1.1 导数
1．理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此平均变化率．
2．理解运动物体在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)．
3．理解导数的几何意义，并会求曲线在某点处的切线方程．
1．函数的平均变化率
一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商________________称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．
Δx，Δy的值可正、可负，但Δx的值不能为0，Δy的值可以为0.若函数f(x)为常数函数，则Δy＝0.
【做一做1－1】已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )．
A．0.40 B．0.41
C．0.43 D．0.44
【做一做1－2】在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数：①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中，平均变化率最大的是( )．
A．④ B．③ C．② D．①
2．瞬时变化率与导数
(1)设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
如果当Δx趋近于0时，平均变化率＝趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的__________．
(2)“当Δx趋近于0时，趋近于常数l”可以用符号“→”记作“当Δx→0时，→l”，或记作“＝l”，符号“→”读作“趋近于”．函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在点x0处的______，并记作f′(x0)．
这时又称f(x)在点x0处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当Δx→0时，→________”或“＝________”．
(3)如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)______．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的______，记为f′(x)或y′(或yx′)．
导函数通常简称为______．
(1)Δx是自变量x在x0处的改变量，Δx≠0，而Δy是函数值的改变量，可以是零．
(2)对于导函数的定义的几种形式表示如下：
y′＝；
y′＝；
y′＝；
y′＝.
【做一做2－1】若质点按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )．
A．6 B．18 C．54 D．81
【做一做2－2】已知函数f(x)在x＝x0处可导，则( )．
A．与Δx，x0都有关
B．仅与x0有关而与Δx无关
C．仅与Δx有关而与x0无关
D．与x0，Δx均无关
3．导数的几何意义
设函数y=f(x)的图象如图所示．AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0+Δx，f(x0+Δx))的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率，即＝切线AD的斜率．
由导数意义可知，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于________．
【做一做3－1】曲线y＝－3x2＋2在点(0,2)处的切线的斜率为( )．
A．－6 B．6 C．0 D．不存在
【做一做3－2】下面说法正确的是( )．
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
1．“函数f(x)在点x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者有何关系？
剖析：(1)函数在点x＝x0处的导数f′(x0)是一个数值，不是变量．
(2)导函数也简称导数，所以
(3)函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算导函数在这点的函数值．
2．曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？
剖析：回答是否定的．这就是我们为什么要用割线的极值位置来定义切线，而不说与曲线只有一个公共点的直线叫切线，其理由如下：
在初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的定义推广为一般曲线的切线的定义：直线和曲线有唯一公共点时，该直线叫做曲线在该点的切线，显然这种推广是不妥当的．
观察图中的曲线C，直线l1虽然与曲线C有唯一的公共点M，但我们不能说直线l1与曲线C相切；而直线l2尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线．因此，对于一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义．
一般地，过曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)作曲线的割线PQ，当点Q沿着曲线无限趋近于点P时，若割线PQ趋近于某一确定的位置，则称这一确定位置的直线为曲线y＝f(x)在点P处的切线．
在这里，要注意，曲线y＝f(x)在点P处的切线：(1)与点P的位置有关；(2)要依据割线PQ是否存在极限位置来判定与求解．如有极限，则在此点处有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线．
题型一 求瞬时速度
【例题1】已知物体的运动方程如下：求此物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度．(位移的单位：m，时间的单位：s)
分析：先求平均变化率，即平均速度，再取极限(注意定义域的限制)．
反思：质点运动的瞬时速度不同于质点在某段时间内运动的平均速度．
题型二 导数定义的应用
【例题2】过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
分析：割线PQ的斜率即为函数f(x)在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率.
反思：一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线上的定点，点Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是C上与点P邻近的点，有
y0＝f(x0)，y0＋Δy＝f(x0＋Δx)，
Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，
割线PQ的斜率为
tan β＝＝，
曲线C在点P处的斜率为
tan α＝＝.
题型三 求切线方程
【例题3】已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；
(2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他公共点？
分析：求切线方程可先求出切线的斜率，再应用点斜式写出切线方程；判断直线与曲线的交点个数，可联立方程组求其解的个数．
反思：(1)求曲线的切线的斜率的步骤：
①求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
②求割线的斜率tan β＝；
③求极限＝；
④若极限存在，则切线的斜率.
(2)由导数的几何意义得出求切线方程的步骤：
①先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
②根据点斜式得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
题型四 易错辨析
易错点：在求曲线过某点的切线方程时，不注意判断该点是否在曲线上，而直接把点当成在曲线上求切线方程，导致方程求错，避免错误的方法是看到此类题目先判断该点是否在曲线上，然后根据不同情况求解．
【例题4】试求过点M(1,1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线方程．
错解：＝＝＝3xΔx＋3x2＋(Δx)2，＝3x2，因此y′＝3x2，所以切线在x＝1处的斜率k＝3.故切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
1一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在时间[1,1＋Δt]内的平均速度为( )．
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
2设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝( )．
A．－1 B． C．1 D．
3设f(x)为可导函数且满足,则过曲线y＝f(x)上的点(1，f(1))的切线的斜率为( )．
A．2 B．－1
C．1 D．－2
4一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s(m)与时间t(s)之间的函数关系为s＝t2，则t＝2 s时，此木块在水平方向的瞬时速度为______ m/s.
5已知函数f(x)＝x－，则它与x轴交点处的切线方程为____________________．
答案：
基础知识·梳理
【做一做1－1】B ∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝0.41.
【做一做1－2】B 根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化率依次为1,2.3,3.99，－.
2．(1)瞬时变化率 (2)导数 f′(x0) f′(x0)
(3)可导 导函数 导数
【做一做2－1】B 瞬时速度v＝＝＝(3Δt＋18)＝18.
【做一做2－2】B 由导数的定义，对给定的可导函数f(x)有＝f′(x0)．显然，f′(x0)仅与x0有关而与Δx无关．
3．f′(x0)
【做一做3－1】C f′(0)＝＝(－3Δx)＝0.
【做一做3－2】C 函数f(x)在一点x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是y＝f(x)在这一点处切线的斜率，但f′(x0)不存在，并不能说明这一点处不存在切线，而是说明在这一点处的切线的斜率不存在，即若在这一点处的切线的斜率不存在，曲线在该点处也可能有切线．所以函数f(x)在某点可导，是相应曲线上过该点存在切线的充分不必要条件．
典型例题·领悟
【例题1】解：当t＝1时，s＝3t2＋1，
v＝＝
＝
＝＝6(m/s)．
当t＝3时，s＝2＋3(t－3)2，
v＝＝
＝＝3Δt＝0 (m/s)．
∴物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度分别为6 m/s和0 m/s.
【例题2】解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝3Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3.
∴割线PQ的斜率
＝＝(Δx)2＋3Δx＋3.
当Δx＝0.1时，设割线PQ的斜率为k，
则k＝＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.
【例题3】解：(1)将x＝1代入曲线C的方程，
得y＝1，所以切点为P(1,1)．
因为y′＝＝＝＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，
所以.
所以过点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)由可得(x－1)2(x＋2)＝0，
解得x1＝x2＝1，x3＝－2.从而求得公共点为P(1,1)或P(－2，－8)，说明切线与曲线C有除切点外的公共点．
【例题4】错因分析：错解中将点M(1,1)当成了曲线y＝x3＋1上的点．因此在求过某点的切线时，一定要先判断点是否在曲线上，再根据不同情况求解．
正解：由错解可知y′＝3x2，因为点M(1,1)不在曲线y＝x2＋1上，所以设过点M(1,1)的切线与y＝x3＋1相切于点P(x0，x＋1)，依据导数的几何意义，函数在点P处的切线的斜率为k＝3x ①，过点M(1,1)的切线的斜率k＝②，由①＝②得，3x＝，解之得x0＝0或x0＝，所以k＝0或k＝，因此曲线y＝x3＋1过点M(1,1)的切线方程有两条，分别为y－1＝(x－1)和y＝1，即27x－4y－23＝0和y＝1.
随堂练习·巩固
1．D ＝＝－3Δt－6.
2．C ∵f′(－1)＝＝[a(Δx)2－3aΔx＋3a]＝3a＝3，∴a＝1.
3．B ＝＝＝f′(1)＝－1.
4． t＝2 s时瞬时速度为＝(4＋Δt)＝.
5．2x－y＋2＝0和2x－y－2＝0 令x－＝0，得x＝±1，∴曲线与x轴的交点坐标为(±1,0)，又f′(x)＝1＋，∴f′(±1)＝2，∴所求切线方程为y＝2(x±1)，即2x－y±2＝0.
1.2 导数的运算
1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数．
2．熟练运用导数的运算法则．
3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数．
1．基本初等函数的导数公式表
y＝f(x)
y′＝f′(x)
y＝c
y′＝0
y＝xn(n∈N＋)
y′＝______，n为正整数
y＝xμ(x＞0，μ≠0且μ∈Q)
y′＝μxμ－1，μ为有理数
y＝ax(a＞0，a≠1)
y′＝______
y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)
y′＝______
y＝sin x
y′＝______
y＝cos x
y′＝______
(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求．
(2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．
【做一做1－1】给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若y＝，则y′＝－2x－3；④若y＝f(x)＝3x，则f′(1)＝3；⑤若y＝cos x，则y′＝sin x；⑥若y＝sin x，则y′＝cos x．其中正确的个数是( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
【做一做1－2】下列结论中正确的是( )．
A．(logax)′＝ B．(logax)′＝
C．(5x)′＝5x D．(5x)′＝5xln 5
2．导数的四则运算法则
(1)函数和(或差)的求导法则：
设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________．
(2)函数积的求导法则：
设f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)g(x)]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．
由上述法则立即可以得出[Cf(x)]′＝Cf′(x)，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．
(3)函数的商的求导法则：
设f(x)，g(x)是可导的，g(x)≠0，则′＝________________.
(1)比较：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，′＝，注意差异，加以区分．
(2)≠，且′≠.
(3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则．
(4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．
若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．
例如，设f(x)＝sin x＋，g(x)＝cos x－，则f(x)，g(x)在x＝0处均不可导，但它们的和f(x)＋g(x)＝sin x＋cos x在x＝0处可导．
【做一做2】下列求导运算正确的是( )．
A．′＝1＋
B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3x·log3e
D．(x2cos x)′＝－2xsin x
3．复合函数的求导法则
对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f[g(x)]．如函数y＝(2x＋3)2是由y＝u2和u＝2x＋3复合而成的．
复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为
y′x＝y′u·u′x.
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
对于复合函数的求导应注意以下几点：
(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．
(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x)′＝2cos 2x，而(sin 2x)′≠cos 2x.
(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．如求y＝sin的导数，设y＝sin u，u＝2x＋，则y′x＝y′u·u′x＝cos u·2＝2cos.
(4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写．
【做一做3】函数y＝ln(2x＋3)的导数为________．
1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？
剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数．
2．导数公式表中y′表示什么？
剖析：y′是f′(x)的另一种写法，两者都表示函数y＝f(x)的导数．
3．如何理解y＝C(C是常数)，y′＝0；y＝x，y′＝1?
剖析：因为y＝C的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y＝x的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1.
题型一 利用公式求函数的导数
【例题1】求下列函数的导数：
(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝log2x2－log2x；(5)y＝－2sin(1－2cos2)．
分析：熟练掌握常用函数的求导公式．运用有关的性质或公式将问题转化为基本初等函数后再求导数．
反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导．
题型二 利用四则运算法则求导
【例题2】求下列函数的导数：
(1)y＝x4－3x2－5x＋6；
(2)y＝x·tan x；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(4)y＝.
分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，然后进行求导．
反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．
题型三 求复合函数的导数
【例题3】求下列函数的导数：
(1)y＝(2x＋1)n(x∈N＋)；
(2)y＝5；
(3)y＝sin3(4x＋3)；
(4)y＝xcos x2.
分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．
反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量．易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导．复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环．
题型四 易错辨析易错点：
常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错．牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键．
【例题4】求函数y＝(ex＋e－x)的导数．
错解：y′＝′＝(ex＋e－x)′＝[(ex)′＋(e－x)′]＝(ex＋e－x)．
1下列各组函数中导数相同的是( )．
A．f(x)＝1与f(x)＝x
B．f(x)＝sin x与f(x)＝cos x
C．f(x)＝1－cos x与f(x)＝－sin x
D．f(x)＝x－1与f(x)＝x＋1
2已知函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为( )．
A． B． C． D．
3函数y＝的导数是( )．
A．－ B．－sin x
C．－ D．－
4设y＝＋(a是常数)，则y′等于( )．
A．＋ B．
C．－ D．
5已知抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y＝－3x＋7，则a＝________，b＝________.
答案：
基础知识·梳理
1．nxn－1 axln a cos x －sin x
【做一做1－1】B 由求导公式可知，①③④⑥正确．
【做一做1－2】D
2．(1)f′(x)±g′(x) 导数和(或差) (2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 函数的导数
(3)
【做一做2】B 由求导公式知，B选项正确.′＝x′＋(x－1)′＝1－x－2＝1－.(3x)′＝3xln 3，(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x.
【做一做3】y′＝ 函数y＝ln(2x＋3)可看作函数y＝ln u和u＝2x＋3的复合函数，于是y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(2x＋3)′＝×2＝.
典型例题·领悟
【例题1】解：(1)y′＝(x)′＝′＝x－1＝.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝′＝x－1＝x－＝.
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝.
(5)∵y＝－2sin＝2sin＝2sincos＝sin x，
∴y′＝cos x.
【例题2】解：(1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′
＝(x4)′－3(x2)′－5x′－6′＝4x3－6x－5.
(2)y′＝(x·tan x)′＝′＝
＝
＝＝＝.
(3)方法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝3x2＋12x＋11.
方法2：y＝x3＋6x2＋11x＋6，
y′＝3x2＋12x＋11.
(4)方法1：y′＝′＝＝＝.
方法2：y＝1－，
y′＝′＝′＝－＝.
【例题3】解：(1)y′＝[(2x＋1)n]′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1.
(2)y′＝′＝5·4·′＝.
(3)y′＝[sin3(4x＋3)]′
＝3sin2(4x＋3)[sin(4x＋3)]′
＝3sin2(4x＋3)·cos(4x＋3)·(4x＋3)′
＝12sin2(4x＋3)cos(4x＋3)．
(4)y′＝(xcos x2)′＝x′·cos x2＋(cos x2)′·x
＝cos x2－2x2sin x2.
【例题4】错因分析：y＝e－x的求导错误，y＝e－x由y＝eu与u＝－x复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行．
正解：令y＝eu，u＝－x，则y′x＝y′u·u′x，所以(e－x)′＝(eu)′(－x)′＝e－x×(－1)＝－e－x，所以y′＝′＝[(ex)′＋(e－x)′]＝(ex－e－x)．
随堂练习·巩固
1．D
2．B f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.
3．C y′＝′＝＝＝－.
4．D 由x是自变量，a是常数，可知()′＝0，所以y′＝()′＋()′
＝[(1－x)]′＝(1－x)－·(1－x)′＝－.
5．－3 9 ∵y′＝2ax＋b，∴y′＝4a＋b，
∴方程y－1＝(4a＋b)(x－2)与方程y＝－3x＋7相同，即即4a＋b＝－3，
又点(2,1)在y＝ax2＋bx－5上，
∴4a＋2b－5＝1.即4a＋2b＝6.
由得
1.3.1 利用导数判断函数的单调性
1．理解可导函数单调性与其导数的关系，会用导数确定函数的单调性．
2．通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性．
用函数的导数判定函数单调性的法则
1．如果在(a，b)内，f′(x)＞0，则f(x)在此区间是______，(a，b)为f(x)的单调增区间；
2．如果在(a，b)内，f′(x)＜0，则f(x)在此区间是______，(a，b)为f(x)的单调减区间．
(1)在(a，b)内，f′(x)＞0(＜0)只是f(x)在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件．
(2)函数f(x)在(a，b)内是增(减)函数的充要条件是在(a，b)内f′(x)≥0(≤0)，并且f′(x)＝0在区间(a，b)上仅有有限个点使之成立．
【做一做1－1】已知函数f(x)＝1＋x－sin x，x∈(0,2π)，则函数f(x)( )．
A．在(0,2π)上是增函数
B．在(0,2π)上是减函数
C．在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数
D．在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数
【做一做1－2】设f′(x)是函数f(x)的导数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象最有可能是( )．
1．函数的单调性与其导数有何关系？
剖析：(1)求函数f(x)的单调增(或减)区间，只需求出其导函数f′(x)＞0(或f′(x)＜0)的区间．
(2)若可导函数f(x)在(a，b)内是增函数(或减函数)，则可以得出函数f(x)在(a，b)内的导函数f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．
2．利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么？
剖析：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题时只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．
(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点．
(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
题型一 求函数的单调区间
【例题1】求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x－x3； (2)f(x)＝x (a＞0)．
分析：先求f′(x)，然后解不等式f′(x)＞0得单调增区间，f′(x)＜0得单调减区间．
反思：运用导数讨论函数的单调性需注意如下几点：(1)确定函数的定义域，解决问题时，只能在函数的定义域内，通过讨论函数导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点；(3)在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．
题型二 根据函数的单调性求参数的取值范围
【例题2】已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0,1]，若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a的取值范围．
分析：函数f(x)在(0,1]上是增函数，则f′(x)≥0在(0,1]上恒成立．
反思：函数f(x)在区间M上是增(减)函数，即f′(x)≥0(≤0)在x∈M上恒成立．
题型三 证明不等式
【例题3】已知x＞1，求证：x＞ln(1＋x)．
分析：构造函数f(x)＝x－ln(1＋x)，只要证明在x∈(1，＋∞)上，f(x)＞0恒成立即可．
反思：利用可导函数的单调性证明不等式，是不等式证明的一种重要方法，其关键在于构造一个合理的可导函数．此法的一般解题步骤为：令F(x)＝f(x)－g(x)，x≥a，其中F(a)＝f(a)－g(a)＝0，从而将要证明的不等式“当x＞a时，f(x)＞g(x)”转化为证明“当x＞a时，F(x)＞F(a)”．
题型四 易错辨析
易错点：应用导数求函数的单调区间时，往往因忘记定义域的限制作用从而导致求解结果错误，因此在求函数的单调区间时需先求定义域．
【例题4】求函数f(x)＝2x2－ln x的单调减区间．
错解：f′(x)＝4x－＝，令＜0，得x＜－或0＜x＜，所以函数f(x)的单调减区间为，.
1在区间(a，b)内f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内为增函数的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间内是增函数( )．
A． B．(π，2π)
C． D．(2π，3π)
3若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d为增函数，则一定有( )．
A．b2－4ac≤0 B．b2－3ac≤0
C．b2－4ac≥0 D．b2－3ac≥0
4如果函数f(x)＝－x3＋bx(b为常数)在区间(0,1)上是增函数，则b的取值范围是__________．
5函数y＝－x3＋x2＋5的单调增区间为________，单调减区间为________．
答案：
基础知识·梳理
1．增函数
2．减函数
【做一做1－1】A f′(x)＝1－cos x，当x(0,2π)时，f′(x)＞0恒成立，故f(x)在(0,2π)上是增函数．
【做一做1－2】C 由f′(x)的图象知，x(－∞，0)或x(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)的增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，同理可得f(x)的减区间为(0,2)．
典型例题·领悟
【例题1】解：(1)f(x)′＝1－3x2.
令1－3x2＞0，解得－＜x＜.因此函数f(x)的单调增区间为.
令1－3x2＜0，解得x＜－或x＞.因此函数f(x)的单调减区间为和.
(2)由ax－x2≥0得0≤x≤a，即函数的定义域为[0，a]．
又f(x)′＝＋x×(ax－x2)－·(a－2x)＝，
令f(x)′＞0，得0＜x＜；令f(x)′＜0，得x＜0或x＞a，又x[0，a]，
∴函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为.
【例题2】解：由题意，得f′(x)＝2a＋.
∵f(x)在(0,1]内是增函数，∴f′(x)≥0在x(0,1]上恒成立．
即a≥－在x(0,1]上恒成立．
令g(x)＝－，∵g(x)＝－在(0,1]内是增函数，∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1，故a的取值范围是[－1，＋∞)．
【例题3】证明：设f(x)＝x－ln(1＋x)(x＞1)．
∵f′(x)＝1－＝，(x＞1)，
∴f′(x)＞0.
∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
又f(1)＝1－ln 2＞1－ln e＝0，即f(1)＞0，
∴f(x)＞0，
即x＞ln(1＋x)(x＞1)．
【例题4】错因分析：错解未注意函数的定义域．
正解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝，令＜0，得x＜－或0＜x＜，又∵x＞0，∴f(x)的单调减区间为.
随堂练习·巩固
1．A 如f(x)＝x3在R上是增函数，但f′(0)＝0.
2．B y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，当x(π，2π)时，－xsin x＞0，故函数在(π，2π)上为增函数．
3．B f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0恒成立，所以a＞0，Δ＝(2b)2－12ac≤0，即b2－3ac≤0.
4．[3，＋∞) ∵f′(x)＝－3x2＋b≥0(0＜x＜1)恒成立，
∴b≥3x2(0＜x＜1)恒成立，故b≥3.
5．(0,2) (－∞，0)，(2，＋∞) y′＝－x2＋2x，令y′＞0，得0＜x＜2，令y′＜0，得x＜0或x＞2，故函数y＝－x3＋x2＋5的单调增区间为(0,2)，单调减区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．
1.3.2 利用导数研究函数的极值
1．理解函数极值、极值点的有关概念，掌握利用导数求函数极值的方法．
2．注意结合函数的图象理解用导数求函数极值(最值)的方法，逐步养成用数形结合的思想方法去分析问题和解决问题的思维习惯．
1．函数的极值与最值
(1)已知函数y＝f(x)，设x0是定义域内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有______＜f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个________．如果在x0附近都有__________，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个________．
(2)极大值与极小值统称为______，极大值点与极小值点统称为______．
(3)函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小)的值．
(1)极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小．
(2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)＞f(x1)．
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能是区间的端点．
【做一做1－1】下列说法中正确的是( )．
A．若f(x)≥f(x0)，则f(x0)为f(x)的极小值
B．若f(x)≤f(x0)，则f(x0)为f(x)的极大值
C．若f(x0)为f(x)的极大值，则f(x)≤f(x0)
D．以上都不对
【做一做1－2】若函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则( )．
A．极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值
B．极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值
C．极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值
D．极大值必大于极小值
2．求函数y＝f(x)极值的步骤
第1步：求________；
第2步：求方程________的所有实数根；
第3步：考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是______；如果由负变正，则f(x0)是______．
如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左、右侧，f′(x)的符号不变，则f(x0)不是极值．
可导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点，如f(x)＝x3在x＝0处导数f′(0)＝0，但x＝0不是它的极值点，即可导函数在点x0处的导数f′(x0)＝0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件．
【做一做2－1】函数y＝x2＋x＋1的极小值是( )．
A．1 B． C． D．不存在
【做一做2－2】若函数y＝2x3－3x2＋a的极大值是6，则a＝________.
3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
第1步：求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点．
第2步：计算函数f(x)在区间(a，b)内使f′(x)＝0的所有点和端点的______，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
利用导数法求最值，实质是比较某些特殊点的函数值来得到最值．因此，我们可以在导数法求最值的基础上进行变通，令f′(x)＝0得到方程的根x1，x2，…，直接求得函数值f(x1)，f(x2)，…，然后再与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程．当然导数法与函数的单调性结合，也可以求最值．
【做一做3】函数f(x)＝x3＋x2－x在区间[－2,1]上的最大值为________，最小值为________．
函数的极值与最值有何关系？
剖析：如果函数在某些点处不可导，也需要考虑这些点是否是极值点、函数的最大值和最小值点．
观察下图中一个定义在区间[a，b]上的函数f(x)的图象．图中f(x1)与f(x3)是极小值，f(x2)是极大值．函数f(x)在[a，b]上的最大值是f(b)，最小值是f(x3)．
一般地，在区间[a，b]上如果函数f(x)的图象是一条连续不间断的曲线，那么该函数在[a，b]上必有最大值与最小值．
注意：(1)在区间(a，b)内函数f(x)的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数不一定有最大值与最小值，如函数f(x)＝在(0，＋∞)内连续，但没有最大值与最小值．
(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的．
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，是f(x)在区间[a，b]上有最大值与最小值的充分而不必要条件．
(4)函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有．
题型一 求函数的极值
【例题1】求下列各函数的极值：
(1)f(x)＝x2·e－x； (2)y＝.
分析：按照求极值的方法，首先从方程f′(x)＝0入手，求出函数f(x)在定义域内所有可解的极值点，然后按极值的定义判断并求值．
反思：函数的极值研究是导数应用的关键知识点，可加深对函数单调性与其导数关系的理解，y＝f(x)的导数存在时，f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0处有极值的必要条件，只有再加上x0两侧附近的导数的符号相反，才能断定y＝f(x)在x＝x0处取得极值．
题型二 求函数在区间[a，b]上的最值
【例题2】已知函数f(x)＝－x，求函数f(x)的最大值．
分析：求出f(x)的极值及定义域区间端点处的函数值，比较得到最大值．
反思：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，求f(x)在区间[a，b]上的最值可简化过程，即直接将极值点的函数值与端点的函数值比较，即可判定最大(或最小)的函数值，就是最大(或最小)值．
题型三 由函数的最值求参数的值
【例题3】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b使f(x)在区间[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
分析：利用求最值的方法确定a，b的值，注意对a的讨论．
反思：此类题目属于逆向思维题，但仍可根据求函数最值的步骤来求解，借助于待定系数法求其参数值．
题型四 易错辨析
易错点：对于可导函数，极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，因此已知函数的极值点求某些参变量的值时，应验证所得结果是否符合题意．
【例题4】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，求常数a，b的值．
错解：因为f(x)在x＝－1处有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，所以即解得或综上所述，a＝1，b＝3或a＝2，b＝9.
1下列结论中，正确的是( )．
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值
C．如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极小值
D．如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极大值
2下列说法正确的是( )．
A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值
B．闭区间上图象连续不断的函数一定有最值，也一定有极值
C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值，反之，若有极值则一定有最值
D．若函数在给定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值；但若有极值，则可有多个极值甚至无穷多个
3函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )．
A．5，－15 B．5，－4
C．－4，－15 D．5，－16
4函数f(x)＝2x3－6x2－18x＋7的极大值为__________，极小值为__________．
5函数y＝2x3－6x2＋m(m为常数)，在区间[－2,2]上有最大值3，那么它在区间[－2,2]上的最小值为________．
答案：
基础知识·梳理
1．(1)f(x) 极大值点 f(x)＞f(x0) 极小值点 (2)极值 极值点
【做一做1－1】D
【做一做1－2】C
2．导数f′(x) f′(x)＝0 极大值 极小值
【做一做2－1】B
【做一做2－2】6 y′＝6x2－6x＝6x(x－1)，∴当x(－∞，0)或x(1，＋∞)时，y′＞0，原函数为增函数，当x(0,1)时，y′＜0，原函数为减函数，故当x＝0时，y极大值＝a＝6.
3．函数值
【做一做3】1 －2 f(x)′＝3x2＋2x－1，令f(x)′＝0，得x1＝－1，x2＝，又f(－1)＝1，f()＝－，f(－2)＝－2，f(1)＝1，故函数的最大值为1，最小值为－2.
典型例题·领悟
【例题1】解：(1)函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2e－x(－x)′＝x(2－x)e－x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值0
?
极大值4e－2
?
从表中可以看出，
当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0；
当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝4e－2.
(2)y′＝，令y′＝0，得x＝，当x在R上取值时，y′，y的变化情况如下表：
x
y′
＋
0
－
y
?
极大值
∴当x＝时，函数取得极大值，且f()＝.
【例题2】解：∵f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x2＝1－ln x，显然x＝1是方程的解．令g(x)＝x2＋ln x－1，x(0，＋∞)，则g′(x)＝2x＋＞0，∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调，∴x＝1是方程f′(x)＝0的唯一解．
∵当0＜x＜1时，f′(x)＝－1＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，∴当x＝1时，函数有最大值f(x)max＝f(1)＝－1.
【例题3】解：显然a≠0，
f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)当a＞0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：
x
[－1,0]
0
[0,2]
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值
所以当x＝0时，f(x)取得最大值．所以b＝3.
又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)＞f(2)，
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，所以－16a＋3＝－29，即a＝2.
(2)当a＜0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：
x
[－1,0]
0
[0,2]
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
所以当x＝0时，f(x)取得最小值．
所以b＝－29.
又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，f(2)＞f(－1)，
所以当x＝2时，f(x)取得最大值，所以－16a－29＝3，即a＝－2.
综上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
【例题4】错因分析：根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，错解中未验证x＝－1两侧函数的单调性，故求错．
正解：因为f(x)在x＝－1处有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，所以即解得或当a＝1，b＝3时f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去，当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，当x(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x－1，＋∞)时，f(x)为增函数．所以f(x)在x＝－1处取得极小值，因此a＝2，b＝9.
随堂练习·巩固
1．B 2．D
3．A 由f′(x)＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)＝0，得x＝－1或x＝2.
因为f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，
所以f(2)＜f(3)＜f(0)．
所以f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(2)＝－15.
4．17 －47 由f′(x)＝6x2－12x－18＝6(x＋1)(x－3)＝0，得x＝－1或x＝3，当x(－∞，－1)时，f′(x)＞0，当x(－1,3)时，f′(x)＜0，当x(3，＋∞)时，f′(x)＞0，所以极大值为f(－1)＝17，极小值为f(3)＝－47.
5．－37 y′＝6x2－12x＝6x(x－2)，
∴在(－2,2)上，只有x＝0是f(x)的极值点，且为极大值点．
∴f(x)极大值＝f(0)＝m，
又f(－2)＝－16－24＋m＝m－40，
f(2)＝16－24＋m＝m－8.
容易判断m－40＜m－8＜m，∴m＝3.
∴f(x)min＝m－40＝－37.
1.3.3 导数的实际应用
1．学会解决实际问题的基本方法，注意首先通过分析、思考、总结、联想，建立问题涉及的变量之间的函数关系式，然后根据实际意义确定定义域．
2．学会利用导数求解实际问题，感受导数在解决实际问题中的作用．
求实际问题中的最值的主要步骤
(1)列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程________；
(3)比较函数在区间______和使f′(x)＝0的点的取值大小，最大(小)者为最大(小)值．
(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去；
(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；
(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间．
【做一做1－1】内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为( )．
A．和R B．R和R
C．R和R D．以上都不对
【做一做1－2】面积为S的所有矩形中，其周长最小的是________．
如何求解实际应用题？
剖析：解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题．就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型；再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论；然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验，其思路如下：
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．
值得注意的是：在实际问题中，有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这个点有极大(小)值，那么不与端点值比较也可以知道这就是最大(小)值．这里所说的也适用于开区间或无穷区间．
题型一 利用导数求实际问题的最小值
【例题1】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
分析：根据题设条件构造函数关系，再应用导数求最值．
反思：解答一道应用题重点要过三关：事理关(需要读懂题意，知道讲的是什么事件)；文理关(需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系)；数理关(要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，进而借助数学知识进行解答)．对于这类问题，往往因忽视了数学语言和普通语言的转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．
题型二 利用导数求实际问题的最大值
【例题2】如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S.
(1)求面积S以x为自变量的函数关系式，并写出其定义域；
(2)求面积S的最大值．
分析：建立坐标系，求出椭圆方程，表示出梯形的面积，应用导数求最值．
反思：本题的关键是建立直角坐标系，得到椭圆方程＋＝1(y≥0)，进而得到梯形面积S＝2(x＋r)·.利用导数法解决实际问题，当遇到在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形时，若函数在这一点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．
题型三 易错辨析
易错点：在运用导数解决实际问题的过程中，常常因为忽略实际问题中函数的定义域而造成结果求解错误．解决问题的主要措施为：在准确理解题意的基础上，正确建模，在实际问题的定义域范围内求出问题的最优解．
【例题3】某厂生产一种机器，其固定成本(即固定投入)为0.5万元．但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售收入(单位：万元)函数为R(x)＝5x－x2(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)．
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？
错解：(1)y＝R(x)－C(x)＝－(0.5＋0.25x)＝－x2＋x－(0≤x≤5)．
(2)y′＝－x＋，令y′＝0，得x＝＝4.75，∴4.75必为最大值点．
∴年产量为475台时，工厂利润最大．
1将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )．
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
2用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )．
A．6 cm B．8 cm
C．10 cm D．12 cm
3某车间要靠墙壁盖一间长方形小屋，现有砖只够砌20 m长的墙壁，则应围成长为________ m，宽为________ m的长方形才能使小屋面积最大．
4做一个容积为256的方底无盖水箱，当它的高为________时，最省材料．
答案：
基础知识·梳理
(2)f′(x)＝0 (3)端点
【做一做1－1】B 设矩形的一边长为x，则另一边长为2，周长l＝2x＋4(0＜x＜R)，∴l′＝2－，令l′＝0，得x1＝R，x2＝－R(舍去)，当0＜x＜R时，l′＞0；当R＜x＜R时，l′＜0，所以当x＝R时，l取最大值，即矩形周长最大时边长为R和R.
【做一做1－2】以为边长的正方形 设矩形的一边长为x，则另一边长为，周长f(x)＝2，f′(x)＝2，令f′(x)＝0，得x＝，易知当x＝时，f(x)有极小值，也就是最小值．
典型例题·领悟
【例题1】解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，又C(0)＝8，∴k＝40，因此C(x)＝，而建造费用C1(x)＝6x，从而隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x (0≤x≤10)
(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6，得x1＝5，x2＝－(舍去)，当0＜x＜5时，f′(x)＜0，当5＜x＜10时，f′(x)＞0，故5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70，即当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
【例题2】解：(1)依题意，以AB所在的直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系(如图所示)，则点C的横坐标为x，点C的纵坐标y满足方程＋＝1(y≥0)，即y＝2(0＜x＜r)．
S＝(2x＋2r)·2＝2(x＋r)·，
其定义域为{x|0＜x＜r}．
(2)记f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0＜x＜r，
则f′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．
令f′(x)＝0，得x＝r.
因为当0＜x＜时，f′(x)＞0；
当＜x＜r时，f′(x)＜0，
所以f(r)是f(x)的最大值．
因此，当x＝r时，S也取得最大值，最大值为＝r2.
故梯形面积S的最大值为r2.
【例题3】错因分析：实际问题中，该厂生产的产品数量不一定在500台之内(含500台)，应有x＞5的情况，错解忽视了此种情况，就出现了错误．
正解：(1)利润y＝R(x)－C(x)
＝＝
(2)0≤x≤5时，y＝－x2＋4.75x－0.5，
∴当x＝4.75时，ymax≈10.78(万元)；
当x＞5时，y＝12－0.25x＜12－0.25×5＝10.75(万元)．
∴年产量是475台时，工厂所得利润最大．
随堂练习·巩固
1．B 设其中一个数为x，则另一个数为8－x，y＝x3＋(8－x)3，0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0即3x2－3(8－x)2＝0，得x＝4.当0≤x＜4时，y′＜0；当4＜x≤8时，y′＞0.所以当x＝4时，y最小．
2．B 设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3，由题意，得V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，V′＝12(24－x)(8－x)．
令V′＝0，则在区间(0,24)内有解x＝8，故当x＝8时，V有最大值．
3．10 5 设长为x m，宽为y m，则x＋2y＝20，y＝10－.S＝x·y＝x＝10x－，S′＝10－x，
令S′＝0，得x＝10，∴x＝10，y＝5.
4．4 设方底无盖水箱的底面边长为a，高为h，则V＝a2h＝256，即h＝.用料最省，即表面积最小．S表＝S底＋S侧＝a2＋4ah＝a2＋4a＝a2＋.S′＝2a－.令S′＝0，得2a－＝0，解得a＝8，此时h＝＝4.
1.4.1 曲边梯形面积与定积分
1．了解曲边梯形的面积，掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的数学思想．
2．掌握定积分的概念，会用定义求定积分，理解定积分的几何意义，理解定积分的性质．
1．一般函数定积分的定义
设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为
Δxi＝__________，i＝0,1,2，…，n－1.
记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi，作和式In＝f(ξi)Δxi.
当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把____________叫做________________的定积分，记作f(x)dx，
即f(x)dx＝f(ξi)Δxi.
其中f(x)叫做________，a叫________，b叫________，f(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上______．
(1)定积分f(x)dx是一个常数．
(2)用定义求定积分的一般步骤：
①分割：n等分区间[a，b]；
②近似代替：在每个小区间任取ξi.
③求和：f(ξi)·；
④取极限：f(x)dx＝f(ξi)·.
【做一做1－1】“求和式极限”所得的面积(或路程)是________值(填“近似”或“精确”)；定积分f(x)dx是________(填“函数”或“常数”)．
【做一做1－2】利用定积分定义计算(1＋x)dx＝________.
2．曲边梯形的面积
根据定积分的定义，曲边梯形的面积S等于_______________________________________的定积分，即________________________________________．
【做一做2－1】定积分cdx(c为常数)的几何意义是________________________．
【做一做2－2】由y＝sin x，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．
1．定积分有哪些性质？
剖析：(1)定积分有三条主要的性质：
①kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
②[f(x)±g(x)]dx＝f(x)dx±g(x)dx；
③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(a＜c＜b)．
(2)性质①②称为定积分的线性性质，性质③称为定积分对积分区间的可加性．
(3)性质①的等式左边是一个定积分，等式右边是常数与一个定积分的乘积．
(4)性质②对于有限个函数(两个以上)也成立．性质③对于把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也成立．
(5)对于定积分的性质③可以用图直观地表示出来，即S曲边梯形AMNB=S曲边梯形AMPC+S曲边梯形CPNB.
(6)定义中区间的分法和xi的取法都是任意的．
(7)在定积分的定义中，f(x)dx限定下限小于上限，即a＜b.为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：f(x)dx＝－f(x)dx，f(x)dx＝0.
2．怎样计算曲边梯形的面积？
剖析：(1)由三条直线x＝a，x＝b(a＜b)，x轴，一条曲线y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积S＝f(x)dx(如图①)．
(2)由三条直线x＝a，x＝b(a＜b)，x轴，一条曲线y＝f(x)(f(x)≤0)围成的曲边梯形的面积＝－f(x)dx(如图②)．
(3)由两条直线x＝a，x＝b(a＜b)，两条曲线y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积S＝[f(x)－g(x)]dx(如图③)．
(4)由三条直线x＝a，x＝b(a＜b)，x轴，一条曲线y＝f(x)(如图④)围成的曲边梯形的面积S＝f(x)dx－f(x)dx.
题型一 利用定义求定积分
【例题1】已知一物体做自由落体运动，运动速度v＝gt，用定积分的定义求在时间区间[0，t]内，物体下落的距离s.
分析：利用定义求定积分可分为四步：分割、近似代替、求和、取极限，按步骤求解即可．
反思：(1)根据定义求定积分的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．
(2)物体作变速直线运动所经过的路程s等于其速度函数v＝v(t)在时间区间[0，t]上的定积分，即
.
题型二 定积分的几何意义
【例题2】用定积分的几何意义求
dx(b＞a)的值．
分析：明确定积分的几何意义——曲边梯形的面积，结合曲线特点求解．
反思：f(x)dx(f(x)＞0)表示曲边梯形的面积，而半圆可看作是特殊的曲边梯形(有两边缩为点)，求出面积，从而得出定积分的值．
题型三 易错辨析
易错点：用定积分表示曲边梯形的面积时，不注意曲边梯形的位置，从而导致错误，当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正值，且等于曲边梯形的面积，当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负值，且等于曲边梯形面积的相反数．
【例题3】用定积分表示由曲线y＝sin x与直线x＝－π，x＝0，y＝0所围成的图形的面积．
错解：所求面积为.
1设函数f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝0,1，2，…，n－1)，作和式Sn＝f(ξi)Δx(其中Δx为小区间的长度)，那么和式Sn的大小( )．
A．与f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数n和ξi的取法无关
B．与f(x)、区间[a，b]和分点个数n有关，与ξi的取法无关
C．与f(x)、区间[a，b]和ξi的取法有关，与分点的个数n无关
D．与f(x)、区间[a，b]、分点的个数n、ξi的取法都有关
2设连续函数f(x)＞0，则当a＜b时，定积分f(x)dx的符号( )．
A．一定是正的
B．一定是负的
C．当0＜a＜b时是正的，当a＜b＜0时是负的
D．以上结论都不对
3下列式子中不成立的是( )．
A．sin xdx＝cos xdx
B．sin xdx＝cos xdx
C．sin xdx＝cos xdx
D．|sin x|dx＝|cos x|dx
4直线x＝0，y＝0，x＝2与曲线y＝()x所围成的图形的面积用定积分表示为________．
5若f(x)dx＝6，则f(ξi)＝________.
答案：
基础知识·梳理
1．xi＋1－xi 和式In的极限 函数f(x)在区间[a，b]上 被积函数 积分下限 积分上限可积
【做一做1－1】精确 常数
【做一做1－2】 因为f(x)＝1＋x在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n等份，则每个区间的长度为Δxi＝，在[xi－1，xi]＝上取ξi＝xi－1＝1＋(i＝1,2,3，…，n)，于是f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋1＋＝2＋，从而f(ξi)Δxi＝(2＋)·＝(＋)＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋·＝2＋，所以(1＋x)dx，＝＝2＋＝.
2．其曲边所对应的函数y＝f(x)在区间[a，b]上 S＝f(x)dx
【做一做2－1】表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和y＝c所围成的矩形的面积．
【做一做2－2】sin xdx
典型例题·领悟
【例题1】解：(1)分割
把区间[0，t]等分成n个小区间(i＝1，2，…，n)，
每个小区间所表示的时间Δt＝－t＝.
在各个小区间物体下落的距离依次记为Δs1，Δs2，…，Δsn.
(2)近似代替
在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．
在小区间上任取一时刻ξi(i＝1，2，…，n)，为计算方便，取ξi为小区间的左端点，用时刻ξi的速度v(ξi)＝gt近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上物体在Δt＝内所经过的距离，可以近似地表示为
Δsi≈g··t·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
Sn＝＝··
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝gt2.
从而得到s的近似值，即s≈Sn＝gt2.
(4)取极限
当所分时间区间愈短，即Δt愈小时，Sn的值就愈接近s，因此，当n→∞，即Δt→0时，Sn的极限，就是所求的做自由落体运动的物体在时间区间[0，t]内所经过的距离．
s＝Sn＝gt2＝gt2.
【例题2】解：令y＝f(x)＝，则有
2＋y2＝2(y≥0)表示以为圆心，半径为的上半圆，而这个上半圆的面积为S＝πr2＝2＝，
由定积分的几何意义可知
dx＝.
【例题3】错因分析：图形在x轴下方，故其面积应等于定积分的相反数．
正解：图形面积为sin xdx.
随堂练习·巩固
1．D 2．A
3．C 分别作出被积函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x在各区间上的图象，由定积分的几何意义，易得只有C选项不成立．
4．()xdx，5．6
1.4.2 微积分基本定理
1．理解微积分基本定理的含义．
2．会用定理求定积分．
微积分基本定理
(1)F′(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之____．
(2)微积分基本定理．
如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则
f(x)dx＝__________.
其中F(x)叫做f(x)的一个______．由于[F(x)＋c]′＝f(x)，F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数．
一般地，原函数在[a，b]上的改变量F(b)－F(a)简记作F(x).因此，微积分基本定理可以写成形式：________________________________.
(1)微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供了计算定积分的一种有效方法．但当运用公式不能直接求积分时，需考虑用定积分的几何意义来解决．
(2)利用微积分基本定理求定积分f(x)dx的关键是找出使F′(x)＝f(x)的函数F(x)．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出F(x)．
(3)求导运算与求原函数运算互为逆运算．
【做一做1－1】下列各式中，正确的是( )．
A．F′(x)dx＝F′(b)－F′(a)
B．F′(x)dx＝F′(a)－F′(b)
C．F′(x)dx＝F(b)－F(a)
D．F′(x)dx＝F(a)－F(b)
【做一做1－2】计算(2x－4)dx＝________.
求定积分有哪些常用技巧？
剖析：(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)对被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
题型一 利用微积分基本定理求函数的定积分
【例题1】求下列定积分：
(1)(2＋x2)2dx；
(2)dx；
(3)cos(x－)dx.
分析：将被积函数适当变形，确定原函数，再运用微积分基本定理求解．
反思：(1)求f(x)dx一般分为两步：①求f(x)的原函数F(x)，②计算F(b)－F(a)的值即为所求．
(2)求复杂函数定积分要依据定积分的性质．
①有限个函数代数和(差)的积分，等于各个函数积分的代数和(差)，即
[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx
＝f1(x)dx±f2(x)dx±…±fn(x)dx.
②常数因子可提到积分符号外面，即
kf(x)dx＝kf(x)dx.
③当积分上限与下限交换时，积分值一定要反号，即f(x)dx＝－f(x)dx.
④定积分对区间的可加性，若c∈[a，b]，则有
f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx.
题型二 几类特殊被积函数的定积分
【例题2】求下列定积分：
(1)dx；
(2)若f(x)＝求f(x)dx；
(3)dx.
分析：由于被积函数不是基本初等函数，因此需要先变换被积函数，再求定积分．
反思：(1)对于直接用微积分基本定理不易求解的题目，转化为用定积分的几何意义来求解，不仅简捷可行，而且充分体现了初等数学与高等数学间的关系，因而充分把握定积分的几何意义，也是学好本节内容的关键．
(2)对于被积函数是分段函数的定积分，通常是依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．要注意各段定积分的上、下限的取值．
(3)对于较复杂的被积函数，要先化简，再求定积分．若是计算|f(x)|dx，需要去掉绝对值符号，这时要讨论f(x)的正负，转化为分段函数求原积分．
题型三 利用定积分求平面图形的面积
【例题3】下图中，阴影部分的面积是( )．
A．16 B．18 C．20 D．22
反思：求平面图形的面积的一般步骤是：
(1)画图，并将图形分割成若干曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)求出各曲边梯形的面积的和，即各积分的绝对值之和．
1(sin x＋cos x)dx的值是( )．
A．0 B． C．2 D．4
2曲线y＝cos x与坐标轴所围成的图形的面积是( )．
A．2 B．3 C． D．4
3如图，阴影部分的面积是( )．
A．2 B．2－
C． D．
4计算dx＝________.
5已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.
答案：
基础知识·梳理
(1)差 (2)F(b)－F(a) 原函数 f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)
【做一做1－1】C
【做一做1－2】5 ∵(x2－4x)′＝2x－4，
∴(2x－4)dx＝(x2－4x)＝(52－4×5)－0＝5.
典型例题·领悟
【例题1】解：(1)∵(x2＋2)2＝x4＋4x2＋4，又′＝x4＋4x2＋4，∴(2＋x2)2dx＝(x4＋4x2＋4)dx＝＝.
(2)∵＝＋＝，又′＝，∴dx＝()dx＝＝×＋2×－＝.
(3)∵cos(x－)＝cos x＋sin x，
∴cos(x－)dx＝dx＝cos xdx＋sin xdx＝sin x－cos x＝－sin－＝－＋＋＝0.
【例题2】解：(1)设y＝，
即(x－3)2＋y2＝25(y≥0)，
∵dx表示圆(x－3)2＋y2＝25的面积的，
∴dx＝.
(2)f(x)dx＝x2dx＋(cos x－1)dx
＝x3＋(sin x－x)＝－＋sin 1.
(3)dx＝dx
＝|sin x－cos x|dx
＝|sin x－cos x|dx＋|sin x－cos x|dx
＝(cos x－sin x)dx＋(sin x－cos x)dx
＝(sin x＋cos x)－(cos x＋sin x)
＝2(－1)．
【例题3】B 由题意，阴影部分的面积
S＝dy＝＝－＝18
随堂练习·巩固
1．C 原式＝(－cos x＋sin x)＝2.
2．B 结合y＝cos x的图象可知，面积S＝cos xdx－cos xdx＝sin x－sin x＝1＋2＝3.
3．C S＝(3－x2－2x)dx
＝＝.
4．1 dx＝ln x＝ln e－ln 1＝1－0＝1.
5．－1或 (3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)＝4.
∴2(3a2＋2a＋1)＝4，即3a2＋2a－1＝0，∴a＝－1或a＝.
