4.4 解直角三角形的应用课时作业4

4.4 解直角三角形的应用课时作业4
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
在离电视塔米的地面上处测得塔顶的仰角是，则电视塔的高为（ ）
A． B． C． D．
如图，某建筑物的楼顶上有一避雷针，在距此建筑物米的处安置-高度为米的测倾器，测得避雷针顶端的仰角为，又知建筑物共有六层，每层层高为米，则避雷针的长度（结果精确到米）．（参考数据，）为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O点30m的点A处，测得楼顶B点的仰角∠OAB=65°，则这幢大楼的高度为（　　）m．
A．30?sin65° B． C．30?tan65° D．
济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在处仰望塔顶，测得仰角为，再往楼的方向前进至处，测得仰角为，若学生的身高忽略不计，，结果精确到，则该楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物DEFC的高度．他们从点A出发沿着坡度为i=1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，此时测得建筑物顶端C的仰角α=35°，建筑物底端D的俯角β=30°．若AD为水平的地面，则此建筑物的高度CD约为（　　）米．（参考数据：≈1.7，tan35°≈0.7）
A． 23.1 B． 21.9 C． 27.5 D． 30
如图，为了测量某建筑物BC的高度，小明先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了10m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i=1：，沿着斜坡前进10米到达E处测得建筑物顶部的仰角是45°，请求出该建筑物BC的高度为（　　）（结果可带根号）
A． 5+5 B． 5+5 C． 5+10 D． 5+10
二、填空题
如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为　　　　　　米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）
如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝______米．
在地面上一点，测得电视塔尖的仰角为，沿水平方向再向塔底前行米，又测得塔尖的仰角为，那么电视塔高为________米．
如图 ，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9 m，则旗杆AB的高度是_________m．(结果保留根号)
如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为，底部点C的俯角为，则楼房CD的高度为______
三、解答题
小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）
如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的
俯角为α其中tanα=2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米．
①求点H到桥左端点P的距离；
②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB．
在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB为10m，求塑像的高度CF．（结果保留根号）
如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
答案解析
一 、选择题
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】利用所给角的正切函数即可求解．
解：设电视塔的高为h,根据仰角的定义,结合题意可得：
∴h=stanα.
故选:A.
【点睛】属于解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握正切的定义是解题的关键.
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】过点E作EM⊥AC，根据已知可求得AC，BC的长，从而求AB的长．
解：过点E作EM⊥AC．
在直角△AEM中，AM=ME?tan60°=12，
∴AC=12+1.5≈22.26，BC=6×3=18．
∴AB=AC-BC=4.26≈4.3（米）．
故选D．
【点睛】本题主要考查了仰角的定义，正确记忆三角函数的定义，把直角梯形的问题转化为解直角三角形的问题是解决本题的关键．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】利用正切函数的定义tan∠BAO=即可解决．
解：如图，在RT△ABO中，∵∠AOB=90°，∠A=65°，AO=30m，
∴tan65°=，
∴BO=30?tan65°．
故选C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、记住三角函数的定义是解题的关键，属于基础题．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】由题意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．
解：根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，
∴∠ADB=∠DBC-∠A=30°，
∴∠ADB=∠A=30°，
∴BD=AB=60m，
∴CD=BD?sin60°=60×=30≈51（m）．
故选B．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】过点B作BN⊥AD，BM⊥DC垂足分别为N，M，设BN=x，则AN=2.4x，在Rt△ABN中，根据勾股定理求出x的值，从而得到BN和DM的值，然后分别在Rt△BDM和Rt△BCM中求出BM和CM的值，即可求出答案.
解：如图所示：过点B作BN⊥AD，BM⊥DC垂足分别为N，M，
∵i=1:2.4，AB=26m，
∴设BN=x，则AN=2.4x，
∴AB==2.6x，
则2.6x=26，
解得：x=10，
故BN=DM=10m，
则tan30°= = = ，
解得：BM=10，
则tan35°== =0.7，
解得：CM≈11.9（m），
故DC=MC+DM=11.9+10=21.9（m）．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，如果没有直角三角形则作垂线构造直角三角形，然后利用直角三角形的边角关系来解决问题，有时还会用到勾股定理，相似三角形等知识才能解决问题.
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】过E作EF⊥AB于F，EG⊥BC与G，根据矩形的性质得到四边形EG=FB，EF=BG，设CG=x，根据已知条件得到∠EDF=30°及直角三角形得到DF=10cos30°=5，BG=EF=10sin30°=5，AB=10+5+x，BC=x+5．在Rt△ABC中，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
解：过E作EF⊥AB于F，EG⊥BC与G．
∵CB⊥AB，
∴四边形EFBG是矩形，
∴EG=FB，EF=BG，设CG=x米．
∵∠CEG=45°，
∴FB=EG=CG=x．
∵DE的坡度i=1：，
∴∠EDF=30°．
∵DE=10，
∴DF=10cos30°=5，BG=EF=10sin30°=5，
∴AB=10+5+x，BC=x+5．在Rt△ABC中，
∵∠A=30°，
∴BC=AB?tan∠A，即x+5=（10+5+x），解得：x=5+5，
∴BC=5+5+5=（5+10）米．
故选D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角与俯角，坡度坡角问题等知识．解题的关键是能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
二 、填空题
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．
【解答】解：由题意可得：tan30°===，
解得：BD=30，
tan60°===，
解得：DC=90，
故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120≈208（m），
故答案为：208．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，可得四边形ABCE为矩形，根据矩形的性质得AE=BC=30米，AB=CE=28米，在Rt△DAE中可得DE＝AE＝30m，根据DC＝DE+EC即可求得DC的长.
解：过点A作AE⊥CD于点E，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴四边形ABCE为矩形，
∴AE=BC=30米，AB=CE=28米，
根据题意得，在Rt△DAE中，∠DAE=45°，
∴DE＝AE＝30m，
∴DC＝DE+EC＝58m.
故答案为：58.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，本题应借助仰角关系构造直角三角形，利用直角三角形模型解决问题．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】如图：构建直角三角形，根据45°、60°角的正切值分别表示出两个三角形中CD和BD的长，然后根据二者之间的关系，列方程解答．
解：如图：设CD为x米，
∵∠CAD=45°，
∴CD=AD=x，
∵∠CBD=60°，
∴tan60°== = ，
解得：x= ，
故答案为：
故答案为：
【点睛】本题考查仰角的定义，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题关键．
【考点:】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【分析】根据在Rt△ACD中，，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案。
解：在Rt△ACD中，
∵tan∠ACD＝，
∴tan30°＝，
∴AD＝3 m，
在Rt△BCD中，∵∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝9 m，
∴AB＝AD＋BD＝3＋9(m)．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．
解：如图，过点B作于点E，
根据题意，，．
，，
四边形ABEC为矩形．
．
在中，，
．
在中，由，
得．
．
故答案为：．
【点睛】考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
三 、解答题
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出CD=AD、BD=AD，再结合BC=30即可求出AD的长度．
解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，
∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，
∴CD=AD?tan∠CAD=AD，BD=AD?tan∠BAD=AD，
∴BC=CD﹣BD=AD=30，
∴AD=15≈25.98．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，通过解直角三角形找出CD=AD、BD=AD是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】①在Rt△AHP中，由tan∠APH=tanα=，即可解决问题；
②设BC⊥HQ于C．在Rt△BCQ中，求出CQ==1500米，由PQ=1255米，可得CP=245米，再根据AB=HC=PH﹣PC计算即可；
解：①在Rt△AHP中，∵AH=500，
由tan∠APH=tanα===2，可得PH=250米．
∴点H到桥左端点P的距离为250米．
②设BC⊥HQ于C．
在Rt△BCQ中，∵BC=AH=500，∠BQC=30°，
∴CQ==1500米，
∵PQ=1255米，
∴CP=245米，
∵HP=250米，
∴AB=HC=250﹣245=5米．
答：这架无人机的长度AB为5米．
【点评】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，锐角三角函数，矩形判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．　
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】在Rt△CDG和Rt△CEG中，求出公共边CG的长度，然后可求得CF=CG+GF．
解：∵AB=10m，
∴DE=DG+EG=10m，
在Rt△CEG中，
∵∠CEG=45°，
∴EG=CG，
在Rt△CDG中，
∵∠CDG=30°，∠DCG=60°，
∴DG=CG?tan60°，
则DE=CG?tan60°+CG=10m．
即DE=CG+CG=10．
∴CG=5﹣5．
由题意知：GF=1.5m
∴CF=CG+GF=5﹣5+1.5=5﹣3.5
答：广告牌CD的高为（5﹣3.5）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
【考点】解直角三角形的应用-俯角仰角
【分析】作DH⊥BC于H．设AE=x．在Rt△ABC中，根据tan∠ABC=，构建方程即可解决问题；
解：作DH⊥BC于H．设AE=x．
∵DH：BH=1：3，
在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2=6002，
∴DH=60，BH=180，
在Rt△ADE中，∵∠ADE=45°，
∴DE=AE=x，
∵又HC=ED，EC=DH，
∴HC=x，EC=60，
在Rt△ABC中，tan33°=，
∴x=，
∴AC=AE+EC=+60=．
答：山顶A到地面BC的高度AC是米
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．