4.4 解直角三角形的应用课时作业5

4.4 解直角三角形的应用课时作业5
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
如图，一渔船由西往东航行，在点测得海岛位于北偏东的方向，前进海里到达点，此时，测得海岛位于北偏东的方向，则海里到航线的距离是（ ）
A． 20海里 B． 40海里 C． 20海里 D． 40海里
如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为（　　）
A．60 n mile B．60 n mile C．30 n mile D．30 n mile
如图，一艘潜艇在海面下500米A处测得俯角为30°的海底C处有一黑匣子发出信号，继续在同一深度直线航行4000米后，在B处测得俯角为60°的海底也有该黑匣子发出的信号，则黑匣子所在位置点C在海面下的深度为（ ）
A． 2000米 B． 4000米 C． 2000米 D． （2000+500）米
如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行（　　）
A． 海里 B． 海里
C． 海里 D． 海里
如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行15 km到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东45°的方向，则观测站O距港口A的距离为（ ）
A． km B． 15 km C． km D． 15 km
一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（　　）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）
A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里
二、填空题
（如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行8海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行15海里，这时两轮船相距_____海里．
小明骑自行车以15千米/小时的速度在公路上向正北方向匀速行进，如图，出发时，在B点他观察到仓库A在他的北偏东30°处，骑行20分钟后到达C点，发现此时这座仓库正好在他的东南方向，则这座仓库到公路的距离为　　　　　　千米．（参考数据：≈1.732，结果保留两位有效数字）
如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行____________小时即可到达 (结果保留根号)
我海军在我国的南海海域举行反潜实战演习．在演习过程中，如图所示，军舰测得潜艇的俯角为，在军舰正上方米的反潜直升机测得潜艇的俯角为．请根据以上数据计算潜艇的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：，，，）
 “奔跑吧，兄弟！”节目组预设计一个新游戏：“奔跑”路线A、B、C、D四地，如图A、B、C三地在同一直线上，D在A北偏东30°方向，在C北偏西45°方向，C在A北偏东75°方向，且BD=BC=40m，从A地到D地的距离是_____m．
三、解答题
如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）
如图，自来水厂A和村庄B在小河1的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道，为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏西方向，B位于南偏西方向．
求BQ长度；
求A，B间的距离参考数据：
如图，湿地景区岸边有三个观景台A、B、C．已知AB=1400米，AC=1000米，B点位于A点的南偏西60.7°方向，C点位于A点的南偏东66.1°方向．
（1）求△ABC的面积；
（2）景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD．试求A、D间的距离．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49，sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，≈1.414）．
如图，是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图，为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB、BC、CA跑步小路的宽度不计观测得点B在点A的南偏东方向上，点C在点A的南偏东的方向上，点B在点C的北偏西方向上，AC间距离为400米问小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？
参考数据：，
答案解析
一 、选择题
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】根据方向角的定义、余角的性质、三角形的外角性质、等角对等边的性质即可解出.
解：由题意可知，已知∠ACD＝30°，∠CBD＝60°，
∵∠CBD＝∠CAD＋∠ACB，
∴AB＝BC＝40海里，
在RT△CBD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝60°，sin∠DBC＝ ，
∴sin60°＝ ，
∴CD＝40×sin60°＝40× ＝ （海里）.
故选：C.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用和方向角的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【分析】如图作PE⊥AB于E．在Rt△PAE中，求出PE，在Rt△PBE中，根据PB=2PE即可解决问题．
解：如图作PE⊥AB于E．
在Rt△PAE中，∵∠PAE=45°，PA=60n mile，
∴PE=AE=×60=30n mile，
在Rt△PBE中，∵∠B=30°，
∴PB=2PE=60n mile，
故选B
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点，易证∠BAC=∠BCA，所以有BA=BC．然后在直角△BCE中，利用正弦函数求出CE的长．
解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点.
已知AB=4000(米),∠BAC=30°,∠EBC=60°，
∵∠BCA=∠EBC?∠BAC=30°，
∴∠BAC=∠BCA.
∴BC=BA=4000(米).
在Rt△BEC中，
EC=BC?sin60°=4000×=2000 (米).
∴CF=CE+EF=2000+500(米).
故选D.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】作AC⊥OB于C点，根据题目提供的方向角，并从图中整理出直角三角形的模型，利用解直角三角形的知识求得BC的长即可．
解：作AC⊥OB于C点，只要到C处，轮船离电视塔最近，求出BC长即可，
由已知得： OB=20海里，
∴
∵
解得： 海里，
∴海里，
故选A.
【点睛】考查解直角三角形的应用-方向角问题，作辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】过点A作AM⊥OB于M，可得△ABD是等腰直角三角形，从而可得Rt△ABM是有30°角的直角三角形，从而得出AM的长，再根据等腰直角三角形的性质即可得OA的长.
解：过点A作AM⊥OB于M，
在Rt△ABD中，∠AMO=90°，∠MOA=45°，
∴∠MAO=45°=∠MOA，
∴MA=MA，
∵∠MAO=45°，
∴∠MAB=45°+15°=60°，
∵∠MAB=90°，
∴∠B=90°-∠MAB=30°，
∴AM=AB=，
∴AO==，
故选A.
【考点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】根据题意画出图形，结合图形知∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，设BD=x，则AB=BE=CE=2x、AD=DE=x，据此得出AC=2x+2x，根据题意列出方程，求解可得．
解：如图所示，
由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°，
作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，
则∠BED=30°，BE=CE，
设BD=x，
则AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，
∴AC=AD+DE+CE=2x+2x，
∵AC=30，
∴2x+2x=30，
解得：x=≈5.49，
故选：B．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，涉及的知识有：三角形的外角性质，等腰三角形的判定，含30°角直角三角形的性质，以及垂线段最短的应用，其中理解题意，画出相应的图形，把实际问题转化为数学问题是解此类题的关键．
二 、填空题
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】由题意，得出AO=8海里，BO=15海里，，
根据勾股定理即可求出
解：如图，由题意可得：AO=8海里，BO=15海里，，
故（海里），
答：两轮船相距17海里．
故答案为：17．
【点睛】考查勾股定理在解直角三角形中的应用，根据题意得出是解题的关键.
【考点】 解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，运用三角函数定义求AD的长．
解：过点A作AD⊥BC于点D．
设AD=x，则BD=x．
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴CD=AD=x．
∵小明骑自行车以15千米/小时的速度在公路上向正北方向匀速行进，骑行20分钟后到达C点，
∴15×=5，
∴BC=5．
∴x+x=5．
∴x=≈1.8（千米）．
即仓库到公路的距离为1.8千米．
【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．
解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以 BQ=PQ-90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ?tan30°=PQ（海里），
所以 PQ-90=PQ，
所以 PQ=45（3+）（海里）
所以 MN=PQ=45（3+）（海里）
在直角△BMN中，∠MBN=30°，
所以 BM=2MN=90（3+）（海里）
所以（小时）
故答案是：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD就是潜艇C的下潜深度．设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，在Rt△ACD中，列出1000+x=x?tan68°即可解答．
解：如图，过点作，交的延长线于点，
则就是潜艇的下潜深度．由题意，得，．
设，则，
在中，，
在中，，
∴．
∴．
∴潜艇的下潜深度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角、俯角构造直角三角形并解直角三角形．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】过点D作DE⊥BC于E，由方向角可得出∠DAC=45°、∠BCD=60°，结合BC=BD=40m，即可得出△BCD为等边三角形，进而可得出DE的长度．在Rt△ADE中，由∠AED=90°、∠DAE=45°，可得出AE=DE=20m，再利用勾股定理即可得出AD的长度．
解：过点D作DE⊥BC于E，如图所示．
由题意可知：∠DAC=75°﹣30°=45°，∠BCD=180°﹣75°﹣45°=60°．
∵BC=BD=40m，
∴△BCD为等边三角形，
∴DE=BD=20m．
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，
∴∠ADE=45°，
∴AE=DE=20m，AD==20m．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、勾股定理的应用以及等边三角形的判定与性质，根据方向角结合BC=BD找出△BCD为等边三角形是解题的关键．
三 、解答题
【考点】解直角三角形的应用-方向角
【分析】直接过点C作CM⊥AB求出AM，CM的长，再利用锐角三角三角函数关系得出BM的长即可得出答案．
解：过点C作CM⊥AB，垂足为M，
在Rt△ACM中，∠MAC=90°﹣45°=45°，则∠MCA=45°，
∴AM=MC，
由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（20×2）2，
解得：AM=CM=40，
∵∠ECB=15°，[来源:学科网]
∴∠BCF=90°﹣15°=75°，
∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°，
在Rt△BCM中，tanB=tan30°=，即=，
∴BM=40，
∴AB=AM+BM=40+40≈40+40×1.73≈109（海里），
答：A处与灯塔B相距109海里．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】（1）首先由已知求出∠PBQ和∠BPQ的度数进行比较得出线段BQ与PQ是否相等；
（2）先由已知求出∠PQA，再由直角三角形PQA求出AQ，由（1）得出BQ=PQ=1200，又由已知得∠AQB=90°，所以根据勾股定理求出A，B间的距离.
解：位于P点南偏东方向，
，
又位于Q点南偏西方向，
，
，即，
；
点P处测得A在正北方向，
在中，
，
在点Q处，测得A位于北偏西方向，B位于南偏西方向，
，在中，
答：A，B间的距离约为2000m．
【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是通过角的计算得出BQ=PQ，再由直角三角形先求出AQ，根据勾股定理求出AB.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】（1）作CE⊥BA于E．在Rt△ACE中，求出CE即可解决问题；
（2）接AD，作DF⊥AB于F．，则DF∥CE．首先求出DF、AF，再在Rt△ADF中求出AD即可；
解：（1）作CE⊥BA于E．
在Rt△AEC中，∠CAE=180°﹣60.7°﹣66.1°=53.2°，
∴CE=AC?sin53.2°≈1000×0.8=800米．
∴S△ABC=?AB?CE=×1400×800=560000平方米．
（2）连接AD，作DF⊥AB于F．，则DF∥CE．
∵BD=CD，DF∥CE，
∴BF=EF，
∴DF=CE=400米，
∵AE=AC?cos53.2°≈600米，
∴BE=AB+AE=2000米，
∴AF=EB﹣AE=400米，
在Rt△ADF中，AD==400=565.6米．
【点评】本题考查解直角三角形-方向角问题，勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．　
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】延长AB至D点，作CD⊥AD于D，根据题意得∠BAC=30°，∠BCA=15°，利用三角形的外角的性质得到∠DBC=∠DCB=45°，然后在Rt△ADC中，求得CD=BD=200米后即可求得三角形ABC的周长．
解：过点C作交AB延长线于一点D，
根据题意得，，
故，
在中，
米，，
米，
米，米
米，
三角形ABC的周长为米
小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了约829米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形模型并求解．