作用是引导学生进行数学活动，倡导的数学学习方式是自主探索合作交流与动手实践。本节课首先让学生充分联想感知，寻找生活中线面垂直的实例，在对判定定理的处理上，通过直观感知操作确认合情推理理性思维等步骤充分发挥学生的主观能动性。例题的解答，让学生扮演和评价，使学生得到充分的训练和表达。立体几何中，空间想象，逻辑推理以及三种语言的转化是学生要重点培养的能力。本节课，采用多种教学方法有利于培养学生的学习兴趣，激发求知欲，增强学生的主体学习意识，同时也可以培养学生的空间想象能力。本节课都让学生充分参与，更好的训练学生的逻辑思维和表达能力.
直线与平面垂直
复习回顾
直线与平面有哪些位置关系？
直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交这三种位置关系
知识建构
探究一 直线与平面垂直的概念
问题情境
（1）广场上竖立的旗杆与地面的位置关 系给人以什么感觉？
（2） 将一本书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置关系，此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？
问题1 观察圆锥，它给我们以轴垂直于底面的形象．轴与底面内的哪些直线垂直呢？
追问：能不能说轴垂直于底面中的所有直线？若能，则在底面内任取一条直线，怎么说明它与轴垂直？
上述旗杆与地面，书脊与桌面，圆锥的高与底面的位置关系，称为直线与平面垂直．一般的，怎样定义直线与平面垂直？
直线和平面垂直的定义:
如果一条直线与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面α互相垂直，记作a⊥α. 直线叫做平面α的垂线，平面α叫做直线的垂面，垂线和平面的交点称为垂足。
直线和平面垂直的定义从以下方面来理解:
（1）关键词“任意”表示所有，不能用“无数”代替。
（2）直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况。
（3）a⊥α等价于对于任意直线m α，都有a⊥α。
（4）直线和平面垂直的判定方法之一：定义法
问题2 在平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．那么，在空间，
（1）过一点有几条直线与已知平面垂直？
（2）过一点有几个平面与已知直线垂直？
过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。
过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，
探究二 直线与平面垂直的判定方法
问题3 在同一平面中,如果两条平行直线中的一条垂直于第三条直线,那么另一条也垂直于第三条直线.在空间的线面关系上,我们可以类比得到怎样的结论?
例1.求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
问题4
如果直线与平面内的一条直线垂直,能得到线面垂直吗?
如果直线与平面内的两条直线垂直,能得到线面垂直吗?
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直吗?
用符号语言表述为：
若 m ? α , n ? α , m ∩ r = A , l⊥m , l⊥n,
则 l ⊥ α
说明：（1）判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记清楚；
（2）直线与平面垂直的判定定理是判定直线与平面垂直的常用方法
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
探究三 直线与平面垂直的性质
问题5 在联合国广场上,竖立着各国的国旗,这些旗杆都与地面垂直,请问这些旗杆之间是怎样的位置关系?能否从理论上证明这一点?
已知：a ⊥α , b⊥α , 求证：a∥b
已知：直线l // 平面α 。
求证：直线l 上各点到 平面α 的距离相等。
直线和平面的距离
一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离。
（线面距离转化为点面距离）
尝试应用
1.书本38页 练习3
2.在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面ABC , AB⊥BC , PA=AB , D为PB的中点
求证:AD⊥PC
课堂练习
1.已知直线与平面，指出下列命题是否正确，并说明理由：
（1）若l⊥α,则l与α相交；
（2）若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α；
（3）若l∥m,m⊥α，n⊥α,则l∥n。
2．如图，已知PA⊥α ，PB⊥β，垂足分别为A，B，且α ∩ β=l。
求证：l⊥平面APB。
课堂总结
（1）直线与平面垂直的定义中，“任意一条直线”与“所有直线”是一个意思，但不能说成“无数条直线”。
（2）判断直线与平面垂直，方法有一定义法；二两条平行线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面；三直线与平面垂直的判定定理。
（3）证明几何问题常规的方法有两种:直接证明和间接证明，直接法是依据定义定理和公理，并适当引用平面几何的知识；用直接证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接方法。
（4）应用直线与平面的定义判定定理和性质定理解决相关问题。
课后作业
《补充习题》
