任 意 角
一、问题情境
问题1：回忆初中角的定义和角的范围？
问题1
初中角的静态定义：从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形
初中角的范围：在不做特别说明的情况下，我们说的角都是指不大于平角的角。
一、问题情境
问题2：体操中“旋转两周”怎么理解？
钟经过1小时后，时针、分针，秒针分别转了多少度？
问题2
体操的旋转两周指720度；
钟经过一小时，时针转了30度，分针转了360度，秒针转了21600度。
角的范围仅仅是0度-360度是不够的，角·的定义与范围需要拓展
o
A
B
角的动态定义：
一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。射线的端点成为角的顶点；射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边。
问题3：
（1）你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？
（2）你的手表快了5分钟，你应当怎样将它校准？
问题4：
以上两个问题分针都转过来了30度，有区别吗？如何区分？
如何表示相反旋转方向形成的角呢？
二、建构数学
1、任意角的概念：
为了表示不同旋转方向所成的角，联想到用正负数可表示具有相反意义的量，作如下规定：射线OA绕端点O，按箭头所示方向旋转到OB便形成角，点O是角的顶点，射线OA和OB分别是角的始边和终边，按逆时针旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，没有作任何旋转的是零角。
B
O
A
B
+
-
任意角分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
零角：一条射线没有作任何旋转形成的角
2、象限角的概念：
象限角：为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。）
x
y
1)置角的顶点于原点
终边落在第几象限就是第几象限角
2)始边重合于x轴的正半轴
A
始边
终边
o
B
问题5：
角分别是第几象限角？其中那些终边相同？
思考1：与60o同终边的角有多少个？如何表示？
思考2：若角 与60o同终边，它们之间有怎样的等量关系？
3、同终边角的关系：
一般的，与角 终边相同的角的集合为
例1.在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：
①650° ②－150° ③－990°15＇
三、问题情境
例2、已知 与角 的终边相同，判断 是第几象限角。
回到与角 终边相同的角的集合表示这一数量关系上去，进而对k分奇数偶数分类讨论求解
1、下列命题中正确的是（ ）
A、第一象限角一定不是负角；B、小于 的角一定是锐角
C、钝角一定是第二象限角 D、第一象限角一定是锐角
四、应用拓展
2、 分别作出下列各角的终边，并指出它们是第几象限角：
（1） （2） （3） （4）
3、试求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角：
（1） （2） （3) （4）
板书设计
THANK YOU
《任意角》第一课时
我今天说课的课题是《必修4》的第一章的第一节内容《任意角》，
一、 教学内容分析：
本节是《必修4》的第一章第一节内容，是学生在初中学习过了角的概念和锐角正余弦的概念后的拓展和延伸，也为后续的任意角三角函数的学习做铺垫，起着承上启下的作用，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角生成过程，从而很好理解任意角概念。让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究 在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。这就需要我们更加深入地理解任意角的概念，体会任意角终边的变化规律；体会角的终边的周期性，为后面三角函数的学习尤其是三角函数的周期性埋下伏笔。
二、学情分析：
学生在初中阶段已经学习了一些角，如锐角、直角、钝角、平角、周角。在如何解释生活中的一些现象，如体操、跳水中的“转体”、“翻腾两周半”等，这时仅仅依赖于初中的角，已经不能完成。让学生体会学习本节得到必要性，进一步激发学生学习新知识的欲望。
三、教学目标：
1.知识与技能：理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念.
2.过程与方法：通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性，通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.
3.情感、态度与价值观：通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义.
四、教学的重点与难点：
教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.
教学难点：终边相同的角的表示.
五、教学过程：
（一）问题情境
问题1：回忆初中角的静态定义和角的范围？
问题2：体操中“旋转”， “旋转”怎么理解？钟经过1小时后，时针、分针，秒针分别转了多少度？
【设计意图】：通过数学和日常生活的一些动态现象和问题，让学生感觉到角的范围仅仅是00-3600是不够的，角的定义与范围需要拓展，引入角的动态定义。
角的动态定义：一个角可以看做平面内一条射线绕着它 的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。射线的端点成为角的顶点；射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边。
问题3：（1）你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？（2）你的手表快了10分钟，你应当怎样将它校准？
问题4:顺时针、逆时针转过的角有区别吗？如何区分？如何表示相反旋转方向形成的角呢？
【设计意图】：引入相反意义的正负角，任意角的概念
（二）建构数学：
1、任意角的概念：
为了表示不同旋转方向所成的角，联想到用正负数可表示具有相反意义的量，作如下规定：
射线OA绕端点O，按箭头所示方向旋转到OB便形成角，
点O是角的顶点，射线OA和OB分别是角的始边和终边，
按逆时针旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角
叫做负角，没有作任何旋转的是零角。
2、象限角的概念：
象限角：为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角.
以角的顶点为坐标原点，角的始边为轴正半轴，
这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个
角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角
不属于任何一个象限，称为轴线角.）
问题5：角分别是第几象限角？其中那些终边相同？
思考1：与60o同终边的角有多少个？如何表示？
思考2：若角与同终边，它们之间有怎样的等量关系？
【设计意图】：初步了解任意角的大小，终边的位置，并且引入终边相同的角的等量关系。
一般的，与角终边相同的角的集合为，让学生感受周而复始的周期性
3、同终边角的关系：一般的，与角终边相同的角的集合为
（3）数学应用：
例1.在0到360的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：
①650 ②－150 ③－99015＇
【设计意图】：进一步了解任意角，并运用同终边角的关系转化为熟悉的00-3600角，渗透化归思想
【讲解分析】：本题题意很简单，但是如何入手却是难点，关键是对本节课的任意角定义及终边相同的角之间的数量关系等要点有没有领会清楚，只需将这些角表示成的形式，然后根据来确定它们所在的象限.
例2、已知与角的终边相同，判断是第几象限角。
【设计意图】：1、学会分类讨论；2、数形结合理解、等的几何意义
【讲解分析】：本题写出与的终边相同的角不难，但写出
得到，如何判断角终边所在象限较为困难。我们必须回到与角终边相同的角的集合为这一数量关系上去，凑成
这一形式，进而发现需要对分奇数偶数分类讨论，求解.
（四）应用拓展：
1、下列命题中正确的是（ ）
A、第一象限角一定不是负角；B小于的角一定是锐角
C、钝角一定是第二象限角 D第一象限角一定是锐角
【设计意图】：学生在学习概念后，让学生现学现卖，及时通过一组小题，进行练习，以帮助其对概念的理解
2、 分别作出下列各角的终边，并指出它们是第几象限角：
（1）；（2）；（3）；（4）
3、 试求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角：
（1）；（2）；（3）；（4）
【设计意图】：上述两题让学生进一步学会运用同终边角的关系解决问题
4、若是第四象限角，试分别确定，， 是第几象限角
【设计意图】：让学生通过数形结合理解角终边的对称性，为诱导公式做铺垫。
六、板书设计：
任意角
1．角的静态定义和动态定义：
2．任意角的概念：规定逆时针转为正角
任意角 象限角和轴线角 学生活动
3.同终边角的关系：
七、教学设计说明：
1、《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：
第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如体操、跳水等实例，使学生感受任意角的广泛存在，认识角的终边周期现象的变化规律，注意角不同但终边相同的重要性，从而能够为以后更好的体会三角函数的周期性打下良好的基础。
第二、注重用任意角的终边描述周期变化的现象，解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函数内容处理上的一个突出特点。
2、现在很多高中课堂教学常常忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣和创造性。本节课通过多媒体信息技术展示体操、跳水、时钟、角的终边的周期变化，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣。并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想”，改变课程实施过程于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生学生收集和处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力。
B
A
O
终边
始边
顶点
B
O
A
B
+
-
终边
x
y
O
正角
零角
负角
