第5单元 简易方程教案
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文档简介
五年级数学·上 新课标[人]
第5单元 简易方程
本单元的主要教学内容包括:用字母表示数(用字母表示常用数量关系,用字母表示运算定律,用字母表示计算公式,求代数式的值)、解简易方程(方程的意义,等式的性质,解方程,实际问题与方程)。通过教学,促进学生思维从具体到抽象、从个别到一般的一次飞跃。
这些内容是在学生学了一定的算术知识(如整数、小数的四则运算及其应用),已初步接触了一点代数知识(如用字母表示运算定律,用□、○或△表示数)的基础上进行学习的。用字母表示数是数学表达和进行数学思考的重要形式,方程是一类事物普遍适用的数学模型,在初等代数中占有重要地位。中小学生在学习代数的整个过程中,几乎都要接触这方面的知识。一般地说,在小学教学简易方程有以下几方面的作用:
一是有助于培养学生的抽象概括能力,发展学生的数学语言与符号意识;二是有助于落实“四基”“四能”的培养目标;三是有助于巩固和加深理解所学的算术知识;四是有利于加强中小学数学的衔接。
本单元的内容分为两节:第一节的主要内容是用字母表示数和数量关系、表示运算定律和计算公式;第二节的主要内容是方程的意义、等式的性质和解简易方程,以及列方程解决一些比较简单的实际问题。
两节内容的内在联系是:用“字母表示数”是学习方程的基础,“方程的意义”与“等式的性质”是学习“解方程”的基础,“实际问题与方程”是“解方程”的应用。
与原教材相比,本单元教材的主要改进有几下几点:
1.用字母表示数的教材编排更加贴近学生的认知特点。
2.以等式的基本性质为基础,而不是依据逆运算关系解方程。
3.调整简易方程的内容,突显利用等式基本性质解方程的优势。
4.解方程与解决实际问题的教学有机整合。
1.使学生初步认识用字母表示数的作用,发展符号意识,能够用字母表示学过的运算定律和计算公式,能够在具体的情境中用字母表示常见的数量关系。
2.初步学会根据字母所取的值,求含有字母的式子的值。
3.使学生初步了解方程的作用,理解等式的基本性质,能用等式的基本性质解简易方程,初步体会化归思想。
1.使学生感受数学与现实生活的联系,初步学会列方程解决一些简单的实际问题,获得数学建模的初步体验。
2.培养学生根据具体情况,灵活选择算法的意识和能力。
1.经历由具体到抽象的认知过程,培养抽象思维能力和归纳概括能力。
2.在分析和解决实际问题的过程中,培养逻辑思维能力。
1.运用所学知识解决简单的实际问题,感受数学与现实生活的密切联系。
2.在解决问题的过程中,获得成功的体验。
【重点】
1.学会根据字母所取的值,求含有字母的式子的值。
2.理解方程、等式和不等式的意义。
3.培养分析问题及应用所学知识解决实际问题的能力。
【难点】
1.理解方程的意义及等式的性质。
2.会用列方程的方法解决简单的实际问题。
1.关注由具体到一般的抽象概括过程
教学时要充分利用学生原有的相关认知基础,关注由具体实例到一般意义的抽象概括过程。无论是学习用字母表示数量关系,还是学习方程的概念或等式的性质,既要发挥具体实例对于抽象概括的支撑作用,又要及时引导学生超脱实例的具体性,实现必要的抽象概括。
2.用好教材资源,适当扩展联系实际的范围
在本单元中,用字母表示数量关系和列方程解决实际问题,都是便于理论(数学知识)联系实际(现实生活)的学习内容,教材从小学高年级学生的共性着眼,精心筛选、设计了很多生动的富有意义的现实题材。
3.有意识地渗透数学思想的方法
本单元的内容蕴含较为丰富的数学思想,如抽象思想、推理思想、化归(转化)思想等。抽象思想是数学中最基本的思想方法之一,也是数学最主要的特点之一。在本单元的教学中,从一开始就应有意识地利用教学内容的特点,渗透数学抽象思想,启发学生在抽象概括数量关系的过程中理解结论的一般性,体会字母、符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
4.重视概念与原理的教学
建立方程的概念是学习解方程的基础。充分利用天平的直观性帮助学生理解等式的基本性质。只有让学生理解了这些基本概念,才能有效地避免学生在解方程时的机械模仿和死记硬背。
5.重视解决实际问题能力的培养
用方程解决实际问题的思考过程比较直接、简明,能使某些实际问题的解决化难为易。所以有利于减少学生的学习困难,克服解决实际问题的畏难情绪,提高解决实际问题的能力。
6.重视良好学习习惯的培养
通过本单元的学习,特别需要也比较适合培养学生规范书写和自觉检验的习惯。
1 用字母表示数
用字母表示数的教学内容包括:用字母表示数量关系(a+30);用字母表示数量关系6x;用字母表示运算定律和计算公式;用字母表示数量关系(1200-3x);用字母表示数量关系(3x+4x)这5个例题。
例1是加减数量关系的例子,教学重点是用含有字母的式子表示数量关系和一个量,这是列方程的基础。例2是乘除数量关系的例子,教学重点是用含有字母的式子表示数量关系和一个量,同时介绍字母与数相乘的习惯写法。例3教学用字母表示运算定律和计算公式,学习的重点是体会数学符号语言的优越性。例4的数量关系含两级运算,重点是用含有字母的式子表示数量关系和一个量。例5是两积之和的数量关系,含两级运算,且有三步,教学重点是用含有字母的式子表示数量关系和化简。
1.使学生初步认识用字母表示数的作用,发展符号意识。
2.学会用字母表示学过的运算定律和计算公式。
3.能够在具体的情境中用字母表示数量关系。
4.初步学会根据字母所取的值,求出含有字母的式子的值。
【重点】
会用字母表示学过的运算定律、计算公式及常见的数量关系。
【难点】
会根据字母所取的值,求出含有字母的式子的值。
第课时 用字母表示简单的数量关系
1.初步认识用字母表示数的作用,在具体情境中理解字母表示数的意义,能够根据具体情境用含字母的式子表示数量关系和一个量。
2.初步理解字母的取值范围是由实际情况决定的。
3.初步学会根据字母的取值,求含有字母的式子的值。
4.经历把实际问题用含有字母的式子进行表达的抽象过程,培养数学抽象概括能力。
5.体会用含字母的式子表示数量关系具有简洁性与一般性,发展符号意识。
【重点】
用含有字母的式子表示数量关系。
【难点】
用含有字母的式子表示一个量。
【教师准备】 PPT课件,口算题卡若干张。
方法一
老师出示PPT课件。
学生看PPT课件,回答老师提问。
师:想一想,按照图中的规律画●,第5个方框里应该画多少个?
预设 生1:用5×3,画15个。
师:第6个方框里应该画多少个?
生2:用6×3,画18个。
师:如果想知道第x个方框里应该画多少个,你还能求出来吗?
生3:应该用x×3。
老师小结:当我们不知道具体是第几个时,可以用字母表示,字母可以把数和数量关系简明地表示出来。今天我们就来研究用字母表示简单的数量关系。(板书课题:用字母表示简单的数量关系)
[设计意图] 用学生熟悉的情境引出问题,用字母表示数解决问题,使学生感受到用字母表示数的优越性,从而激发学生的学习兴趣。
方法二
多媒体播放儿歌《数青蛙》,学生一起唱。当播放到5只时,多媒体停止,老师让学生继续说下去。根据学生说的内容,老师用PPT课件出示表格。
青蛙(只) 6 7 8 …
嘴(张) 6 7 8 …
眼睛(只) 12 14 16 …
腿(条) 24 28 32 …
师:10只、15只、100只…(老师说,学生根据老师引导回答)
师:这样说下去,说得完吗?
预设 生:说不完。
师:谁能把这个问题的答案全部说出来?也就是用一句话或一个算式把这首儿歌要表达的数量关系概括出来。
学生思考,在小组里讨论。
师(提示):如果用n表示青蛙的只数,…
预设 生1:可以用n表示嘴有几张。
生2:用2n表示眼睛的只数。
生3:用4n表示腿的条数。
老师根据学生回答,用PPT课件显示表格:
青蛙(只) 6 7 8 … n
嘴(张) 6 7 8 … n
眼睛(只) 12 14 16 … 2n
腿(条) 24 28 32 … 4n
老师揭示课题:用字母来表示就简单多了,字母可以表示一个数,也可以表示一个式子,今天咱们就来研究用字母表示简单的数量关系。(板书课题:用字母表示简单的数量关系)
[设计意图] 创设学生感兴趣的情境,激发学生学习新知识的兴趣。
一、用含有字母的式子表示数量关系。
1.用PPT课件出示例1的情境图。
师:从图中你知道了哪些信息?
学生看课件后回答。
预设 生1:小红1岁的时候,爸爸31岁。
生2:爸爸比小红大30岁。
2.师生共同讨论:
师:当小红2岁时,爸爸的年龄是多少岁?
生3:30+2=32(岁)
师:当小红3岁时,爸爸的年龄是多少岁?
生4:30+3=33(岁)
……
老师根据学生回答,出示例1的表格。
小红的年龄/岁 爸爸的年龄/岁
1 1+30=31
2 2+30=32
3 3+30=33
…… ……
3.引导学生用字母表示数。
师:这些式子只能表示某一年爸爸的年龄,你能用一个式子表示出爸爸任何一年的年龄吗?
学生根据老师的提问,小组进行讨论,然后全班交流汇报。
预设 生1:小红的年龄+30=爸爸的年龄。
生2:用a表示小红的年龄,爸爸的年龄=a+30。
老师根据学生的回答进行板书:a+30
4.理解用字母表示数的意义。
师:说一说:a表示什么?30表示什么?
a+30表示什么?
生3:a表示小红的年龄,30是小红与爸爸的年龄差,a+30表示爸爸的年龄。
师:想一想,a可以表示哪些数?可以表示200吗?
老师引导学生思考,使学生明确:a表示的是小红的年龄,所取的数应该符合实际情况。
生4:整数。
师:有不同的意见吗?
生5:小数和整数。(师提醒是年龄)
生6:有限的整数。因为人是不可能无限地活下去的,所以a只能表示有限的整数。
师:对,说得很好。因为人是不可能无限地活下去的,所以a就只能表示从1开始的有限的整数。那么a能是200吗?
生7:不能。
师:小红的年龄可以用别的字母表示吗?
生8:可以。
师:含有字母的式子,不但可以表示数,还可以表示两个数量之间的关系。
5.根据a的值,求出爸爸的年龄。
老师用PPT课件出示(或板书):
当a=11时,爸爸的年龄是多少?
学生能很快说出结果,但对书写方法不明确。老师在学生回答后,进行规范的板书:
a+30=11+30=41
二、用字母表示数的意义。
1.用PPT课件出示例2的情境图。
老师谈话,同时出示PPT课件:人到了月球上都会变成大力士。
在月球上,人能举起物体的质量是地球上的6倍。
学生观察情境图,说说自己从图中看到的信息。
预设 生1:在月球上,人能举起物体的质量是地球上的6倍。
生2:图中的小朋友在地球上能举起15千克重的物体。
2.师生共同讨论:
师:在地球上能举起1千克的物体,那么在月球上能举起多少千克?
生3:能举起的物体质量为1×6=6(千克)。
师:在地球上能举起2千克的物体,那么在月球上能举起多少千克?
生4:能举起的物体质量为2×6=12(千克)。
师:在地球上能举起3千克的物体,那么在月球上能举起多少千克?
生5:能举起的物体质量为3×6=18(千克)。
老师根据学生的回答出示PPT课件,显示例2的表格。
在地球上能举起 物体的质量/kg 在月球上能举起 物体的质量/kg
1 1×6=6
2 2×6=12
3 3×6=18
…… ……
师:在地球上能举起x千克的物体,你能用含有字母的式子表示在月球上举起的物体重多少千克吗?
学生独立思考,写出含有字母的式子。
预设:学生可能会写出下面两种式子:
x×6 6×x
3.省略乘号的写法。
当字母和数字相乘时,一般把数字写在字母的前面,并且把中间的乘号省略。
4.探索字母的取值范围。
想一想:式子中的字母可以表示哪些数?
引导学生小结:人能举起的质量是有限的,因此字母表示的数也是有一定范围的,不能过大。但可以是小数。
5.根据x的值,求图中的小朋友在月球上能举起的物体质量是多少。
学生独立思考,小组交流,指名回答。
6x=6×15=90(千克)
1.教材第53页“做一做”。
(1)学生读题后,先独立完成,然后在小组内交流,老师巡视。
(2)用PPT课件出示表格,学生回答,根据学生的回答显示结果,学生对照检查、改错。
长度/cm 2 4 5.6 8 15 x
面积/cm2 6 12 16.8 24 45 3x
2.教材第55页练习十二第1题。
引导学生理解:用字母表示数要在表示之前进行说明,并且字母要与表示的数一一对应,一个字母代表一个确定的数量。
学生独立解答,老师板书规范学生的解答(PPT课件展示):
用x表示成年男子的身高。
标准体重=x-105
3.教材第55页练习十二第2题第一行。
学生独立解答,小组交流,集体订正。
【参考答案】 1.6 12 16.8 24 45 3x 2.设成年男子的身高为x厘米,标准体重=x-105
3.n+3 x-5
这节课你学会了什么知识?有哪些收获?
引导总结并回答:
预设 生1:字母可以表示数,也可以表示数量关系;
生2:在特殊情况下,字母的取值是有一定范围的。
生3:在省略乘号时,一般要把数字写在字母的前面。
……
作业1
教材第55页练习十二第2题的第二行,第3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空。
(1)2012年河南省参加高考的人数为80.5万人,比2011年河南省参加高考的人数少a万人,2011年河南省参加高考的人数为( )万人。
(2)与非零自然数b相邻的两个自然数分别是( )和( )。
(3)天天身高a米,爸爸比他高x米,爸爸身高( )米。
【提升培优】
2.(重点题)对号入座。
【思维创新】
3.(创新题)下图中横行(从左到右)与竖列(从上到下)的计算结果是相同的。
【参考答案】
作业1:2.3a m÷10 3.(1)(x+6) (2)0.18a (3)(b-2) (4)c÷80
作业2:1.(1)80.5+a (2)b-1 b+1 (3)a+x 2.A—1.62 B—a2 C—9x D—5y 3.10
用字母表示简单的数量关系 例1 a+30 用字母表示数 当a=11时 表示数 a+30=11+30=41 例2 6x 表示两个数量之间的关系 当x=15时 乘法简写: 6x=6×15=90 省略乘号,数字在字母前面
本课以学生熟悉的内容为话题,探讨小红与爸爸之间的年龄关系,引发学生自主思考,激起他们对新知的学习热情,拉近了与新知的距离。学生在经过一次又一次地计算后,会想到用更简便的方式来表示爸爸的年龄。在这一过程中,学生经历了由数到式的认知过程,感受到数学的简约美,进而认识到用字母表示数的优越性。
对于省略乘号的简便写法这一个环节的设计过于保守。
再教时可以通过让学生看书自学的方法进行。例如:
1.自学教材例1.
(1)学生看书自学第52页例1,思考教材提出的问题,并填空。
(2)汇报交流。
(3)小结。
①当a是一个具体的岁数时,a+30表示什么?
预设 生:(回答略)
师:a+30随着a的变化而变化,它们之间一 一对应。
②例1告诉我们,字母可以表示确定的数,还可以表示任意的数或一定范围的数。
例2的教学方法可以仿照例1的方法进行。
【做一做·53页】
6 12 16.8 24 45 3x
在下图中,空白部分是正方形,你会用字母分别表示出空白部分和阴影部分的面积吗?
[名师点拨] 空白部分是正方形,可以根据正方形的面积计算公式S=a2计算,阴影部分可以看作两个小长方形,把它们的面积相加即可;也可以用大长方形的面积减去正方形的面积。
[解答] 空白部分的面积:S=a2,阴影部分的面积:S=ab-a2。
【知识拓展】 为了书写方便,人们常用字母表示计量单位。
长度单位 面积单位 质量单位
千米 km 平方千米 km2 吨 t
米 m 平方米 m2 千克 kg
分米 dm 平方分米 dm2 克 g
厘米 cm 平方厘米 cm2
毫米 mm 平方毫米 mm2
求下列竖式中各汉字代表的数字。
正确答案:学=3 习=7 再=0
用字母表示数的来历
在数学中,人们经常用字母来表示数,那么,世界上最早用字母表示数的人是谁呢?他是怎样想到要用字母表示数的呢?答案就在下面的故事里。
很久很久以前,在古代埃及,有一位教师教了两个学生。一个学生(我们不妨把他称作甲)非常聪明,也肯动脑筋,对老师讲的知识不仅能理解,而且能举一反三,触类旁通。另一个学生(我们把他称作乙)十分老实、听话,但学的知识只会死记硬背,对老师讲的问题总是有些不明白。
一天,老师有事需要外出,而乙对老师刚刚讲的加、减法之间的关系还没有弄明白,老师便安排甲帮助乙学习。在学习36+几=80时,乙怎么也弄不明白,甲很着急,不知道怎样讲才能让乙明白。这时甲一抬头,看见院子里有一些石子,便抓过一把石子,边对乙讲解边搬动石子:
36+一堆石子=80
那么,一堆石子=80-36
这样,甲在地上把石子搬过来搬过去的,终于让乙弄明白了加、减法之间的关系。甲心里很高兴。
甲把这个方法写下来,告诉老师他用埃及文字中的“堆”来表示不知道的那个数。后来大家都觉得用“堆”来表示不知道的数比原来把不知道的数的位置空着清楚些,于是用“堆”表示未知数的方法就传开了。
后来这个方法传到了古代希腊,古希腊的数学家们也认为这个方法好,但又觉得“堆”字的意思表达得不够准确。于是他们就改用希腊文来表示,用“东西”来代表未知数,但是希腊文中“东西”这个词很长书写起来很不方便,大科学家阿基米德就取了“东西”这个词的第一个字母“R”来代替。这样,就方便多了。
又过了几百年,数学越来越发展,关于数学的研究也越来越深入,大数学家笛卡儿建议用x,y,z来表示未知数,而在x,y,z这三个字母中,x排在第一位,所以用字母表示一个未知数时,大家便常常用x。这个习惯一直保持到现在。
好了,故事讲完了,你的答案也找到了吧!
第课时 用字母表示运算定律和计算公式
1.进一步理解用字母表示数的意义和作用。
2.能正确地运用字母表示运算定律和长方形、正方形的周长、面积计算公式,并能应用公式求周长和面积。
3.学会在含有字母的式子里乘号的简写和略写。
4.培养良好的自主、合作学习的习惯。
5.经历用字母表示数的理解过程,体验迁移推理的学习方法,渗透求未知数的思想。
【重点】
能正确地运用字母表示运算定律和长方形、正方形的周长、面积计算公式,并能应用公式求周长和面积。
【难点】
根据字母所取的值,正确地求出含有字母的式子的值。
【教师准备】 PPT课件。
方法一
师:上节课我们学习了用字母表示数和常见的数量关系,请大家填一填。
(老师用PPT课件出示下面的题目)
用含有字母的式子表示下面的数量关系。
1.东方林场去年植树x棵,今年比去年多植树68棵,今年植树( )棵。
2.一个悠悠球a元,买5个悠悠球一共要支付( )元。
3.妈妈今年38岁,乐乐今年b岁,妈妈比乐乐大( )岁。
4.兰兰买3个练习本用去x元,每个练习本( )元。
学生读题,独立思考后解答,老师指名回答。
根据学生回答,老师用PPT课件出示答案,全班评讲。
师:同学们学得不错!用字母不仅可以表示数量关系,还可以表示运算定律和计算公式。这就是今天我们要学习的内容。(板书课题:用字母表示运算定律和计算公式)
[设计意图] 复习用字母表示数,在学生为正确的解答高兴的时候,老师提出了新的要求,激起学生的学习欲望。
方法二
师:请同学们回忆一下,我们已经学习了哪些运算定律?
学生思考后举手回答。
预设 生1:学习了加法交换律,加法结合律。
生2:学习了乘法交换律,乘法结合律和乘法分配律。
老师根据学生回答进行板书:
加法交换律:
加法结合律:
乘法交换律:
乘法结合律:
乘法分配律:
师:上节课我们学习了用字母表示数和数量关系。其实,字母不仅可以表示数量关系,还可以表示运算定律和计算公式。你们想学习吗?
预设 生:想。
师:我们一起来学习用字母表示运算定律和计算公式。(板书课题:用字母表示运算定律和计算公式)
[设计意图] 回顾学过的运算定律,为学习用字母表示运算定律做好知识的铺垫。通过老师的谈话:“字母不仅可以表示数量关系,还可以表示运算定律和计算公式。你们想学习吗?”激起学生的学习兴趣,使新知识的学习有了一个良好的开头。
方法三
老师用PPT课件依次出示下面各题。
1.图图同学来自A市的实验小学。
2.我们学校的绿色书屋一共有图书N本。
3.我校四年级有学生298人,比五年级少x人,五年级有学生(298+x)人。
学生读题,说一说每题中字母可以表示的各是什么?
学生思考后举手回答。
预设 生1:第1题中的字母表示城市的名称,第2题中的字母表示图书的本数。
生2:第3题中的字母表示四年级学生比五年级学生少的人数。
师:在生活中,我们经常用字母表示数、表示数量关系,你还见过哪些用字母表示数的例子?
预设 生1:小区里表示楼房用A栋、B栋、C栋。
生2:数学题里有小白兔的萝卜个数比小灰兔的多a个。
……
师:字母还可以表示运算定律,图形的周长、面积计算公式。这就是我们今天要研究的内容。(板书课题:用字母表示运算定律和计算公式)
[设计意图] 从课堂到课外,让学生感受到身边的数学,感受用字母表示数的广泛应用。老师指出字母还可以表示运算定律和计算公式,自然地引入新知识的学习。
一、用字母表示运算定律。
1.用字母表示运算定律。
师:(指着板书的运算定律也可以用PPT课件出示)你能用字母把这些运算定律表示出来吗?
我们已经学过一些运算定律,你会用字母表示吗?
运算定律 用字母表示
加法交换律 a+b=b+a
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
学生思考后,独立解答,小组交流,老师巡视。再指名回答。
预设 生1:加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
生2:乘法交换律:a×b=b×a。
生3:乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)。
生4:乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c。
(老师根据学生的回答板书或用PPT课件显示)
师:我们用字母表示了学过的运算定律,比较一下,你有什么体会?
预设 生:用字母表示运算定律,简明易记。
[设计意图] 让学生在独立思考、小组交流、集体评讲的过程中,经历学习用字母表示运算定律的过程,更好地理解用字母表示运算定律的优越性。
2.数学乘号的简写和略写。
师:在上节课的学习中,我们就知道了当字母和数字相乘时,可以把乘号省略,这样写起来更简便。那么式子中都是字母的怎样写简便呢?请同学们看PPT课件:(老师用PPT课件出示)
a×b=b×a
可以写成a·b=b·a或ab=ba
用字母表示运算定律,简明易记、便于应用。
老师引导学生看PPT课件:在含有字母的式子里,字母中间哪一个符号可以省略不写?可以怎样表示?
师:你能把上面的运算定律写成简写或略写的形式吗?
学生在练习本上分别用简写或略写的形式写出运算定律。
老师指名回答,集体订正。老师板书如下:
乘法交换律:a·b=b·a ab=ba
乘法结合律:(a·b)·c=a·(b·c)
(ab)c=a(bc)
乘法分配律:(a+b)·c=a·c+b·c
(a+b)c=ac+bc
师:其他的运算符号能省略吗?数字与数字之间的乘号能省略吗?为什么?
学生举例试一试,小组议一议,然后全班交流。
预设 生1:其他的运算符号不能省略,如果省略了就不知道到底是什么符号了。
生2:数字与数字之间的乘号不能省略。如果省略了就会把算式看成数。如:2×3中间的乘号省略了就会看成23了。
老师小结:只有字母和字母之间或数字与字母之间的乘号才可以简写或略写。
[设计意图] 通过自学,掌握乘号的简写、略写的方法,培养学生的自学能力。同时通过讨论使学生明确省略的是什么符号,在什么情况下可以简写、略写,比听老师讲解的效果要好得多。
二、用字母表示计算公式及把已知数据代入计算公式求值。
1.PPT课件出示例3第(2)题。
师:我们已经学习了正方形的周长和面积,能够用字母表示吗?
学生看题,明确正方形的边长是a,正方形的面积用S表示,周长用C表示。然后小组讨论怎样表示。
2.用字母表示计算公式。
学生独立用字母写出公式,再指名板演。
学生可能写出下面几种:
S=a·a C=a·4
S=a2 C=4a
老师根据学生板演进行评讲,重点指导下面的读法和表示的意义。
a2读作:a的平方。表示2个a相乘。如52=5×5=25;4a读作:4乘a。表示4个a相加。如2×5=10。
3.求含有字母的式子的值。
老师出示教材第54页下面的图。
学生读题,独立解答,然后集体订正。
S=a2=6×6=36(cm2)
C=4a=4×6=24(cm)
老师小结:根据a的值,先用字母写出公式,再把a的值代人公式中,进行计算;当把数字代人公式时,省略的乘号一定要写上。
1.教材第56页练习十二第4题。
学生独立完成,同桌互相检查,全班集体订正。
2.教材第56页练习十二第7题。
学生独立完成,同时请4名学生板演,全班评讲,学生自己更正错题。
3.教材第57页练习十二第10题。
学生独立思考并进行解答,师生共同订正并归纳小结。
【参考答案】 1.(1)48+m (2)58 (3)12 2.(a+2)+c a·(b·4) (3+5)·x 4×x+4×3 3.(1)ab (a+b)×2 (2)8×5=40(cm2) (8+5)×2=26(cm)
这节课你学到了什么?有什么体会?
预设 生1:学会了用字母表示运算定律。
生2:学会了用字母表示计算公式。
生3:知道了字母与字母之间,数字与字母之间的乘号可以简写或略写。
生4:如果知道了字母的值,可以求出含有字母的式子的值。
……
作业1
教材第56页练习十二第5,6,8题。
作业2
【基础巩固】
1.(易错题)如图所示,每个等边三角形的边长都是a。
(1)每个等边三角形的周长是 。
(2)这个由6个等边三角形组成的图形的周长是 。
【提升培优】
2.(重点题)判断。
(1)因为22=2×2,所以a2=a×2。( )
(2)m×3可以写成m3。 ( )
(3)3a+5a=(3+5)a。 ( )
(4)x+x+x=3+x。 ( )
(5)无论x取什么值,x2=2x。 ( )
3.(探究题)用字母a表示单价,x表示数量,C表示总价,利用公式计算。
妈妈花10元钱买了4瓶“鲜橙多”,每瓶“鲜橙多”多少元?
【思维创新】
4.(探究题)有5个连续单数,中间一个数为a,求出这5个数的和。
【参考答案】
作业1:5.ax x2 8b b
6. 8.3+b=b+3 x×2.6=2.6×x 25×a+b×25=(a+b)×25
作业2:1.(1)3a (2)6a 2.(1)? (2)? (3)√ (4)? (5)? 3.a=C÷x=10÷4=2.5(元) 4.(a-4)+(a-2)+a+(a+2)+(a+4)=5a
用字母表示运算定律和计算公式 (1)加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:a×b=b×a 乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c 乘法交换律:a·b=b·a ab=ba 乘法结合律:(a·b)·c=a(b·c) (ab)c=a(bc) 乘法分配律:(a+b)·c=a·c+b·c (a+b)c=ac+bc (2)S=a·a,S=a2 C=a·4,C=4a
老师在课堂上相信学生,放手让学生自主地参与学习活动,探索新知,这是我设计这节课之前的想法,通过教学实践,我感受到学生的能力是不可低估的。首先学生在自学的环节的表现非常棒,达到了我预期的效果,在接下来的讨论中,学生表示的比我的想象还要好,他们不仅能正确回答“其他的运算符号能省略吗?数字与数字之间的乘号能省略吗?”而且在回答“为什么?”时还能够用举例的方法加以说明。
在自学和讨论中,有一些学生的参与度不高,只是在一旁观望。有少数学生对运算定律、计算公式都记得不是很熟,用字母表示起来就难免出现错误。
再教时,可以采用自学的方法进行这个例题的学习,而不是仅仅在某一个环节用自学的方法。
【练习十二·55页】
1.设成年男子的身高为x厘米 标准体重=x-105
3.(1)(x+6) (2)0.18a (3)(b-2) (4)c÷80 4.(1)48+m (2)58 (3)12 5.ax x2 8b b 6. 7.(a+2)+c a·(b·4) (3+
5)·x 4×x+4×3 8.3 b 2.6 x 25 a b 9.2v tv (1)vt (2)260×30=7800(m) 10.(1)ab (a+b)×2 (2)8×5=40(cm2) (8+5)×2=26(cm) 11.ax c÷x c÷a 6÷1.50=4(袋) 12.5x 150÷m at 50×60=3000(个) 13.(1)左边长方形的面积 (2)右边长方形的面积 (3)(a+b)×c
用字母表示下列图形中阴影部分的面积。
[名师点拨] 阴影部分可以看作一个小正方形和一个小长方形,把它们的面积相加即可。
[解答] S=a·b+b·b=(a+b)b
代数式与代数式的值
由数或表示数的字母经过有限次加、减、乘、除等代数运算所得的式子,或含有字母的数学表达式,叫代数式。如:7+2,6x,n+m等。单独一个数或一个字母,也看作是代数式。
用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果,叫做代数式的值。
由于代数式的值不是一个固定的数,所以说到代数式的值时,必须指明当字母是什么数时的值。如当x=1.2时,代数式4x+7的值是11.8。
有趣的未知数
小兰给小乐出了两道算式谜(如下)。每道算式谜中不同的字母(或汉字)代表不同的数字,你能帮助小乐算出字母或汉字所代表的数字吗?
(1)
4 A 5
+ B A
5 4 2
A=( ) B=( )
(2)
学 习 好
+ 好 习 学
4 4 4
学=( )习=( )好=( )
正确答案:(1)A=(7) B=(6)
(2)学=(1) 习=(2) 好=(3)
第课时 用字母表示稍复杂的数量关系
1.结合生活实际,经历运用含有字母的式子表示生活中复杂的数量关系的过程。
2.会用含有字母的式子表示复杂的数量关系,掌握用代入法求含有字母的数量关系式的值的方法。
3.使学生在具体情境中感受用字母表示数的必要性,向学生渗透符号化思想。
4.在分析和解决实际问题的过程中,培养逻辑思维能力。
5.在学习生活中,感受生活中处处都有数学,体验数学知识的应用价值,培养学生解决实际问题的能力,增强学习的信心。
【重点】
会用含有字母的式子表示复杂的数量关系及求含有字母的数量关系式的值的方法。
【难点】
理解含有字母的式子的意义。
【教师准备】 PPT课件。
填一填。(PPT出示)
(1)书架上有a本故事书,比文艺书多8本,a-8表示( ),2a-8表示( )。
(2)妈妈今年35岁,乐乐今年n岁,5年后,乐乐比妈妈小( )岁。
(3)长方形的长是a厘米,宽是b厘米,长方形的周长=( )厘米,面积=( )平方厘米。
(4)《最美女教师张丽莉》这部电影的票价每张35元,m个小朋友一起去看这部电影,买票一共需要( )元。
(学生读题,独立完成,教师指名回答,集体订正)
【参考答案】 (1)文艺书的本数 故事书和文艺书一共的本数 (2)35-n (3)2a+2b ab (4)35m
方法一
1.老师出示教材第58页例4的情境图(用PPT出示)。
2.学生阅读例4,说出从中获得的信息,明确题中的数量关系。
预设 生1:知道的信息是:一共有1200 g果汁,倒了3小杯,每小杯的质量是x g。
生2:要求还剩多少克果汁。
生3:题中的数量关系是:大杯果汁的质量-3小杯果汁的总质量=还剩的果汁质量。
3.用含有字母的式子表示还剩的果汁质量。
师:怎样解决这个问题呢?
预设 生1:题中每小杯的质量是用字母表示的,所以解决这个问题要用含有字母的式子表示。
师:怎样用含有字母的式子表示?
生2:先用3x表示一共倒了多少克果汁。
生3:再用1200-3x表示剩下的果汁的质量。
4.老师根据学生的回答出示例4下面的情境图,根据x的值,求出还剩下果汁多少克。
师:根据1200-3x这个式子,当x等于200时,果汁还剩多少克?
(学生思考,独立解答,小组交流,指名回答)
生4:把x=200代入1200-3x中,可得到1200-3×200=600(g)。
(老师根据学生回答进行板书)
1200-3x=1200-3×200=600(g)
5.探究字母x的取值范围。
师:在1200-3x这个式子里,x最大可以是多少?
(学生在小组里进行讨论,然后派代表汇报)
预设 生1:已知总质量是1200克,倒完3小杯后还有剩余,说明1200-3x不能小于0,因为1200÷3=400,所以x不能大于400。
生2:式子里的字母x应该表示大于0而不能大于400的数。
[设计意图] 让学生根据题中的信息理解题意,明确题中数量关系,并根据x的值,求出含有字母的式子的值,进而掌握本节课的学习内容。
方法二
1.引导学生预习新知。
让学生自学教材第58页,学完后完成下面的“自主练习题”,并记录自己的疑问。
自主练习题:
(1)超市原来有150 kg香梨,又运来了12箱香梨,每箱重a kg。
①用式子表示出这个超市里香梨的总质量。
②根据这个式子,求a等于25时,超市一共有多少千克香梨?
(2)甲、乙两地相距420 km,一辆汽车以每小时70 km的速度从甲地开往乙地。
①t小时后汽车离乙地多远?
②当t=2.5时,汽车离乙地多远?
2.自学检测。
(1)组织学生相互检查,并进行交流。
(2)老师巡视,了解学生学习情况。
3.学生质疑。
根据学生提出的问题,老师组织学生讨论,及时点拨,对于学生比较集中的问题进行课堂释疑。
[设计意图] 让学生通过自学,掌握新知、培养学生的自主学习的能力,针对学生的自学情况进行教学,有效提高课堂教学的质量。
化简形如“ax±bx”的式子。
1.用PPT出示教材第59页例5。
(学生看课件,理解题意)
2.探究摆三角形所用小棒的根数。
师:摆1个三角形需要几根小棒?摆2个、3个、4个呢?
(学生动手摆,摆完后回答)
预设 生1:摆1个三角形需要3根小棒,摆2个三角形需要6根小棒,摆3个三角形需要9根小棒,摆4个三角形需要12根小棒。
师:你能找出摆三角形的个数与需要小棒根数之间的规律吗?
(学生思考,小组交流,教师指名回答)
生2:因为摆1个三角形需要3根小棒,所以摆几个三角形就需要几个3根小棒。
生3:用要摆三角形的个数乘3就是需要小棒的根数。
生4:用n表示需要摆三角形的个数,则需要小棒的根数就是3n。
师:如果要摆x个三角形,那么需要多少根小棒?
生5:3x根。
师:这里的x表示什么?x可以是哪些数?
生6:x表示摆三角形的个数。
生7:x可以取任意的大于0的自然数。
师:当x等于5时,则摆了几个三角形?需要几根小棒?当x等于20呢?
生8:x等于5就表示要摆5个三角形,需要的小棒根数是3×5=15根。
生9:x等于20就表示要摆20个三角形,需要的小棒根数是3×20=60根。
3.探究摆正方形所用小棒的根数。
学生自主探究:摆1个正方形需要几根小棒?摆2个、3个、x个呢?
预设 生1:摆1个正方形需要4根小棒,摆2个正方形需要8根小棒,摆3个正方形需要12根小棒,摆x个正方形需要4x根小棒。
师:你能找出摆正方形的个数与需要小棒根数之间的规律吗?
(学生思考,小组交流,教师指名回答)
生2:因为摆1个正方形需要4根小棒,所以摆几个正方形就需要几个4根小棒。
生3:需要小棒的根数是要摆的正方形个数的4倍。
生4:摆x个正方形需要4x根小棒。
师:这里的x表示什么?x可以是哪些数?
生5:x表示摆正方形的个数。
生6:x可以取任意的大于0的自然数。
[设计意图] 用对比的方法让学生理解相同字母在不同的题中可能表示不同的数量,因此表示的意义也就不同。
4.探究摆三角形和正方形一共用多少根小棒。
师:知道摆1个三角形所需的小棒是3根,摆1个正方形所需的小棒是4根,那么摆1个三角形和1个正方形一共需要多少根小棒?
预设 生:7根。
师:那么各摆2个、3个、x个呢?
(学生独立列式计算,老师展示学生作业)
各摆2个:①2×3+2×4=14(根);
②2×(3+4)=14(根)。
各摆3个:①3×3+3×4=21(根);
②3×(3+4)=21(根)。
各摆x个:①x×3+x×4;
②x×(3+4);
③(3+4)x;
④7x。
[设计意图] 通过对含有字母的4个式子的比较,让学生明确含有字母的式子也是可以化简的。
老师小结:同一个字母表示相同的意义、相同的数量时,可以运用乘法分配律进行运算,使含有字母的式子化简。
5.求x等于8时,一共用了多少根小棒。
师:当x等于8时,一共用了多少根小棒?
(学生思考后独立解答,老师巡视,选择学生作业进行展示,全班评讲,集体订正)
(老师板书)
7x=7×8=56(根)
[设计意图] 让学生在独立思考、小组交流、集体评讲的过程中,理解用字母表示稍复杂的数量关系,增强符号意识。
1.教材第58页“做一做”第1题。
(学生读题,理解题意,独立解答,小组交流,教师指名回答)
预设 生1:(1)120+10a。
生2:(2)当a=25时,120+10×25=370(千克)。
2.教材第58页“做一做”第2题。
学生读题,理解题意,再独立解答,并通过小组交流,检验答案,老师巡视指导。
3.教材第59页“做一做”。(PPT出示)
动车的速度为220千米∕时,普通列车的速度为120千米∕时。
(1)行驶x小时,动车和普通列车一共行了多少千米?
(学生读题,理解题意,说出题中的数量关系)
预设 生1:动车行的路程+普通列车行的路程=两车一共行的路程。
生2:动车的速度×时间+普通列车的速度×时间=两车一共行的路程。
(学生根据数量关系写出含有字母的式子,学生可能写出下面几种形式)
①220×x+120×x;
②220x+120x;
③(220+120)x;
④340x。
(老师引导学生理解上面几个式子的意义,并进行比较,知道式子④最简便)
(2)行驶x小时,动车比普通列车多行了多少千米?
(方法与(1)相同)
4.教材第60页练习十三第4题。
(三生板演,其他学生独立完成,全班评讲)
【参考答案】 1.(1)120+10a (2)当a=25时,120+10a=120+10×25=370(千克) 2.(1)96-12b (2)96-12b=96-12×5=36(吨) (3)b可以取1~8 3.(1)(220+120)×x=340x (2)(220-120)×x=100x 4.(1)a+b=2.8+6.3=9.1 (2)xy=12×7=84 (3)m÷n=72÷9=8
1.通过这节课,你有什么收获?
老师引导学生根据本节课学习的内容进行小结。
2.你还有什么不明白的地方,需要老师的帮助?
学生根据自己的学习情况质疑,老师答疑。
作业1
教材第60页练习十三第1,2,7题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空。
(1)比m的4倍小16的数是( )。
(2)一千克苹果3.8元,买a千克应付( )元。
(3)有30块糖,平均分给x个小朋友,每个小朋友可以分到( )块。
2.(重点题)写出下面每个式子所表示的意义。
徒弟每天加工零件x个,师傅每天加工的零件数比徒弟的2倍还多3个。
2x+3表示( )。
2x+3+x表示( )。
2x+3-x表示( )。
3.(难点题)一块草坪呈长方形,长是a米,长是宽的2.5倍,它的面积是多少平方米?(用字母表示)
【提升培优】
4.(重点题)新学期到了,学校又买来了一部分新桌椅,已知一张桌子a元,一把椅子b元。
(1)请用式子表示买一套桌椅共花多少元。
(2)买60套桌椅共花多少元?
(3)当a=110,b=45时,求买60套桌椅所花的钱数。
【思维创新】
5.(创新题)如图摆放餐桌和椅子。
(1)1张餐桌可坐6人,2张餐桌可坐10人,4张餐桌可坐多少人?
(2)按此规律摆下去,m张餐桌可坐多少人?20张餐桌可以坐多少人?
【参考答案】
作业1:1.(1)中午的温度 (2)男生的人数 (3)小姚叔叔连续投篮的得分数 2.(1)t+3 (2)20-a (3)2x (4)b÷12 (5)5a-4.8 (6)x-9 7.8a 2x 7y 8b
作业2:1.(1)4m-16 (2)3.8a (3)30÷x 2.师傅每天加工的零件数 师傅和徒弟每天一共加工的零件数 徒弟比师傅每天少加工的零件数 3.(a÷2.5×a)平方米 4.(1)(a+b)元 (2)60(a+b)元 (3)把a,b的值代入60(a+b),得60×(110+45)=9300(元) 5.(1)4×4+2=18(人) (2)(4m+2)人 当m=20时,4m+2=4×20+2=82
用字母表示稍复杂的数量关系 例4 1200-3x,当x=20时,1200-3x=1200-3×200=600,x大于0而不大于400 例5 3x+4x=(3+4)x=7x,当x=8时,7x=7×8=56
在本节课的教学中,我注意了学习基础差的学生在课堂上的表现,通过提问、板演、交流等活动,使这些学生在课堂上学有所获。新课标提出:“练习的设计要关注不同的学生,体现一定的层次性的要求,针对学生的个性特点让不同层次的学生在一堂课中得到不同程度的收获,达到不同的目标”。本节课在练习上体现了一定的层次性和延伸性,这是比较成功的地方。
回顾这节课的教学过程,对于学生,特别是学习能力比较强的同学,教改的步子显得太小了;对于知识点,“嚼得太碎”;对于发展学生的思维能力,过于束缚。
可以按照方法二的设计。用自学的方法进行例4和例5的教学。
【做一做·58页】
1.(1)120+10a (2)120+10a=120+10×25=370(kg)
2.(1)96-12b (2)96-12b=96-12×5=36(吨) (3)b可以取1~8。
【做一做·59页】
(1)(220+120)×x=340x(千米) (2)(220-120)×x=100x(千米)
【练习十三·60页】
1.(1)中午的温度 (2)男生的人数 (3)小姚叔叔的连续得分数 2.(1)t+3 (2)20-a (3)2x (4)b÷12 (5)5a-4.8 (6)x-9 3.有20人,又来了a人,现在一共有(20+a)人。有20个苹果,吃了a个,现在还剩(20-a)个。有20人,每人都看a本书,一共看了20a本书。(不唯一) 4.(1)a+b=2.8+6.3=9.1 (2)xy=12×7=84 (3)m÷n=72÷9=8 5.(1)3+5x (2)3+5x=3+5×2=13(kg) 6.(1)135 135x (2)135x=135×30=4050 7.8a 2x 7y 8b 8.(1)a-8b (2)a-8b=94-8×7=38 9.(1)36t 36t=36×10=360(km) (2)648-36t 648-36t=648-36×12=216(km) 10.(1)(1+3n) (2)1+3n=1+3×21=64 11.x2=62=36 2x=2×6=12 22=2×2。当x=2时,x2=2x。
饲养小组养灰兔x只,养白兔的只数是灰兔的8倍。
(1)一共养兔子多少只?
(2)当x=4时,饲养小组一共养兔子多少只?
[名师点拨] 灰兔与白兔的只数合起来就是所养兔子的总只数。
[解答] (1)x+8x=9x。
答:一共养兔子9x只。
(2)当x=4时,9x=9×4=36。
答:当x=4时,饲养小组一共养兔子36只。
【知识拓展】 化简含有相同字母的式子,可以使计算更简便。
字母小笑话
$对S说:“在俺们美国,有钱没钱看领带!”
￥对Y说:“在俺们中国,有钱没钱看腰带!”
8对∞说:“小样儿,躺在地上打滚俺就怕你啦!”
n对π说:“戴个大盖帽跟我玩派,是不?”
代数学
什么是代数学呢?代数学是数学的一个重要分支,在初中阶段我们会正式接触到它。
16世纪末的法国数学家韦达第一个有意识地、系统地使用字母来表示未知数。
韦达创设了大量的代数符号,引出了大量的数学发现,解决了很多古代的复杂问题,带来了代数理论研究的重大进步,为代数学的发展开辟了道路。因此,韦达被西方誉为“代数学之父”。
法国数学家笛卡尔改进了韦达的符号记法,他用“a,b,c,…”表示已知数,用“x,y,z,…”表示未知数,创造的“=”等符号沿用至今。
2 解简易方程
方程是含有未知数的等式,学习方程的概念要从认识等式开始。用等号连接起来的式子就叫做等式。教材把它作为不加定义的概念,直接引入。教学时要做好演示准备,引导学生边观察,边思考。
等式的性质是学习解方程的基础。过去,在小学学简易方程,方程变形的依据是加减运算的关系或乘除运算的关系。现在,依据《标准(2011)》的要求,从小学起就引出等式的基本性质,并以此为基础导出解方程的方法。这样做,有利于改善和加强中小学数学教学的衔接。教材首先提出问题,引起学生的探究兴趣,然后通过情境图展示了利用天平进行试验,探究等式基本性质的过程。
在解方程的学习中,通过教材第67页例1讨论形如x+a=b,x-a=b的方程的解法,教材第68页例2讨论形如ax=b的方程的解法,教材第68页例3讨论形如a-x=b的方程的解法,这里不再依靠天平的图示,意图在于启发学生直接依据等式性质进行转化。
教材第69页例4采用图示方式得出形如ax+b=c的方程,特别强调了解这个方程的关键是先把ax看成一个整体,从而根据等式性质1求出ax的值,即转化为例2。思路是:先求ax=?,再求x=?这也是初中解一元一次方程的基本思路。教材第69页例5直接给出方程,该方程可以仿照例4的思路,先把小括号内的式子看作一个整体;也可以根据乘法分配律将原方程转化为例4中的方程的形式。教材在两种解法的关键步骤处设问,启发学生思考,想到解法。
实际问题与方程也就是列方程解决实际问题。这部分内容共有5道例题,如果用算术方法解答,都需要逆向思维,从而突出等量关系的分析及列方程解决实际问题的特点。
教材第73页例1取材于跳远比赛,例题采用图文结合的形式给出已知条件,并提出问题。这是学生第一次接触列方程解答实际问题,对将所求数量设为x,对未知数参加列式,都会感到不习惯。因此,教材先给出学生已学过的算术解法,再引导学生将未知数设为x,列出方程。例2的题材源于足球的构成,即一个现代足球是由12块正五边形的黑色皮和20块正六边形的白色皮制成的。对于本题的数量关系,学生能想到几种不同的形式。教材的解答选用了“黑色皮块数×2-4=白色皮块数”这种数量关系。在例题解答之后,教材提出了一个讨论问题,引导学生小结列方程解决实际问题的基本步骤。
教材第77页例3创设了购买两种水果的现实问题情境。撇开各数量的具体内容,就它的数学意义来讲,可以抽象为两积之和的数量关系。这种数量关系在生活中经常能遇到。而且,理解了两积之和的数量关系,也就容易理解两积之差、两商之差的数量关系。同时,例3的两个积中,有相同的因数,可以根据乘法分配律,得到含小括号的方程。这些都使例3具有举一反三的典型意义。第78页例4的特点是要求两个未知数,且用两个已知未知数的和与差,或两个未知数的和(差)与两个未知数的倍数关系。这类问题,用算术方法解,需要分别教学,改用方程解,思路统一,解法一致,会解其中之一,其他就很容易类推解决了。
1.使学生认识方程、等式;理解方程的解、解方程的意义。
2.使学生初步了解方程的作用,初步理解等式的基本性质,能用等式的基本性质解简易方程。
3.使学生感受数学与现实生活的联系,初步学会列方程解决一些简单的实际问题,培养学生根据具体情况,灵活选择算法的意识和能力。
【重点】
掌握解方程的方法。
【难点】
会列方程解决实际问题。
第课时 方程的意义
1.初步理解方程的意义,会判断一个式子是否是方程。
2.会按要求用方程表示出数量关系。
3.经历方程的认识过程,体验观察、比较的学习方法。
4.在学习生活中,激发学生的学习兴趣,培养学生动手动脑的能力,养成仔细认真的良好学习习惯。
【重点】
理解方程的意义。
【难点】
会根据方程的意义判断一个式子是否是方程,并用方程表示出数量关系。
【教师准备】 PPT课件。
方法一
师:我们在实际生活中,经常要用到一种称量物体质量的工具。它是什么呢?
预设 生:天平。
(老师根据学生回答用PPT出示天平图)
师:你对天平有哪些认识?
(学生先在小组内讨论,然后在班上进行交流)
预设 生1:天平由天平秤和砝码组成。
生2:当放在天平左右两边的物体质量相等时,天平就会平衡。
(老师根据学生的回答进行演示)
(1)在左右两边各放50克砝码,天平两边平衡。
(老师板书)50=50
(2)在两边再各加上50克砝码,天平仍平衡。
(老师板书)50+50=50+50
(3)在一边加上50克砝码,在另一边加上x克砝码,天平平衡。
(老师板书)50+50=50+x
(老师引导学生比较50+50=50+50和50+50=50+x,找出两个等式的区别)
师:这个含有未知数的等式叫什么?通过今天的学习你就会知道。
[设计意图] 用实际生活中的具体实物引入新课,让学生感受到数学源于生活,又应用于生活中。
方法二
(老师用PPT出示游乐场的情境图)
师:同学们,你们去过游乐场吗?游乐场有哪些好玩的?
预设 生1:摩天轮、跷跷板
生2:过山车、海盗船……
师:那谁能告诉大家,跷跷板为什么经常一边高一边低?有没有可能两边平衡?
生3:有可能两边平衡。
师:如果跷跷板两边平衡了,那么说明了什么?
(学生思考,老师板书:方程的意义)
[设计意图] 用学生喜欢的活动导入新课,有利于新知识的学习。
一、方程的意义。
1.PPT出示教材第62页情境图。
2.认识等式。
师:认真观察,你从第一幅图中发现了什么?
预设 生1:天平的左边是2个50克的砝码,右边是1个100克的砝码。
生2:第一幅图中的天平是平衡的,因为天平左右两边的质量相等。
(老师根据学生回答进行板书)
50+50=100
老师指出:这是一个等式。(板书)
师:认真观察,你从第二幅图中发现了什么?
预设 生1:把天平左边的砝码换成一个空杯子,天平平衡。
生2:1个空杯子的质量为100克。
3.引导观察第三~五幅图,引出方程。
师:认真观察第三幅图,你有什么新发现?
预设 生1:第三幅图中的天平不平衡了。
生2:第三幅图中左边的杯子里加了x克水,现在天平两边的质量不相等,天平也就不平衡了。
生3:第三幅图中天平向左边倾斜了,说明左边比右边重一些。
老师小结:当天平左边的杯子里加了水后,右边的质量不变,天平两边的质量不相等,天平就不能保持平衡了。
师:继续看第四幅图,说出图意。
预设 生1:第四幅图中有两架天平,第1架天平的左边还是一个杯子加x克水,右边的砝码变成了200克,这时天平还是不平衡。
生2:第2架天平的左边还是一个杯子加x克水,右边的砝码变成了300克,这时天平还是不平衡。
师:你能用一个式子表示吗?
(学生小组讨论,教师指名板演)
100+x>200 100+x<300
师:比较两架天平,你能确定杯子里的水有多重吗?(或x能表示什么数?)
生3:x大于100且小于200。
(引导学生观察第五幅图)
师:在第五幅图中你看到了什么?你能用式子表示出来吗?
生4:天平平衡了。
生5:天平的左边还是一个杯子和x克水,天平右边的砝码变成了250克。
生6:100+x=250。
(老师根据学生回答进行板书)
二、认识方程。
1.观察比较50+50=100与100+x=250。
预设 生:两个都是等式,一个等式里没有字母(未知数),一个等式里含有字母(未知数)。
2.用PPT出示教材第63页情境图。
(学生看图,说出从图中得到的信息)
预设 生1:1本练习本的价钱是x元。
生2:3本练习本的价钱是2.4元。
师:怎样用式子表示呢?
生3:用3x=2.4表示。
(老师指着100+x=250和3x=2.4小结)
师:像这样含有未知数的等式就是方程。
(老师板书课题:方程的意义)
[设计意图] 以连环画的形式引导学生认识方程,学生通过对一幅一幅连环画的认真观察,逐步认识等式、理解方程的意义以及等式与方程的联系与区别。这样设计使学生更容易理解和接受。
3.写方程,加深对方程的认识。
师:你会写出方程吗?试一试。
(学生在草稿本上写方程,然后用展台进行展示。可能会有部分学生写出的只是等式或代数式而不是方程)
(老师引导学生评讲,说出不是方程的原因)
老师小结:方程必须具备两个条件:(1)必须是等式;(2)必须含有未知数。二者缺一不可。
4.请同学们看教材第63页情境图中三个学生写的方程,或许你会对方程有更深的了解。
1.教材第63页“做一做”第1题。
学生独立完成,小组进行交流,判断是不是方程。在组织汇报时,着重让学生说一说为什么不是方程。
2.教材第63页“做一做”第2题。
(请两位学生板演,其他学生独立完成,全班评讲)
2x=50 x+73=166
(学生认真看图,小组交流,教师指名回答)
【参考答案】 1.5x+32=47和6(y+2)=42是方程。 2.2x=50 x+73=166
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:认识了方程。
生2:知道了方程的意义。
生3:知道方程必须具备两个条件:(1)必须是等式,(2)必须含有未知数。
作业1
教材第66页练习十四第1,2题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)下面的式子哪些是方程?是方程的在括号里画“△”,不是方程的画“○”。
(1)8+3x=32( )
(2)2x+4=6( )
(3)x+3<14( )
(4)32-7=25( )
(5)14.5x=0( )
(6)x÷6=9( )
(7)x-32=1.8( )
(8)18÷x=3( )
【提升培优】
2.(重点题)在○里填上“=”或“≠(不等号)”。
a+b○b+a
3(a-1)○3a-1
ab+ac○a(b+c)
3.6+2x○2×(1.8+x)
【思维创新】
3.(难点题)天平左边放3个同样重的苹果,右边放9个同样重的梨,天平平衡。一个苹果和( )个梨同样重。
【参考答案】
作业1:1.x+3.6=7 8-x=2 5y=15 2x+3y=9是方程。 2.x+0.5=2.5 3x=36
作业2:1.(1)△ (2)△ (3)○ (4)○ (5)△ (6)△ (7)△ (8)△ 2.= ≠ = = 3.3
方程的意义 50+50=100等式 100+x=250方程 3x=2.4方程 像100+x=250,3x=2.4……这样,含有未知数的等式就是方程。
“方程的意义”是本单元解简易方程的第1课时,这节课主要是让学生理解方程的意义:含有未知数的等式就是方程。“方程的意义”的教学目标是:让学生理解方程的概念,并为后续学习打好基础。通过这节课的教学,方程的意义的教学达到了预期的教学目标,在讨论等式和方程时,学生能清楚地说出二者的联系与区别。
由于教材中有五幅图,感觉教学时间不够。在进行设计时,我本想按照方法二进行教学的,就是担心时间不够,就没有按照方法二施教。然而在按照方法一进行教学时,还是因为时间的问题,在让学生看图的时候,留给学生的时间不够充足,学生的自主活动的热情没有充分调动起来。
下次再教“方程的意义”时,设计更加大胆一些:可以准备几架天平,让学生分小组进行操作,来经历认识方程的过程。
【做一做·63页】
1.5x+32=47 6(y+2)=42是方程 2.2x=50 x+73=166
请你用方程表示下图中的数量关系。
(1)
(2)
[名师点拨] 列出方程的关键是能找出题中的等量关系。(1)三个茶杯的价钱+一把茶壶的价钱=6.3元。(2)足球的个数是排球个数的3倍。
[解答](1)3x+3.06=6.3。
(2)3x-x=72。
【知识拓展】 列方程解题是一种常用的方法,关键在于深刻理解题意,善于抓住已知量和未知量之间的等量关系,根据等量关系列出方程。
方程的由来
在公元3世纪时,我国的数学名著《九章算术》就记载了不少一次方程组的问题,它在世界上最早提出联立一次方程组的概念,并系统地总结了联立一次方程组的解法。“方程”的取名是由于当时用算筹解方程组,列出各方程的系数和常数项时,构成一个方形,故“方”就是“列筹成方”的意思,“程”就是“课程”,所以把这种“方”形的“课程”叫做“方程”。清朝初期在翻译外国数学书时按拉丁语的原意译成“相等式”。1859年我国学者李善兰将其改译成为我国古代的名词——“方程”。
方程史话
大约3600年前古埃及人写在纸草上的数学问题中,就涉及了方程中含有未知数的等式。
公元825年左右中亚细亚的数学家阿尔·花拉子密曾写过一本名叫《对消与还原》的书,重点讨论方程的解法。
宋元时期,中国数学家创立了“天元术”,用“天元”表示未知数进而建立方程。这种方法的代表作是数学家李冶写的《测圆海镜》,书中所说的“立天元一”相当于“设未知数”。所以在简称方程时,将未知数称为“元”,如有一个未知数的方程叫“一元方程”。而有两个以上的未知数,在古代又称为“天元”“地元”“人元”。
《九章算术·方程》中,白尚恕注释:“‘方’即方形,‘程’即表达相课的意思,或者是表达式。在某一问题中,如有含若干个相关的数据,将这些相关的数据并肩排列成方形,则称为‘方程’。”
第课时 等式的性质
1.通过天平演示保持平衡的几种变换情况,使学生初步认识等式的基本性质。
2.知道等式和方程之间的关系。
3.经历天平称物的观察和抽象过程,体验观察、比较、分析的学习方法。
4.在学习活动中,激发学生的学习兴趣,养成肯动脑筋的良好学习习惯,培养观察思考、分析推理的能力。
【重点】
对等式性质的认识和理解。
【难点】
等式的性质的归纳。
【教师准备】 PPT课件。
方法一
问题导入。
师:同学们,你们在课堂试验中,都用天平做过试验吗?
预设 生1:做过。
师:今天我们来看下面的一些试验过程,看看能从试验中发现什么?
生2:好!
[设计意图] 开门见山,直接导入新课,引导学生进入新知识的学习。
方法二
情境导入。
师:有1个苹果和1个梨,想知道它们的质量是否相等,应该怎么办?
预设 生1:分别称出苹果和梨的质量,再进行比较。
生2:可以用天平称,一次就可以知道它们的质量是否相等。
师:天平在生活中的应用非常广泛,今天我们用天平来做一些试验,看你们能从试验中发现一些什么。
[设计意图] 通过生活中称水果的事例导入新课,使学生感受到数学就在身边。
一、探究等式的性质1。
1.用PPT课件出示教材第64页的情境图1。
师:观察图后,你发现了什么?
预设 生1:天平的左边放着一把茶壶,右边放着两个杯子,天平平衡了。
师:如果再在天平两边各放一个同样的杯子,天平会怎么样呢?
生2:天平还是平衡的。
老师引导学生猜想:如果两边各放2个同样的茶杯,天平还平衡吗?两边各放上同样的1把茶壶呢?
(学生小组讨论,大胆说出自己的想法)
生3:在天平的两边放上同样的物品,天平两边还是平衡的。
演示验证后老师小结:平衡的天平两边加上同样的物品,天平保持平衡。
2.用PPT课件出示教材第64页的情境图2。
师:观察图后,你发现了什么?
预设 生1:天平的左边放着1个花盆和1个花瓶,右边放着4个花瓶,天平平衡了。
师:如果再在天平两边都拿掉1个花瓶,那么天平还保持平衡吗?
生2:天平还是平衡的。
师:从图中可以看出1个花盆和几个花瓶同样重?
生3:1个花盆和3个花瓶同样重。
老师小结:平衡的天平两边减去同样的物品,天平保持平衡。
老师指出:等式就像平衡的天平,也具有同样的性质。
3.小组内讨论回答后,师生共同归纳等式的性质1,并用PPT出示等式的性质1。
等式两边加上或减去同一个数,左右两边仍然相等。
二、探究等式的性质2。
1.用PPT课件出示教材第65页的情境图1。
师:观察图后,你发现了什么?
预设 生1:天平的左边放着1瓶墨水,右边放着2个铅笔盒,天平平衡了。
师:如果左边墨水的数量扩大到原来的2倍,右边的铅笔盒的数量也扩大到原来的2倍,天平还保持平衡吗?
生2:天平还是平衡的。
老师引导学生猜想:如果天平两边物品的数量分别扩大到原来的3倍、4倍、5倍……天平还保持平衡吗?
(学生小组讨论,大胆说出自己的想法)
生3:天平还是保持平衡的。
老师小结:平衡的天平两边的物品扩大到原来的相同倍数,天平仍保持平衡。
2.用PPT课件出示教材第65页的情境图2。
师:观察图后,你发现了什么?
预设 生1:1个排球和6个皮球同样重。
师:如果把两边的球都平均分成2份,各去掉1份,天平还保持平衡吗?
(学生看图思考后回答)
生2:天平还是平衡的。
老师小结:平衡的天平两边的物品都缩小到原来的几分之一,天平仍保持平衡。
3.老师引导学生归纳出等式的性质2,并用PPT出示。
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,左右两边仍然相等。
(通过上面的观察,同学们知道了等式的两个性质,让学生读一读。同时老师板书:等式的性质)
[设计意图] 让学生通过观察、思考、分析,明确天平平衡的道理,同时在老师的引导下,理解等式的性质。
1.利用等式的性质填空(在○里填运算符号,在□里填合适的数)。
(1)如果3x+6=17,那么3x+6-6=17○□。
(2)如果7x-3=12,那么7x-3+3=12○□。
(3)如果4x=28,那么4x÷4=28○□。
(4)如果3x=15,那么3x×2=15○□。
(学生思考,独立完成,小组交流,全班评讲,集体订正)
2.天平的左边放有两袋1千克的白糖,右边放有4袋500克的盐,则一袋白糖与几袋盐同样重?
(学生独立完成,老师指名回答)
【参考答案】 1.(1)- 6 (2)+ 3 (3)÷ 4 (4)× 2 2.一袋白糖与2袋盐同样重
通过今天的学习,你有什么收获?
学生根据自己的收获进行回答。
作业1
教材第66页练习十四第4,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(难点题)看图列方程。
(1)
方程: ?
(2)
方程: ?
(3)
方程: ?
(4)
方程: ?
【提升培优】
2.(探究题)(1)○○○=□□□□□□,○=( )个□。
(2)2a+b=5b,a=( )b。
【思维创新】
3.(开放题)根据所给的方程补充条件。
(1)一个音乐娃娃x元, ,买一个音乐娃娃和一只玩具熊共用去138元。?
方程:x+48=138。
(2)妈妈买了a根香肠,每根6元, ,找回18元。
方程:6a+18=50。
【参考答案】
作业1:4.左图答案:添上1个圆柱。 右图答案:两个球(或两个长方体) 5.3 c d 10
作业2:1.(1)3x=153 (2)2y+5=21 (3)40+x=100 (4)2x+15=60 2.(1)2 (2)2 3.(1)一只玩具熊48元 (2)妈妈付了50元
等式的性质 平衡的天平两边加上同样的物品,天平保持平衡。 平衡的天平两边减去同样的物品,天平也保持平衡。 等式的性质1: 等式两边加上或减去同一个数,左右两边仍然相等。 平衡的天平两边的物品扩大到原来的相同倍数,天平仍保持平衡。 平衡的天平两边的物品都缩小到原来的几分之一,天平仍保持平衡。 等式的性质2: 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,左右两边仍然相等。
等式的性质对于学生来说不是很难理解,但要学生进行归纳还是有一些难度,因此在教学中,要给学生提供语言模式,这就要求老师在课堂上的用语准确、规范,使学生可以借鉴、模仿。在这节课的教学中,自己做到了,也取得了好的效果。创造性地使用教材,用课件根据教学的进程一步一步地出示教材中的天平的演示过程,更好地为学生的学习服务,也是这节课做得比较成功的地方。
由于教材以连环画的形式出现,四幅图描述四种不同的情况,教学中是通过四次出示的,这样的教学过程显得有点雷同,可能会使学生觉得单调。
四幅图的出示方法进行变换;四幅图不是按照教材的图的顺序出示,而用幻灯片通过动态的形式出现。
【练习十四·66页】
1.x+3.6=7 8-x=2 5y=15 2x+3y=9是方程 2.x+0.5=2.5 3x=36 3.40-x=28 152-y=5 7s=2.8 a÷25=3 4.一个圆柱 两个球(或两个长方体) 5.3 c d 10
填空。
1.0.6x+0.56=3.56,
0.6x+0.56-0.56=3.56○( )。
2.3x÷2=(x+7)÷3,
3x÷2×6=(x+7)÷3○( )。
[名师点拨] 根据等式的性质,在等式的左右两边同时加上或减去相同的数,左右两边仍然相等。在等式的左右两边同时乘或除以相同的数(除数不等于0),左右两边仍然相等。
[解答] 1.- 0.56 2.× 6
【知识拓展】 如果a=b,那么a+c=b+c,a-c=b-c;如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,那么a÷c=b÷c(c不等于0)。
等式与等式的性质
用等号连接的式子叫做等式。
等式可以分为三类:
1.恒等式:在等号两边的代数式中,它含有的字母无论取什么值,都能使两边的值相等。例如:x+x=2x,是恒等式。
2.条件等式:在等号两边的代数式中,它含有的字母只有取某些数时,等号两边的值才能相等。这样的等式叫条件等式。例如:4a=8,只有当a=2时,等号两边的值才能相等,所以是条件等式。
3.矛盾等式:在形式上是用等号连接的式子,但实质上无法使等号两边的值相等。这样的等式叫矛盾等式,如:x+3=x+2,就是矛盾等式。
对于恒等式和条件等式,有以下基本性质。
1.对称性:等式两边可以调换位置。也就是说:如果x=y,那么y=x。
2.传递性:等式中相等的量可以传递。也就是说:如果x=y,y=z,那么x=z。
3.等式两边加上(或减去)同一个数,等式仍然成立。也就是说:如果x=y,那么x+n=y+n,x-n=y-n。
4.等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数,等式仍然成立。也就是说:如果x=y,那么x×m=y×m,x÷m=y÷m(m≠0)。
第课时 解方程(1)
1.结合具体的题目,初步理解方程的解与解方程的含义。
2.会正确解形如x+a=b,x-a=b,ax=b,a-x=b的方程。
3.掌握解方程的格式和写法。
4.经历解方程的过程,体验迁移、分析的学习方法。
5.在学习活动中,体验知识之间的密切联系,激发学习兴趣,培养仔细认真的良好学习习惯。
【重点】
掌握形如x+a=b,x-a=b,ax=b,a-x=b的方程的解法与解方程的概念。
【难点】
掌握解方程的方法。
【教师准备】 PPT课件。
方法一
师:在上节课的学习中,我们探究了哪些性质?
(学生在小组里回顾后,教师指名回答)
预设 生1:探究了等式的性质。
生2:等式两边加上或减去同一个数,左右两边仍然相等。
生3:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,左右两边仍然相等。
师:研究了等式的性质,可以帮助我们求出方程中的未知数。这节课我们就来学习解方程。
(老师板书课题:解方程(1))
[设计意图] 通过复习上节课的知识,来引出本节课的内容,起到温故知新的作用。
方法二
1.指导学生预习新知。
学生自学教材第67页例1,让学生初步掌握用等式的性质解方程的原理,学完后,老师以习题的形式检查。
(1)把方程和方程的解连起来。
x-0.7=0.7 x=3.5
2.4+x=6 x=1.4
x+4.5=8 x=40
x-24=16 x=3.6
(2)看图列方程并解方程。
2.自学情况检查。
学生先在小组内互相检查,并进行交流。老师巡视,了解学生自学情况。
3.引导学生质疑。
学生提出在自学过程中遇到的问题,先由学生互相解答,对于学生普遍的问题老师进行点拨。
[设计意图] 通过自主学习和合作探究,使学生获得新知识,提高学生的合作交流的能力和探究意识。
一、解形如x±b=c的方程。
1.用PPT出示教材第67页例1的情境图。
学生看图,然后回答。
2.理解题意,列出方程。
师:从图中你知道了哪些信息?
预设 生1:盒子里有x个球,盒子外面有3个球。
生2:盒子里面和盒子外面一共有9个球。
师:你能根据题意列出方程吗?
生3:x+3=9。
(老师根据学生回答进行板书:x+3=9)
3.根据等式的性质求出方程的解。
(老师用PPT出示教材第67页利用等式的性质分析的图示)
师:怎样求出x等于多少呢?
学生看图,小组讨论解法。
预设 生1:根据等式的两边同时加上或减去同一个数,左右两边仍然相等,在方程的左右两边同时加上或减去同一个数,方程的左右两边仍然相等来求出x的值。
师:请根据你们的想法,按照图示的方法求出x的值。
(老师指名板演,学生独立解答,然后在小组内交流,全班评讲)
生2:x+3=9
解: x+3-3=9-3
x=6
师:方程的两边为什么减去3,而不是别的数?
生3:因为方程的左边是x+3,所以要减去3,才能使方程的左边只剩下未知数x。
老师引导学生小结:方程两边同时减去3,使方程的左边是x,右边正好是x的值。
4.检验。
学生看书自学,掌握检验的方法。
5.理解“方程的解”和“解方程”。
(1)“方程的解”和“解方程”的概念。
师:使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解(PPT同时出示概念)。求方程的解的过程叫做解方程(PPT同时出示概念)。
(2)“方程的解”和“解方程”的区别。
组织学生在小组中讨论,明确:方程的解是一个具体的数值,而解方程是求方程的解的过程。
[设计意图] 让学生根据天平的图示理解解方程的过程,并通过解答过程,理解“方程的解”“解方程”这两个概念。
6.巩固练习。
学生独立完成教材第67页“做一做”第1题。
(三生板演,全班评讲)
【参考答案】 1.(1)x=150 (2)x=19 (3)x=99
二、解形如ax=b的方程。
1.解方程3x=18。
(老师用PPT出示教材第68页例2的图示,学生理解题意,思考解答方法)
2.讨论解法。
师:怎样求出x的值呢?
(同桌之间互相讨论、交流,然后老师指名回答)
预设 生1:方程的两边同时除以3可得x=6。
师:这样解答的根据是什么?
生2:根据是等式的性质。
(老师根据学生回答进行板书)
3x=18
解:3x÷3=18÷3
x=6
3.检验。
学生独立检验,老师巡视,选择部分学生的检验过程进行展示,重点对书写格式进行指导。
[设计意图] 让学生根据图示思考、讨论、解答,掌握解方程和检验方程的解的一般方法,提高学生自主探究的能力。
三、解形如a-x=b的方程。
1.老师出示教材第68页例3:解方程20-x=9。
学生思考解答方法。
2.老师指名学生板演,其他学生独立解答,全班评讲。
(预设评讲过程)
在方程的左右两边各加上1个x,
(在等式的两边加上相同的字母)方程变形为20-x+x=9+x,即20=9+x。把等式左右两边交换位置得到:
9+x =20。
方程变成了例1的样子了,可以按照例1的解法进行解答,求出x的值等于11。
3.检验。
方程的左边=20-x
=20-11
=9
=方程右边
所以x=11是方程的解。
4.老师小结。
等式两边加上相同的字母,左右两边仍然相等。
[设计意图] 例3脱离了天平的图示,学生完全靠对等式的性质的理解来解方程,有些学生肯定有不理解的地方,因此在评讲时对于前面的步骤应讲得详细具体,而方程变形成例1的形式时,后面的步骤就不用讲得那么详细了。这样易使学生掌握解方程的一般方法。
1.教材第67页“做一做”第2题。
师:怎样判断x=2是不是方程的解呢?x=3呢?
预设 生:把x=2和x=3分别代入方程中进行检验,如果方程的左右两边相等,它就是方程的解。
(指名二生进行板演,学生独立进行检验)
当x=2时,
方程左边5x=5×2=10≠方程右边,
所以x=2不是方程的解。
当x=3时,方程左边5x=5×3=15=方程右边,
所以x=3是方程的解。
2.教材第68页“做一做”第1题。
学生先独立完成,再全班评讲,集体订正。
3.教材第68页“做一做”第2题。
学生读题后,列出方程,然后独立解方程,集体评讲、订正。
【参考答案】 1.x=2不是此方程的解,x=3是此方程的解。 2.x=1.4 x=5.8 x=13 x=4 x=2.1 x=0.7 3. x+1.2=4
解:x+1.2-1.2=4-1.2
x=2.8
3x=8.4
解:3x÷3=8.4÷3
x=2.8
1.这节课我们学习了什么知识?
2.你觉得自己学得怎么样?
学生根据自己的学习情况先在小组内交流,老师再指名回答。(老师点名时注意让各个层次的学生都有发言的机会)
作业1
教材第70页练习十五第1,2,3,4题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)根据等式的性质填空。
(1) x+19=21
解:x+19-( )=21-( )
x=2
(2) x-12=6
解:x-12○( )=6○( )
x=18
(3) x÷5=30
解:x÷5○( )=30○( )
x=150
(4) 2(x-16)=8
解:2(x-16)○( )=8○( )
x-16=4
x-16○( )=4○( )
x=20
【提升培优】
2.(重点题)在正确的解的下面画“ ”。?
(1)7x=28 (x=3 x=4)
(2)x+3.6=9.8 (x=6.2 x=5.8)
(3)x-1.3=4.9 (x=5.2 x=6.2)
(4)x÷2=4 (x=2 x=8)
【思维创新】
3.(重点题)解方程。
(1)40+x=48 (2)x-3=15
(3)4x=12 (4)6x=24
(5)7x=51
【参考答案】
作业1:1.(1)x=44 (2)x=8 (3)x=1.5 (4)x=2 2.x=1.5 x=2.4 x=5.5 x=13.6 x=0.3 x=30 x=3.3 x=75 3.x+2.7=6.9 x=4.2 x-45=128 x=173 9x=18 x=2 x÷4=75 x=300 4.(1)x+35=91 x=56 (2)3x=57 x=19 (3)x-3=6 x=9 (4)x÷8=1.3 x=10.4
作业2:1.(1)19 19 (2)+ 12 + 12 (3)× 5 × 5 (4)÷ 2 ÷ 2 + 16 + 16
2.(1)x=4 (2)x=6.2 (3)x=6.2 (4)x=8 3.(1)x=8 (2)x=18 (3)x=3 (4)x=4 (5)x=
解方程(1) 例1 x+3=9 解:x+3-3=9-3 x=6 方程左边=x+3=6+3=9=方程右边 所以x=6是方程的解。 使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。 例2 3x=18 例3 20-x=9 解:3x÷3=18÷3 解:20-x+x=9+x x=6 20=9+x 9+x=20 9+x-9=20-9 x=11 方程的左边=20-x=20-11=9=方程右边 所以x=11是方程的解。
这节课的学习是在上节课的基础上进行的,实际上也就是等式性质的应用。学生已经有了等式性质的基础,通过看图示、小组讨论来解简单的方程应该并不吃力,所以除了两个概念“方程的解”“解方程”,解方程的书写格式,检验的书写格式这些内容老师进行讲解和点拨外,其他的内容基本上是由学生独立完成或小组讨论完成的。从课后批改作业的情况看,学生掌握的还是比较好的。
从课后的作业中可以看出,学生由于受以前解答计算题的影响,对于解方程的书写格式容易出错,特别容易把“解”漏掉。检验时目的不明确,只是按照格式把过程写出来,有时算出来左边与右边根本不相等,也写一个等号。
可以在练习环节加强板演的次数和人数,使这些同学能够尽可能多地暴露学生练习中出现的问题,然后进行评讲,使学生在以后的练习中避免出错。
【做一做·67页】
1.(1)x=150 (2)x=19 (3)x=99 2.x=2不是此方程的解,x=3是此方程的解。
【做一做·68页】
1.x=1.4 x=5.8 x=13 x=4 x=2.1 x=0.7
2. x+1.2=4
解:x+1.2-1.2=4-1.2
x=2.8
3x=8.4
解:3x÷3=8.4÷3
x=2.8
五(1)班女生有多少人?五(2)班的女生和五(1)班的女生同样多,五(2)班有学生59人,五(2)班男生有多少人?
[名师点拨] 找出题中的等量关系:①五(1)班男生人数+五(1)班女生人数=五(1)班人数;②五(2)班男生人数+五(2)班女生人数=五(2)班人数。题中还存在一个重要的等量关系:五(2)班女生人数=五(1)班女生人数。
[解答] x+36=65
x+36-36=65-36
x=29
59-29=30(人)
答:五(1)班有女生29人,五(2)班有男生30人。
【知识拓展】 还可以根据这个等量关系列方程:五(2)班人数-五(2)班男生人数=五(2)班女生人数,即59-y=29。根据减数=被减数-差,得y=59-29,y=30。
著名数学家苏步青
著名数学家苏步青早年留学日本,1931年获得博士学位。日本不少名牌大学以高薪聘请他,但他想到出国留学是为了掌握科学、报效祖国,就一一辞谢,毅然回国。回国后,他在浙江大学执教,竟一连四个月领不到工资,穷得连饭都难以吃饱,而当时日本帝国大学还答应保留他半年的工资。贫贱难移爱国心,苏步青毫无再去日本之意。抗日战争爆发后,日本帝国大学又发来电报,请他前往任教。出于民族大义,他一口回绝道:“我要留在自己的祖国,祖国再穷,我也要为她奋斗,为她服务!”
方程的分类
在中小学,通常都把方程描述成“含有未知数的
等式”。因此,方程也可以和等式一样分为三类。
恒等方程。无论未知数取什么值,都能使方程两边的值相等。例如:x+x=2x,就是恒等方程。
条件方程。它含有的未知数只有取某些值时,方程两边的值才能相等。例如:2x=6,只有当x=3时,方程两边的值才能相等,所以是条件方程。
矛盾方程。无论未知数取什么值,都不能使方程两边的值相等。例如:x+2=x+1,就是矛盾方程。
一般地说,所谓解方程,就是确定这个方程是否有解,若有解,则求出方程的解。小学数学中的简易方程,一般是条件方程,不出现矛盾方程。所以不存在通过解方程,确定这个方程无解的现象。
如果两个方程的解完全一样,我们就说这两个方程是同解方程。我们常常需要把一个方程变形成为另一个与它同解的方程,这种变形就叫做同解变形。
第课时 解方程(2)
1.初步具有用整体思想和运算定律解方程的能力。
2.掌握形如ax ±b=c与a(x ±b)=c的方程的解法。
3.经历运用整体思想解稍复杂的方程的过程,进一步掌握解方程的方法。
4.在学习活动中,初步向学生渗透整体思想,激发学生的学习兴趣。
【重点】
理解在解方程的过程中,把一个式子看作一个整体。
【难点】
进一步掌握解方程的方法。
【教师准备】 PPT课件。
方法一
复习导入。
(老师出示题目)
解方程:
5x=50 7.572-x=54
二生板演,其他学生独立解答,在评讲订正时让学生说说解方程的依据,并规范解方程的书写格式。
师:今天我们继续根据等式的性质解方程。
(老师板书课题:解方程(2))
[设计意图] 通过复习上节课学习的内容,唤起学生对解方程方法的回忆,自然导入对新知的学习。
方法二
谈话导入。
师:同学们,上节课我们学习了什么内容?
预设 生1:解方程。
师:我们解方程的根据是什么?
生2:等式的性质。
学生回顾等式的性质,老师指名回答等式的性质1和等式的性质2。
师:同学们真棒!对等式的性质记得很熟练,今天我们还是要根据等式的性质来解方程。
(老师板书课题:解方程(2))
[设计意图] 引导学生回顾等式的性质,为本节课的学习做好铺垫。
一、解形如ax±b=c的方程。
1.PPT出示教材第69页例4情境图。
看图列方程,并求出方程的解。
2.引导学生观察情境图,并说一说图意。再让学生根据图,列一个方程。
3.根据题意列出方程。
师:你能根据题意列出方程吗?
预设 生:能。列出的方程为3x +4=40。
师:你是怎样想的?
(学生思考后,老师指名回答)
预设 生1:从图中可以看出一盒有x 支铅笔。3盒就有3x 支铅笔,再加上4支正好是40支。
生2:从图中可以看出左边有3盒铅笔,右边有4支铅笔,合起来正好是40支铅笔。
……
(在学生说自己的想法时,老师引导学生理解把3个铅笔盒里未知支数的铅笔看成一部分,4支铅笔看成另一部分)
4.探究解形如ax+b=c的方程的解法。
师:这个方程与我们学过的方程相同吗?怎样解答呢?
学生在尝试解方程时,可能会遇到困难,要让学生说出自己的困惑。
学生的疑惑之处可能是:方程的左边出现了两个四则运算符号,不知道怎么解。
也有学生可能会想到:把3个铅笔盒未知的铅笔支数看成一个整体,先求出这部分有多少支,再求一盒有多少支。(如果学生没有想到,教师可提示学生这样思考)
师:假如知道一盒铅笔有几支,要求一共有多少支铅笔,你会怎么算?
预设 生:先算出3盒一共多少支铅笔,再加上外面的4支。
老师小结:在这里,我们先把3盒的铅笔支数看成一个整体,求这部分有多少支。用方程解答时,也就是先想把谁看成一个整体?(3x)
(让学生尝试继续解答,集体订正)
(老师根据学生的回答,板书解题过程)
3x+4=40
解:3x-4=40-4(先把3x看成一个整体)
3x=36
3x÷3=36÷3
x=12
(学生在小组内再说一说解方程的过程)
[设计意图] 让学生尝试解答形如ax+b=c的方程,学生在解答中遇到疑惑,再由老师和学生共同探索解题方法,这样让学生带着问题进行学习,学生会学得更认真,印象会更深刻。
二、解形如a(x±b)=c的方程。
1.老师板书教材第69页例5。
解方程2(x-16)=8。
学生看题,说一说方程左边的运算顺序:先算x -16,再乘2。
2.学生尝试解方程。
学生独立尝试解方程,再在小组内交流自己的做法,然后集体订正。学生可能会出现两种解法:
(1)利用例4的方法来解。
2(x-16)=8
解:2(x-16)÷2=8÷2
(把x-16看成一个整体,根据等式的性质2,方程两边同时除以2)
x-16=4
(方程转化成了例1的样子)
x-16+16=4+16
(根据等式的性质1,方程两边同时加上16)
x=20
(2)根据运算定律来解。
2(x-16)=8
解:2x-32=8
(方程的左边根据乘法分配律,用“2”与括号里的各项分别相乘,再把所得的积相减。方程的右边不变)
2x-32+32=8+32
(根据等式的性质1,方程两边同时加上32)
2x=40
2x÷2=40÷2
(根据等式的性质2,方程两边同时除以2)
x=20
3.分析、比较两种解法。
老师引导学生思考后回答。
预设 生1:第①种解法是把(x-16)看成一个整体来解的。
生2:第②种解法是根据乘法分配律来解的。
老师小结:解这类方程,可以把括号里的运算看成一个整体进行解答,也可以根据运算定律进行解答。
4.检验。
师:怎样确定方程的解是否正确呢?
生3:进行检验。
先让学生说一说怎样检验,再独立检验方程的解是否正确。
三、比较例4与例5。
1.例4与例5的相同点和不同点各是什么?
2.这两个方程各应该先算什么?后算什么?
(学生先在小组内进行交流,再派代表发言)
预设 生1:例4和例5都是比较复杂的方程,都要先把某一部分看成一个整体,把方程转化成例2的形式后,求出结果。
生2:例4把3x看成一个整体,例5是把括号里的x-16看成一个整体。
生3:例5有两种不同的解法。
1.完成教材第69页“做一做”第1题(用PPT课件出示)。
(1)分析图意,再列方程。
(2)解方程。让学生说一说自己的想法,明确应该把谁看成一个整体。
预设 生:可以把5个练习本的总价5x看成一个整体。
(3)指名口答结果,口头检验。
2.完成教材第69页“做一做”第2题。
先让学生独立完成,老师指名板演,再集体订正。订正时注意对书写格式的指导。
3.完成教材第71页练习十五第8题。
先让学生说一说图意,再列方程解答。
(1)第一幅图,要注意天平两边的砝码不一样重,审题要细心。
(2)第二幅图,学生可能会列出方程30×2+2x =158,再引导学生观察有两个30和两个x ,可以运用乘法分配律进行解答。
【参考答案】 1.5x+1.5=7.5 x=1.2 2.x=8 x=26 x=3 x=28 3.(1)x+50=200 x=150 (2)30×2+2x=158 x=49
这节课你学会了什么知识?有哪些收获?
引导学生小结:
1.在解较复杂的方程时,可以先把一个式子看成一个整体,再把方程转化成简单方程的形式,最后求出解。
2.在解方程时,还可以运用运算定律来求解。
作业1
教材第71页练习十五第7,9题,第72页第11,13题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)解下列方程。
8x+0.4=5.2 x÷9=72
42-x=15 4(x+13)=80
【提升培优】
2.(情景题)MP3和CD机你喜欢哪一种?根据选择列方程,计算现价。
3.(探究题)看图列方程,并解方程。
【思维创新】
4.(竞赛题)如果n为自然数,用含有n的式子表示3个连续的双数。如果这3个数的和是30,这3个数分别是多少?
【参考答案】
作业1:7.x=24 x=16 x=5 x=20 x=0.9 x=5.4 9.x=1 x=3 x=19 x=0.6 x=7 x=3.51 11.2(5+x)=36 x=13 x+3x=80 x=20 13.(1)> > (2)= < (3)= > (4)< >
作业2:1.x=0.6 x=648 x=27 x=7 2.MP3,x+150=420,x=270 CD机,x+450=830,x=380 3.x+25=75,x=50 4.2n,2n+2,2n+4(不唯一) 2n+(2n+2)+(2n+4)=30,n=4,2n=8,2n+2=10,2n+4=12。答:这3个数分别是8,10,12。
解方程(2) 等式的性质1 等式的性质2 例4 3x+4=40 例5 2(x-16)=8 解:3x+4-4=40-4????把3x看成一个整体 解法1:2(x-16)÷2=8÷2????把(x-16)看成一个整体 3x=36 x-16=4 3x÷3=36÷3 x-16+16=4+16 x=12 x=20 解法2:2x-32=8????运用了乘法分配律 2x-32+32=8+32 2x=40 2x÷2=40÷2 x=20
在上一节课的教学中,学生已经基本掌握了简单的方程的解法。本节课的教学内容在此基础上增加了一些难度:在一个方程里出现了两个或两个以上的四则运算符号。学生不仅要掌握一个式子中简单的解方程的方法,还要运用以前所学过的运算定律或计算公式来解方程,对学生综合运用知识的能力的要求提高了。备课时,我既备教材又备学生,由于准备充分,在教学中让学生理解把方程中的某一部分看成一个整体(或运用运算定律),运用迁移、转化思想,引导学生将方程变形为已学过的方程的形式,再解答,取得了比较好的效果。
教学中,由于学生接触方程的时间不长,在知识检验上的储备欠缺,且容易受到做计算题的思维的干扰,对解方程的书写要求往往会出现遗漏、错误。在练习中要加强训练。
在板书设计上可以做一些调整,可以把等式性质的具体内容写出来了,使学生在解方程的过程中运用起来更加明确。
【做一做·69页】
1.5x+1.5=7.5 x=1.2 2.x=8 x=26 x=3 x=28
【练习十五·70页】
1.(1)x=44 (2)x=8 (3)x=1.5 (4)x=2 2.x=1.5 x=2.4 x=5.5 x=13.6 x=0.3 x=30 x=3.3 x=75 3.x+2.7=6.9 x=4.2 x-45=128 x=173 9x=18 x=2 x÷4=75 x=300 4.(1)x+35=91 x=56 (2)3x=57 x=19 (3)x-3=6 x=9 (4)x÷8=1.3 x=10.4 5. 6.(1)x-258 (2)x+5 (3)200-3x 7.x=24 x=16 x=5 x=20 x=0.9 x=5.4 8.(1)x+50=200 x=150 (2)30×2+2x=158 x=49 9.x=1 x=3 x=19 x=0.6 x=7 x=3.51 10. 11.2(5+x)=36 x=13 x+3x=80 x=20 12.x=2 x=21 x=1.6 x=5 x=21 x=5 13.(1)> > (2)= < (3)= >
(4)< > 14.8 2.7 1.4 0.1
解方程5x-40=20。
[名师点拨] 把5x看成一个整体,根据等式的性质1,方程两边同时加上40,先求出5x的值,再求x的值。
[解答] 5x-40=20
5x-40+40=20+40
5x=60
5x÷5=60÷5
x=12
【知识拓展】 解形如ax-b=c的方程时,也可以把ax看成一个整体,先求出这个整体是多少,再继续求解。
解方程0.5(x+1.3)=1.25。
[名师点拨] 可以把(x+1.3)看成一个整体,先求出x+1.3的值,再求x的值;也可以根据乘法分配律进行解答。
[解法1] 0.5(x+1.3)=1.25
0.5(x+1.3)÷0.5=1.25÷0.5
x+1.3=2.5
x+1.3-1.3=2.5-1.3
x=1.2
[解法2] 0.5(x+1.3)=1.25
0.5x+0.65=1.25
0.5x+0.65-0.65=1.25-0.65
0.5x=0.6
x=1.2
【知识拓展】 解形如a(x+b)=c的方程,可以把括号里的式子看作一个整体求解;也可以根据乘法分配律来进行解答。
数学名著—《四元玉鉴》
《四元玉鉴》是中国数学著作中最重要的一部,同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。《四元玉鉴》共分为三卷,二十四门,二百八十八问,介绍了朱世杰对多元高次方程组的解法,朱世杰的“四元术”是在高次方程的解法以及“天元术”的基础上发展起来的。当未知数不止一个的时候,除设未知数天元(x)外,还设地元(y)、人元(z)以及物元(u),再列出二元、三元甚至四元的高次方程组,然后求解。
常用的解方程的方法
1.估算法:刚学解方程的入门方法。直接估出方程的解,然后代入原方程求解。
2.应用等式的性质解方程。
3.合并同类项:把含有未知数的式子放在一起,然后看成整体解方程。(实质是乘法分配律的逆运用)
4.移项:将含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边。(实质是等式的性质)
5.去括号:运用乘法分配律,将方程中的括号去掉,再按照上面的方法解方程。
6.公式法:有一些方程,已经研究出解的一般形式,成为固定的公式,可以直接利用这个公式求解。
第课时 实际问题与方程(1)
1.使学生初步理解和掌握列方程解决一些简单的实际问题的步骤,掌握x+a=b这一类型的简易方程的解法,提高解简易方程的能力。
2.让学生借助直观图自主探究,分析数量之间的等量关系,并正确地列出方程解决实际问题,培养学生的主体意识、创新意识以及分析、观察和表达能力。
3.在学习活动中,激发学生的学习兴趣,培养学生的发散思维能力,体验数学知识的应用价值。
【重点】
正确设未知数,找出题目中的等量关系,会列方程,并会解方程。
【难点】
根据题意分析数量间的相等关系。
【教师准备】 PPT课件。
方法一
谈话导入。
师:同学们,你们喜欢参加运动会吗?
预设 生:喜欢。
师:运动会上有许多比赛项目,你能说说自己知道的运动项目吗?
预设 生1:有跑步。
生2:有跳高、跳远。
……
师:小明也参加了学校的运动会,听说他跳远的成绩打破了学校的纪录,我们一起去看看吧!
[设计意图] 从学生熟悉、喜欢的活动切入,用“我们一起去看看吧!”引出新知的学习,使学生感到亲切,在轻松的氛围中进行学习。
方法二
师:在学校召开的运动会上,我班的××同学获得了跳高比赛的第一名,让我们用掌声对他表示祝贺。
学生鼓掌。
师:小明在跳远比赛中的最好
第5单元 简易方程
本单元的主要教学内容包括:用字母表示数(用字母表示常用数量关系,用字母表示运算定律,用字母表示计算公式,求代数式的值)、解简易方程(方程的意义,等式的性质,解方程,实际问题与方程)。通过教学,促进学生思维从具体到抽象、从个别到一般的一次飞跃。
这些内容是在学生学了一定的算术知识(如整数、小数的四则运算及其应用),已初步接触了一点代数知识(如用字母表示运算定律,用□、○或△表示数)的基础上进行学习的。用字母表示数是数学表达和进行数学思考的重要形式,方程是一类事物普遍适用的数学模型,在初等代数中占有重要地位。中小学生在学习代数的整个过程中,几乎都要接触这方面的知识。一般地说,在小学教学简易方程有以下几方面的作用:
一是有助于培养学生的抽象概括能力,发展学生的数学语言与符号意识;二是有助于落实“四基”“四能”的培养目标;三是有助于巩固和加深理解所学的算术知识;四是有利于加强中小学数学的衔接。
本单元的内容分为两节:第一节的主要内容是用字母表示数和数量关系、表示运算定律和计算公式;第二节的主要内容是方程的意义、等式的性质和解简易方程,以及列方程解决一些比较简单的实际问题。
两节内容的内在联系是:用“字母表示数”是学习方程的基础,“方程的意义”与“等式的性质”是学习“解方程”的基础,“实际问题与方程”是“解方程”的应用。
与原教材相比,本单元教材的主要改进有几下几点:
1.用字母表示数的教材编排更加贴近学生的认知特点。
2.以等式的基本性质为基础,而不是依据逆运算关系解方程。
3.调整简易方程的内容,突显利用等式基本性质解方程的优势。
4.解方程与解决实际问题的教学有机整合。
1.使学生初步认识用字母表示数的作用,发展符号意识,能够用字母表示学过的运算定律和计算公式,能够在具体的情境中用字母表示常见的数量关系。
2.初步学会根据字母所取的值,求含有字母的式子的值。
3.使学生初步了解方程的作用,理解等式的基本性质,能用等式的基本性质解简易方程,初步体会化归思想。
1.使学生感受数学与现实生活的联系,初步学会列方程解决一些简单的实际问题,获得数学建模的初步体验。
2.培养学生根据具体情况,灵活选择算法的意识和能力。
1.经历由具体到抽象的认知过程,培养抽象思维能力和归纳概括能力。
2.在分析和解决实际问题的过程中,培养逻辑思维能力。
1.运用所学知识解决简单的实际问题,感受数学与现实生活的密切联系。
2.在解决问题的过程中,获得成功的体验。
【重点】
1.学会根据字母所取的值,求含有字母的式子的值。
2.理解方程、等式和不等式的意义。
3.培养分析问题及应用所学知识解决实际问题的能力。
【难点】
1.理解方程的意义及等式的性质。
2.会用列方程的方法解决简单的实际问题。
1.关注由具体到一般的抽象概括过程
教学时要充分利用学生原有的相关认知基础,关注由具体实例到一般意义的抽象概括过程。无论是学习用字母表示数量关系,还是学习方程的概念或等式的性质,既要发挥具体实例对于抽象概括的支撑作用,又要及时引导学生超脱实例的具体性,实现必要的抽象概括。
2.用好教材资源,适当扩展联系实际的范围
在本单元中,用字母表示数量关系和列方程解决实际问题,都是便于理论(数学知识)联系实际(现实生活)的学习内容,教材从小学高年级学生的共性着眼,精心筛选、设计了很多生动的富有意义的现实题材。
3.有意识地渗透数学思想的方法
本单元的内容蕴含较为丰富的数学思想,如抽象思想、推理思想、化归(转化)思想等。抽象思想是数学中最基本的思想方法之一,也是数学最主要的特点之一。在本单元的教学中,从一开始就应有意识地利用教学内容的特点,渗透数学抽象思想,启发学生在抽象概括数量关系的过程中理解结论的一般性,体会字母、符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
4.重视概念与原理的教学
建立方程的概念是学习解方程的基础。充分利用天平的直观性帮助学生理解等式的基本性质。只有让学生理解了这些基本概念,才能有效地避免学生在解方程时的机械模仿和死记硬背。
5.重视解决实际问题能力的培养
用方程解决实际问题的思考过程比较直接、简明,能使某些实际问题的解决化难为易。所以有利于减少学生的学习困难,克服解决实际问题的畏难情绪,提高解决实际问题的能力。
6.重视良好学习习惯的培养
通过本单元的学习,特别需要也比较适合培养学生规范书写和自觉检验的习惯。
1 用字母表示数
用字母表示数的教学内容包括:用字母表示数量关系(a+30);用字母表示数量关系6x;用字母表示运算定律和计算公式;用字母表示数量关系(1200-3x);用字母表示数量关系(3x+4x)这5个例题。
例1是加减数量关系的例子,教学重点是用含有字母的式子表示数量关系和一个量,这是列方程的基础。例2是乘除数量关系的例子,教学重点是用含有字母的式子表示数量关系和一个量,同时介绍字母与数相乘的习惯写法。例3教学用字母表示运算定律和计算公式,学习的重点是体会数学符号语言的优越性。例4的数量关系含两级运算,重点是用含有字母的式子表示数量关系和一个量。例5是两积之和的数量关系,含两级运算,且有三步,教学重点是用含有字母的式子表示数量关系和化简。
1.使学生初步认识用字母表示数的作用,发展符号意识。
2.学会用字母表示学过的运算定律和计算公式。
3.能够在具体的情境中用字母表示数量关系。
4.初步学会根据字母所取的值,求出含有字母的式子的值。
【重点】
会用字母表示学过的运算定律、计算公式及常见的数量关系。
【难点】
会根据字母所取的值,求出含有字母的式子的值。
第课时 用字母表示简单的数量关系
1.初步认识用字母表示数的作用,在具体情境中理解字母表示数的意义,能够根据具体情境用含字母的式子表示数量关系和一个量。
2.初步理解字母的取值范围是由实际情况决定的。
3.初步学会根据字母的取值,求含有字母的式子的值。
4.经历把实际问题用含有字母的式子进行表达的抽象过程,培养数学抽象概括能力。
5.体会用含字母的式子表示数量关系具有简洁性与一般性,发展符号意识。
【重点】
用含有字母的式子表示数量关系。
【难点】
用含有字母的式子表示一个量。
【教师准备】 PPT课件,口算题卡若干张。
方法一
老师出示PPT课件。
学生看PPT课件,回答老师提问。
师:想一想,按照图中的规律画●,第5个方框里应该画多少个?
预设 生1:用5×3,画15个。
师:第6个方框里应该画多少个?
生2:用6×3,画18个。
师:如果想知道第x个方框里应该画多少个,你还能求出来吗?
生3:应该用x×3。
老师小结:当我们不知道具体是第几个时,可以用字母表示,字母可以把数和数量关系简明地表示出来。今天我们就来研究用字母表示简单的数量关系。(板书课题:用字母表示简单的数量关系)
[设计意图] 用学生熟悉的情境引出问题,用字母表示数解决问题,使学生感受到用字母表示数的优越性,从而激发学生的学习兴趣。
方法二
多媒体播放儿歌《数青蛙》,学生一起唱。当播放到5只时,多媒体停止,老师让学生继续说下去。根据学生说的内容,老师用PPT课件出示表格。
青蛙(只) 6 7 8 …
嘴(张) 6 7 8 …
眼睛(只) 12 14 16 …
腿(条) 24 28 32 …
师:10只、15只、100只…(老师说,学生根据老师引导回答)
师:这样说下去,说得完吗?
预设 生:说不完。
师:谁能把这个问题的答案全部说出来?也就是用一句话或一个算式把这首儿歌要表达的数量关系概括出来。
学生思考,在小组里讨论。
师(提示):如果用n表示青蛙的只数,…
预设 生1:可以用n表示嘴有几张。
生2:用2n表示眼睛的只数。
生3:用4n表示腿的条数。
老师根据学生回答,用PPT课件显示表格:
青蛙(只) 6 7 8 … n
嘴(张) 6 7 8 … n
眼睛(只) 12 14 16 … 2n
腿(条) 24 28 32 … 4n
老师揭示课题:用字母来表示就简单多了,字母可以表示一个数,也可以表示一个式子,今天咱们就来研究用字母表示简单的数量关系。(板书课题:用字母表示简单的数量关系)
[设计意图] 创设学生感兴趣的情境,激发学生学习新知识的兴趣。
一、用含有字母的式子表示数量关系。
1.用PPT课件出示例1的情境图。
师:从图中你知道了哪些信息?
学生看课件后回答。
预设 生1:小红1岁的时候,爸爸31岁。
生2:爸爸比小红大30岁。
2.师生共同讨论:
师:当小红2岁时,爸爸的年龄是多少岁?
生3:30+2=32(岁)
师:当小红3岁时,爸爸的年龄是多少岁?
生4:30+3=33(岁)
……
老师根据学生回答,出示例1的表格。
小红的年龄/岁 爸爸的年龄/岁
1 1+30=31
2 2+30=32
3 3+30=33
…… ……
3.引导学生用字母表示数。
师:这些式子只能表示某一年爸爸的年龄,你能用一个式子表示出爸爸任何一年的年龄吗?
学生根据老师的提问,小组进行讨论,然后全班交流汇报。
预设 生1:小红的年龄+30=爸爸的年龄。
生2:用a表示小红的年龄,爸爸的年龄=a+30。
老师根据学生的回答进行板书:a+30
4.理解用字母表示数的意义。
师:说一说:a表示什么?30表示什么?
a+30表示什么?
生3:a表示小红的年龄,30是小红与爸爸的年龄差,a+30表示爸爸的年龄。
师:想一想,a可以表示哪些数?可以表示200吗?
老师引导学生思考,使学生明确:a表示的是小红的年龄,所取的数应该符合实际情况。
生4:整数。
师:有不同的意见吗?
生5:小数和整数。(师提醒是年龄)
生6:有限的整数。因为人是不可能无限地活下去的,所以a只能表示有限的整数。
师:对,说得很好。因为人是不可能无限地活下去的,所以a就只能表示从1开始的有限的整数。那么a能是200吗?
生7:不能。
师:小红的年龄可以用别的字母表示吗?
生8:可以。
师:含有字母的式子,不但可以表示数,还可以表示两个数量之间的关系。
5.根据a的值,求出爸爸的年龄。
老师用PPT课件出示(或板书):
当a=11时,爸爸的年龄是多少?
学生能很快说出结果,但对书写方法不明确。老师在学生回答后,进行规范的板书:
a+30=11+30=41
二、用字母表示数的意义。
1.用PPT课件出示例2的情境图。
老师谈话,同时出示PPT课件:人到了月球上都会变成大力士。
在月球上,人能举起物体的质量是地球上的6倍。
学生观察情境图,说说自己从图中看到的信息。
预设 生1:在月球上,人能举起物体的质量是地球上的6倍。
生2:图中的小朋友在地球上能举起15千克重的物体。
2.师生共同讨论:
师:在地球上能举起1千克的物体,那么在月球上能举起多少千克?
生3:能举起的物体质量为1×6=6(千克)。
师:在地球上能举起2千克的物体,那么在月球上能举起多少千克?
生4:能举起的物体质量为2×6=12(千克)。
师:在地球上能举起3千克的物体,那么在月球上能举起多少千克?
生5:能举起的物体质量为3×6=18(千克)。
老师根据学生的回答出示PPT课件,显示例2的表格。
在地球上能举起 物体的质量/kg 在月球上能举起 物体的质量/kg
1 1×6=6
2 2×6=12
3 3×6=18
…… ……
师:在地球上能举起x千克的物体,你能用含有字母的式子表示在月球上举起的物体重多少千克吗?
学生独立思考,写出含有字母的式子。
预设:学生可能会写出下面两种式子:
x×6 6×x
3.省略乘号的写法。
当字母和数字相乘时,一般把数字写在字母的前面,并且把中间的乘号省略。
4.探索字母的取值范围。
想一想:式子中的字母可以表示哪些数?
引导学生小结:人能举起的质量是有限的,因此字母表示的数也是有一定范围的,不能过大。但可以是小数。
5.根据x的值,求图中的小朋友在月球上能举起的物体质量是多少。
学生独立思考,小组交流,指名回答。
6x=6×15=90(千克)
1.教材第53页“做一做”。
(1)学生读题后,先独立完成,然后在小组内交流,老师巡视。
(2)用PPT课件出示表格,学生回答,根据学生的回答显示结果,学生对照检查、改错。
长度/cm 2 4 5.6 8 15 x
面积/cm2 6 12 16.8 24 45 3x
2.教材第55页练习十二第1题。
引导学生理解:用字母表示数要在表示之前进行说明,并且字母要与表示的数一一对应,一个字母代表一个确定的数量。
学生独立解答,老师板书规范学生的解答(PPT课件展示):
用x表示成年男子的身高。
标准体重=x-105
3.教材第55页练习十二第2题第一行。
学生独立解答,小组交流,集体订正。
【参考答案】 1.6 12 16.8 24 45 3x 2.设成年男子的身高为x厘米,标准体重=x-105
3.n+3 x-5
这节课你学会了什么知识?有哪些收获?
引导总结并回答:
预设 生1:字母可以表示数,也可以表示数量关系;
生2:在特殊情况下,字母的取值是有一定范围的。
生3:在省略乘号时,一般要把数字写在字母的前面。
……
作业1
教材第55页练习十二第2题的第二行,第3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空。
(1)2012年河南省参加高考的人数为80.5万人,比2011年河南省参加高考的人数少a万人,2011年河南省参加高考的人数为( )万人。
(2)与非零自然数b相邻的两个自然数分别是( )和( )。
(3)天天身高a米,爸爸比他高x米,爸爸身高( )米。
【提升培优】
2.(重点题)对号入座。
【思维创新】
3.(创新题)下图中横行(从左到右)与竖列(从上到下)的计算结果是相同的。
【参考答案】
作业1:2.3a m÷10 3.(1)(x+6) (2)0.18a (3)(b-2) (4)c÷80
作业2:1.(1)80.5+a (2)b-1 b+1 (3)a+x 2.A—1.62 B—a2 C—9x D—5y 3.10
用字母表示简单的数量关系 例1 a+30 用字母表示数 当a=11时 表示数 a+30=11+30=41 例2 6x 表示两个数量之间的关系 当x=15时 乘法简写: 6x=6×15=90 省略乘号,数字在字母前面
本课以学生熟悉的内容为话题,探讨小红与爸爸之间的年龄关系,引发学生自主思考,激起他们对新知的学习热情,拉近了与新知的距离。学生在经过一次又一次地计算后,会想到用更简便的方式来表示爸爸的年龄。在这一过程中,学生经历了由数到式的认知过程,感受到数学的简约美,进而认识到用字母表示数的优越性。
对于省略乘号的简便写法这一个环节的设计过于保守。
再教时可以通过让学生看书自学的方法进行。例如:
1.自学教材例1.
(1)学生看书自学第52页例1,思考教材提出的问题,并填空。
(2)汇报交流。
(3)小结。
①当a是一个具体的岁数时,a+30表示什么?
预设 生:(回答略)
师:a+30随着a的变化而变化,它们之间一 一对应。
②例1告诉我们,字母可以表示确定的数,还可以表示任意的数或一定范围的数。
例2的教学方法可以仿照例1的方法进行。
【做一做·53页】
6 12 16.8 24 45 3x
在下图中,空白部分是正方形,你会用字母分别表示出空白部分和阴影部分的面积吗?
[名师点拨] 空白部分是正方形,可以根据正方形的面积计算公式S=a2计算,阴影部分可以看作两个小长方形,把它们的面积相加即可;也可以用大长方形的面积减去正方形的面积。
[解答] 空白部分的面积:S=a2,阴影部分的面积:S=ab-a2。
【知识拓展】 为了书写方便,人们常用字母表示计量单位。
长度单位 面积单位 质量单位
千米 km 平方千米 km2 吨 t
米 m 平方米 m2 千克 kg
分米 dm 平方分米 dm2 克 g
厘米 cm 平方厘米 cm2
毫米 mm 平方毫米 mm2
求下列竖式中各汉字代表的数字。
正确答案:学=3 习=7 再=0
用字母表示数的来历
在数学中,人们经常用字母来表示数,那么,世界上最早用字母表示数的人是谁呢?他是怎样想到要用字母表示数的呢?答案就在下面的故事里。
很久很久以前,在古代埃及,有一位教师教了两个学生。一个学生(我们不妨把他称作甲)非常聪明,也肯动脑筋,对老师讲的知识不仅能理解,而且能举一反三,触类旁通。另一个学生(我们把他称作乙)十分老实、听话,但学的知识只会死记硬背,对老师讲的问题总是有些不明白。
一天,老师有事需要外出,而乙对老师刚刚讲的加、减法之间的关系还没有弄明白,老师便安排甲帮助乙学习。在学习36+几=80时,乙怎么也弄不明白,甲很着急,不知道怎样讲才能让乙明白。这时甲一抬头,看见院子里有一些石子,便抓过一把石子,边对乙讲解边搬动石子:
36+一堆石子=80
那么,一堆石子=80-36
这样,甲在地上把石子搬过来搬过去的,终于让乙弄明白了加、减法之间的关系。甲心里很高兴。
甲把这个方法写下来,告诉老师他用埃及文字中的“堆”来表示不知道的那个数。后来大家都觉得用“堆”来表示不知道的数比原来把不知道的数的位置空着清楚些,于是用“堆”表示未知数的方法就传开了。
后来这个方法传到了古代希腊,古希腊的数学家们也认为这个方法好,但又觉得“堆”字的意思表达得不够准确。于是他们就改用希腊文来表示,用“东西”来代表未知数,但是希腊文中“东西”这个词很长书写起来很不方便,大科学家阿基米德就取了“东西”这个词的第一个字母“R”来代替。这样,就方便多了。
又过了几百年,数学越来越发展,关于数学的研究也越来越深入,大数学家笛卡儿建议用x,y,z来表示未知数,而在x,y,z这三个字母中,x排在第一位,所以用字母表示一个未知数时,大家便常常用x。这个习惯一直保持到现在。
好了,故事讲完了,你的答案也找到了吧!
第课时 用字母表示运算定律和计算公式
1.进一步理解用字母表示数的意义和作用。
2.能正确地运用字母表示运算定律和长方形、正方形的周长、面积计算公式,并能应用公式求周长和面积。
3.学会在含有字母的式子里乘号的简写和略写。
4.培养良好的自主、合作学习的习惯。
5.经历用字母表示数的理解过程,体验迁移推理的学习方法,渗透求未知数的思想。
【重点】
能正确地运用字母表示运算定律和长方形、正方形的周长、面积计算公式,并能应用公式求周长和面积。
【难点】
根据字母所取的值,正确地求出含有字母的式子的值。
【教师准备】 PPT课件。
方法一
师:上节课我们学习了用字母表示数和常见的数量关系,请大家填一填。
(老师用PPT课件出示下面的题目)
用含有字母的式子表示下面的数量关系。
1.东方林场去年植树x棵,今年比去年多植树68棵,今年植树( )棵。
2.一个悠悠球a元,买5个悠悠球一共要支付( )元。
3.妈妈今年38岁,乐乐今年b岁,妈妈比乐乐大( )岁。
4.兰兰买3个练习本用去x元,每个练习本( )元。
学生读题,独立思考后解答,老师指名回答。
根据学生回答,老师用PPT课件出示答案,全班评讲。
师:同学们学得不错!用字母不仅可以表示数量关系,还可以表示运算定律和计算公式。这就是今天我们要学习的内容。(板书课题:用字母表示运算定律和计算公式)
[设计意图] 复习用字母表示数,在学生为正确的解答高兴的时候,老师提出了新的要求,激起学生的学习欲望。
方法二
师:请同学们回忆一下,我们已经学习了哪些运算定律?
学生思考后举手回答。
预设 生1:学习了加法交换律,加法结合律。
生2:学习了乘法交换律,乘法结合律和乘法分配律。
老师根据学生回答进行板书:
加法交换律:
加法结合律:
乘法交换律:
乘法结合律:
乘法分配律:
师:上节课我们学习了用字母表示数和数量关系。其实,字母不仅可以表示数量关系,还可以表示运算定律和计算公式。你们想学习吗?
预设 生:想。
师:我们一起来学习用字母表示运算定律和计算公式。(板书课题:用字母表示运算定律和计算公式)
[设计意图] 回顾学过的运算定律,为学习用字母表示运算定律做好知识的铺垫。通过老师的谈话:“字母不仅可以表示数量关系,还可以表示运算定律和计算公式。你们想学习吗?”激起学生的学习兴趣,使新知识的学习有了一个良好的开头。
方法三
老师用PPT课件依次出示下面各题。
1.图图同学来自A市的实验小学。
2.我们学校的绿色书屋一共有图书N本。
3.我校四年级有学生298人,比五年级少x人,五年级有学生(298+x)人。
学生读题,说一说每题中字母可以表示的各是什么?
学生思考后举手回答。
预设 生1:第1题中的字母表示城市的名称,第2题中的字母表示图书的本数。
生2:第3题中的字母表示四年级学生比五年级学生少的人数。
师:在生活中,我们经常用字母表示数、表示数量关系,你还见过哪些用字母表示数的例子?
预设 生1:小区里表示楼房用A栋、B栋、C栋。
生2:数学题里有小白兔的萝卜个数比小灰兔的多a个。
……
师:字母还可以表示运算定律,图形的周长、面积计算公式。这就是我们今天要研究的内容。(板书课题:用字母表示运算定律和计算公式)
[设计意图] 从课堂到课外,让学生感受到身边的数学,感受用字母表示数的广泛应用。老师指出字母还可以表示运算定律和计算公式,自然地引入新知识的学习。
一、用字母表示运算定律。
1.用字母表示运算定律。
师:(指着板书的运算定律也可以用PPT课件出示)你能用字母把这些运算定律表示出来吗?
我们已经学过一些运算定律,你会用字母表示吗?
运算定律 用字母表示
加法交换律 a+b=b+a
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
学生思考后,独立解答,小组交流,老师巡视。再指名回答。
预设 生1:加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
生2:乘法交换律:a×b=b×a。
生3:乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)。
生4:乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c。
(老师根据学生的回答板书或用PPT课件显示)
师:我们用字母表示了学过的运算定律,比较一下,你有什么体会?
预设 生:用字母表示运算定律,简明易记。
[设计意图] 让学生在独立思考、小组交流、集体评讲的过程中,经历学习用字母表示运算定律的过程,更好地理解用字母表示运算定律的优越性。
2.数学乘号的简写和略写。
师:在上节课的学习中,我们就知道了当字母和数字相乘时,可以把乘号省略,这样写起来更简便。那么式子中都是字母的怎样写简便呢?请同学们看PPT课件:(老师用PPT课件出示)
a×b=b×a
可以写成a·b=b·a或ab=ba
用字母表示运算定律,简明易记、便于应用。
老师引导学生看PPT课件:在含有字母的式子里,字母中间哪一个符号可以省略不写?可以怎样表示?
师:你能把上面的运算定律写成简写或略写的形式吗?
学生在练习本上分别用简写或略写的形式写出运算定律。
老师指名回答,集体订正。老师板书如下:
乘法交换律:a·b=b·a ab=ba
乘法结合律:(a·b)·c=a·(b·c)
(ab)c=a(bc)
乘法分配律:(a+b)·c=a·c+b·c
(a+b)c=ac+bc
师:其他的运算符号能省略吗?数字与数字之间的乘号能省略吗?为什么?
学生举例试一试,小组议一议,然后全班交流。
预设 生1:其他的运算符号不能省略,如果省略了就不知道到底是什么符号了。
生2:数字与数字之间的乘号不能省略。如果省略了就会把算式看成数。如:2×3中间的乘号省略了就会看成23了。
老师小结:只有字母和字母之间或数字与字母之间的乘号才可以简写或略写。
[设计意图] 通过自学,掌握乘号的简写、略写的方法,培养学生的自学能力。同时通过讨论使学生明确省略的是什么符号,在什么情况下可以简写、略写,比听老师讲解的效果要好得多。
二、用字母表示计算公式及把已知数据代入计算公式求值。
1.PPT课件出示例3第(2)题。
师:我们已经学习了正方形的周长和面积,能够用字母表示吗?
学生看题,明确正方形的边长是a,正方形的面积用S表示,周长用C表示。然后小组讨论怎样表示。
2.用字母表示计算公式。
学生独立用字母写出公式,再指名板演。
学生可能写出下面几种:
S=a·a C=a·4
S=a2 C=4a
老师根据学生板演进行评讲,重点指导下面的读法和表示的意义。
a2读作:a的平方。表示2个a相乘。如52=5×5=25;4a读作:4乘a。表示4个a相加。如2×5=10。
3.求含有字母的式子的值。
老师出示教材第54页下面的图。
学生读题,独立解答,然后集体订正。
S=a2=6×6=36(cm2)
C=4a=4×6=24(cm)
老师小结:根据a的值,先用字母写出公式,再把a的值代人公式中,进行计算;当把数字代人公式时,省略的乘号一定要写上。
1.教材第56页练习十二第4题。
学生独立完成,同桌互相检查,全班集体订正。
2.教材第56页练习十二第7题。
学生独立完成,同时请4名学生板演,全班评讲,学生自己更正错题。
3.教材第57页练习十二第10题。
学生独立思考并进行解答,师生共同订正并归纳小结。
【参考答案】 1.(1)48+m (2)58 (3)12 2.(a+2)+c a·(b·4) (3+5)·x 4×x+4×3 3.(1)ab (a+b)×2 (2)8×5=40(cm2) (8+5)×2=26(cm)
这节课你学到了什么?有什么体会?
预设 生1:学会了用字母表示运算定律。
生2:学会了用字母表示计算公式。
生3:知道了字母与字母之间,数字与字母之间的乘号可以简写或略写。
生4:如果知道了字母的值,可以求出含有字母的式子的值。
……
作业1
教材第56页练习十二第5,6,8题。
作业2
【基础巩固】
1.(易错题)如图所示,每个等边三角形的边长都是a。
(1)每个等边三角形的周长是 。
(2)这个由6个等边三角形组成的图形的周长是 。
【提升培优】
2.(重点题)判断。
(1)因为22=2×2,所以a2=a×2。( )
(2)m×3可以写成m3。 ( )
(3)3a+5a=(3+5)a。 ( )
(4)x+x+x=3+x。 ( )
(5)无论x取什么值,x2=2x。 ( )
3.(探究题)用字母a表示单价,x表示数量,C表示总价,利用公式计算。
妈妈花10元钱买了4瓶“鲜橙多”,每瓶“鲜橙多”多少元?
【思维创新】
4.(探究题)有5个连续单数,中间一个数为a,求出这5个数的和。
【参考答案】
作业1:5.ax x2 8b b
6. 8.3+b=b+3 x×2.6=2.6×x 25×a+b×25=(a+b)×25
作业2:1.(1)3a (2)6a 2.(1)? (2)? (3)√ (4)? (5)? 3.a=C÷x=10÷4=2.5(元) 4.(a-4)+(a-2)+a+(a+2)+(a+4)=5a
用字母表示运算定律和计算公式 (1)加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:a×b=b×a 乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c 乘法交换律:a·b=b·a ab=ba 乘法结合律:(a·b)·c=a(b·c) (ab)c=a(bc) 乘法分配律:(a+b)·c=a·c+b·c (a+b)c=ac+bc (2)S=a·a,S=a2 C=a·4,C=4a
老师在课堂上相信学生,放手让学生自主地参与学习活动,探索新知,这是我设计这节课之前的想法,通过教学实践,我感受到学生的能力是不可低估的。首先学生在自学的环节的表现非常棒,达到了我预期的效果,在接下来的讨论中,学生表示的比我的想象还要好,他们不仅能正确回答“其他的运算符号能省略吗?数字与数字之间的乘号能省略吗?”而且在回答“为什么?”时还能够用举例的方法加以说明。
在自学和讨论中,有一些学生的参与度不高,只是在一旁观望。有少数学生对运算定律、计算公式都记得不是很熟,用字母表示起来就难免出现错误。
再教时,可以采用自学的方法进行这个例题的学习,而不是仅仅在某一个环节用自学的方法。
【练习十二·55页】
1.设成年男子的身高为x厘米 标准体重=x-105
3.(1)(x+6) (2)0.18a (3)(b-2) (4)c÷80 4.(1)48+m (2)58 (3)12 5.ax x2 8b b 6. 7.(a+2)+c a·(b·4) (3+
5)·x 4×x+4×3 8.3 b 2.6 x 25 a b 9.2v tv (1)vt (2)260×30=7800(m) 10.(1)ab (a+b)×2 (2)8×5=40(cm2) (8+5)×2=26(cm) 11.ax c÷x c÷a 6÷1.50=4(袋) 12.5x 150÷m at 50×60=3000(个) 13.(1)左边长方形的面积 (2)右边长方形的面积 (3)(a+b)×c
用字母表示下列图形中阴影部分的面积。
[名师点拨] 阴影部分可以看作一个小正方形和一个小长方形,把它们的面积相加即可。
[解答] S=a·b+b·b=(a+b)b
代数式与代数式的值
由数或表示数的字母经过有限次加、减、乘、除等代数运算所得的式子,或含有字母的数学表达式,叫代数式。如:7+2,6x,n+m等。单独一个数或一个字母,也看作是代数式。
用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果,叫做代数式的值。
由于代数式的值不是一个固定的数,所以说到代数式的值时,必须指明当字母是什么数时的值。如当x=1.2时,代数式4x+7的值是11.8。
有趣的未知数
小兰给小乐出了两道算式谜(如下)。每道算式谜中不同的字母(或汉字)代表不同的数字,你能帮助小乐算出字母或汉字所代表的数字吗?
(1)
4 A 5
+ B A
5 4 2
A=( ) B=( )
(2)
学 习 好
+ 好 习 学
4 4 4
学=( )习=( )好=( )
正确答案:(1)A=(7) B=(6)
(2)学=(1) 习=(2) 好=(3)
第课时 用字母表示稍复杂的数量关系
1.结合生活实际,经历运用含有字母的式子表示生活中复杂的数量关系的过程。
2.会用含有字母的式子表示复杂的数量关系,掌握用代入法求含有字母的数量关系式的值的方法。
3.使学生在具体情境中感受用字母表示数的必要性,向学生渗透符号化思想。
4.在分析和解决实际问题的过程中,培养逻辑思维能力。
5.在学习生活中,感受生活中处处都有数学,体验数学知识的应用价值,培养学生解决实际问题的能力,增强学习的信心。
【重点】
会用含有字母的式子表示复杂的数量关系及求含有字母的数量关系式的值的方法。
【难点】
理解含有字母的式子的意义。
【教师准备】 PPT课件。
填一填。(PPT出示)
(1)书架上有a本故事书,比文艺书多8本,a-8表示( ),2a-8表示( )。
(2)妈妈今年35岁,乐乐今年n岁,5年后,乐乐比妈妈小( )岁。
(3)长方形的长是a厘米,宽是b厘米,长方形的周长=( )厘米,面积=( )平方厘米。
(4)《最美女教师张丽莉》这部电影的票价每张35元,m个小朋友一起去看这部电影,买票一共需要( )元。
(学生读题,独立完成,教师指名回答,集体订正)
【参考答案】 (1)文艺书的本数 故事书和文艺书一共的本数 (2)35-n (3)2a+2b ab (4)35m
方法一
1.老师出示教材第58页例4的情境图(用PPT出示)。
2.学生阅读例4,说出从中获得的信息,明确题中的数量关系。
预设 生1:知道的信息是:一共有1200 g果汁,倒了3小杯,每小杯的质量是x g。
生2:要求还剩多少克果汁。
生3:题中的数量关系是:大杯果汁的质量-3小杯果汁的总质量=还剩的果汁质量。
3.用含有字母的式子表示还剩的果汁质量。
师:怎样解决这个问题呢?
预设 生1:题中每小杯的质量是用字母表示的,所以解决这个问题要用含有字母的式子表示。
师:怎样用含有字母的式子表示?
生2:先用3x表示一共倒了多少克果汁。
生3:再用1200-3x表示剩下的果汁的质量。
4.老师根据学生的回答出示例4下面的情境图,根据x的值,求出还剩下果汁多少克。
师:根据1200-3x这个式子,当x等于200时,果汁还剩多少克?
(学生思考,独立解答,小组交流,指名回答)
生4:把x=200代入1200-3x中,可得到1200-3×200=600(g)。
(老师根据学生回答进行板书)
1200-3x=1200-3×200=600(g)
5.探究字母x的取值范围。
师:在1200-3x这个式子里,x最大可以是多少?
(学生在小组里进行讨论,然后派代表汇报)
预设 生1:已知总质量是1200克,倒完3小杯后还有剩余,说明1200-3x不能小于0,因为1200÷3=400,所以x不能大于400。
生2:式子里的字母x应该表示大于0而不能大于400的数。
[设计意图] 让学生根据题中的信息理解题意,明确题中数量关系,并根据x的值,求出含有字母的式子的值,进而掌握本节课的学习内容。
方法二
1.引导学生预习新知。
让学生自学教材第58页,学完后完成下面的“自主练习题”,并记录自己的疑问。
自主练习题:
(1)超市原来有150 kg香梨,又运来了12箱香梨,每箱重a kg。
①用式子表示出这个超市里香梨的总质量。
②根据这个式子,求a等于25时,超市一共有多少千克香梨?
(2)甲、乙两地相距420 km,一辆汽车以每小时70 km的速度从甲地开往乙地。
①t小时后汽车离乙地多远?
②当t=2.5时,汽车离乙地多远?
2.自学检测。
(1)组织学生相互检查,并进行交流。
(2)老师巡视,了解学生学习情况。
3.学生质疑。
根据学生提出的问题,老师组织学生讨论,及时点拨,对于学生比较集中的问题进行课堂释疑。
[设计意图] 让学生通过自学,掌握新知、培养学生的自主学习的能力,针对学生的自学情况进行教学,有效提高课堂教学的质量。
化简形如“ax±bx”的式子。
1.用PPT出示教材第59页例5。
(学生看课件,理解题意)
2.探究摆三角形所用小棒的根数。
师:摆1个三角形需要几根小棒?摆2个、3个、4个呢?
(学生动手摆,摆完后回答)
预设 生1:摆1个三角形需要3根小棒,摆2个三角形需要6根小棒,摆3个三角形需要9根小棒,摆4个三角形需要12根小棒。
师:你能找出摆三角形的个数与需要小棒根数之间的规律吗?
(学生思考,小组交流,教师指名回答)
生2:因为摆1个三角形需要3根小棒,所以摆几个三角形就需要几个3根小棒。
生3:用要摆三角形的个数乘3就是需要小棒的根数。
生4:用n表示需要摆三角形的个数,则需要小棒的根数就是3n。
师:如果要摆x个三角形,那么需要多少根小棒?
生5:3x根。
师:这里的x表示什么?x可以是哪些数?
生6:x表示摆三角形的个数。
生7:x可以取任意的大于0的自然数。
师:当x等于5时,则摆了几个三角形?需要几根小棒?当x等于20呢?
生8:x等于5就表示要摆5个三角形,需要的小棒根数是3×5=15根。
生9:x等于20就表示要摆20个三角形,需要的小棒根数是3×20=60根。
3.探究摆正方形所用小棒的根数。
学生自主探究:摆1个正方形需要几根小棒?摆2个、3个、x个呢?
预设 生1:摆1个正方形需要4根小棒,摆2个正方形需要8根小棒,摆3个正方形需要12根小棒,摆x个正方形需要4x根小棒。
师:你能找出摆正方形的个数与需要小棒根数之间的规律吗?
(学生思考,小组交流,教师指名回答)
生2:因为摆1个正方形需要4根小棒,所以摆几个正方形就需要几个4根小棒。
生3:需要小棒的根数是要摆的正方形个数的4倍。
生4:摆x个正方形需要4x根小棒。
师:这里的x表示什么?x可以是哪些数?
生5:x表示摆正方形的个数。
生6:x可以取任意的大于0的自然数。
[设计意图] 用对比的方法让学生理解相同字母在不同的题中可能表示不同的数量,因此表示的意义也就不同。
4.探究摆三角形和正方形一共用多少根小棒。
师:知道摆1个三角形所需的小棒是3根,摆1个正方形所需的小棒是4根,那么摆1个三角形和1个正方形一共需要多少根小棒?
预设 生:7根。
师:那么各摆2个、3个、x个呢?
(学生独立列式计算,老师展示学生作业)
各摆2个:①2×3+2×4=14(根);
②2×(3+4)=14(根)。
各摆3个:①3×3+3×4=21(根);
②3×(3+4)=21(根)。
各摆x个:①x×3+x×4;
②x×(3+4);
③(3+4)x;
④7x。
[设计意图] 通过对含有字母的4个式子的比较,让学生明确含有字母的式子也是可以化简的。
老师小结:同一个字母表示相同的意义、相同的数量时,可以运用乘法分配律进行运算,使含有字母的式子化简。
5.求x等于8时,一共用了多少根小棒。
师:当x等于8时,一共用了多少根小棒?
(学生思考后独立解答,老师巡视,选择学生作业进行展示,全班评讲,集体订正)
(老师板书)
7x=7×8=56(根)
[设计意图] 让学生在独立思考、小组交流、集体评讲的过程中,理解用字母表示稍复杂的数量关系,增强符号意识。
1.教材第58页“做一做”第1题。
(学生读题,理解题意,独立解答,小组交流,教师指名回答)
预设 生1:(1)120+10a。
生2:(2)当a=25时,120+10×25=370(千克)。
2.教材第58页“做一做”第2题。
学生读题,理解题意,再独立解答,并通过小组交流,检验答案,老师巡视指导。
3.教材第59页“做一做”。(PPT出示)
动车的速度为220千米∕时,普通列车的速度为120千米∕时。
(1)行驶x小时,动车和普通列车一共行了多少千米?
(学生读题,理解题意,说出题中的数量关系)
预设 生1:动车行的路程+普通列车行的路程=两车一共行的路程。
生2:动车的速度×时间+普通列车的速度×时间=两车一共行的路程。
(学生根据数量关系写出含有字母的式子,学生可能写出下面几种形式)
①220×x+120×x;
②220x+120x;
③(220+120)x;
④340x。
(老师引导学生理解上面几个式子的意义,并进行比较,知道式子④最简便)
(2)行驶x小时,动车比普通列车多行了多少千米?
(方法与(1)相同)
4.教材第60页练习十三第4题。
(三生板演,其他学生独立完成,全班评讲)
【参考答案】 1.(1)120+10a (2)当a=25时,120+10a=120+10×25=370(千克) 2.(1)96-12b (2)96-12b=96-12×5=36(吨) (3)b可以取1~8 3.(1)(220+120)×x=340x (2)(220-120)×x=100x 4.(1)a+b=2.8+6.3=9.1 (2)xy=12×7=84 (3)m÷n=72÷9=8
1.通过这节课,你有什么收获?
老师引导学生根据本节课学习的内容进行小结。
2.你还有什么不明白的地方,需要老师的帮助?
学生根据自己的学习情况质疑,老师答疑。
作业1
教材第60页练习十三第1,2,7题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空。
(1)比m的4倍小16的数是( )。
(2)一千克苹果3.8元,买a千克应付( )元。
(3)有30块糖,平均分给x个小朋友,每个小朋友可以分到( )块。
2.(重点题)写出下面每个式子所表示的意义。
徒弟每天加工零件x个,师傅每天加工的零件数比徒弟的2倍还多3个。
2x+3表示( )。
2x+3+x表示( )。
2x+3-x表示( )。
3.(难点题)一块草坪呈长方形,长是a米,长是宽的2.5倍,它的面积是多少平方米?(用字母表示)
【提升培优】
4.(重点题)新学期到了,学校又买来了一部分新桌椅,已知一张桌子a元,一把椅子b元。
(1)请用式子表示买一套桌椅共花多少元。
(2)买60套桌椅共花多少元?
(3)当a=110,b=45时,求买60套桌椅所花的钱数。
【思维创新】
5.(创新题)如图摆放餐桌和椅子。
(1)1张餐桌可坐6人,2张餐桌可坐10人,4张餐桌可坐多少人?
(2)按此规律摆下去,m张餐桌可坐多少人?20张餐桌可以坐多少人?
【参考答案】
作业1:1.(1)中午的温度 (2)男生的人数 (3)小姚叔叔连续投篮的得分数 2.(1)t+3 (2)20-a (3)2x (4)b÷12 (5)5a-4.8 (6)x-9 7.8a 2x 7y 8b
作业2:1.(1)4m-16 (2)3.8a (3)30÷x 2.师傅每天加工的零件数 师傅和徒弟每天一共加工的零件数 徒弟比师傅每天少加工的零件数 3.(a÷2.5×a)平方米 4.(1)(a+b)元 (2)60(a+b)元 (3)把a,b的值代入60(a+b),得60×(110+45)=9300(元) 5.(1)4×4+2=18(人) (2)(4m+2)人 当m=20时,4m+2=4×20+2=82
用字母表示稍复杂的数量关系 例4 1200-3x,当x=20时,1200-3x=1200-3×200=600,x大于0而不大于400 例5 3x+4x=(3+4)x=7x,当x=8时,7x=7×8=56
在本节课的教学中,我注意了学习基础差的学生在课堂上的表现,通过提问、板演、交流等活动,使这些学生在课堂上学有所获。新课标提出:“练习的设计要关注不同的学生,体现一定的层次性的要求,针对学生的个性特点让不同层次的学生在一堂课中得到不同程度的收获,达到不同的目标”。本节课在练习上体现了一定的层次性和延伸性,这是比较成功的地方。
回顾这节课的教学过程,对于学生,特别是学习能力比较强的同学,教改的步子显得太小了;对于知识点,“嚼得太碎”;对于发展学生的思维能力,过于束缚。
可以按照方法二的设计。用自学的方法进行例4和例5的教学。
【做一做·58页】
1.(1)120+10a (2)120+10a=120+10×25=370(kg)
2.(1)96-12b (2)96-12b=96-12×5=36(吨) (3)b可以取1~8。
【做一做·59页】
(1)(220+120)×x=340x(千米) (2)(220-120)×x=100x(千米)
【练习十三·60页】
1.(1)中午的温度 (2)男生的人数 (3)小姚叔叔的连续得分数 2.(1)t+3 (2)20-a (3)2x (4)b÷12 (5)5a-4.8 (6)x-9 3.有20人,又来了a人,现在一共有(20+a)人。有20个苹果,吃了a个,现在还剩(20-a)个。有20人,每人都看a本书,一共看了20a本书。(不唯一) 4.(1)a+b=2.8+6.3=9.1 (2)xy=12×7=84 (3)m÷n=72÷9=8 5.(1)3+5x (2)3+5x=3+5×2=13(kg) 6.(1)135 135x (2)135x=135×30=4050 7.8a 2x 7y 8b 8.(1)a-8b (2)a-8b=94-8×7=38 9.(1)36t 36t=36×10=360(km) (2)648-36t 648-36t=648-36×12=216(km) 10.(1)(1+3n) (2)1+3n=1+3×21=64 11.x2=62=36 2x=2×6=12 22=2×2。当x=2时,x2=2x。
饲养小组养灰兔x只,养白兔的只数是灰兔的8倍。
(1)一共养兔子多少只?
(2)当x=4时,饲养小组一共养兔子多少只?
[名师点拨] 灰兔与白兔的只数合起来就是所养兔子的总只数。
[解答] (1)x+8x=9x。
答:一共养兔子9x只。
(2)当x=4时,9x=9×4=36。
答:当x=4时,饲养小组一共养兔子36只。
【知识拓展】 化简含有相同字母的式子,可以使计算更简便。
字母小笑话
$对S说:“在俺们美国,有钱没钱看领带!”
￥对Y说:“在俺们中国,有钱没钱看腰带!”
8对∞说:“小样儿,躺在地上打滚俺就怕你啦!”
n对π说:“戴个大盖帽跟我玩派,是不?”
代数学
什么是代数学呢?代数学是数学的一个重要分支,在初中阶段我们会正式接触到它。
16世纪末的法国数学家韦达第一个有意识地、系统地使用字母来表示未知数。
韦达创设了大量的代数符号,引出了大量的数学发现,解决了很多古代的复杂问题,带来了代数理论研究的重大进步,为代数学的发展开辟了道路。因此,韦达被西方誉为“代数学之父”。
法国数学家笛卡尔改进了韦达的符号记法,他用“a,b,c,…”表示已知数,用“x,y,z,…”表示未知数,创造的“=”等符号沿用至今。
2 解简易方程
方程是含有未知数的等式,学习方程的概念要从认识等式开始。用等号连接起来的式子就叫做等式。教材把它作为不加定义的概念,直接引入。教学时要做好演示准备,引导学生边观察,边思考。
等式的性质是学习解方程的基础。过去,在小学学简易方程,方程变形的依据是加减运算的关系或乘除运算的关系。现在,依据《标准(2011)》的要求,从小学起就引出等式的基本性质,并以此为基础导出解方程的方法。这样做,有利于改善和加强中小学数学教学的衔接。教材首先提出问题,引起学生的探究兴趣,然后通过情境图展示了利用天平进行试验,探究等式基本性质的过程。
在解方程的学习中,通过教材第67页例1讨论形如x+a=b,x-a=b的方程的解法,教材第68页例2讨论形如ax=b的方程的解法,教材第68页例3讨论形如a-x=b的方程的解法,这里不再依靠天平的图示,意图在于启发学生直接依据等式性质进行转化。
教材第69页例4采用图示方式得出形如ax+b=c的方程,特别强调了解这个方程的关键是先把ax看成一个整体,从而根据等式性质1求出ax的值,即转化为例2。思路是:先求ax=?,再求x=?这也是初中解一元一次方程的基本思路。教材第69页例5直接给出方程,该方程可以仿照例4的思路,先把小括号内的式子看作一个整体;也可以根据乘法分配律将原方程转化为例4中的方程的形式。教材在两种解法的关键步骤处设问,启发学生思考,想到解法。
实际问题与方程也就是列方程解决实际问题。这部分内容共有5道例题,如果用算术方法解答,都需要逆向思维,从而突出等量关系的分析及列方程解决实际问题的特点。
教材第73页例1取材于跳远比赛,例题采用图文结合的形式给出已知条件,并提出问题。这是学生第一次接触列方程解答实际问题,对将所求数量设为x,对未知数参加列式,都会感到不习惯。因此,教材先给出学生已学过的算术解法,再引导学生将未知数设为x,列出方程。例2的题材源于足球的构成,即一个现代足球是由12块正五边形的黑色皮和20块正六边形的白色皮制成的。对于本题的数量关系,学生能想到几种不同的形式。教材的解答选用了“黑色皮块数×2-4=白色皮块数”这种数量关系。在例题解答之后,教材提出了一个讨论问题,引导学生小结列方程解决实际问题的基本步骤。
教材第77页例3创设了购买两种水果的现实问题情境。撇开各数量的具体内容,就它的数学意义来讲,可以抽象为两积之和的数量关系。这种数量关系在生活中经常能遇到。而且,理解了两积之和的数量关系,也就容易理解两积之差、两商之差的数量关系。同时,例3的两个积中,有相同的因数,可以根据乘法分配律,得到含小括号的方程。这些都使例3具有举一反三的典型意义。第78页例4的特点是要求两个未知数,且用两个已知未知数的和与差,或两个未知数的和(差)与两个未知数的倍数关系。这类问题,用算术方法解,需要分别教学,改用方程解,思路统一,解法一致,会解其中之一,其他就很容易类推解决了。
1.使学生认识方程、等式;理解方程的解、解方程的意义。
2.使学生初步了解方程的作用,初步理解等式的基本性质,能用等式的基本性质解简易方程。
3.使学生感受数学与现实生活的联系,初步学会列方程解决一些简单的实际问题,培养学生根据具体情况,灵活选择算法的意识和能力。
【重点】
掌握解方程的方法。
【难点】
会列方程解决实际问题。
第课时 方程的意义
1.初步理解方程的意义,会判断一个式子是否是方程。
2.会按要求用方程表示出数量关系。
3.经历方程的认识过程,体验观察、比较的学习方法。
4.在学习生活中,激发学生的学习兴趣,培养学生动手动脑的能力,养成仔细认真的良好学习习惯。
【重点】
理解方程的意义。
【难点】
会根据方程的意义判断一个式子是否是方程,并用方程表示出数量关系。
【教师准备】 PPT课件。
方法一
师:我们在实际生活中,经常要用到一种称量物体质量的工具。它是什么呢?
预设 生:天平。
(老师根据学生回答用PPT出示天平图)
师:你对天平有哪些认识?
(学生先在小组内讨论,然后在班上进行交流)
预设 生1:天平由天平秤和砝码组成。
生2:当放在天平左右两边的物体质量相等时,天平就会平衡。
(老师根据学生的回答进行演示)
(1)在左右两边各放50克砝码,天平两边平衡。
(老师板书)50=50
(2)在两边再各加上50克砝码,天平仍平衡。
(老师板书)50+50=50+50
(3)在一边加上50克砝码,在另一边加上x克砝码,天平平衡。
(老师板书)50+50=50+x
(老师引导学生比较50+50=50+50和50+50=50+x,找出两个等式的区别)
师:这个含有未知数的等式叫什么?通过今天的学习你就会知道。
[设计意图] 用实际生活中的具体实物引入新课,让学生感受到数学源于生活,又应用于生活中。
方法二
(老师用PPT出示游乐场的情境图)
师:同学们,你们去过游乐场吗?游乐场有哪些好玩的?
预设 生1:摩天轮、跷跷板
生2:过山车、海盗船……
师:那谁能告诉大家,跷跷板为什么经常一边高一边低?有没有可能两边平衡?
生3:有可能两边平衡。
师:如果跷跷板两边平衡了,那么说明了什么?
(学生思考,老师板书:方程的意义)
[设计意图] 用学生喜欢的活动导入新课,有利于新知识的学习。
一、方程的意义。
1.PPT出示教材第62页情境图。
2.认识等式。
师:认真观察,你从第一幅图中发现了什么?
预设 生1:天平的左边是2个50克的砝码,右边是1个100克的砝码。
生2:第一幅图中的天平是平衡的,因为天平左右两边的质量相等。
(老师根据学生回答进行板书)
50+50=100
老师指出:这是一个等式。(板书)
师:认真观察,你从第二幅图中发现了什么?
预设 生1:把天平左边的砝码换成一个空杯子,天平平衡。
生2:1个空杯子的质量为100克。
3.引导观察第三~五幅图,引出方程。
师:认真观察第三幅图,你有什么新发现?
预设 生1:第三幅图中的天平不平衡了。
生2:第三幅图中左边的杯子里加了x克水,现在天平两边的质量不相等,天平也就不平衡了。
生3:第三幅图中天平向左边倾斜了,说明左边比右边重一些。
老师小结:当天平左边的杯子里加了水后,右边的质量不变,天平两边的质量不相等,天平就不能保持平衡了。
师:继续看第四幅图,说出图意。
预设 生1:第四幅图中有两架天平,第1架天平的左边还是一个杯子加x克水,右边的砝码变成了200克,这时天平还是不平衡。
生2:第2架天平的左边还是一个杯子加x克水,右边的砝码变成了300克,这时天平还是不平衡。
师:你能用一个式子表示吗?
(学生小组讨论,教师指名板演)
100+x>200 100+x<300
师:比较两架天平,你能确定杯子里的水有多重吗?(或x能表示什么数?)
生3:x大于100且小于200。
(引导学生观察第五幅图)
师:在第五幅图中你看到了什么?你能用式子表示出来吗?
生4:天平平衡了。
生5:天平的左边还是一个杯子和x克水,天平右边的砝码变成了250克。
生6:100+x=250。
(老师根据学生回答进行板书)
二、认识方程。
1.观察比较50+50=100与100+x=250。
预设 生:两个都是等式,一个等式里没有字母(未知数),一个等式里含有字母(未知数)。
2.用PPT出示教材第63页情境图。
(学生看图,说出从图中得到的信息)
预设 生1:1本练习本的价钱是x元。
生2:3本练习本的价钱是2.4元。
师:怎样用式子表示呢?
生3:用3x=2.4表示。
(老师指着100+x=250和3x=2.4小结)
师:像这样含有未知数的等式就是方程。
(老师板书课题:方程的意义)
[设计意图] 以连环画的形式引导学生认识方程,学生通过对一幅一幅连环画的认真观察,逐步认识等式、理解方程的意义以及等式与方程的联系与区别。这样设计使学生更容易理解和接受。
3.写方程,加深对方程的认识。
师:你会写出方程吗?试一试。
(学生在草稿本上写方程,然后用展台进行展示。可能会有部分学生写出的只是等式或代数式而不是方程)
(老师引导学生评讲,说出不是方程的原因)
老师小结:方程必须具备两个条件:(1)必须是等式;(2)必须含有未知数。二者缺一不可。
4.请同学们看教材第63页情境图中三个学生写的方程,或许你会对方程有更深的了解。
1.教材第63页“做一做”第1题。
学生独立完成,小组进行交流,判断是不是方程。在组织汇报时,着重让学生说一说为什么不是方程。
2.教材第63页“做一做”第2题。
(请两位学生板演,其他学生独立完成,全班评讲)
2x=50 x+73=166
(学生认真看图,小组交流,教师指名回答)
【参考答案】 1.5x+32=47和6(y+2)=42是方程。 2.2x=50 x+73=166
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:认识了方程。
生2:知道了方程的意义。
生3:知道方程必须具备两个条件:(1)必须是等式,(2)必须含有未知数。
作业1
教材第66页练习十四第1,2题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)下面的式子哪些是方程?是方程的在括号里画“△”,不是方程的画“○”。
(1)8+3x=32( )
(2)2x+4=6( )
(3)x+3<14( )
(4)32-7=25( )
(5)14.5x=0( )
(6)x÷6=9( )
(7)x-32=1.8( )
(8)18÷x=3( )
【提升培优】
2.(重点题)在○里填上“=”或“≠(不等号)”。
a+b○b+a
3(a-1)○3a-1
ab+ac○a(b+c)
3.6+2x○2×(1.8+x)
【思维创新】
3.(难点题)天平左边放3个同样重的苹果,右边放9个同样重的梨,天平平衡。一个苹果和( )个梨同样重。
【参考答案】
作业1:1.x+3.6=7 8-x=2 5y=15 2x+3y=9是方程。 2.x+0.5=2.5 3x=36
作业2:1.(1)△ (2)△ (3)○ (4)○ (5)△ (6)△ (7)△ (8)△ 2.= ≠ = = 3.3
方程的意义 50+50=100等式 100+x=250方程 3x=2.4方程 像100+x=250,3x=2.4……这样,含有未知数的等式就是方程。
“方程的意义”是本单元解简易方程的第1课时,这节课主要是让学生理解方程的意义:含有未知数的等式就是方程。“方程的意义”的教学目标是:让学生理解方程的概念,并为后续学习打好基础。通过这节课的教学,方程的意义的教学达到了预期的教学目标,在讨论等式和方程时,学生能清楚地说出二者的联系与区别。
由于教材中有五幅图,感觉教学时间不够。在进行设计时,我本想按照方法二进行教学的,就是担心时间不够,就没有按照方法二施教。然而在按照方法一进行教学时,还是因为时间的问题,在让学生看图的时候,留给学生的时间不够充足,学生的自主活动的热情没有充分调动起来。
下次再教“方程的意义”时,设计更加大胆一些:可以准备几架天平,让学生分小组进行操作,来经历认识方程的过程。
【做一做·63页】
1.5x+32=47 6(y+2)=42是方程 2.2x=50 x+73=166
请你用方程表示下图中的数量关系。
(1)
(2)
[名师点拨] 列出方程的关键是能找出题中的等量关系。(1)三个茶杯的价钱+一把茶壶的价钱=6.3元。(2)足球的个数是排球个数的3倍。
[解答](1)3x+3.06=6.3。
(2)3x-x=72。
【知识拓展】 列方程解题是一种常用的方法,关键在于深刻理解题意,善于抓住已知量和未知量之间的等量关系,根据等量关系列出方程。
方程的由来
在公元3世纪时,我国的数学名著《九章算术》就记载了不少一次方程组的问题,它在世界上最早提出联立一次方程组的概念,并系统地总结了联立一次方程组的解法。“方程”的取名是由于当时用算筹解方程组,列出各方程的系数和常数项时,构成一个方形,故“方”就是“列筹成方”的意思,“程”就是“课程”,所以把这种“方”形的“课程”叫做“方程”。清朝初期在翻译外国数学书时按拉丁语的原意译成“相等式”。1859年我国学者李善兰将其改译成为我国古代的名词——“方程”。
方程史话
大约3600年前古埃及人写在纸草上的数学问题中,就涉及了方程中含有未知数的等式。
公元825年左右中亚细亚的数学家阿尔·花拉子密曾写过一本名叫《对消与还原》的书,重点讨论方程的解法。
宋元时期,中国数学家创立了“天元术”,用“天元”表示未知数进而建立方程。这种方法的代表作是数学家李冶写的《测圆海镜》,书中所说的“立天元一”相当于“设未知数”。所以在简称方程时,将未知数称为“元”,如有一个未知数的方程叫“一元方程”。而有两个以上的未知数,在古代又称为“天元”“地元”“人元”。
《九章算术·方程》中,白尚恕注释:“‘方’即方形,‘程’即表达相课的意思,或者是表达式。在某一问题中,如有含若干个相关的数据,将这些相关的数据并肩排列成方形,则称为‘方程’。”
第课时 等式的性质
1.通过天平演示保持平衡的几种变换情况,使学生初步认识等式的基本性质。
2.知道等式和方程之间的关系。
3.经历天平称物的观察和抽象过程,体验观察、比较、分析的学习方法。
4.在学习活动中,激发学生的学习兴趣,养成肯动脑筋的良好学习习惯,培养观察思考、分析推理的能力。
【重点】
对等式性质的认识和理解。
【难点】
等式的性质的归纳。
【教师准备】 PPT课件。
方法一
问题导入。
师:同学们,你们在课堂试验中,都用天平做过试验吗?
预设 生1:做过。
师:今天我们来看下面的一些试验过程,看看能从试验中发现什么?
生2:好!
[设计意图] 开门见山,直接导入新课,引导学生进入新知识的学习。
方法二
情境导入。
师:有1个苹果和1个梨,想知道它们的质量是否相等,应该怎么办?
预设 生1:分别称出苹果和梨的质量,再进行比较。
生2:可以用天平称,一次就可以知道它们的质量是否相等。
师:天平在生活中的应用非常广泛,今天我们用天平来做一些试验,看你们能从试验中发现一些什么。
[设计意图] 通过生活中称水果的事例导入新课,使学生感受到数学就在身边。
一、探究等式的性质1。
1.用PPT课件出示教材第64页的情境图1。
师:观察图后,你发现了什么?
预设 生1:天平的左边放着一把茶壶,右边放着两个杯子,天平平衡了。
师:如果再在天平两边各放一个同样的杯子,天平会怎么样呢?
生2:天平还是平衡的。
老师引导学生猜想:如果两边各放2个同样的茶杯,天平还平衡吗?两边各放上同样的1把茶壶呢?
(学生小组讨论,大胆说出自己的想法)
生3:在天平的两边放上同样的物品,天平两边还是平衡的。
演示验证后老师小结:平衡的天平两边加上同样的物品,天平保持平衡。
2.用PPT课件出示教材第64页的情境图2。
师:观察图后,你发现了什么?
预设 生1:天平的左边放着1个花盆和1个花瓶,右边放着4个花瓶,天平平衡了。
师:如果再在天平两边都拿掉1个花瓶,那么天平还保持平衡吗?
生2:天平还是平衡的。
师:从图中可以看出1个花盆和几个花瓶同样重?
生3:1个花盆和3个花瓶同样重。
老师小结:平衡的天平两边减去同样的物品,天平保持平衡。
老师指出:等式就像平衡的天平,也具有同样的性质。
3.小组内讨论回答后,师生共同归纳等式的性质1,并用PPT出示等式的性质1。
等式两边加上或减去同一个数,左右两边仍然相等。
二、探究等式的性质2。
1.用PPT课件出示教材第65页的情境图1。
师:观察图后,你发现了什么?
预设 生1:天平的左边放着1瓶墨水,右边放着2个铅笔盒,天平平衡了。
师:如果左边墨水的数量扩大到原来的2倍,右边的铅笔盒的数量也扩大到原来的2倍,天平还保持平衡吗?
生2:天平还是平衡的。
老师引导学生猜想:如果天平两边物品的数量分别扩大到原来的3倍、4倍、5倍……天平还保持平衡吗?
(学生小组讨论,大胆说出自己的想法)
生3:天平还是保持平衡的。
老师小结:平衡的天平两边的物品扩大到原来的相同倍数,天平仍保持平衡。
2.用PPT课件出示教材第65页的情境图2。
师:观察图后,你发现了什么?
预设 生1:1个排球和6个皮球同样重。
师:如果把两边的球都平均分成2份,各去掉1份,天平还保持平衡吗?
(学生看图思考后回答)
生2:天平还是平衡的。
老师小结:平衡的天平两边的物品都缩小到原来的几分之一,天平仍保持平衡。
3.老师引导学生归纳出等式的性质2,并用PPT出示。
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,左右两边仍然相等。
(通过上面的观察,同学们知道了等式的两个性质,让学生读一读。同时老师板书:等式的性质)
[设计意图] 让学生通过观察、思考、分析,明确天平平衡的道理,同时在老师的引导下,理解等式的性质。
1.利用等式的性质填空(在○里填运算符号,在□里填合适的数)。
(1)如果3x+6=17,那么3x+6-6=17○□。
(2)如果7x-3=12,那么7x-3+3=12○□。
(3)如果4x=28,那么4x÷4=28○□。
(4)如果3x=15,那么3x×2=15○□。
(学生思考,独立完成,小组交流,全班评讲,集体订正)
2.天平的左边放有两袋1千克的白糖,右边放有4袋500克的盐,则一袋白糖与几袋盐同样重?
(学生独立完成,老师指名回答)
【参考答案】 1.(1)- 6 (2)+ 3 (3)÷ 4 (4)× 2 2.一袋白糖与2袋盐同样重
通过今天的学习,你有什么收获?
学生根据自己的收获进行回答。
作业1
教材第66页练习十四第4,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(难点题)看图列方程。
(1)
方程: ?
(2)
方程: ?
(3)
方程: ?
(4)
方程: ?
【提升培优】
2.(探究题)(1)○○○=□□□□□□,○=( )个□。
(2)2a+b=5b,a=( )b。
【思维创新】
3.(开放题)根据所给的方程补充条件。
(1)一个音乐娃娃x元, ,买一个音乐娃娃和一只玩具熊共用去138元。?
方程:x+48=138。
(2)妈妈买了a根香肠,每根6元, ,找回18元。
方程:6a+18=50。
【参考答案】
作业1:4.左图答案:添上1个圆柱。 右图答案:两个球(或两个长方体) 5.3 c d 10
作业2:1.(1)3x=153 (2)2y+5=21 (3)40+x=100 (4)2x+15=60 2.(1)2 (2)2 3.(1)一只玩具熊48元 (2)妈妈付了50元
等式的性质 平衡的天平两边加上同样的物品,天平保持平衡。 平衡的天平两边减去同样的物品,天平也保持平衡。 等式的性质1: 等式两边加上或减去同一个数,左右两边仍然相等。 平衡的天平两边的物品扩大到原来的相同倍数,天平仍保持平衡。 平衡的天平两边的物品都缩小到原来的几分之一,天平仍保持平衡。 等式的性质2: 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,左右两边仍然相等。
等式的性质对于学生来说不是很难理解,但要学生进行归纳还是有一些难度,因此在教学中,要给学生提供语言模式,这就要求老师在课堂上的用语准确、规范,使学生可以借鉴、模仿。在这节课的教学中,自己做到了,也取得了好的效果。创造性地使用教材,用课件根据教学的进程一步一步地出示教材中的天平的演示过程,更好地为学生的学习服务,也是这节课做得比较成功的地方。
由于教材以连环画的形式出现,四幅图描述四种不同的情况,教学中是通过四次出示的,这样的教学过程显得有点雷同,可能会使学生觉得单调。
四幅图的出示方法进行变换;四幅图不是按照教材的图的顺序出示,而用幻灯片通过动态的形式出现。
【练习十四·66页】
1.x+3.6=7 8-x=2 5y=15 2x+3y=9是方程 2.x+0.5=2.5 3x=36 3.40-x=28 152-y=5 7s=2.8 a÷25=3 4.一个圆柱 两个球(或两个长方体) 5.3 c d 10
填空。
1.0.6x+0.56=3.56,
0.6x+0.56-0.56=3.56○( )。
2.3x÷2=(x+7)÷3,
3x÷2×6=(x+7)÷3○( )。
[名师点拨] 根据等式的性质,在等式的左右两边同时加上或减去相同的数,左右两边仍然相等。在等式的左右两边同时乘或除以相同的数(除数不等于0),左右两边仍然相等。
[解答] 1.- 0.56 2.× 6
【知识拓展】 如果a=b,那么a+c=b+c,a-c=b-c;如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,那么a÷c=b÷c(c不等于0)。
等式与等式的性质
用等号连接的式子叫做等式。
等式可以分为三类:
1.恒等式:在等号两边的代数式中,它含有的字母无论取什么值,都能使两边的值相等。例如:x+x=2x,是恒等式。
2.条件等式:在等号两边的代数式中,它含有的字母只有取某些数时,等号两边的值才能相等。这样的等式叫条件等式。例如:4a=8,只有当a=2时,等号两边的值才能相等,所以是条件等式。
3.矛盾等式:在形式上是用等号连接的式子,但实质上无法使等号两边的值相等。这样的等式叫矛盾等式,如:x+3=x+2,就是矛盾等式。
对于恒等式和条件等式,有以下基本性质。
1.对称性:等式两边可以调换位置。也就是说:如果x=y,那么y=x。
2.传递性:等式中相等的量可以传递。也就是说:如果x=y,y=z,那么x=z。
3.等式两边加上(或减去)同一个数,等式仍然成立。也就是说:如果x=y,那么x+n=y+n,x-n=y-n。
4.等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数,等式仍然成立。也就是说:如果x=y,那么x×m=y×m,x÷m=y÷m(m≠0)。
第课时 解方程(1)
1.结合具体的题目,初步理解方程的解与解方程的含义。
2.会正确解形如x+a=b,x-a=b,ax=b,a-x=b的方程。
3.掌握解方程的格式和写法。
4.经历解方程的过程,体验迁移、分析的学习方法。
5.在学习活动中,体验知识之间的密切联系,激发学习兴趣,培养仔细认真的良好学习习惯。
【重点】
掌握形如x+a=b,x-a=b,ax=b,a-x=b的方程的解法与解方程的概念。
【难点】
掌握解方程的方法。
【教师准备】 PPT课件。
方法一
师:在上节课的学习中,我们探究了哪些性质?
(学生在小组里回顾后,教师指名回答)
预设 生1:探究了等式的性质。
生2:等式两边加上或减去同一个数,左右两边仍然相等。
生3:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,左右两边仍然相等。
师:研究了等式的性质,可以帮助我们求出方程中的未知数。这节课我们就来学习解方程。
(老师板书课题:解方程(1))
[设计意图] 通过复习上节课的知识,来引出本节课的内容,起到温故知新的作用。
方法二
1.指导学生预习新知。
学生自学教材第67页例1,让学生初步掌握用等式的性质解方程的原理,学完后,老师以习题的形式检查。
(1)把方程和方程的解连起来。
x-0.7=0.7 x=3.5
2.4+x=6 x=1.4
x+4.5=8 x=40
x-24=16 x=3.6
(2)看图列方程并解方程。
2.自学情况检查。
学生先在小组内互相检查,并进行交流。老师巡视,了解学生自学情况。
3.引导学生质疑。
学生提出在自学过程中遇到的问题,先由学生互相解答,对于学生普遍的问题老师进行点拨。
[设计意图] 通过自主学习和合作探究,使学生获得新知识,提高学生的合作交流的能力和探究意识。
一、解形如x±b=c的方程。
1.用PPT出示教材第67页例1的情境图。
学生看图,然后回答。
2.理解题意,列出方程。
师:从图中你知道了哪些信息?
预设 生1:盒子里有x个球,盒子外面有3个球。
生2:盒子里面和盒子外面一共有9个球。
师:你能根据题意列出方程吗?
生3:x+3=9。
(老师根据学生回答进行板书:x+3=9)
3.根据等式的性质求出方程的解。
(老师用PPT出示教材第67页利用等式的性质分析的图示)
师:怎样求出x等于多少呢?
学生看图,小组讨论解法。
预设 生1:根据等式的两边同时加上或减去同一个数,左右两边仍然相等,在方程的左右两边同时加上或减去同一个数,方程的左右两边仍然相等来求出x的值。
师:请根据你们的想法,按照图示的方法求出x的值。
(老师指名板演,学生独立解答,然后在小组内交流,全班评讲)
生2:x+3=9
解: x+3-3=9-3
x=6
师:方程的两边为什么减去3,而不是别的数?
生3:因为方程的左边是x+3,所以要减去3,才能使方程的左边只剩下未知数x。
老师引导学生小结:方程两边同时减去3,使方程的左边是x,右边正好是x的值。
4.检验。
学生看书自学,掌握检验的方法。
5.理解“方程的解”和“解方程”。
(1)“方程的解”和“解方程”的概念。
师:使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解(PPT同时出示概念)。求方程的解的过程叫做解方程(PPT同时出示概念)。
(2)“方程的解”和“解方程”的区别。
组织学生在小组中讨论,明确:方程的解是一个具体的数值,而解方程是求方程的解的过程。
[设计意图] 让学生根据天平的图示理解解方程的过程,并通过解答过程,理解“方程的解”“解方程”这两个概念。
6.巩固练习。
学生独立完成教材第67页“做一做”第1题。
(三生板演,全班评讲)
【参考答案】 1.(1)x=150 (2)x=19 (3)x=99
二、解形如ax=b的方程。
1.解方程3x=18。
(老师用PPT出示教材第68页例2的图示,学生理解题意,思考解答方法)
2.讨论解法。
师:怎样求出x的值呢?
(同桌之间互相讨论、交流,然后老师指名回答)
预设 生1:方程的两边同时除以3可得x=6。
师:这样解答的根据是什么?
生2:根据是等式的性质。
(老师根据学生回答进行板书)
3x=18
解:3x÷3=18÷3
x=6
3.检验。
学生独立检验,老师巡视,选择部分学生的检验过程进行展示,重点对书写格式进行指导。
[设计意图] 让学生根据图示思考、讨论、解答,掌握解方程和检验方程的解的一般方法,提高学生自主探究的能力。
三、解形如a-x=b的方程。
1.老师出示教材第68页例3:解方程20-x=9。
学生思考解答方法。
2.老师指名学生板演,其他学生独立解答,全班评讲。
(预设评讲过程)
在方程的左右两边各加上1个x,
(在等式的两边加上相同的字母)方程变形为20-x+x=9+x,即20=9+x。把等式左右两边交换位置得到:
9+x =20。
方程变成了例1的样子了,可以按照例1的解法进行解答,求出x的值等于11。
3.检验。
方程的左边=20-x
=20-11
=9
=方程右边
所以x=11是方程的解。
4.老师小结。
等式两边加上相同的字母,左右两边仍然相等。
[设计意图] 例3脱离了天平的图示,学生完全靠对等式的性质的理解来解方程,有些学生肯定有不理解的地方,因此在评讲时对于前面的步骤应讲得详细具体,而方程变形成例1的形式时,后面的步骤就不用讲得那么详细了。这样易使学生掌握解方程的一般方法。
1.教材第67页“做一做”第2题。
师:怎样判断x=2是不是方程的解呢?x=3呢?
预设 生:把x=2和x=3分别代入方程中进行检验,如果方程的左右两边相等,它就是方程的解。
(指名二生进行板演,学生独立进行检验)
当x=2时,
方程左边5x=5×2=10≠方程右边,
所以x=2不是方程的解。
当x=3时,方程左边5x=5×3=15=方程右边,
所以x=3是方程的解。
2.教材第68页“做一做”第1题。
学生先独立完成,再全班评讲,集体订正。
3.教材第68页“做一做”第2题。
学生读题后,列出方程,然后独立解方程,集体评讲、订正。
【参考答案】 1.x=2不是此方程的解,x=3是此方程的解。 2.x=1.4 x=5.8 x=13 x=4 x=2.1 x=0.7 3. x+1.2=4
解:x+1.2-1.2=4-1.2
x=2.8
3x=8.4
解:3x÷3=8.4÷3
x=2.8
1.这节课我们学习了什么知识?
2.你觉得自己学得怎么样?
学生根据自己的学习情况先在小组内交流,老师再指名回答。(老师点名时注意让各个层次的学生都有发言的机会)
作业1
教材第70页练习十五第1,2,3,4题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)根据等式的性质填空。
(1) x+19=21
解:x+19-( )=21-( )
x=2
(2) x-12=6
解:x-12○( )=6○( )
x=18
(3) x÷5=30
解:x÷5○( )=30○( )
x=150
(4) 2(x-16)=8
解:2(x-16)○( )=8○( )
x-16=4
x-16○( )=4○( )
x=20
【提升培优】
2.(重点题)在正确的解的下面画“ ”。?
(1)7x=28 (x=3 x=4)
(2)x+3.6=9.8 (x=6.2 x=5.8)
(3)x-1.3=4.9 (x=5.2 x=6.2)
(4)x÷2=4 (x=2 x=8)
【思维创新】
3.(重点题)解方程。
(1)40+x=48 (2)x-3=15
(3)4x=12 (4)6x=24
(5)7x=51
【参考答案】
作业1:1.(1)x=44 (2)x=8 (3)x=1.5 (4)x=2 2.x=1.5 x=2.4 x=5.5 x=13.6 x=0.3 x=30 x=3.3 x=75 3.x+2.7=6.9 x=4.2 x-45=128 x=173 9x=18 x=2 x÷4=75 x=300 4.(1)x+35=91 x=56 (2)3x=57 x=19 (3)x-3=6 x=9 (4)x÷8=1.3 x=10.4
作业2:1.(1)19 19 (2)+ 12 + 12 (3)× 5 × 5 (4)÷ 2 ÷ 2 + 16 + 16
2.(1)x=4 (2)x=6.2 (3)x=6.2 (4)x=8 3.(1)x=8 (2)x=18 (3)x=3 (4)x=4 (5)x=
解方程(1) 例1 x+3=9 解:x+3-3=9-3 x=6 方程左边=x+3=6+3=9=方程右边 所以x=6是方程的解。 使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。 例2 3x=18 例3 20-x=9 解:3x÷3=18÷3 解:20-x+x=9+x x=6 20=9+x 9+x=20 9+x-9=20-9 x=11 方程的左边=20-x=20-11=9=方程右边 所以x=11是方程的解。
这节课的学习是在上节课的基础上进行的,实际上也就是等式性质的应用。学生已经有了等式性质的基础,通过看图示、小组讨论来解简单的方程应该并不吃力,所以除了两个概念“方程的解”“解方程”,解方程的书写格式,检验的书写格式这些内容老师进行讲解和点拨外,其他的内容基本上是由学生独立完成或小组讨论完成的。从课后批改作业的情况看,学生掌握的还是比较好的。
从课后的作业中可以看出,学生由于受以前解答计算题的影响,对于解方程的书写格式容易出错,特别容易把“解”漏掉。检验时目的不明确,只是按照格式把过程写出来,有时算出来左边与右边根本不相等,也写一个等号。
可以在练习环节加强板演的次数和人数,使这些同学能够尽可能多地暴露学生练习中出现的问题,然后进行评讲,使学生在以后的练习中避免出错。
【做一做·67页】
1.(1)x=150 (2)x=19 (3)x=99 2.x=2不是此方程的解,x=3是此方程的解。
【做一做·68页】
1.x=1.4 x=5.8 x=13 x=4 x=2.1 x=0.7
2. x+1.2=4
解:x+1.2-1.2=4-1.2
x=2.8
3x=8.4
解:3x÷3=8.4÷3
x=2.8
五(1)班女生有多少人?五(2)班的女生和五(1)班的女生同样多,五(2)班有学生59人,五(2)班男生有多少人?
[名师点拨] 找出题中的等量关系:①五(1)班男生人数+五(1)班女生人数=五(1)班人数;②五(2)班男生人数+五(2)班女生人数=五(2)班人数。题中还存在一个重要的等量关系:五(2)班女生人数=五(1)班女生人数。
[解答] x+36=65
x+36-36=65-36
x=29
59-29=30(人)
答:五(1)班有女生29人,五(2)班有男生30人。
【知识拓展】 还可以根据这个等量关系列方程:五(2)班人数-五(2)班男生人数=五(2)班女生人数,即59-y=29。根据减数=被减数-差,得y=59-29,y=30。
著名数学家苏步青
著名数学家苏步青早年留学日本,1931年获得博士学位。日本不少名牌大学以高薪聘请他,但他想到出国留学是为了掌握科学、报效祖国,就一一辞谢,毅然回国。回国后,他在浙江大学执教,竟一连四个月领不到工资,穷得连饭都难以吃饱,而当时日本帝国大学还答应保留他半年的工资。贫贱难移爱国心,苏步青毫无再去日本之意。抗日战争爆发后,日本帝国大学又发来电报,请他前往任教。出于民族大义,他一口回绝道:“我要留在自己的祖国,祖国再穷,我也要为她奋斗,为她服务!”
方程的分类
在中小学,通常都把方程描述成“含有未知数的
等式”。因此,方程也可以和等式一样分为三类。
恒等方程。无论未知数取什么值,都能使方程两边的值相等。例如:x+x=2x,就是恒等方程。
条件方程。它含有的未知数只有取某些值时,方程两边的值才能相等。例如:2x=6,只有当x=3时,方程两边的值才能相等,所以是条件方程。
矛盾方程。无论未知数取什么值,都不能使方程两边的值相等。例如:x+2=x+1,就是矛盾方程。
一般地说,所谓解方程,就是确定这个方程是否有解,若有解,则求出方程的解。小学数学中的简易方程,一般是条件方程,不出现矛盾方程。所以不存在通过解方程,确定这个方程无解的现象。
如果两个方程的解完全一样,我们就说这两个方程是同解方程。我们常常需要把一个方程变形成为另一个与它同解的方程,这种变形就叫做同解变形。
第课时 解方程(2)
1.初步具有用整体思想和运算定律解方程的能力。
2.掌握形如ax ±b=c与a(x ±b)=c的方程的解法。
3.经历运用整体思想解稍复杂的方程的过程,进一步掌握解方程的方法。
4.在学习活动中,初步向学生渗透整体思想,激发学生的学习兴趣。
【重点】
理解在解方程的过程中,把一个式子看作一个整体。
【难点】
进一步掌握解方程的方法。
【教师准备】 PPT课件。
方法一
复习导入。
(老师出示题目)
解方程:
5x=50 7.572-x=54
二生板演,其他学生独立解答,在评讲订正时让学生说说解方程的依据,并规范解方程的书写格式。
师:今天我们继续根据等式的性质解方程。
(老师板书课题:解方程(2))
[设计意图] 通过复习上节课学习的内容,唤起学生对解方程方法的回忆,自然导入对新知的学习。
方法二
谈话导入。
师:同学们,上节课我们学习了什么内容?
预设 生1:解方程。
师:我们解方程的根据是什么?
生2:等式的性质。
学生回顾等式的性质,老师指名回答等式的性质1和等式的性质2。
师:同学们真棒!对等式的性质记得很熟练,今天我们还是要根据等式的性质来解方程。
(老师板书课题:解方程(2))
[设计意图] 引导学生回顾等式的性质,为本节课的学习做好铺垫。
一、解形如ax±b=c的方程。
1.PPT出示教材第69页例4情境图。
看图列方程,并求出方程的解。
2.引导学生观察情境图,并说一说图意。再让学生根据图,列一个方程。
3.根据题意列出方程。
师:你能根据题意列出方程吗?
预设 生:能。列出的方程为3x +4=40。
师:你是怎样想的?
(学生思考后,老师指名回答)
预设 生1:从图中可以看出一盒有x 支铅笔。3盒就有3x 支铅笔,再加上4支正好是40支。
生2:从图中可以看出左边有3盒铅笔,右边有4支铅笔,合起来正好是40支铅笔。
……
(在学生说自己的想法时,老师引导学生理解把3个铅笔盒里未知支数的铅笔看成一部分,4支铅笔看成另一部分)
4.探究解形如ax+b=c的方程的解法。
师:这个方程与我们学过的方程相同吗?怎样解答呢?
学生在尝试解方程时,可能会遇到困难,要让学生说出自己的困惑。
学生的疑惑之处可能是:方程的左边出现了两个四则运算符号,不知道怎么解。
也有学生可能会想到:把3个铅笔盒未知的铅笔支数看成一个整体,先求出这部分有多少支,再求一盒有多少支。(如果学生没有想到,教师可提示学生这样思考)
师:假如知道一盒铅笔有几支,要求一共有多少支铅笔,你会怎么算?
预设 生:先算出3盒一共多少支铅笔,再加上外面的4支。
老师小结:在这里,我们先把3盒的铅笔支数看成一个整体,求这部分有多少支。用方程解答时,也就是先想把谁看成一个整体?(3x)
(让学生尝试继续解答,集体订正)
(老师根据学生的回答,板书解题过程)
3x+4=40
解:3x-4=40-4(先把3x看成一个整体)
3x=36
3x÷3=36÷3
x=12
(学生在小组内再说一说解方程的过程)
[设计意图] 让学生尝试解答形如ax+b=c的方程,学生在解答中遇到疑惑,再由老师和学生共同探索解题方法,这样让学生带着问题进行学习,学生会学得更认真,印象会更深刻。
二、解形如a(x±b)=c的方程。
1.老师板书教材第69页例5。
解方程2(x-16)=8。
学生看题,说一说方程左边的运算顺序:先算x -16,再乘2。
2.学生尝试解方程。
学生独立尝试解方程,再在小组内交流自己的做法,然后集体订正。学生可能会出现两种解法:
(1)利用例4的方法来解。
2(x-16)=8
解:2(x-16)÷2=8÷2
(把x-16看成一个整体,根据等式的性质2,方程两边同时除以2)
x-16=4
(方程转化成了例1的样子)
x-16+16=4+16
(根据等式的性质1,方程两边同时加上16)
x=20
(2)根据运算定律来解。
2(x-16)=8
解:2x-32=8
(方程的左边根据乘法分配律,用“2”与括号里的各项分别相乘,再把所得的积相减。方程的右边不变)
2x-32+32=8+32
(根据等式的性质1,方程两边同时加上32)
2x=40
2x÷2=40÷2
(根据等式的性质2,方程两边同时除以2)
x=20
3.分析、比较两种解法。
老师引导学生思考后回答。
预设 生1:第①种解法是把(x-16)看成一个整体来解的。
生2:第②种解法是根据乘法分配律来解的。
老师小结:解这类方程,可以把括号里的运算看成一个整体进行解答,也可以根据运算定律进行解答。
4.检验。
师:怎样确定方程的解是否正确呢?
生3:进行检验。
先让学生说一说怎样检验,再独立检验方程的解是否正确。
三、比较例4与例5。
1.例4与例5的相同点和不同点各是什么?
2.这两个方程各应该先算什么?后算什么?
(学生先在小组内进行交流,再派代表发言)
预设 生1:例4和例5都是比较复杂的方程,都要先把某一部分看成一个整体,把方程转化成例2的形式后,求出结果。
生2:例4把3x看成一个整体,例5是把括号里的x-16看成一个整体。
生3:例5有两种不同的解法。
1.完成教材第69页“做一做”第1题(用PPT课件出示)。
(1)分析图意,再列方程。
(2)解方程。让学生说一说自己的想法,明确应该把谁看成一个整体。
预设 生:可以把5个练习本的总价5x看成一个整体。
(3)指名口答结果,口头检验。
2.完成教材第69页“做一做”第2题。
先让学生独立完成,老师指名板演,再集体订正。订正时注意对书写格式的指导。
3.完成教材第71页练习十五第8题。
先让学生说一说图意,再列方程解答。
(1)第一幅图,要注意天平两边的砝码不一样重,审题要细心。
(2)第二幅图,学生可能会列出方程30×2+2x =158,再引导学生观察有两个30和两个x ,可以运用乘法分配律进行解答。
【参考答案】 1.5x+1.5=7.5 x=1.2 2.x=8 x=26 x=3 x=28 3.(1)x+50=200 x=150 (2)30×2+2x=158 x=49
这节课你学会了什么知识?有哪些收获?
引导学生小结:
1.在解较复杂的方程时,可以先把一个式子看成一个整体,再把方程转化成简单方程的形式,最后求出解。
2.在解方程时,还可以运用运算定律来求解。
作业1
教材第71页练习十五第7,9题,第72页第11,13题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)解下列方程。
8x+0.4=5.2 x÷9=72
42-x=15 4(x+13)=80
【提升培优】
2.(情景题)MP3和CD机你喜欢哪一种?根据选择列方程,计算现价。
3.(探究题)看图列方程,并解方程。
【思维创新】
4.(竞赛题)如果n为自然数,用含有n的式子表示3个连续的双数。如果这3个数的和是30,这3个数分别是多少?
【参考答案】
作业1:7.x=24 x=16 x=5 x=20 x=0.9 x=5.4 9.x=1 x=3 x=19 x=0.6 x=7 x=3.51 11.2(5+x)=36 x=13 x+3x=80 x=20 13.(1)> > (2)= < (3)= > (4)< >
作业2:1.x=0.6 x=648 x=27 x=7 2.MP3,x+150=420,x=270 CD机,x+450=830,x=380 3.x+25=75,x=50 4.2n,2n+2,2n+4(不唯一) 2n+(2n+2)+(2n+4)=30,n=4,2n=8,2n+2=10,2n+4=12。答:这3个数分别是8,10,12。
解方程(2) 等式的性质1 等式的性质2 例4 3x+4=40 例5 2(x-16)=8 解:3x+4-4=40-4????把3x看成一个整体 解法1:2(x-16)÷2=8÷2????把(x-16)看成一个整体 3x=36 x-16=4 3x÷3=36÷3 x-16+16=4+16 x=12 x=20 解法2:2x-32=8????运用了乘法分配律 2x-32+32=8+32 2x=40 2x÷2=40÷2 x=20
在上一节课的教学中,学生已经基本掌握了简单的方程的解法。本节课的教学内容在此基础上增加了一些难度:在一个方程里出现了两个或两个以上的四则运算符号。学生不仅要掌握一个式子中简单的解方程的方法,还要运用以前所学过的运算定律或计算公式来解方程,对学生综合运用知识的能力的要求提高了。备课时,我既备教材又备学生,由于准备充分,在教学中让学生理解把方程中的某一部分看成一个整体(或运用运算定律),运用迁移、转化思想,引导学生将方程变形为已学过的方程的形式,再解答,取得了比较好的效果。
教学中,由于学生接触方程的时间不长,在知识检验上的储备欠缺,且容易受到做计算题的思维的干扰,对解方程的书写要求往往会出现遗漏、错误。在练习中要加强训练。
在板书设计上可以做一些调整,可以把等式性质的具体内容写出来了,使学生在解方程的过程中运用起来更加明确。
【做一做·69页】
1.5x+1.5=7.5 x=1.2 2.x=8 x=26 x=3 x=28
【练习十五·70页】
1.(1)x=44 (2)x=8 (3)x=1.5 (4)x=2 2.x=1.5 x=2.4 x=5.5 x=13.6 x=0.3 x=30 x=3.3 x=75 3.x+2.7=6.9 x=4.2 x-45=128 x=173 9x=18 x=2 x÷4=75 x=300 4.(1)x+35=91 x=56 (2)3x=57 x=19 (3)x-3=6 x=9 (4)x÷8=1.3 x=10.4 5. 6.(1)x-258 (2)x+5 (3)200-3x 7.x=24 x=16 x=5 x=20 x=0.9 x=5.4 8.(1)x+50=200 x=150 (2)30×2+2x=158 x=49 9.x=1 x=3 x=19 x=0.6 x=7 x=3.51 10. 11.2(5+x)=36 x=13 x+3x=80 x=20 12.x=2 x=21 x=1.6 x=5 x=21 x=5 13.(1)> > (2)= < (3)= >
(4)< > 14.8 2.7 1.4 0.1
解方程5x-40=20。
[名师点拨] 把5x看成一个整体,根据等式的性质1,方程两边同时加上40,先求出5x的值,再求x的值。
[解答] 5x-40=20
5x-40+40=20+40
5x=60
5x÷5=60÷5
x=12
【知识拓展】 解形如ax-b=c的方程时,也可以把ax看成一个整体,先求出这个整体是多少,再继续求解。
解方程0.5(x+1.3)=1.25。
[名师点拨] 可以把(x+1.3)看成一个整体,先求出x+1.3的值,再求x的值;也可以根据乘法分配律进行解答。
[解法1] 0.5(x+1.3)=1.25
0.5(x+1.3)÷0.5=1.25÷0.5
x+1.3=2.5
x+1.3-1.3=2.5-1.3
x=1.2
[解法2] 0.5(x+1.3)=1.25
0.5x+0.65=1.25
0.5x+0.65-0.65=1.25-0.65
0.5x=0.6
x=1.2
【知识拓展】 解形如a(x+b)=c的方程,可以把括号里的式子看作一个整体求解;也可以根据乘法分配律来进行解答。
数学名著—《四元玉鉴》
《四元玉鉴》是中国数学著作中最重要的一部,同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。《四元玉鉴》共分为三卷,二十四门,二百八十八问,介绍了朱世杰对多元高次方程组的解法,朱世杰的“四元术”是在高次方程的解法以及“天元术”的基础上发展起来的。当未知数不止一个的时候,除设未知数天元(x)外,还设地元(y)、人元(z)以及物元(u),再列出二元、三元甚至四元的高次方程组,然后求解。
常用的解方程的方法
1.估算法:刚学解方程的入门方法。直接估出方程的解,然后代入原方程求解。
2.应用等式的性质解方程。
3.合并同类项:把含有未知数的式子放在一起,然后看成整体解方程。(实质是乘法分配律的逆运用)
4.移项:将含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边。(实质是等式的性质)
5.去括号:运用乘法分配律,将方程中的括号去掉,再按照上面的方法解方程。
6.公式法:有一些方程,已经研究出解的一般形式,成为固定的公式,可以直接利用这个公式求解。
第课时 实际问题与方程(1)
1.使学生初步理解和掌握列方程解决一些简单的实际问题的步骤,掌握x+a=b这一类型的简易方程的解法,提高解简易方程的能力。
2.让学生借助直观图自主探究,分析数量之间的等量关系,并正确地列出方程解决实际问题,培养学生的主体意识、创新意识以及分析、观察和表达能力。
3.在学习活动中,激发学生的学习兴趣,培养学生的发散思维能力,体验数学知识的应用价值。
【重点】
正确设未知数,找出题目中的等量关系,会列方程,并会解方程。
【难点】
根据题意分析数量间的相等关系。
【教师准备】 PPT课件。
方法一
谈话导入。
师:同学们,你们喜欢参加运动会吗?
预设 生:喜欢。
师:运动会上有许多比赛项目,你能说说自己知道的运动项目吗?
预设 生1:有跑步。
生2:有跳高、跳远。
……
师:小明也参加了学校的运动会,听说他跳远的成绩打破了学校的纪录,我们一起去看看吧!
[设计意图] 从学生熟悉、喜欢的活动切入,用“我们一起去看看吧!”引出新知的学习,使学生感到亲切,在轻松的氛围中进行学习。
方法二
师:在学校召开的运动会上,我班的××同学获得了跳高比赛的第一名,让我们用掌声对他表示祝贺。
学生鼓掌。
师:小明在跳远比赛中的最好