4.4 解直角三角形的应用课时作业2

4.4 解直角三角形的应用课时作业2
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（　　）
A． B． C． D．h?cosα
如图，为固定电线杆AC，在离地面高度为6m的A处引拉线AB，使拉线AB与地面上的BC的夹角为48°，则拉线AB的长度约为（　　）
（结果精确到0.1m，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
A．6.7m B．7.2m C．8.1m D．9.0m
一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（　　）
A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2
如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（　　）
A． B． C． D．
数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（　　）
A． 0组 B． 一组 C． 二组 D． 三组
如图，已知于，于，要计算，两地的距离，甲、乙、丙、丁四组同学分别测量了部分线段的长度和角的度数，得到以下四组数据：甲：，；乙：，，；?丙：和；丁：，，．其中能求得，两地距离的有（ ）
A． 1组 B． 2组 C． 3组 D． 4组
二、填空题
如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是　 　m（结果保留根号）
如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2 000 m，则
他实际上升了__ __m.
全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为　　　　　　米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．
某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为_____m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈， cos53°≈，tan53°≈）．
如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm．
（1）窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；
（2）窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）．
（参考数据：≈1.732，≈2.449）
三、解答题
如图是某小区的一个健身器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，∠BOD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A，B两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB=62°，立杆OA=OB=140cm，小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）
如图，游客在点A处做缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB=BD=600m，α=75°，β=45°，求DE的长．
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.41）
小明一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小明与爸爸在湖中划船（如图所示）．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小明观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小明与妈妈相距多少米（精确到1米）？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）
答案解析
一、选择题
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由os∠BCD=知BC==．
解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，
∴BC==，
故选：B．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．　
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】在直角△ABC中，利用正弦函数即可求解．
解：在直角△ABC中，sin∠ABC=，
∴AB=AC÷sin∠ABC=6÷sin48°=≈8.1（米）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的条件，把实际问题转化为数学问题是解题的关键．　
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
解：在Rt△ABC中，BC=AC?tanθ=4tanθ（米），
∴AC+BC=4+4tanθ（米），
∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+4tanθ（米2）；
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．　
【考点】解直角三角形的应用
【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．
解：在Rt△ABC中，AB=，
在Rt△ACD中，AD=，
∴AB：AD=：=，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于（1）（3），根据AB=即可解答．
解：此题比较综合，要多方面考虑，
第①组中，因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
第②组中可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
第③组中设AC=x，AD=CD+x，AB=，AB=；因为已知CD，∠ACB，∠ADB，可求出x，然后得出AB．
故选D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．
【考点】相似三角形的应用，解直角三角形的应用
【分析】分别根据直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质对四组数据进行逐一分析即可．
解：甲：∵已知AC、∠ACB，∴AB=AC?tan∠ACB，故甲组符合题意；
乙组：∵AB⊥AE于A，EF⊥AE于E，
∴AE∥EF，
∴∠A=∠E=90°，
∵∠ADB=∠EDF，
∴△DEF∽△DAB，
∴，
∴AB=，故乙组符合题意；
丙：∵∠E=90°，
∴∠EDF=90°-∠DFE，
∵∠ADB=∠EDF，△ADB是直角三角形，
∴AB=AD?tan∠ADB，故丙组正确；
丁组： CD，DE，∠ACB无法求得AB的长，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用，解答此题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形或直角三角形中，利用相关知识进行解答即可.
二、填空题
【考点】解直角三角形的应用
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．
解：由题意可得：∠BDA=45°，
则AB=AD=120m，
又∵∠CAD=30°，
∴在Rt△ADC中，
tan∠CDA=tan30°==，
解得：CD=40（m），
故答案为：40．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA=tan30°=是解题关键．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，根据AB=200米，∠A=30°，求出BC的长度即可．
解：过点B作BC⊥水平面于点C，
在Rt△ABC中，
∵AB=2000米，∠A=30°，
∴BC＝AB·sin30°＝2 000×＝1 000(m)．
故答案为：1000．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识进行求解．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出EC的长，进而得出AE的长，进而得出答案．
解：如图所示：由题意可得：CE⊥AB于点E，BE=DC，
∵∠ECB=18°48′，
∴∠EBC=78°12′，
则tan78°12′===4.8，
解得：EC=48（m），
∵∠AEC=45°，则AE=EC，且BE=DC=10m，
∴此塑像的高AB约为：AE+EB=58（米）．
故答案为：58．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出EC的长是解题关键．
【考点】相似三角形的应用，解直角三角形的应用
【分析】过点D作DO⊥AH于点O，先证明△ABC∽△AOD得出=，再根据已知条件求出AO，则OH=AH-AO=DG.
解：过点D作DO⊥AH于点O，如图：
由题意得CB∥DO，
∴△ABC∽△AOD，
∴=，
∵∠CAB=53°，tan53°=,
∴tan∠CAB==,
∵AB=1.74m，
∴CB=2.32m，
∵四边形DGHO为长方形，
∴DO=GH=3.05m，OH=DG，
∴=，
则AO=2.2875m，
∵BH=AB=1.75m，
∴AH=3.5m，
则OH=AH-AO≈1.2m，
∴DG≈1.2m.
故答案为1.2.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用.
【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质可以解答本题；
（2）根据锐角三角函数和题意可以求得AB的长，从而可以解答本题．
解：（1）∵AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴AC∥DE，
∴∠DFB=∠CAB，
∵∠CAB=85°，
∴∠DFB=85°；
（2）作CG⊥AB于点G，
∵AC=20，∠CGA=90°，∠CAB=60°，
∴CG=，AG=10，
∵BD=40，CD=10，
∴CB=30，
∴BG==，
∴AB=AG+BG=10+10≈10+10×2.449=34.49≈34.5cm，
即A、B之间的距离为34.5cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三 、解答题
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，求出AF、EF即可解决问题．
解：作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，
∵OD⊥CD，∠BOD=70°，
∴AE∥OD，
∴∠A=∠BOD=70°，
在Rt△AFB中，∵AB=2.7，
∴AF=2.7×cos70°≈2.7×0.34=0.918，
∴AE=AF+BC≈0.918+0.15=1.068≈1.1m，
答：端点A到地面CD的距离是1.1m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】先过P作PC⊥AB于C，在Rt△APC中，根据AP=200m，∠ACP=90°，∠PAC=60°求出PC的长，再根据在Rt△PBC中，，得出PB的值，即可得出答案.
解：过P作PC⊥AB于C，
在Rt△APC中，AP=200m，∠ACP=90°，∠PAC=60°，
∴PC=200×sin60°=200×=100。
∵在Rt△PBC中，，
∴（m）。
答：小明与妈妈相距约288米。
【点评】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，用到的知识点是方向角、解直角三角形，关键是根据方向角求出角的度数．　
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】过点O作OE⊥AB，根据等腰三角形的性质求得∠OAB，再在Rt△AEO中，利用三角函数sin∠OAB=，求得OE，即可作出判断．
证明：过点O作OE⊥AB于点E，
∵OA=OB，∠AOB=62°，
∴∠OAB=∠OBA=59°，
在Rt△AEO中，OE=OA?sin∠OAB
=140×sin59°
≈140×0.86
=120.4，
∵120.4＜122，
∴这件连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形和三角函数的定义的综合运用．
【考点】解直角三角形的应用．.
【分析】在R△ABC中，求出BC=AB?cos75°≈600×0.26≈156m，在Rt△BDF中，求出DF=BD?sin45°=600×≈300×1.41≈423，由四边形BCEF是矩形，可得EF=BC，由此即可解决问题．
解：在Rt△ABC中，∵AB=600m，∠ABC=75°，
∴BC=AB?cos75°≈600×0.26≈156m，
在Rt△BDF中，∵∠DBF=45°，
∴DF=BD?sin45°=600×≈300×1.41≈423，
∵四边形BCEF是矩形，
∴EF=BC=156，
∴DE=DF+EF=423+156=579m．
答：DE的长为579m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用直角三角形解决问题，属于中考常考题型．