向量的数量积
物理问题：一个物体 在力F作用下发生了位移S，那么该力对物体所做的功为多少？
力F所做的功为: W=|F||S|cosθ
其中θ为向量F与S的夹角.
向量的夹角
两个非零向量 a和b
注：(1) 当θ =0时，a与b同向.
(2) 当 θ = π 时，a与b反向.
(3) 当θ = π/2 时，a与b垂直，记为a⊥b.
作 a， b，
a
b
b
a
O
A
B
θ
则∠AOB= θ
(0 ≤ θ ≤π)
叫做a与b的夹角.
练习：指出向量ａ与ｂ的夹角。
ａ
b
ａ
θ
A
B
C
∠ABC
D
∠CBD
已知两个非零向量 a和b，它们的夹角是θ ，
则数量|a||b| cos θ 叫做a与b的数量积(或内积)，记为a·b
a·b =|a||b|cos θ
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
注：(1) 功W=|F||S|cosθ
(2) 书写： a·b , “·”不能省略，也不能写成 “×”.
向量数量积的定义
=F·S
练习：判断正误，并简要说明理由：
（1） a·b是向量吗？
（2） a·b 一定是非负实数吗？
（3）
注：
（4）若a=0 或b=0，有a·b =0.
（5）若a·b =0，则 a=0 或b=0
（6）若a≠0且b ≠ 0 ，则 a·b ≠ 0.
注：a·b=0
(×)
(×)
(×)
(×)
(×)
(√)
=> |a||b|cos θ=0
=> |a|=0 或 |b|=0 或 cos θ=0
=> a=0 或 b=0 或 a⊥b
向量数量积的性质
向量数量积的性质
a?b = 0
-|a||b|
(5) |a ? b|
(3)
(4) a，b为两个非零向量，夹角为θ，cos θ=
简记为
(1) a，b为两个非零向量 ,则a ? b ?
(2) 当a与b同向时，a?b =
当a与b反向时，a?b =
|a||b|
|a||b|
≤
例1：已知向量a与b的夹角为θ，
(1) |a|=2，|b|=3，分别在下列条件下求a·b：
① θ=135° ② a ? b ③ a∥b
(2) |a|=2，|b|=3, a·b=3, 求θ.
(3) |b|=3, a·b= -3, θ=120°,求|a|.
向量数量积的运算律
(1) 交换律： a·b= b·a
(2) 对实数的结合律：(λ a) ·b= λ(a·b)= a· (λb)
(3) 分配律：(a+b) ·c=a·c+b·c
思考：(a·b)c=a(b·c)成立吗 ?
不成立.
例2：已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为120°，求：
(1) (2a-b) ·(a+3b) (2) |a+b| (3) |a-b|
例3：在△ABC中，
求：
变式：在△ABC中，若 ，判断三角形的形状.
(1)
(2)
(3)
反馈练习
(1) 设|a|=3，|b|=5，且a+ λb与a- λb垂直，则λ=______.
(2) 若|a+b|=|a-b|，则a·b =___________________.
(3) 已知|a|=5，|b|=4，|a+b|= ,求向量a与b的夹角.
课堂小结
向量的夹角：共起点， 0 ≤ θ ≤π
向量数量积的定义： a·b =|a||b|cos θ
向量数量积的性质和运算律
课题：向量的数量积
教材分析：本节课是高中数学必修4第二章第四节内容，是在学习向量的加法、减法、数乘运算基础上介绍的另一种重要的运算。平面向量的数量积是平面向量这一章的核心内容，是解决代数与几何问题的一个重要工具，同时也为空间向量数量积的学习奠定基础。
教学目标：
知识与技能：（1）理解向量数量积的定义；
（2）掌握向量数量积的性质和运算律；.
（3）会应用数量积解决向量的模、夹角、垂直、共线等问题。
过程与方法：通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想；
情感与态度：通过数量积的性质及运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的认知能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。
教学重难点：
重点：向量数量积的定义及运算律.
难点：向量数量积运算律的理解；向量数量积在解决向量模、夹角等问题的应用.
教学方法：小组讨论，学生成果展示
教学用品: 三角板，多媒体，粉笔
教学过程：
（一）课前自主学习
1. 向量夹角的概念：__________________________________
2. 向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos 叫做与的数量积（或内积），记作，即有 = ||||cos
规定：与任一向量的数量积为0，即
练习:判断正误，并简要说明理由：
（1）是向量吗？ （ ）
（2）一定是非负实数吗？ （ ）
（3） ,. ( )
（4）若 =或= ，有 = 0 ( )
（5）若 = 0，则 = 或= ( )
（6）若 且 ，则 0 ( )
3.向量数量积的性质：?
小组讨论：向量的数量积有哪些性质？利用这些性质可以解决哪些问题?
（1）两个非零向量与， = 0；
（2）两个非零向量与，当与同向时， = ||||；
当与反向时， = ||||；
（3）cos =；
（4） = ||2，，；
（5）|| ≤ ||||.
4.向量数量积的运算律：
（１）交换律：_________________________________________
（２）对实数的结合律：__________________________________
（３）分配律：??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????__________________________________________
思考：对吗？
（二）课堂讲练互动
例1.已知向量与的夹角为，
（1） ，分别在下列条件下求：
① θ=135° ② ③ ∥
(2) ，, , 求θ.
(3) , , θ=120°,求.
思考:如何由数量积求夹角及模? cos = , .
例2.已知 ，与的夹角为，求：
（1） (2) |+| (3) |-|.
例3.△ABC中， ， ，，求：
(1) (2) (3) .
变：△ABC中，若，判断三角形的形状.
（三）反馈练习
1设||=3,||=5,且+λ与－λ垂直，则λ＝
2.若，则_____________.
3. 已知，求向量与的夹角.
（四）课堂小结
问题一：向量数量积的概念包括哪些主要内容？
问题二：说出向量数量积的性质及运算律。
问题三：用向量的数量积可解决哪些问题？如何解决？
设计意图：本节课分层次将教学过程分解为两个步骤：为什么定义平面向量的数量积；怎样认识平面向量的数量积。新课学习分为五个阶梯：怎么定义平面向量的数量积；怎么全方位认识定义；怎样用定义、性质解决问题；课堂演练；课堂小结。突出学习数学知识的一般过程——为什么学、学什么、怎么用。例1的设计意图是对定义 = ||||cos的简单应用，初步认识到数量积解决夹角、模等问题。例2的设计意图是通过这组例子加深对数量积运算律的理解，并认识到如何通过数量积求向量的模。例3的设计意图是再进一步加深对定义及运算律的理解，并会利用数量积判断三角形的形状。通过以上例题的探究：问题涉及无非是向量的模（长度）、向量的夹角（三角形或多边形的内角或其补角）、数量积三个量的关系。这是向量数量积定义的灵魂，同时，数量积运算也是沟通实数和向量的桥梁。最后小结以问题的形式来反馈一节课的重点是否突出，难点是否突破。
