《3.1 一元一次方程及其解法》
方程是解决问题的一种重要数学模型，应用非常广泛.本节的教学内容是由实际问题抽象出一元一次方程的模型，探究解一元一次方程的一般步骤，为下一节学习一元一次方程的应用做铺垫.本节将使学生的探究能力、计算能力等得到进一步提升，也为学生进一步解决实际问题和二元一次方程组、三元一次方程组、不等式、分式方程等知识打下坚实基础.
【知识与能力目标】
1. 理解一元一次方程的概念；
2. 掌握等式的基本性质，并会灵活运用等式的性质解一元一次方程；
3. 理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程；
4. 会用去括号法则解含括号的一元一次方程；
5. 掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法；
6. 加深学生对一元一次方程概念的理解，并总结出解一元一次方程的一般步骤.
【过程与方法目标】
1. 经历具体实例的抽象概括过程，形成一元一次方程的模型，进一步培养学生观察、分析、概括和转化的能力；
2. 通过探究、交流、反思等活动，进一步体会解一元一次方程的基本步骤，培养学生的化归思想，提升学生的计算能力.
【情感态度价值观目标】
通过由具体实例抽象概括的思考与学习的过程，培养学生实事求是的态度和独立思考的良好学习习惯.
【教学重点】
1. 对一元一次方程概念的理解，会运用等式的基本性质解简单的一元一次方程；
2. 理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程；
3. 运用去括号法则解带有括号的一元一次方程；
4. 运用去分母的方法解一元一次方程.
【教学难点】
1. 对等式基本性质的理解与运用；
2. 理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程；
3. 运用去括号法则解带有括号的一元一次方程；
4. 掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法.
多媒体课件.
一、情境引入
问题① 在参加2008年北京奥运会的中国代表队中，羽毛球运动员有19人，比跳水运动员的2倍少1人.参加奥运会的跳水运动员有多少人？
(1)如果设参加奥运会的跳水运动员有x人，则用含有x的代数式表示羽毛球运动员为______人；
(2)根据上述关系，可列方程为________．
问题② 王玲今年12岁，她爸爸36岁，问再过几年，她爸爸年龄是她年龄的2倍？
(1)如果设再过x年，则用含有x的代数式表示王玲的年龄为______岁，她爸爸的年龄为______岁；
(2)根据上述关系，可列方程为________．
【设计意图】通过对实际问题的解决，引出一元一次方程的概念，为进一步探究一元一次方程的解法做铺垫.
二、探究新知
1. 一元一次方程的有关概念.
问题：观察以上两个方程，找出其特点：
2??－1＝19 ①
36－??＝2(12＋??) ②
(1)有几个未知数？
(2)未知数的次数是几？
一元一次方程的概念：只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．
一元一次方程的解：
使得一元一次方程两边都相等的未知数的值叫做方程的解；一元方程的解，也可叫做方程的根．
【设计意图】经历探究一元一次方程的概念的过程，使学生掌握一元一次方程的定义以及方程的解的定义.
2. 等式的基本性质.
方程是等式(含未知数的等式)，解方程就是根据等式的性质求方程的解的过程.
等式的基本性质：
性质1 等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．即
如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，a－c＝b－c.
性质2 等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．即
如果a＝b，那么ac＝bc，
??
??
=
??
??
(c≠0)．
性质3 如果a＝b，那么b＝a. (对称性)
性质4 如果a＝b，b＝a，那么a＝c. (传递性)
例1 解方程：2x－1＝19.
解：两边都加上1，得
2x＝19＋1，(等式基本性质1)
即 2x＝20.
两边都除以2，得
x＝10.(等式基本性质2)
检验：把x＝10分别代入原方程的两边，得
左边＝2×10－1＝19，
右边＝19，
即 左边＝右边.
所以x＝10是原方程的解.
【设计意图】经历探究等式的基本性质的过程，使学生掌握等式的性质，从而可以利用等式的性质解一元一次方程.
3. 利用移项解一元一次方程.
仔细观察例1解答过程中的第1步：
2x－1＝19， ①
2x＝19＋1. ②
问题：你发现了什么？
由方程①到方程②，这个变形相当于把①中的“－1”这一项从方程的左边移到了方程的右边．
问题：“－1”这项移动后，发生了什么变化？
改变了符号.
总结：根据等式的基本性质1对方程进行变形，相当于把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．
一般地，把所有含有未知数的项移到方程的左边，把所有常数项移到方程的右边，使得一元一次方程更接近“x＝a”的形式．
移项，一般都习惯把含未知数的项移到等式左边．
例2 解方程：3x＋5＝5x－7.
解：移项，得
3x－5x＝－7－5.
合并同类项，得
－2x＝－12.
两边都除以－2，得
x＝6.
【设计意图】让学生体验利用移项解一元一次方程的过程与方法，深化对解一元一次方程过程的认识.
4. 去括号解一元一次方程.
例3 解方程：2(x－2)－3(4 x－1)＝9(1－x).
解：去括号，得
2x－4－12x＋3＝9－9x.
移项，得
2x－12x＋9x＝9＋4－3.
合并同类项，得
－x＝10.
两边都除以－1，得
x＝－10.
问题：通过解答上面的方程，你能得出什么结论？
方程中含有括号，如果去掉括号，就可以利用移项法则进行解方程了，关键步骤就是去括号．
问题：你还记得去括号法则吗？
(1)括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变符号．
(2)括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号．
注意：(1)方程中有带括号的式子时，根据乘法分配律和去括号法则化简；
(2)去括号时，不要漏乘括号内的任何一项；
(3)若括号前面是“－”号，记住去括号后括号内各项都变号；
(4)－x＝10不是方程的解，必须把x的系数化为1，才算完成解方程的过程．
【设计意图】让学生体验去括号解一元一次方程的过程与方法，深化对解一元一次方程过程的认识．
5. 去分母解一元一次方程.
例4 解方程：???
10??+1
6
=
2??+1
4
?1.
解：去分母，得
12x－2(10x＋1)＝3(2x＋1)－12.
去括号，得
12x－20x－2＝6x＋3－12.
移项，得
12x－20x－6x＝3－12＋2.
合并同类项，得
－14x＝－7.
两边都除以－14，得
x＝
1
2
.
问题：通过解答上面的方程，你能得出什么结论？
方程两边都乘以所有分母的最小公倍数，从而去掉分母．于是，解方程的基本程序又多了一步“去分母”．
问题：你能总结一下解一元一次方程都有哪些步骤吗？
(1)去分母：方程两边同乘以各分母的最小公倍数．注意不可漏乘某一项，特别是不含分母的项，分子是代数式要加括号；
(2)去括号：应用分配律、去括号法则，注意不漏乘括号内各项，括号前“－”号，括号内各项要变号；
(3)移项：一般把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，注意移项要变号；
(4)合并同类项：要注意只是系数相加减，字母及其指数不变；
(5)系数化为1：同除以未知数前面的系数，即ax＝b?x＝
??
??
.
【设计意图】让学生体验去分母解一元一次方程的过程与方法，并总结出解一元一次方程的步骤，深化对解一元一次方程过程的认识.
三、巩固练习
1. 解方程：2(x＋3)－5(1－x)＝3(x－1).
2. 解方程：
3
4
4
3
1
2
???
1
4
?8
=
3
2
??+1.
四、课堂总结
问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？
1. 一元一次方程的概念：
只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．
2. 等式的基本性质：
性质1 如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，a－c＝b－c.
性质2 如果a＝b，那么ac＝bc，
??
??
=
??
??
(c≠0)．
性质3 如果a＝b，那么b＝a.
性质4 如果a＝b，b＝a，那么a＝c.
3. 解一元一次方程的步骤：
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
略.
课件21张PPT。情境引入问题① 在参加2008年北京奥运会的中国代表队中，羽毛球运动员有19人，比跳水运动员的2倍少1人.参加奥运会的跳水运动员有多少人？??(2)根据上述关系，可列方程为______________．?情境引入问题② 王玲今年12岁，她爸爸36岁，问再过几年，她爸爸年龄是她年龄的2倍？?(2)根据上述关系，可列方程为__________________________．???探究新知问题：观察以上两个方程，找出其特点：
2??－1＝19 ①
36－??＝2(12＋??) ②1. 一元一次方程的有关概念.一个(1)有几个未知数？
(2)未知数的次数是几？次数是1探究新知一元一次方程的概念：
只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程． 1. 一元一次方程的有关概念.一元一次方程的解：
使得一元一次方程两边都相等的未知数的值叫做方程的解；一元方程的解，也可叫做方程的根．探究新知方程是等式(含未知数的等式)，解方程就是根据等式的性质求方程的解的过程.等式的基本性质：
性质1 等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．即
如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，a－c＝b－c.2. 等式的基本性质.探究新知?2. 等式的基本性质.探究新知例1 解方程：2x－1＝19.解：两边都加上1，得
2x＝19＋1，(等式基本性质1)
即 2x＝20.
两边都除以2，得
x＝10.(等式基本性质2)检验：把x＝10分别代入原方程的两边，得
左边＝2×10－1＝19，
右边＝19，
即 左边＝右边.
所以x＝10是原方程的解.探究新知3. 利用移项解一元一次方程.仔细观察例1解答过程中的第1步：
2x－1＝19， ①
2x＝19＋1. ②问题：你发现了什么？由方程①到方程②，这个变形相当于把①中的“－1”这一项从方程的左边移到了方程的右边．探究新知问题：“－1”这项移动后，发生了什么变化？改变了符号.总结：根据等式的基本性质1对方程进行变形，相当于把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．一般地，把所有含有未知数的项移到方程的左边，把所有常数项移到方程的右边，使得一元一次方程更接近“x＝a”的形式．
移项，一般都习惯把含未知数的项移到等式左边．探究新知例2 解方程：3x＋5＝5x－7.解：移项，得
3x－5x＝－7－5.
合并同类项，得
－2x＝－12.
两边都除以－2，得
x＝6.探究新知例3 解方程：2(x－2)－3(4x－1)＝9(1－x).解：去括号，得
2x－4－12x＋3＝9－9x.
移项，得
2x－12x＋9x＝9＋4－3.4. 去括号解一元一次方程.合并同类项，得
－x＝10.
两边都除以－1，得
x＝－10.探究新知方程中含有括号，如果去掉括号，就可以利用移项法则进行解方程了，关键步骤就是去括号．问题：通过解答上面的方程，你能得出什么结论？(1)括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变符号；(2)括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号．问题：你还记得去括号法则吗？探究新知注意：
(1)方程中有带括号的式子时，根据乘法分配律和去括号法则化简；
(2)去括号时，不要漏乘括号内的任何一项；
(3)若括号前面是“－”号，记住去括号后括号内各项都变号；
(4)－x＝10不是方程的解，必须把x的系数化为1，才算完成解方程的过程．4. 去括号解一元一次方程.探究新知?解：去分母，得
12x－2(10x＋1)＝3(2x＋1)－12.
去括号，得
12x－20x－2＝6x＋3－12.5. 去分母解一元一次方程.?探究新知5. 去分母解一元一次方程.问题：通过解答上面的方程，你能得出什么结论？方程两边都乘以所有分母的最小公倍数，从而去掉分母．于是，解方程的基本程序又多了一步“去分母”．问题：你能总结一下解一元一次方程都有哪些步骤吗？探究新知?巩固练习1. 解方程：2(x＋3)－5(1－x)＝3(x－1).解：去括号，得
2x＋6－5＋5x＝3x－3.
移项，得
2x＋5x－3x＝－3－6＋5.
合并同类项，得
4x＝－4.
两边都除以4，得
x＝－1.巩固练习???课堂总结问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？1. 一元一次方程的概念：
只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程． ?课堂总结问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？2. 等式的基本性质：
性质3 如果a＝b，那么b＝a.
性质4 如果a＝b，b＝a，那么a＝c. 3. 解一元一次方程的步骤：
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
