4.2 正切课时作业

4.2 正切课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（　　）
A． 7sin35° B． 7cos35° C． 7tan35° D．
在中，，，，则的值是( ?)
A． B． C． D．
使有意义的锐角x的取值范围是（ ）A．x=45° B．x≠45° C．45°＜x＜90° D．0°＜x＜45°
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA=，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
在Rt△ABC中，如果边长都扩大5倍，则锐角A的正弦值、余弦值和正切值 ( )
A.没有变化 B.都扩大5倍 C.都缩小5倍 D.不能确定
如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )
A．2 B. C. D.
二、填空题
若α为锐角，cosα＝，则sinα＝____，tanα＝____．
如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________．
如图，△ABC中，∠C=90°，AC+BC=7（AC＞BC），AB=5，则tanB=_____________．
已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是____．
如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD＝15°，根据图形计算tan15°＝____．
三、解答题
在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB＝10，BC＝8，求sinA和tanB的值．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，垂足为D，求sin∠ACD和tan∠BCD的值．
如图，小明同学为了测量电视塔OC的高度，发现电视塔在某一时刻的塔影一部分OA在地面，还有一部分AP在坡度为的山坡上，且O、A、B在同一直线上，并测得OA=50m，AP=20m，在P处测得塔顶C的仰角为45°，求电视塔OC的高度（结果保留根号）.
如图，点B在线段AF上，分别以AB、BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE，连接CF和DE，CF交EG于点H．
(1)若E是BC的中点，求证：DE＝CF；
(2)若∠CDE＝30°，求的值．

答案解析
一 、选择题
【考点】锐角三角函数
【分析】根据余弦的定义列出算式，计算即可．
解：在Rt△ABC中,
∴
故选：B.
【点睛】考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
【考点】锐角三角函数定义
【分析】首先利用勾股定理求得AC的长度；然后利用锐角三角函数定义进行解答．
解：∵如图，
在△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=12，
∴AC=，
∴tanA=．
故选A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理．正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
【考点】锐角三角函数的增减性
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件讨论解答．解：根据题意，得tanx-1＞0，即tanx＞1．又tan45°=1，正切值随着角的增大而增大，得x＞45°．故选C．
【点评】首先注意二次根式和分式有意义的条件，还要熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性．
【考点】 锐角三角函数的定义；勾股定理．
【分析】根据锐角三角函数正切等于对边比邻边，可得BC与AC的关系，根据勾股定理，可得AC的长．
解：由tanA==，得
BC=3x，CA=4x，
由勾股定理，得
BC2+AC2=AB2，即（3x）2+（4x）2=100，
解得x=2，
AC=4x=4×2=8．
故选：D．
【点评】 本题考查了锐角三角函数，利用了锐角三角函数正切等于对边比邻边，还利用了勾股定理．
【考点】锐角三角函数的性质
【分析】Rt△ABC中，如果边长都扩大3倍，则所得三角形与原来的三角形相似，因而∠A的大小不变，则∠A的正弦值和余弦值不变．
解：Rt△ABC中，如果边长都扩大3倍，则所得三角形与原来的三角形相似，因而∠A的大小不变，则∠A的正弦值和余弦值不变．故选A．
【点评】本题考查了三角函数的性质，三角函数值的大小是由角的大小唯一确定的．
【考点】勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义
【分析】由小正方形边长为1，利用勾股定理分别求出AB2，AC2，BC2，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，然后根据正切函数定义即可求出tan∠BAC的值．
解：∵小正方形边长为1，∴AB2=8，bC2=10，AC2=2；∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，∴tan∠B＝＝.
故答案为 
【点评】此题主要考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义等知识点，此题难易程度适中，得到∠ABC=90°是解题的关键．
二 、填空题
【考点】三角函数锐角-正弦，正切
【分析】根据题意构造出直角三角形，根据直角三角形中锐角三角函数的定义解答．α
解：∵∠α为锐角，且cosα=，以∠α为锐角作直角三角形△ABC，∠C=90°，如图，
∴cosα=．
设AC=3k，则AB=5k．
根据勾股定理可得：BC=4k．
∴sinA=，tanA=．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正切函数、正弦函数的定义，解答此题的关键是构造出直角三角形．
【考点】锐角三角函数的定义
【分析】在Rt△ABC中，根据锐角三角函数正切定义即可得出答案.
解：在Rt△ABC中，
∵高AB=8m，BC=16m，
∴tanC= = = .
故答案为： .
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理．正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
【考点】 勾股定理；锐角三角函数的定义．
【分析】 由勾股定理及AC+BC=7可求出AC、BC的值，根据三角函数定义求解．
解：∵△ABC中，∠C=90°，AC+BC=7，
∴AC=7﹣BC．
∵AB2=AC2+BC2
∴25=（7﹣BC）2+BC2
∴BC=3或BC=4．
∵AC＞BC，
∴BC=3，AC=4．tanB=．
【点评】 本题需仔细分析图形，利用勾股定理结合方程即可解决问题．
【考点】锐角三角函数定义，正方形的性质
【分析】本题无图，应根据题意画出图形，分点P既可以在边CD上和在CD的延长线上两种情况求解.
解：如图所示，由于点P是直线CD上一点，
∴点P既可以在边CD上，也可以在CD的延长线上，
当P在边CD上时，
∵BC=2，DP=1，
∴；
当P在CD延长线上时，
∵DP=1，DC=2，
∴PC=3，
∴．
故答案为：2或.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及正方形的性质，解题时要考虑到两种情况，不要漏解．
【考点】锐角三角函数定义，含30°角的直角三角形，勾股定理
【分析】此题可设AB=AC=2x，由已知可求出CD和AD，那么也能求出BD=AB-AD，从而求出tan15°．
解：由已知设AB=AC=2x，
∵∠A=30°，CD⊥AB，
∴CD=AC=x，
则AD2=AC2-CD2=（2x）2-x2=3x2，
∴AD=x，
∴BD=AB-AD=2x-x=（2-）x，
∴tan15°==
故答案为：2-．
【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形，关键是由直角三角形中30°角的性质与勾股定理先求出CD与AD，再求出BD．
三 、解答题
【考点】三角函数锐角-正弦，正切
【分析】 首先由勾股定理求出另一直角边AC的长度，再利用锐角三角函数的定义求解．
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，
∴AC=6，
∴sinA===，
tanB===.
【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，正切为对边比邻边．
【考点】三角函数锐角-正弦
【分析】 由勾股定理可求出AB=5，再由已知条件不难证明∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A，所以求出sinB、tanA的值即可.
解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠B＋∠BCD＝90°，∠A＋∠ACD＝90°.
又∵∠BCD＋∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A，
∴sin∠ACD＝sinB＝＝，
tan∠BCD＝tanA＝＝.
【点睛】本题关键在于将要求的角转化为与之相等的角.
【考点】锐角三角函数定义
【分析】构造直角三角形，解直角三角形，先求∠PAE=30°，再求PE,AE ，进而求OE=，由得CF=PF=，最后由CO=CF+FO得出结果.
解：作PE⊥OB, PF⊥OC,垂足分别为E和F，
∵坡度为，
∴∠PAE=30°,
∵AP=20,
∴PE=10,AE= ,
∵OA=50
∴OE=,
∵四边形PEOF为矩形,
∴PF=OE=,
∵∠CPF=45°,∠CFP=90°,
∴,
∴CF=PF=,
∴CO=CF+FO=,
答：电视塔OC的高度为米.
【点睛】本题考核知识点：解直角三角形.解题关键：根据已知条件构造直角三角形，解直角三角形，求出关键线段长度.
【考点】锐角三角函数定义，正方形的性质，全等三角形的性质
【分析】（1）根据线段中点的定义可的BE=CE，再根据正方形的四条边都相等可得BC=CD，BE=BF，然后求出BF=测，再利用“边角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF；
（2）设CE=x，根据∠CDE的正确值表示出CD，然后求出BE，从而得到∠BCF的正切值，则根据平行的性质，内错角相等可得∠BCF=∠GFH，然后根据等角的正切值相等解答即可.
(1)证明：∵E是BC的中点，
∴BE＝CE
在正方形ABCD和正方形BFGE中，BC＝CD，BE＝BF　
∴BF＝CE，
在△BCF和△CDE中，，
∴△BCF≌△CDE(SAS)，
∴DE＝CF；
(2)解：设CE＝x，
∵∠CDE＝30°，
∴tan∠CDE＝，
∴CD＝x，
∵正方形ABCD的边BC＝CD，
∴BE＝BC－CE＝x－x，
∵正方形BFGE的边长BF＝BE，
∴tan∠BCF＝，
∵正方形BGFE对边BC∥GF，
∴∠BCF＝∠GFH，
∵tan∠GFH＝，
∴．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角判定与性质，锐角三角函数定义等知识，熟练利用全等三角形的性质得出对应边与对应角的关系是解题关键．