4.4 解直角三角形的应用课时作业1

4.4 解直角三角形的应用课时作业1
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
△ABC中，已知∠A=30°，AB=2，AC=4，则△ABC的面积是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（　　）
A． B．2 C．5 D．10
如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连结AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值为 ( )
A. B. C. D.
三角形的两边a、b的夹角为60°且满足方程x2﹣3x+4=0，则第三边的长是（　　）
A． B．2 C．2 D．3
如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
△ABC中，AB=12，AC=，∠B=30°，则△ABC的面积是　 　．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A=α，且tanα=，则tan2α=　 　．
在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于　 　．
已知∠AOB=60°，点P到射线OA，OB的距离分别为2和,垂足分别为M、N，则ON的长为 .
如图，已知等边三角形OAB与反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象交于A、B两点，将△OAB沿直线OB翻折，得到△OCB，点A的对应点为点C，线段CB交x轴于点D，则的值为　 　．（已知sin15°=）
三、解答题
如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点,AD=BC,BE=4.
求:（1）tanC的值；（2）AD的长.
如图 ，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
(1)sin2A1＋sin2B1＝__ _；sin2A2＋sin2B2＝_ __；sin2A3＋sin2B3＝_ _；
(2)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°.都有：sin2A＋sin2B＝__ __；
(3)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c；利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
(4)已知：∠A＋∠B＝90°，且sinA＝，求sinB.
已知RT△ABC中，∠C=90°，，△ABC的面积是5.
（1）求斜边AB的长。
（2）下面每个方格的边长都是1，请在图中画出格点△ABC。
已知，如图：四边形ABCD中，∠C＞90°，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，AB=，
tanA是关于x的方程的一个实数根。
（1）求tanA；
（2）若CD=m，求BC的值。
答案解析
一 、选择题
【考点】 解直角三角形．
【分析】 根据面积公式S=absinC，代入数值可将△ABC的面积求解出来．
解：在△ABC中，∵∠A=30°，AB=2，AC=4，
∴S△ABC=AB×AC×sin∠A=×4×2×=2．
故选D．
【点评】 此题考查三角形的面积公式S=absinC．
【考点】解直角三角形．
【分析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB=BC=x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM=AD=x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．
解：如图所示：设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，
作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD===；
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数；通过作辅助线求出AM是解决问题的关键．　
【考点】菱形的性质，勾股定理，解直角三角形
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD==，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
【考点】锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质
【分析】D作DE∥AB交AC于点E，利用相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质求解。
解：过点D作DE∥AB交AC于点E.
∵∠BAD＝90°，DE∥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵tanB＝，设AD＝5k，AB＝3k，
∵DE∥AB，
∴＝，DE＝AB＝k，
∴tan∠CAD＝＝＝.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠EAD放在直角三角形中．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解直角三角形．
【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣3x+4=0得到a=2，b=，如图，△ABC中，a=2，b=，∠C=60°，作AH⊥BC于H，再在Rt△ACH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CH=，AH=，则BH=，然后在Rt△ABH中利用勾股定理计算AB的长即可．
解：x2﹣3x+4=0，
（x﹣2）（x﹣）=0，
所以x1=2，x2=，
即a=2，b=，
如图，△ABC中，a=2，b=，∠C=60°，
作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，∵∠C=60°，
∴CH=AC=，AH=CH=，
∴BH=2﹣=，
在Rt△ABH中，AB==，
即三角形的第三边的长是．
故选A．
【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解直角三角形．　
【考点】矩形的性质；解直角三角形．
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF==2x，再由三角函数定义即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴=，
∴EF=AF，
∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF==2x，
∴tan∠BDE===；
故选：A．
二 、填空题
【考点】解直角三角形．
【分析】过A作AD⊥BC于D（或延长线于D），根据含30度角的直角三角形的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况：如图1，当AD在△ABC内部时、如图2，当AD在△ABC外部时，进行讨论即可求解．
解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，
在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°，
∴AD=AB=6，BD=ABcosB=12×=6，
在Rt△ACD中，CD===，
∴BC=BD+CD=6+=7，
则S△ABC=×BC×AD=×7×6=21；
②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，
由①知，AD=6、BD=6、CD=，
则BC=BD﹣CD=5，
∴S△ABC=×BC×AD=×5×6=15，
故答案为：21或15．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，本题关键是得到BC和AD的长，同时注意分类思想的运用．　
【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数可以求得tan2α的值，本题得以解决．
解：连接BE，
∵点D是AB的中点，ED⊥AB，∠A=α，
∴ED是AB的垂直平分线，
∴EB=EA，
∴∠EBA=∠A=α，
∴∠BEC=2α，
∵tanα=，设DE=x，
∴AD=3a，AE=，
∴AB=6a，
∴BC=，AC=
∴CE=，
∴tan2α==，
故答案为：．
【考点】解直角三角形．
【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值，本题得以解决．
解：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B=，O′D′=，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE=，
∴O′E==，
∴tanBO′E=，
∴tan∠BOD=3，
故答案为：3．
【考点】解直角三角形
【分析】分四种情况进行讨论：①如图1所示，点P在∠AOB内；②如图2所示，点P在∠AOB外；③如图3所示，点P在∠AOB对顶角的内部；④如图4所示，点P在∠AOB外．
解：分四种情况： ①如图1所示，延长MP交OB于点C．在Rt△OCM中，∵∠AOB=60°，∴∠MCO=30°．在Rt△PCN中，PC=2PN=2，NC==3，∴MC=4
，OC==8，∴ON=OC-NC=8-3=5；②如图2所示，由条件可知∠PON=30°，∴PO=2PN=2∴点C与点M重合，即点M与点O重合．即ON=PN?tan60°=3；③如图3，情况与图1完全相同；④如图4，情况与图2也完全相同．综上所述，ON的长为5或3．故答案为：5或3．
【点评】本题考查了解直角三角形，难度适中．运用分类讨论与数形结合是解题的关键．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．
【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据反比例函数的对称性可知：直线OM：y=x，求出∠BOF=15°，根据15°的正弦列式可以表示BF的长，证明△BDF∽△CDN，可得结论．
解：如图，过O作OM⊥AB于M，
∵△AOB是等边三角形，
∴AM=BM，∠AOM=∠BOM=30°，
∴A、B关于直线OM对称，
∵A、B两点在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，且反比例函数关于直线y=x对称，
∴直线OM的解析式为：y=x，
∴∠BOD=45°﹣30°=15°，
过B作BF⊥x轴于F，过C作CN⊥x轴于N，
sin∠BOD=sin15°==，
∵∠BOC=60°，∠BOD=15°，
∴∠CON=45°，
∴△CNO是等腰直角三角形，
∴CN=ON，
设CN=x，则OC=x，
∴OB=x，
∴=，
∴BF=，
∵BF⊥x轴，CN⊥x轴，
∴BF∥CN，
∴△BDF∽△CDN，
∴==，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、三角函数、三角形相似的性质和判定、翻折的性质，明确反比例函数关于直线y=x对称是关键，在数学题中常设等腰直角三角形的直角边为未知数x，根据等腰直角三角形斜边是直角边倍表示斜边的长，从而解决问题．　
三 、解答题
【考点】等腰三角形的性质，解直角三角形
【分析】（1）由等腰三角形三线合一定理得，BD=DC, 由AD=BC,易知tanC.
(2)Rt△EBC中，利用tanC，BE值，可求得BC边
解：（1）∵AB=AC,AD⊥BC,
∴AD＝BC＝2DC.
∴tanC=2.
（2）∵tanC=2，BE⊥AC,BE=4,
∴EC=2.
∵BC2=BE2+EC2,
∴BC=.
∴AD=.
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质和解直角三角形，掌握三角函数的定义和等腰三角形的性质是关键
【考点】解直角三角形
【分析】（1）由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=，sinB=，则sin2A+sin2B=，再根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1；
解：（1）由图可知：sin2A1+sin2B1=（）2+（）2=1；
sin2A2+sin2B2=（）2+（）2=1；
sin2A3+sin2B3=（）2+（）2=1．
观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
∵sinA=，sinB=，
∴sin2A+sin2B=，
∵∠C=90°，
∴a2+b2=c2，
∴sin2A+sin2B=1．
【点评】本题考查了在直角三角形中互余两角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．
【考点】解直角三角形
【分析】（1）由∠C=90°，根据三角函数的性质，即可得到sinA==，利用勾股定理即可求得斜边AB的长；（2）求得Rt△ABC的三边长AB=5，BC=，AC=，利用勾股定理即可画出格点△ABC．
解：已知Rt△ABC中，∠C＝90°
∵sinA＝=
设BC=，AB=5k，(k0)
（不写k0不扣分）
由勾股定理得：AC=
△ABC的面积是5 ∴
×=5∴k=1,k= —1（不合题意舍去）
∴AB=5
（2）由（1）得AB=5，BC=，AC=
【点评】此题考查了勾股定理与三角函数的性质．解题时要注意方程思想的应用与格点三角形的画法．
【考点】解直角三角形; 根的判别式
【分析】（1）根据根的判别式可得m的值，进而解方程可得tanA的值；（2）由（1）易得∠A的度数，延长四边形的两边，构造一个直角三角形，利用特殊角的三角函数计算即可．
解（1）∵关于x的方程有实数根
∴△=
整理得：
∴m=1
∴

tanA=
（2）延长BC交AD的延长线于M，
由（1）得：tanA=，m=1
∵CD⊥AD于D，CB⊥AB于B,∠C>90°，
∴ A=60°
又CD =m =1
∴在RT△CDM中，∠M=30°
∴CM=2，DM=
在RT△ABM中，∠M=30°
∵AB=，
∴AM=2
∴AD=，BM=3
∴BC=3－CM=3－2=1
【点睛】本题考查了一元二次方程和解直角三角形，把四边形转化为三角形解决问题是常用的解题方法
4.4 解直角三角形的应用课时作业1
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
△ABC中，已知∠A=30°，AB=2，AC=4，则△ABC的面积是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（　　）
A． B．2 C．5 D．10
如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连结AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值为 ( )
A. B. C. D.
三角形的两边a、b的夹角为60°且满足方程x2﹣3x+4=0，则第三边的长是（　　）
A． B．2 C．2 D．3
如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
△ABC中，AB=12，AC=，∠B=30°，则△ABC的面积是　 　．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A=α，且tanα=，则tan2α=　 　．
在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于　 　．
已知∠AOB=60°，点P到射线OA，OB的距离分别为2和,垂足分别为M、N，则ON的长为 .
如图，已知等边三角形OAB与反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象交于A、B两点，将△OAB沿直线OB翻折，得到△OCB，点A的对应点为点C，线段CB交x轴于点D，则的值为　 　．（已知sin15°=）
三、解答题
如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点,AD=BC,BE=4.
求:（1）tanC的值；（2）AD的长.
如图 ，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
(1)sin2A1＋sin2B1＝__ _；sin2A2＋sin2B2＝_ __；sin2A3＋sin2B3＝_ _；
(2)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°.都有：sin2A＋sin2B＝__ __；
(3)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c；利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
(4)已知：∠A＋∠B＝90°，且sinA＝，求sinB.
已知RT△ABC中，∠C=90°，，△ABC的面积是5.
（1）求斜边AB的长。
（2）下面每个方格的边长都是1，请在图中画出格点△ABC。
已知，如图：四边形ABCD中，∠C＞90°，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，AB=，
tanA是关于x的方程的一个实数根。
（1）求tanA；
（2）若CD=m，求BC的值。
答案解析
一 、选择题
【考点】 解直角三角形．
【分析】 根据面积公式S=absinC，代入数值可将△ABC的面积求解出来．
解：在△ABC中，∵∠A=30°，AB=2，AC=4，
∴S△ABC=AB×AC×sin∠A=×4×2×=2．
故选D．
【点评】 此题考查三角形的面积公式S=absinC．
【考点】解直角三角形．
【分析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB=BC=x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM=AD=x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．
解：如图所示：设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，
作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD===；
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数；通过作辅助线求出AM是解决问题的关键．　
【考点】菱形的性质，勾股定理，解直角三角形
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD==，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
【考点】锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质
【分析】D作DE∥AB交AC于点E，利用相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质求解。
解：过点D作DE∥AB交AC于点E.
∵∠BAD＝90°，DE∥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵tanB＝，设AD＝5k，AB＝3k，
∵DE∥AB，
∴＝，DE＝AB＝k，
∴tan∠CAD＝＝＝.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠EAD放在直角三角形中．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解直角三角形．
【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣3x+4=0得到a=2，b=，如图，△ABC中，a=2，b=，∠C=60°，作AH⊥BC于H，再在Rt△ACH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CH=，AH=，则BH=，然后在Rt△ABH中利用勾股定理计算AB的长即可．
解：x2﹣3x+4=0，
（x﹣2）（x﹣）=0，
所以x1=2，x2=，
即a=2，b=，
如图，△ABC中，a=2，b=，∠C=60°，
作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，∵∠C=60°，
∴CH=AC=，AH=CH=，
∴BH=2﹣=，
在Rt△ABH中，AB==，
即三角形的第三边的长是．
故选A．
【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解直角三角形．　
【考点】矩形的性质；解直角三角形．
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF==2x，再由三角函数定义即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴=，
∴EF=AF，
∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF==2x，
∴tan∠BDE===；
故选：A．
二 、填空题
【考点】解直角三角形．
【分析】过A作AD⊥BC于D（或延长线于D），根据含30度角的直角三角形的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况：如图1，当AD在△ABC内部时、如图2，当AD在△ABC外部时，进行讨论即可求解．
解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，
在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°，
∴AD=AB=6，BD=ABcosB=12×=6，
在Rt△ACD中，CD===，
∴BC=BD+CD=6+=7，
则S△ABC=×BC×AD=×7×6=21；
②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，
由①知，AD=6、BD=6、CD=，
则BC=BD﹣CD=5，
∴S△ABC=×BC×AD=×5×6=15，
故答案为：21或15．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，本题关键是得到BC和AD的长，同时注意分类思想的运用．　
【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数可以求得tan2α的值，本题得以解决．
解：连接BE，
∵点D是AB的中点，ED⊥AB，∠A=α，
∴ED是AB的垂直平分线，
∴EB=EA，
∴∠EBA=∠A=α，
∴∠BEC=2α，
∵tanα=，设DE=x，
∴AD=3a，AE=，
∴AB=6a，
∴BC=，AC=
∴CE=，
∴tan2α==，
故答案为：．
【考点】解直角三角形．
【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值，本题得以解决．
解：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B=，O′D′=，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE=，
∴O′E==，
∴tanBO′E=，
∴tan∠BOD=3，
故答案为：3．
【考点】解直角三角形
【分析】分四种情况进行讨论：①如图1所示，点P在∠AOB内；②如图2所示，点P在∠AOB外；③如图3所示，点P在∠AOB对顶角的内部；④如图4所示，点P在∠AOB外．
解：分四种情况： ①如图1所示，延长MP交OB于点C．在Rt△OCM中，∵∠AOB=60°，∴∠MCO=30°．在Rt△PCN中，PC=2PN=2，NC==3，∴MC=4
，OC==8，∴ON=OC-NC=8-3=5；②如图2所示，由条件可知∠PON=30°，∴PO=2PN=2∴点C与点M重合，即点M与点O重合．即ON=PN?tan60°=3；③如图3，情况与图1完全相同；④如图4，情况与图2也完全相同．综上所述，ON的长为5或3．故答案为：5或3．
【点评】本题考查了解直角三角形，难度适中．运用分类讨论与数形结合是解题的关键．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．
【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据反比例函数的对称性可知：直线OM：y=x，求出∠BOF=15°，根据15°的正弦列式可以表示BF的长，证明△BDF∽△CDN，可得结论．
解：如图，过O作OM⊥AB于M，
∵△AOB是等边三角形，
∴AM=BM，∠AOM=∠BOM=30°，
∴A、B关于直线OM对称，
∵A、B两点在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，且反比例函数关于直线y=x对称，
∴直线OM的解析式为：y=x，
∴∠BOD=45°﹣30°=15°，
过B作BF⊥x轴于F，过C作CN⊥x轴于N，
sin∠BOD=sin15°==，
∵∠BOC=60°，∠BOD=15°，
∴∠CON=45°，
∴△CNO是等腰直角三角形，
∴CN=ON，
设CN=x，则OC=x，
∴OB=x，
∴=，
∴BF=，
∵BF⊥x轴，CN⊥x轴，
∴BF∥CN，
∴△BDF∽△CDN，
∴==，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、三角函数、三角形相似的性质和判定、翻折的性质，明确反比例函数关于直线y=x对称是关键，在数学题中常设等腰直角三角形的直角边为未知数x，根据等腰直角三角形斜边是直角边倍表示斜边的长，从而解决问题．　
三 、解答题
【考点】等腰三角形的性质，解直角三角形
【分析】（1）由等腰三角形三线合一定理得，BD=DC, 由AD=BC,易知tanC.
(2)Rt△EBC中，利用tanC，BE值，可求得BC边
解：（1）∵AB=AC,AD⊥BC,
∴AD＝BC＝2DC.
∴tanC=2.
（2）∵tanC=2，BE⊥AC,BE=4,
∴EC=2.
∵BC2=BE2+EC2,
∴BC=.
∴AD=.
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质和解直角三角形，掌握三角函数的定义和等腰三角形的性质是关键
【考点】解直角三角形
【分析】（1）由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=，sinB=，则sin2A+sin2B=，再根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1；
解：（1）由图可知：sin2A1+sin2B1=（）2+（）2=1；
sin2A2+sin2B2=（）2+（）2=1；
sin2A3+sin2B3=（）2+（）2=1．
观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
∵sinA=，sinB=，
∴sin2A+sin2B=，
∵∠C=90°，
∴a2+b2=c2，
∴sin2A+sin2B=1．
【点评】本题考查了在直角三角形中互余两角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．
【考点】解直角三角形
【分析】（1）由∠C=90°，根据三角函数的性质，即可得到sinA==，利用勾股定理即可求得斜边AB的长；（2）求得Rt△ABC的三边长AB=5，BC=，AC=，利用勾股定理即可画出格点△ABC．
解：已知Rt△ABC中，∠C＝90°
∵sinA＝=
设BC=，AB=5k，(k0)
（不写k0不扣分）
由勾股定理得：AC=
△ABC的面积是5 ∴
×=5∴k=1,k= —1（不合题意舍去）
∴AB=5
（2）由（1）得AB=5，BC=，AC=
【点评】此题考查了勾股定理与三角函数的性质．解题时要注意方程思想的应用与格点三角形的画法．
【考点】解直角三角形; 根的判别式
【分析】（1）根据根的判别式可得m的值，进而解方程可得tanA的值；（2）由（1）易得∠A的度数，延长四边形的两边，构造一个直角三角形，利用特殊角的三角函数计算即可．
解（1）∵关于x的方程有实数根
∴△=
整理得：
∴m=1
∴

tanA=
（2）延长BC交AD的延长线于M，
由（1）得：tanA=，m=1
∵CD⊥AD于D，CB⊥AB于B,∠C>90°，
∴ A=60°
又CD =m =1
∴在RT△CDM中，∠M=30°
∴CM=2，DM=
在RT△ABM中，∠M=30°
∵AB=，
∴AM=2
∴AD=，BM=3
∴BC=3－CM=3－2=1
【点睛】本题考查了一元二次方程和解直角三角形，把四边形转化为三角形解决问题是常用的解题方法