第4章 锐角三角函数单元检测试题B卷（含解析）

第4章 锐角三角函数单元检测试题B卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（12╳4=48分）
1．如图所示，在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则约为（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，则∠B的度数是( )
A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
5．如图所示，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，则的值为(????)
A． B． 1 C． D．
6．如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30o，从C点向塔底走100m到达D点，测出看塔顶的仰角为45o，则塔AB的高为（　 　）
A． m B． 50m C． m D． 100m
7．将一张矩形纸片（如图）那样折起，使顶点落在处，测量得，．则为（ ）
A． B． C． D．
8．如图是一台英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设，彩电后背平行于前沿，且与的距离为，若，则墙角到前沿的距离是（ ）
A． B． C． D． 以上答案都不对
9．如图，小惠家（图中点处）门前有一条东西走向的公路，测得一水塔（图中点处），在她家北偏东方向米处，那么他所在位置到公路的距离为（ ）米．
A． B． C． D．
10．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端25米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为，则树OA的高度为 （　　）
A． 米 B． 25米 C． 25米 D． 25米
11．如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB=20米，AC=30米，∠A=150°，草皮的售价为a元/米2， 则购买草皮至少需要（　　）
A． 450a元 B． 225a元 C． 150a元 D． 300a元
12．如图，小黄站在河岸上的点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船的俯角是，若小黄的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度为，坡长米，则此时小船到岸边的距离的长为（ ）米．（，结果保留两位有效数字）
A． 11 B． 8.5 C． 7.2 D． 10
二、填空题（6╳4=24分）
13．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________.
14．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=∠BAC，tan∠BPC=_______________.
15．为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位．（≈1.4）
16．在一次数学实验活动中，老师带领学生去测一条南北流向的河的宽度．如图，某同学在河东岸点处观测河对岸水边有点，测得在北偏西的方向上，沿河岸向北前行米到达处，测得在北偏西的方向上，则这条河的宽度________米．（参考数据：）
17．已知角A是锐角，且tanA，cotA是关于x的一元二次方程的两个实数根，则k的值为___________
18．如图，AC是?ABCD的对角线，点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F，连接CE，DF，若∠BEC=∠BAC=90°，则sin∠DFE的值为_____．
三、解答题（共78分）
19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8cm，AC＝10cm，求AB，BD的长.
20．如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）
21．某科技馆坐落在山坡处，从山脚处到科技馆的路线如图所示，已知处在水平面上，斜坡的坡角为，，斜坡的坡角为，，那么科技馆处的海拔高度是多少？（精确到）（参考数据：，，）
22．为推进多城同创，打造宜业宜居家园，温岭市交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并进一步完善各类监测系统，如图，在泽太一级公路某直线路段内限速千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点，从观测点测得一小车从点到达点行驶了秒钟，已知，，米，此车超速了吗？请说明理由．
（参考数据：，）
23．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向内旋转35°到达ON位置，此时点A，C的对应位置分别是点B，D，测量出∠ODB=25°，点D到点O的距离为30cm，求滑动支架BD的长．
（结果精确到1cm，参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
24．如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．
（1）若，，，试比较、的大小；
（2）若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明．
25．一轮船在P处测得灯塔A在正北方向，灯塔B在南偏东30°方向，轮船向正东航行了900m，到达Q处，测得A位于北偏西60°方向， B位于南偏西30°方向．
（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；
（2）求A、B间的距离（结果保留根号）．
26．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝110厘米，∠BAC＝37°，垂直支架CD=57厘米，DE是另一根辅助支架，且∠CED＝60°.
（1）求辅助支架DE长度；(结果保留根号)
（2）求水箱半径OD的长度．(结果精确到1厘米，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
参考答案
1．D
【解析】【分析】由勾股定理求AB，再根据 ，可求得结果.
【详解】由勾股定理得：AB=,
所以，
故选：D
【点睛】本题考核知识点：锐角三角函数.解题关键点：由勾股定理求出斜边，再根据正弦定义求得结果.
2．B
【解析】
【分析】
由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
【详解】
∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=12cm，∴AC=6cm．由题意可知BC∥ED，∴∠AFC=∠ADE=45°，∴AC=CF=6cm．故S△ACF=×6×6=18（cm2）．故选：B．
【点睛】
考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，解答此题的关键是发现△ACF是等腰直角三角形，并根据直角三角形的性质求出直角边AC的长．
3．B
【解析】
【分析】
一般先按键“SHIFT”，再按键“tan”，输入“0.3249”，再按键“=”即可得到结果．
【详解】
tanα=0.3249，α约为18°．故选：B．
【点睛】
考查了计算器的应用，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
4．A
【解析】
【分析】
根据题意可知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，从而算出tanB=；
接下来结合特殊角的三角函数值，求出∠B的度数，进而得到答案.
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，
∴tanB=，
∴∠B=30°.
故选A.
【点睛】本题是解直角三角形的问题，需要根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值进行解答.
5．A
【解析】
【分析】
连接BD，找到∠BAC所在的直角三角形，利用勾股定理求出BD及AB的长，求得∠BAC的对比与邻边之比即可．
【详解】
连接BD，则△ABD是直角三角形，∠ABD=90°，
∵BD=，AB=，
∴tan∠BAD=．
故选A．
【点睛】
一个角的正切值等于这个角所在的直角三角形的对比与邻边之比；难点是得到∠BAC所在的直角三角形的两条直角边长度．
6．C
【解析】试题解析：在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB．在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴=tan30°=，∴BC=AB．设AB=x（米），∵CD=100，∴BC=x+100．∴x+100=x∴x=50（+1），即塔AB的高为(50+50)m．故选C．
7．B
【解析】
【分析】
由折叠可知，C′D=CD．根据在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°，从而得出答案.
【详解】
∵△CDE≌△C′DE，∴C′D=CD．∵AB=4，DE=8，∴C′D=4．∴sin∠C'ED=．故选：B．
【点睛】
考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边．
8．A
【解析】
【分析】
墙角O到前沿BC的距离OE是O到AD的距离加上AD与BC的距离60cm．
【详解】
根据直角三角形的边角关系，O到AD的距离=100sinacm．∵AD与BC的距离60cm．∴OE=（60+100sina）cm．故选：A．
【点睛】
考查了三角函数定义的应用．
9．C
【解析】
【分析】
根据题意可得△OAB为直角三角形，∠AOB=30°，OA=600m，根据三角函数定义即可求得AB的长．
【详解】
由已知得，∠AOB=30°，OA=600m．则AB=OA=300m．故选：C．
【点睛】
考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
10．C
【解析】首先根据题意可知，在Rt△ABO中，BO=25米，∠ABO为，结合正切函数的定义得：tan=，接下来再代值进行计算，即可求得树高OA的长.
解：在Rt△ABO中，
∵BO=25米，∠ABO为，
∴AO=BO·tan=25tan（米）.
故选C.
点睛：本题主要考查了解直角三角形的知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解决本题的关键.
11．C
【解析】【分析】过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，则∠DAC=30°，由AC=30m，求出CD=15m，然后根据三角形的面积公式推出△ABC的面积为150m2，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
【详解】如图，过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°，
∵CD⊥BD，AC=30m，
∴CD=15m，
∵AB=20m，
∴S△ABC=AB×CD=×20×15=150m2，
∵草皮的售价为a元/米2，
∴购买这种草皮的价格：150a元．
故选C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于作出AB边上的高，根据相关的性质求出高CD的长度，正确的计算出△ABC的面积．
12．D
【解析】
【分析】
把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到CA的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE=EH即为AC长度．
【详解】
过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．
∵i==，设BE=4x，则AE=3x，AB=5x．
∵AB=10.5，∴x=2.1，∴BE=8.4，AE=6.3．
∵DG=1.6，BG=0.7，∴DH=DG+GH=1.6+8.4=10，AH=AE+EH=6.3+0.7=7．
在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=10，tan30°==，∴CH≈17．
又∵CH=CA+7，即17=CA+7，∴CA=17﹣7=10（米）．
故选D．
【点睛】本题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．
13．
【解析】由题知，∠ABD′=90°，BD=BD′==2，，
∴tan∠BAD′==，
故答案为： .
14．
【解析】试题分析：如答图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC，∴AH平分∠BAC，且BH=BC=4.
又∵∠BPC=∠BAC，∴∠BAH=∠BPC.
∴tan∠BPC=tan∠BAH.
在Rt△ABH中，AB=5，BH=4，∴AH=3．
∴tan∠BAD=.
∴tan∠BPC=.
考点：1.等腰三角形的性质；2.锐角三角函数定义；3.转化思想的应用.
15．17.
【解析】
试题分析：如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56-BE）÷EF+1，列式计算即可求解．
试题解析：如图，
BC=2．2×sin45°=2．2×≈1．54米，
CE=5×sin45°=5×≈3．5米，
BE=BC+CE≈5．04，
EF=2．2÷sin45°=2．2÷≈3．1米，
（56-5．04）÷3．1+1
=50．96÷3．1+1
≈16．4+1
=17．4（个）．
故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．
考点：解直角三角形的应用．
16．
【解析】
【分析】
作CE⊥AB于E，设CE=x，在RT△ACE中，根据tan∠CAE=列出方程即可解决问题．
【详解】
如图，作CE⊥AB于E，
设CE=x，由题意得∠CBE=45°，∠CAE=31°，∴∠CBE=∠BCE=45°，∴CE=BE=x，AE=20+x，∵tan31°=，
∴，
∴x=30，∴CE=30米．故答案是：30．
【点睛】
考查解直角三角形、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用方程解决问题.
17．-2
【解析】
【分析】
由韦达定理可得tanA+cotA=﹣2k，tanA·cotA=k2﹣3=1，由于tanA＞0，cotA＞0，所以tanA+cotA=﹣2k＞0，由此确定出k＜0，根据k2﹣3=1，解出k的值，正值舍去即可.
【详解】
由题意得：tanA+cotA=﹣2k，tanA·cotA=k2﹣3=1，
∴k=±2，
∵tanA＞0，cotA＞0，
∴tanA+cotA=﹣2k＞0，即k＜0，
∴k=﹣2.
故答案为﹣2.
【点睛】
本题主要考查锐角三角函数正切与余切之间的关系以及一元二次方程根与系数的关系.
18．
【解析】
【分析】
如图，取BC的中点O，连接AO、EO，作DH⊥BE于H，设EF=a，由已知可推导得出A、B、C、E四点共圆，再根据AE∥BC，可得，继而可得AB=CE=CD，根据AB∥CD以及AE=ED，可推导得出△CDE是等边三角形，继而可得出∠FCB=∠FBC=30°，∠FEA=∠FAE=30°，由EF=a，则AE=a，在Rt△DEH中，则可得DH=a，EH=a，从而可求得FH、DF长，再根据正弦的定义进行求解即可得.
【详解】
如图，取BC的中点O，连接AO、EO，作DH⊥BE于H，设EF=a，
∵∠BAC=∠BEC=90°，BO=OC，
∴OA=OB=OC=OE，
∴A、B、C、E四点共圆，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴，
∴AB=CE=CD，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=90°，
∵AE=ED，
∴CE=DE=AE=CD，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠CDE=60°，
∴∠FCB=∠FBC=30°，∠FEA=∠FAE=30°，
∵EF=a，则AE=a，
在Rt△DEH中，∵∠HED=30°，DE=a，
∴DH=a，EH=a，
∴FH=a，
DF=，
∴sin∠DFE=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、四点共圆的判定、解直角三角形的应用，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线并熟练应用相关知识是解题的关键.
19．AB=，BD=
【解析】
【分析】
在Rt△ACD中根据CD、AC的长求出∠A的各三角函数值，进而求出AB的长和BD的长即可.
【详解】
∵CD⊥AB ，CD＝8cm，AC＝10cm，
∴根据勾股定理得：AD=6，
∴sinA == ，cosA ==
∴在Rt△ABC中，AB= = ，
BD=AB-AD= ，
【点睛】
本题考查了解直角三角形和勾股定理等知识，根据已知求出角的三角函数值是解题关键.
20．1.9千米.
【解析】
【分析】
本题是求C到AB的距离，可通过过点C作CD⊥AB于点D来构造直角三角形求解．
【详解】
过点C作CD⊥AB于点D．
CD就是连接两岸最短的桥．设CD=x米．
在直角三角形BCD中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x．
在直角三角形ACD中，∠ACD=30°，
所以AD=CD×tan∠ACD=x·tan30°=x．
因为AD+DB=AB，所以x+x=3，x=≈1.9（千米）.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用.添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键.
21．
【解析】
【分析】
过点B、M构造直角三角形，分别得到AB的垂直距离和MB的垂直距离，让两个垂直距离相加即可．
【详解】
解：过向水平线作垂线，垂足为，过向水平线作垂线，垂足为,如图所示：
∵，，
∴，
，
故科技馆处的海拔高度是：．
【点睛】
解决本题的关键是得到所求的线段的合理分割，主要应用了三角函数值．
22．此车没有超速．理由见解析.
【解析】
【分析】
根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长，进而求出汽车的速度，进而得出答案．
【详解】
此车没有超速．理由如下：
过作，垂足为，
∵，米，
∴（米），
（米），
∵，
∴米，
∴，
∴车速为．
∵千米/小时，
又∵，
∴此车没有超速．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出AB的长是解题关键．
23．滑动支架BD的长大约为25cm
【解析】
【分析】
根据锐角三角函数可以求得BE的长，然后根据sin∠BDE的值即可求得BD的长，本题得以解决．
【详解】
在Rt△BOE中，∠BOE=55°，
tan55°=，
∴OE=，
在Rt△BDE中，∠BDE=25°，
tan25°=，
∴DE=，
∴DO=30，
∴DO=DE+OE=+=30，
解得，BE≈10.6，
在Rt△BDE中，∠BDE=25°，
sin25°=，
∴BD=≈25，
答：滑动支架BD的长大约为25cm．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
24．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
【详解】
解：在中，
在中，
又
∴；
根据得
，
又∵
∴
∴．
【点睛】
考查了锐角的正弦值的变化规律：在锐角的范围内，正弦值随着角的增大而增大．
25．（1）相等；（2）
【解析】试题分析：（1）由题意知∠QPB=60°、∠PQB=60°，从而得△BPQ是等边三角形，据此可得答案；
（2）由（1）知PQ=BQ=900m，从而得AQ=，根据∠AQB=180°-60°-30°=90°知AB=（m）．
试题解析：（1）相等，由图知∠QPB=60°、∠PQB=60°，
∴△BPQ是等边三角形，∴BQ=PQ；
（2）由（1）知PQ=BQ=900m，在Rt△APQ中，AQ=，
又∵∠AQB=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴在Rt△AQB中，AB=（m），
答：A、B间的距离为300m．
26．（1）辅助支架DE长度厘米，（2）水箱半径OD的长度为23厘米．
【解析】试题分析：（1）在△CDE中利用三角函数sin60°=，求出DE的长．（2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，在Rt△AOC中，根据sin∠A=，求得OD的长即可.
试题解析：
（1）在Rt△DCE中，sin∠E=
∴DE==（厘米）
答：辅助支架DE长度厘米
（2）设圆O的半径为x厘米，在Rt△AOC中sin∠A=，即sin37=
∴，解得x=22.5≈23（厘米）
答：水箱半径OD的长度为23厘米．
点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，做题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系．