人教版九年级上24.1.2垂直于弦的直径同步练习（含答案解析）

2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习
24.1.2 垂直于弦的直径
一．选择题（共15小题）
1．下列说法中正确的是（　　）
A．平分弦的直径一定垂直于弦
B．长度相等的弧是等弧
C．平行弦所夹的两条弧相等
D．相等的圆心角所对的弦相等
2．如图，⊙O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若∠EOD=60°，则弦CF的长等于（　　）
A．6 B．6 C．3 D．9
3．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AC=CD B．OM=BM C．∠A=∠ACD D．∠A=∠BOD
4．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB=10，CD=8，则BE为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．3.5
5．如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是（　　）
A．6cm B．10cm C．8cm D．20cm
6．在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则弦AB所对的弧的中点到AB的距离是（　　）
A．10cm B．15cm C．40cm D．10cm或40cm
7．下列说法中正确的个数有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径一定垂直于弦；
③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；
④直径是弦；
⑤长度相等的弧是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=2，BC=8．则⊙O的半径为（　　）
A． B．5 C． D．6
9．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．6
10．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（　　）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
11．如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（　　）
A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm
12．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（　　）
A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm
13．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16m，拱高CD=4m，则圆弧形桥拱所在圆的半径为（　　）
A．6 m B．8 m C．10 m D．12 m
14．如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（　　）
A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm
15．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（　　）
A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
　
二．填空题（共10小题）
16．如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB，垂足为点D，AB=12，CD=2．则⊙O半径的长为　 　．
17．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，且AB＞OC，若OC和AB是方程x2﹣11x+24=0的两个根，则⊙O的半径OA=　 　．
18．半径等于16的圆中，垂直平分半径的弦长为　 　．
19．在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），C（4，0）的圆的圆心坐标为　 　．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是　 　．
21．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升　 　cm．
22．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径为　 　cm．
23．如图，小强为了帮助爸爸确定残破轮子的直径，先在轮子上画出一个弓形（如图中阴影部分），然后量得弦AB的长为4cm，这个弓形的高为1cm，则这个轮子的直径长为　 　cm．
24．“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=1尺，则直径CD长为　 　寸．
25．如图，花园边墙上有一宽为1m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长为2m，现准备打掉部分墙体，使其变成以AC为直径的圆弧形门，则打掉墙体后，弧形门洞的周长（含线段BC）为　 　．
　
三．解答题（共6小题）
26．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA=30°，OE=4，DE=5，求弦CD及圆O的半径长．
27．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．
28．已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）交于点F，若FB=2，CF=FD=4，求AC的长．
29．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=10m，水面宽AB=12m，某天下雨后，水管水面上升了2m，求此时排水管水面的宽CD．
30．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
31．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？
　

参考答案与试题解析
　
一．选择题（共15小题）
1．【解答】解：A、当两条弦都是直径时不成立，故本选项错误；
B、在同圆或等圆中，两个长度相等的弧是等弧，故本选项错误；
C、如图所示，两弦平行，则圆周角相等，圆周角相等，则弧相等；故本选项正确；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误．
故选：C．
2．【解答】解：连接DF，
∵直径CD过弦EF的中点G，
∴=，
∴∠DCF=∠EOD=30°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°，
∴CF=CD?cos∠DCF=12×=6，
故选：B．
3．【解答】解：连接DA，
∵直径AB⊥弦CD，垂足为M，
∴CM=MD，∠CAB=∠DAB，
∵2∠DAB=∠BOD，
∴∠CAD=∠BOD，
故选：D．
4．【解答】解：连接OC．
∵AB是⊙O的直径，AB=10，
∴OC=OB=AB=5；
又∵AB⊥CD于E，CD=8，
∴CE=CD=4（垂径定理）；
在Rt△COE中，OE=3（勾股定理），
∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2，即BE=2；
故选：A．
5．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OC，
∵弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm
∴OE=6cm，AE=AB=8cm，
在Rt△AOE中，根据勾股定理得，OA==10cm
故选：B．
6．【解答】解：点C和D为弦AB所对弧的中点，连结CD交AB于E，连结OA，如图，
∵点C和D为弦AB所对弧的中点，
∴CD为直径，CD⊥AB，
∴AE=BE=AB=20，
在Rt△OAE中，∵OA=25，AE=20，
∴OE==15，
∴DE=OD+OE=40，CE=OC﹣OE=10，
即弦AB和弦AB所对的劣弧的中点的距离为10cm，弦AB和弦AB所对的优弧的中点的距离为40cm．
故选：D．
7．【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等；错误．必须在同圆或等圆中；
②平分弦的直径一定垂直于弦；错误，此弦不是直径；
③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；错误，应该是每一条直径所在的直线都是对称轴；
④直径是弦；正确；
⑤长度相等的弧是等弧．错误．能够完全重合的两条弧是等弧；
故选：A．
8．【解答】解：延长AO交BC于点D，连接OB，由对称性及等腰Rt△ABC，得到AD⊥BC，
∴D为BC的中点，即BD=CD=BC=4，AD=BC=4，
∵OA=2，∴OD=AD﹣OA=4﹣2=2，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：OB==2，
则圆的半径为2．
故选：C．
9．【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
∴BC=AC=AB=×16=8，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC===6，
故选：D．
10．【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，
则有r2=52+（r﹣1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
11．【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∵CD=8，OD=13，
∴OC=5，
又∵OB=13，
∴Rt△BCO中，BC==12，
∴AB=2BC=24．
故选：C．
12．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN﹣ON=4﹣x，MF=2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2
即：（4﹣x）2+22=x2
解得：x=2.5
故选：B．
13．【解答】解：如图，设OA=r，则OD=r﹣4，
∵AB=16m，
∴AD=8m．
在Rt△AOD中，
∵OD2+AD2=OA2，即（r﹣4）2+82=r2，解得r=10（m）．
故选：C．
14．【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∵CD=4，OD=10，
∴OC=6，
又∵OB=10，
∴Rt△BCO中，BC=，
∴AB=2BC=16．
故选：C．
15．【解答】解：连接OA．设圆的半径是x尺，在直角△OAE中，OA=x，OE=x﹣1，
∵OA2=OE2+AE2，
则x2=（x﹣1）2+25，
解得：x=13．
则CD=2×13=26（cm）．
故选：D．
　
二．填空题（共10小题）
16．【解答】解：连接AO，
∵半径OC⊥弦AB，
∴AD=BD，
∵AB=12，
∴AD=BD=6，
设⊙O的半径为R，
∵CD=2，
∴OD=R﹣2，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即：R2=（R﹣2）2+62，
∴R=10，
答：⊙O的半径长为10．
17．【解答】解：x2﹣11x+24=0
（x﹣3）（x﹣8）=0
x﹣3=0，x﹣8=0，
x1=3，x2=8，
∵AB＞OC，
∴AB=8，OC=3，
∵OC⊥AB，
∴AC=AB=4，
由勾股定理得，OA==5，
故答案为：5．
18．【解答】解：如图，OA=16，则OC=8，
根据勾股定理得，AC==8，
∴弦AB=16．
故答案为：16．
19．【解答】解：已知A（0，0），B（2，2），C（4，0），如图：
可设：AB的垂直平分线解析式为：y=kx+b，把（0，2），（2，0）代入解析式可得：，
解得：，
所以AB的垂直平分线解析式是y=﹣x+2，
设AC的垂直平分线解析式为x=m，把（2，2）代入解析式，可得：x=2，
所以AC的垂直平分线解析式是x=2，
∴过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
20．【解答】解：连接OC，
由题意，得
OE=OA﹣AE=4﹣1=3，
CE=ED==，
CD=2CE=2，
故答案为2．
21．【解答】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB
由垂径定理得：BC=AB=30cm，
在Rt△OBC中，OC==40cm，
当水位上升到圆心以下时 水面宽80cm时，
则OC′==30cm，
水面上升的高度为：40﹣30=10cm；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30=70cm，
综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．
故答案为10或70．
22．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN﹣ON=4﹣x，MF=2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2
即：（4﹣x）2+22=x2
解得：x=2.5
故答案为：2.5
23．【解答】解：连接OB；
Rt△OBD中，BD=AB=2cm，
根据勾股定理得：
OD2+BD2=OB2，即：
（OB﹣1）2+22=OB2，
解得：OB=2.5；
所以轮子的直径为5cm．
故答案为：5．
24．【解答】解：连接OA，设OA=r，则OE=r﹣CE=r﹣1，
∵AB⊥CD，AB=1尺，
∴AE=AB=5寸，
在Rt△OAE中，
OA2=AE2+OE2，即r2=52+（r﹣1）2，
解得r=13（寸）．
∴CD=2r=26寸．
故答案为：26．
25．【解答】解：设矩形外接圆的圆心为O，连接OB，
∵矩形ABCD的AC=2m，BC=1m，
∴OB=OC=BC=1m，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°．
∴弧形门洞的周长（含线段BC）为： +1=+1，
故答案为：（+1）m．
　
三．解答题（共6小题）
26．【解答】解：过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，
∵∠CEA=30°，∴∠OEM=∠CEA=30°，
在Rt△OEM中，∵OE=4，
∴，，
∵，
∴，
∵OM过圆心，OM⊥CD，
∴CD=2DM，
∴，
∵，
∴在Rt△DOM中，，
∴弦CD的长为，⊙O的半径长为．
27．【解答】解：连结BE，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=AB=×8=4，
设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，
在Rt△ACO中，∵AO2=AC2+OC2，
∴x2=42+（x﹣2）2，
解得 x=5，
∴AE=10，OC=3，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE===2．
28．【解答】解：连接BC，
∵AB是直径，
CF=FD=4，
∴AB⊥CD，
∵∠ACB=90°
∴∠A=∠BCF，
∴△BCF∽△CAF，
∴=，
∴CF2=AF?BF，
设AF=x，
∴16=2x，
∴x=8，
∴由勾股定理可知：AC=4
29．【解答】解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB=12m，OE⊥AB，OA=1m，
∴OE=8m．
∵水管水面上升了2m，
∴OF=8﹣2=6m，
∴CF==8m，
∴CD=16m．
30．【解答】解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，
∵OC⊥AB
∴BD=AB=×16=8cm
由题意可知，CD=4cm
∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，
由勾股定理得：OD2+BD2=OB2
（x﹣4）2+82=x2
解得：x=10．
答：这个圆形截面的半径为10cm．
31．【解答】解：（1）连结OA，
由题意得：AD=AB=30，OD=（r﹣18）
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r﹣18）2，
解得，r=34；
（2）连结OA′，
∵OE=OP﹣PE=30，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2﹣OE2，即：A′E2=342﹣302，
解得：A′E=16．
∴A′B′=32．
∵A′B′=32＞30，
∴不需要采取紧急措施．