北师大版八年级数学上册第五章第六节 二元一次方程与一次函数
教学设计：
教学流程：教学程序：构建动场——自主学习，实验探究——得出结论，交流探究——梳理反思，综合建模
教学过程设计：
（一）、构建动场：
1、创设情境：
出示：法国数学家笛卡尔创建平面直角坐标系的故事材料；
（设计意图：兴趣是学生最好的老师；通过创设情境，激发学生学习本课的兴趣；更重要的是，通过此环节让学生理解，坐标系的创建体现了数形结合的数学思想，也预示了本节课的学习主线。）
2、复习回顾：
⑴一次函数的表达式是: 。一次函数的图像是 ，必过（ ）和（ ）两点。
⑵解二元一次方程组的方法有: 法和 法。
（设计意图：复习题1的目的是为本节课学生准确、快速画出一次函数图象做准备；复习题2的目的是为使学生形成完整的知识体系打下基础。）
、自主学习
揭示并板书课题
活动一：二元一次方程与一次函数的关系
⑴方程x+y=5的解有多少个？写出其中几个。
⑵在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗？
⑶在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？
⑷以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗？
先让学生自主学习课本123页的内容：然后让学生分小组讨论，最后集体交流。
师：方程x+y=5的解有多少个？
生：无数个解。（师板书）
师：你能说其中几个吗？（师板书）
生： ……（师板书）
师：以这些解为坐标的点（0,5）（1,4）（2,3），都在一次函数y=5-x的图象上吗？
生：都在。
师：一次函数图象上有多少个点？
生：无数个点。（师板书）
师：你还能在一次函数y=5-x的图象上任取一些点，看看它们的坐标适合方程x+y=5吗？
……
师：你发现了什么？
……
师生共同总结：
小结1：以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；
一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．
（设计意图：活动一是整节课的重点，本活动的教学效果对于第二部分二元一次方程组与一次函数的关系的学习起着决定性的作用，因此本活动要舍得花时间，要充分放给学生；先让学生从“方程的解”过渡到以方程的解为坐标画出一次函数，然后，反过来，让学生同桌一组，一名学生从图像上找点，当然这些点要与刚才那些点不同，一名学生代入方程验证；通过互逆的两个过程，让学生真正理解两者的对应关系。为了更好地突出重点，我觉得应及时抓住两个关键词“无数个解”与“无数个点”的关系；从而总结出：每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也就对应一条直线。引导学生发现一次函数与二元一次方程在数与形两个方面的关系，发展学生的几何直观，为探索二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系作好铺垫。）
达标1：
1、已知3x-y =0 ,改写成一次函数为y= ;
已知 2x+5y =8 ,改写成一次函数为y= ;
2、在平面直角坐标系中，点P（2,3）在直线l：2x+by=7上，则b的值是（ ）；
（设计意图：检测学生对目标一的掌握情况。）
活动二：二元一次方程组与一次函数图象的关系
1、把二元一次方程改写成形如y=kx+b 的一次函数的形式。
已知 x+y=5 ,改写成一次函数为y= .
已知 2x-y=1 ,改写成一次函数为y= .
2、在同一坐标系内作出这两个函数的图象。
3、观察图象，指出它们的交点坐标。
4、解方程组： （2,3）
5、小组讨论交流：方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系？为什么？
小结2：（1）求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标．
（2）求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解．
（设计意图：活动二先给学生充分的时间与空间去经历画图象、找交点坐标、解二元一次方程组、观察二元一次方程组的解与交点坐标的关系，然后师生共同归纳出：从“数”的角度看，方程组的解就是二元一次方程组中各个方程的公共解；从“形”的角度看，解方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标，进而总结出：当方程组有唯一解时，对应两直线只有一个交点即一个公共点。从而说明：二元一次方程组可以用图象法解。）
达标2：
已知一次函数 y =2x-1 与 y =-3x+4图象如图所示，则方程组的解为（ ）．
方程组的解为，则直线y=-x+15和y=x-7的交点坐标是（ ）。
（设计意图：达标2的第1题已知两直线的交点坐标写出方程组的解；第2题已知方程组的解确定两直线的交点坐标；通过这两个互逆的题目考察学生对目标二的掌握情况。）
（三）、交流探究：
活动三：二元一次方程组的与一次函数的关系的特殊情况
1．在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和 y = x - 2 的图象有怎样的位置关系？
2．方程组解的情况如何？
3．你发现了什么？
小结3：两平行直线的k值相等；方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解。
（设计意图：通过活动三，进一步揭示“数”与“形”转化关系．将两直线的另一种位置关系：平行与方程组无解相结合即方程组无解，两直线无公共点，则两直线平行，这是对活动二的有益补充。体现了从一般到特殊的的思想方法，进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化．进一步挖掘出两直线平行与k的关系，有利于培养学生全面考虑问题的习惯。）
达标3：
方程组的解得情况为： ；则一次函数y=-x+2与y=-x+的图象必定 。
方程组的解得情况为： ；则对应的两个一次函数的图象必定 。
一次函数的图象过点A（5，3）且平行于直线y=3x－，求这个函数的解析式。[来
（设计意图：通过达标3的第1题总结出当二元一次方程组有无数个解时，两直线有无数个公共点，则两直线重合；第2题主要考察学生对两直线平行，k值相等的掌握情况。）
、综合建模：
请概括本节所学知识，尝试画出本节所学知识的结构图。
（设计意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾，以加深学生的理解，同时形成知识体系。）
（五）、当堂检测：
必做：
1、在平面直角坐标系中，点M（2,3）N（1，a）在直线l：bx+y=7上，则a=（ ）；b=（ ）；
2、已知函数y=2x-1与y=3x+2的图象交于点P，则点P的坐标为（ ）．
(A)（－7，－3） (B)（3，－7） (C)（－3，－7） (D)（－3，7）
3、在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且经过点(0,5)，那么这条直线的函数解析式为 求选做：
4、两条直线与和轴所围成的三角形面积．
（设计意图：通过3个必做题分别检测3个目标的达成情况。选做题有利于提升学优生的能力。）
（六）、作业布置：
A组：知识技能1、2；
B组：知识技能3.
（设计意图：通过分层设计作业，让不同层次的学生都能有所发展。）
板书设计： §5.6 二元一次方程与一次函数
一、二元一次方程与一次函数的关系：
数 形 结合思想
二元一次方程 一次函数（一条直线）
（无数个解） （无数个点）
二、二元一次方程组与一次函数的关系：
唯一解 一个交点
无解 平行
无数个解 重合
课件27张PPT。二元一次方程与一次函数北师大版数学八年级上册
第五章第六节笛卡尔与坐标系 据说有一天，法国哲学家、数学家笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。 突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数。反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找出一点P与之对应，同样道理，用一组数（x、y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以有用一组两个有顺序的数来表示，坐标系的发明充分体现了数形结合的思想。
笛卡尔与坐标系构建动场1．一次函数的表达式
是: 。一次函数的图像是 ，必过（ ）和（ ）两点。
2．解二元一次方程组的方法有:
法和 法。y=kx+b （k≠0）一条直线0，b-b/k，0代入消元加减消元自主学习活动一：二元一次方程和一次函数的关系1．方程x+y=5的解有 个；是这个方程的解吗？
2．画出一次函数 y=-x+5的图像。无数个自主学习3.（0，5），（5，0），（2，3）在一次函数y＝的图像上吗？4.在一次函数y=的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？自主学习5．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=的图像相同吗？自主学习小结1：
1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的 ；
2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的 ．一次函数图象上二元一次方程自主学习 达标1：
1、已知3x-y =0 ,改写成一次函数为y= ;
已知 2x+5y=8 ,改写成一次函数为y= ;
2、在平面直角坐标系中，点P（2,3）在直线l：2x+by=7上，则b的值是（ ）；自主学习 活动二：二元一次方程组和一次函数图象的关系
1、把二元一次方程改写成形如y=kx+b 的一次函数的形式。
已知 x+y=5 ,改写成一次函数为y= .
已知 2x-y=1 ,改写成一次函数为y= .
2、在同一坐标系内作出这两个函数的图象。自主学习3、观察图象，指出它们的交点坐标。
4、解方程组：5．小组讨论交流：方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系？为什么？
自主学习3、观察图象，指出它们的交点坐标。
4、解方程组：5．小组讨论交流：方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系？为什么？
自主学习小结2：
（1）求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标．
（2）求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解．自主学习 达标2：
1、已知一次函数 y =2x-1 与 y =-3x+4图象如图所示，则方程组的解为（ ）。
2、方程组的解为，则直线y=-x+15和y=x-7的交点坐标是（ ）。自主学习例题：直线l1：y=x+2和直线l2：y=-2x-2的图象如图所示，则直线l1与l2的交点坐标是 ．
自主学习小结3：
1、解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种．
2、图象法解二元一次方程组的
优点是： 。
缺点是： 。自主学习 达标3：
（2011淄博）下列各个选项中的网格都是边长为1的小正方形，利用函数的图象解方程其中正确的是自主学习 活动三：
二元一次方程组的解与函数图像之间的关系特殊情况
1．在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和 y = x - 2 的图象有怎样的位置关系？自主学习2．方程组 解的情况如何？
3．你发现了什么？小结4：两平行直线的k相等；方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解。自主学习 达标4：1．方程组 的解得情况为： ；则一次函数y=-x+2与y=-x+ 的图象必定 。自主学习 达标4：综合建模1.请概括本节所学知识，尝试画出本节所学知识的结构图。
2.通过本节课的学习，你有哪些疑问？ 数 形 结合二元一次方程
（无数个解） 一次函数（一条直线）
（无数个点） 二元一次方程组 两条直线 唯一解 一个交点 无 解 平行 无数个解 重合 当堂检测 作业布置：
A组：知识技能1、2； B组：知识技能3。 实在说来，没有知识的人总爱议论别人的无知，知识丰富的人却时时发现自己的无知。
——笛卡尔 结束寄语:再见
