4.1 正弦和余弦课时作业

4.1 正弦和余弦课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝,BC＝4，则AB的长为(　　)
A． B． C． D．
如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的( )
A. B. C. D.
已知在中，，，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
等腰三角形的底边长10cm，周长36cm，则底角的余弦值为（ ）
A． ； B． ； C． ； D． .
如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点，那么sinα的值为（ ）
A． B． C． D．
如图①，在矩形ABCD中，E是AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止；点Q从点B沿BC运动到点C时停止，速度均为每秒1个单位长度．如果点P、Q同时开始运动，设运动时间为t，△BPQ的面积为y，已知y与t的函数图象如图②所示．以下结论：①BC=10；②cos∠ABE=；③当0≤t≤10时，y=t2；④当t=12时，△BPQ是等腰三角形；⑤当14≤t≤20时，y=110﹣5t中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
已知△ABC中，∠C=90°，a=，∠B=30°,则c=_____________.
如图。在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,则的正弦值是__________．
在平面直角坐标系中，已知点和点，则sin∠AOB等于________.
在中，，cosB=，，则的周长为________．
水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部．若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分）．若带子宽度为1，水管直径为2，则α的余弦值为　　　　　　．
三、解答题
如图，△ABC的三个顶点都在平面直角坐标系的坐标轴上，BC＝6，边AB所在直线的表达式为y＝x＋2，求sin∠ACB．
已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=CD=10，sinC=．
（1）求直角梯形ABCD的面积；
（2）点E是BC边上一点，过点E作EF⊥DC于点F.
求证：AB·CE=EF·CD．
如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．
（1）判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；
（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=8，cos∠BAC=，求CB′的长．
两块等腰直角三角形纸片和按图所示放置，直角顶点重合在点处，，．保持纸片不动，将纸片绕点逆时针旋转角度，如图所示．
利用图证明且；
当与在同一直线上（如图）时，求的长和的正弦值．
答案解析
一 、选择题
【考点】三角函数锐角-正弦
【分析】 由在Rt△ABC中，∠C＝90°可得sinA=，这样结合已知条件即可求得AB的长了.
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴sinA=，
又∵sinA=，BC=4，
∴AB=.
故选D.
【点睛】“由已知条件：Rt△ABC中，∠C＝90°得到sinA=”是解答本题的关键.
【考点】锐角三角函数的定义
【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，
∴∠α=∠ACD，
∴cosα=cos∠ACD===，
只有选项C错误，符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD是解题关键．
【考点】锐角三角函数
【分析】利用∠A的余弦值解答即可．
解：∵cosA=，∠A=α，AC=3，
∴AB=，
故选D．
【点睛】考查解直角三角形的知识；掌握和一个角的邻边与斜边有关的三角函数值是余弦值的知识是解决本题的关键．
【考点】锐角三角函数，等腰三角形的性质
【分析】过顶点A作底边BC的垂线AD，垂足是D点，构造直角三角形．根据等腰三角形的性质，运用三角函数的定义，则可以求得底角的余弦cosB的值．
解：如图，作AD⊥BC于D点．
则CD=5cm，
AB=AC=13cm．
∴底角的余弦=．
故选C．
【点睛】本题利用了等腰三角形的三线合一的性质，考查三角函数的定义．
【考点】三角函数锐角-正弦
【分析】 过A向x轴作垂线，垂足为B，根据A点的坐标及勾股定理可求出OA的值，再根据求出sinα的值即可．
解：过A向x轴作垂线，垂足为B，
因为A（1，2），即OB=1，AB=2，
所以OA=，
由锐角三角函数的定义可知， ．
故选A．
【点睛】此题比较简单，解答此题的关键是熟知直角三角形中锐角三角函数的定义．
【考点】双动点问题的函数图象
【分析】根据题意，确定10≤t≤14，PQ的运动状态，得到BE、BC、ED问题可解．
解：由图象可知，当10≤t≤14时，y值不变，则此时，Q点到C，P从E到D．
∴BE=BC=10，ED=4故①正确．
∴AE=6
Rt△ABE中，AB=
∴cos∠ABE=；故②错误
当0≤t≤10时，△BPQ的面积为
∴③正确；
t=12时，P在点E右侧2单位，此时BP＞BE=BC
PC=
∴△BPQ不是等腰三角形．④错误；
当14≤t≤20时，点P由D向C运动，Q在C点，
△BPQ的面积为则⑤正确
故选：B．
【点评】本题为双动点问题，解答时既要注意两个动点相对位置变化又要注意函数图象的变化与动点位置变化之间的关联．
二 、填空题
【考点】锐三角函数的定义
【分析】利用锐三角函数的定义求解
解：由cosB=,得c==10.
答案：10
【点评】此题考查了锐三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握一直角三角形边与角的关系，难度一般．
【考点】三角函数锐角-正弦
【分析】 先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
解：∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
则sin∠BAC==．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
【考点】三角函数锐角-正弦
【分析】过A作AC⊥x轴于C，利用A点坐标为（2，1）可得到OC=2，AC=1，利用勾股定理可计算出OA，然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．
解：如图，过A作AC⊥x轴于C，
∵A点坐标为（2，1），
∴OC=2，AC=1，
∴OA=，
∴sin∠AOB=．
故答案为．
【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．
【考点】锐角三角函数
【分析】设c=5k，b=4k，由勾股定理可求得a=3k，接下来利用AC=6求出三角形的周长即可．
解：设c=5k，b=4k.
由勾股定理得：a==3k，
∵AC=a=6，
可得：3k=6，
解得：k=2，
∴BC=8，AB=10，
∴△ABC的周长为6+8+10=24，
故答案为：24.
【点睛】本题考查解三角形，解题的关键是可以将未知边的长度设出来，进而计算.
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】本题使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），即斜边长为水管的周长为2π．
解：其展开图如图所示．
∵AC∥BF，
∴∠CAE=∠ABE=α，
∵水管直径为2，
∴水管的周长为2π，
∴cos∠α=．
故答案为：
【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
三 、解答题
【考点】锐角三角函数的定义
【分析】由直线AB的解析式求出OA，OB的长，进而求得OC，AC，在Rt△ACO中，根据正弦的定义求解.
解：∵直线AB的表达式为y＝x＋2，
∴当y＝0时，x＝－2，当x＝0时，y＝2，
∴点A(0，2)，点B(－2，0)，
∴OA＝2，OB＝2，
∵BC＝6，
∴OC＝BC－OB＝6－2＝4，
∴AC＝，
∴sinC＝.
【点睛】求一个角的正弦，即是要求出这个角所在的三角形的斜边与这个角的邻边的比.
【考点】三角函数锐角-正弦，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【分析】 （1）如下图，过点D作DG⊥BC于点G，由题意易得AB=DG，AD=BG，在Rt△DCG中，由CD=10，sinC=可得DG=8，进而可得CG=6，由此可得AD=BG=10-6=4，这样即可由梯形面积计算公式求出梯形ABCD的面积了；
（2）由题意易证△DGC∽△EFC，从而可得DG：EF=DC：EC，由此可得DG·EC=EF·CD结合AB=DG即可得到AB·EC=EF·CD.
解：（1）如下图，过点D作DG⊥BC于点G，
∴∠DGB=∠DGC=90°，
∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=∠A=∠DGB=90°，
∴四边形ABGD是矩形，
∴AB=DG，AD=BG，
∵在Rt△DGC中，CD=10，sinC=，
∴DG=，
∴CG=，
∴BG=BC-CG=10-6=4，
∴AD=BG=4，
∴S梯形ABCD= (AD+BC)×DG=.
（2）∵EF⊥CD于点F，DG⊥BC于点G，
∴∠EFC=∠DGC=90°，
又∵∠C=∠C，
∴△DGC∽△EFC，
∴DG：EF=DC：EC，
∴DG·EC=EF·CD，
又∵AB=DG，
∴AB·EC=EF·CD.
【点睛】（1）过点D作DG⊥BC于点G，构造出矩形ABGD和Rt△DGC，由此得到AB=DG，AD=BG，并在Rt△DGC中，由sinC=求出DG是解答第1小题的关键；（2）证△DGC∽△EFC是解答第2小题的关键.
【考点】锐角三角函数，平移的性质，菱形的判定
【分析】（1）由平移的性质结合平行四边形的判定方法易得四边形ACC′A′是平行四边形，由AA′∥CC′结合CD平分∠ACC′证得∠ACA'=∠AA'C，可得AA'=AC，从而可得平行四边形ACC′A′是菱形；
（2）在Rt△ABC中由已知条件易得AC=10，BC=6，结合平移的性质和四边形ACC′A′是菱形即可求得CB′的长度.
解：（1）四边形ACC′A′是菱形，理由如下：
由平移的性质可得：AA'=CC'，且AA'∥CC'
∴四边形ACC′A′是平行四边形，
∵AA'∥CC'，
∴∠AA'C=∠A'CB'，
∵CD平分∠ACB'，
∴∠ACA'=∠A'CB'，
∴∠ACA'=∠AA'C，
∴AA'=AC，
∴平行四边形ACC′A′是菱形；
（2）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8，
∴cos∠BAC=，
∴AC=10，
∴BC=
由平移的性质可得：BC=B'C'=6，
由（1）得四边形ACC′A′是菱形，
∴AC=CC'=10，
∴CB'=CC'﹣B'C'=10﹣6=4．
【点睛】熟悉“平移的性质和菱形的判定方法”是正确解答本题的关键.
【考点】锐角三角函数的定义，旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质
【分析】(1)图形经过旋转以后明确没有变化的边长，证明，得出AC=BD，
延长BD交AC于E，证明∠AEB=90，从而得到.
(2) 如图3中，设AC=x，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出x，再根据sinα=sin∠ABC=
即可解决问题
解：证明：如图中，延长交于，交于．
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴．
解：如图中，设，
∵、在同一直线上，，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第二个问题的关键是利用（1）的结论解决问题，属于中考常考题型.