2.1.1 合情推理
1．理解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理．
2．体会并认识合情推理在数学发现中的重要作用．
1．推理的结构与合情推理
(1)从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做______；一部分是由已知推出的判断，叫做______．
(2)前提为真时，结论______为真的推理，叫做合情推理．
推理也可以看作是用连接词将前提和结论逻辑的连接，常用的连接词有：“因为……所以……”；“根据……可知……”；“如果……那么……”等．
【做一做1】下列说法正确的是( )．
A．由合情推理得出的结论一定是正确的
B．合情推理必须有前提有结论
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的结论无法判定正误
2．归纳推理
(1)根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做________(简称______)．
(2)归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同性质；
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．
归纳推理的特点：
(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；
(2)归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的；
(3)人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一不定期的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；
(4)归纳推理能够发现前的事实、获得新结论，是科学发现的重要手段。
【做一做2－1】数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )．
A．28 B．32 C．33 D．27
【做一做2－2】已知等式sin230°＋sin230°＋sin 30°·sin 30°＝，sin240°＋sin220°＋sin 40°·sin 20°＝，下面的等式中具有一般性且包含了已知等式的是( )．
A．sin2α＋sin2(60°－α)＋sin α·sin(60°－α)＝
B．sin2α＋sin2(60°＋α)＋sin α·sin(60°＋α)＝
C．sin2(60°＋α)＋sin2(60°－α)＋sin(60°＋α)·sin(60°－α)＝
D．sin2α＋sin2α＋sin α·sin α＝
3．类比推理
(1)根据____________之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做________(简称______)．它属于合情推理．
(2)类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
类比推理有以下几个特点：
(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；
(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；
(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．
【做一做3－1】在平面内，两条相交直线将整个平面分成四部分，类似地，在空间，两个相交平面将整个空间分成________．
【做一做3－2】十进制中，2 004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在五进制中，数码2 004折合成十进制为( )．
A．29 B．254 C．602 D．2 004
归纳推理的一般步骤是什么？
剖析：(1)实验、观察：通过观察个别事物发现某些相同性质．
(2)概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．
(3)猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性结论．
题型一 归纳推理
【例题1】在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶液a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是p%)，计算b1，b2，b3，并归纳出bn的计算公式．
反思：归纳法是获得数学结论的一条重要途径，运用不完全归纳法通过观察、实验，从特例中归纳出一般性结论，形成猜想．
题型二 类比推理
【例题2】在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，且cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．
分析：考虑到平面几何中为长方形，故可联想到立体几何中的长方体．
反思：(1)类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳，提出猜想．
(2)也可类比为：长方体的体对角线与同顶点出发的三个面所成的角分别为α，β，γ，则有cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
(3)(2)中的结论是不对的，实际上此时cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2，由此可知类比的结论不是唯一的，也不一定正确．
题型三 易错辨析
易错点：在进行类比推理时，由于类比的相似性少或被一些表面现象迷惑导致类比结论错误，解决这类问题的关键是：先充分认识两类事物的相同(或相似)之处，充分考虑其中的本质联系，再进行类比．
【例题3】请用类比推理完成下表：
平面
空间
三角形的面积等于任意一边的长度与这条边上的高的乘积的
三棱锥的体积等于任一底面的面积与这个底面上的高的乘积的
三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长乘积的
错解一：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的.
错解二：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的.
1已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33等于( )．
A．3 B．－3
C．6 D．－6
2已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝×底×高，可推知扇形的面积公式S扇等于( )．
A． B．
C．lr D．不可类比
3对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是正四面体内任意一点到各面的距离之和( )．
A．为定值
B．为变数
C．有时为定值，有时为变数
D．与正四面体无关的常数
4如图所示，由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．
5设f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．
答案：
基础知识·梳理
1．(1)前提 结论 (2)可能
【做一做1】B
2．(1)归纳推理 归纳
【做一做2－1】B ∵5＝2＋3×1,11＝5＋3×2,20＝11＋3×3，∴x＝20＋3×4＝32.
【做一做2－2】A 等式右边为，左侧两角和为60°.
3．(1)两类不同事物 类比推理 类比
【做一做3－1】四部分
【做一做3－2】B 找到十进制与五进制的相似之处．十进制中由低到高的单位依次为100,101,102，…，五进制中由低到高的单位依次为50,51,52，…，那么在五进制中2 004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝4＋2×53＝4＋250＝254，∴五进制中的数码2 004折合成十进制为254.故选B.
典型例题·领悟
【例题1】解：由题意可得，
b1＝＝，
b2＝＝，
b3＝＝，
所以归纳得
bn＝.
【例题2】解：在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝2＋2＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：如图，cos2α＋cos2β＋cos2γ
＝2＋2＋2＝＝＝1.
【例题3】错因分析：错解一中“三角形周长”的类比错误，错解二中“”的类比错误．“三角形周长”应类比为“三棱锥的各面面积之和”；“”应类比为“”．
正解：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的.
随堂练习·巩固
1．A 由题意可得，a1＝3，a2＝6，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，归纳出每6项一个循环，则a33＝a3＝3.
2．C 由扇形的弧长与半径类比于三角形的底与高，可得S扇＝lr.
3．A
4．13 3n＋1
5．3 ∵f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝，
∴f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝6×＝3.
2．1.2 演绎推理
1．掌握演绎推理的基本模式，特别是三段论模式，并学会运用这些推理模式进行推理．
2．了解合情推理、演绎推理之间的联系和区别．
1．演绎推理
根据概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做________．它的特征是：当前提为____时，结论______为真．
演绎推理的特点：
(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．
(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．
(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它的创造性较少，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．
【做一做1】演绎推理是( )．
A．部分到整体，个别到一般的推理
B．特殊到特殊的推理
C．一般到特殊的推理
D．一般到一般的推理
2．演绎推理的四种推理规则
(1)假言推理：用符号表示这种推理规则就是“如果pq，p真，则q真”．假言推理的本质是，通过验证结论的充分条件为真，判断结论为真．
(2)三段论推理：用符号表示这种推理规则就是“M是P，S是M，所以______”．
(3)传递性关系推理：用符号表示推理规则是“如果aRb，bRc，则______”，其中“R”表示具有传递性的关系。
(4)完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．
三段论推理是演绎推理的一般模式，在数学证明中，以上四种演绎推理规则是经常用到的，一道证明题，往往要综合应用这些推理规则．如果违背了这些规则，那么证明就是错误的．
【做一做2－1】下面几种推理过程是演绎推理的是( )．
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数都超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
D．在数列{an}中a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
【做一做2－2】“因为a⊥α，b⊥α，所以a∥b，又因为b∥c，所以a∥c.”以上推理的两个步骤分别遵循的推理规则是( )．
A．第一步遵循假言推理，第二步遵循传递性关系推理
B．第一步遵循三段论推理，第二步遵循假言推理
C．第一步遵循三段论推理，第二步遵循传递性关系推理
D．第一步遵循传递性关系推理，第二步遵循三段论推理
合情推理与演绎推理有哪些区别与联系？
剖析：区别：从推理形式和推理所得结论的正确性上讲，二者有差异．
合情推理
演绎推理
归纳推理
类比推理
推理形式
由部分到整体或由个别到一般的推理
由特殊到特殊的推理
由一般到特殊的推理
结论的
正确性
结论不一定正确，有待进一步证明
在前提和推理形式都正确的前提下，结论正确
联系：从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们是紧密联系、相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的．在数学中，演绎推理可以验证合情推理的结论的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．
题型一 假言推理
【例题1】设数列{an}为等差数列，求证：以bn＝为通项的数列{bn}为等差数列．
分析：由{an}为等差数列，推证{bn}为等差数列，只要证得bn＋1－bn＝d为常数即可．
反思：假言推理的规则为“如果pq，p真，则q为真”．
题型二 三段论推理
【例题2】已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证MN∥平面ACD.
分析：应用线面平行的判定定理证明．
反思：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
(1)大前提——已知的一般原理；
(2)小前提——所研究的特殊情况；
(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
题型三 传递性关系推理
【例题3】设a，b，c为正实数，求证：＋＋＞a＋b＋c.
分析：应用均值不等式找出a2＋b2与a＋b，b2＋c2与b＋c，a2＋c2与a＋c的关系，再应用同向不等式相加法则可证明．
反思：传递性关系推理论证时必须保证各量间的关系能正确传递．
题型四 完全归纳推理
【例题4】已知函数f(x)＝(＋)·x3.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)证明f(x)＞0.
反思：完全归纳推理必须把所有情况都考虑在内．完全归纳推理不同于归纳推理，后者仅仅证明了几种特殊情况，它不能说明结论的正确性，而前者则把所有情况都作了证明．
题型五 易错辨析
易错点：在应用三段论推理证明问题时，应明确什么是问题中的大前提和小前提．在推理的过程中，大前提、小前提和推理形式之一错误，都可能导致结论错误．
【例题5】如图，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD＞∠BCD.
错证：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC＞BC，所以AD＞BD，于是∠ACD＞∠BCD.
1如图，因为AB∥CD，所以∠1＝∠2，又因为∠2＝∠3，所以∠1＝∠3.所用的推理规则为( )．
A．三段论推理、假言推理
B．三段论推理、传递性关系推理
C．三段论推理、完全归纳推理
D．三段论推理、三段论推理
2“因指数函数y＝ax是减函数(大前提)，且y＝3x是指数函数(小前提)，所以y＝3x是减函数(结论)．”上面推理的错误是( )．
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
3下面的推理是传递性关系推理的是( )．
A．在同一三角形中若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C
B．因为2是偶数，所以2是素数
C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c
D．因为是有理数或无理数，且不是有理数，所以是无理数
4因为当a＞0时，|a|＞0；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＞0，所以当a为实数时，|a|≥0.此推理过程运用的是演绎推理中的__________推理．
5关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f(x)是增函数；当x＜0时，f(x)为减函数；③f(x)的最小值是lg 2；④当－1＜x＜0或x＞1时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是__________．
答案：
基础知识·梳理
1．演绎推理 真 必然
【做一做1】C
2．(2)S是P (3)aRc
【做一做2－1】A 选项D是归纳推理，选项C是类比推理，选项B既不是合情推理也不是演绎推理．
【做一做2－2】C
典型例题·领悟
【例题1】证明：设数列{an}的首项为a1，公差为d，因为
bn－bn－1＝·－·＝－＝
＝(n≥2)，而是个常数，所以数列{bn}为等差数列．
【例题2】证明：如图，连结BM，BN，并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连结PQ.因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，所以P，Q分别是AD，DC的中点，又因为＝2＝，所以MN∥PQ.又因为MN?平面ADC，PQ?平面ADC，所以MN∥平面ACD.
【例题3】证明：因为a2＋b2≥2ab，a，b，c为正实数，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.所以a2＋b2≥.所以≥(a＋b)．同理≥(a＋c).≥(b＋c)，所以有＋＋≥(2a＋2b＋2c)＝(a＋b＋c)．即＋＋≥(a＋b＋c)．
又(a＋b＋c)＞a＋b＋c，所以＋＋＞a＋b＋c.
【例题4】(1)解：函数f(x)的定义域为2x－1≠0，即{x|x≠0}，f(－x)－f(x)＝(－x)3－x3＝(－x)3－x3＝·x3－x3－x3－x3
＝x3－x3＝0.
所以f(－x)＝f(x)．
所以f(x)是偶函数．
(2)证明：因为x≠0，
所以当x＞0时，2x＞1,2x－1＞0，x3＞0，
所以f(x)＞0；
当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＞0，
所以f(x)＞0.
【例题5】错因分析：错证中由AD＞BD得出∠ACD＞∠BCD是错误的，因为只有在同一个三角形中才有大边所对的角较大这一结论成立．
正确证法：在△ABC中，因为CD⊥AB，所以∠ACD＋∠A＝∠BCD＋∠B＝90°.又AC＞BC，所以∠B＞∠A，于是∠ACD＞∠BCD.
随堂练习·巩固
1．B 本题前面证∠1＝∠2用的是三段论推理，后半部分证∠1＝∠3用的是传递性关系推理．
2．A y＝ax(a＞0，a≠1)的单调性与a有关，若a＞1，则为增函数；若0＜a＜1，则为减函数．
3．C
4．完全归纳
5．①③④ 显然f(－x)＝f(x)，
∴其图象关于y轴对称．
当x＞0时，f(x)＝lg ＝lg.
∵φ(x)＝x＋在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
∴f(x)min＝f(1)＝lg 2.
∵f(x)为偶函数，
∴f(x)在(－1,0)上是增函数．
2.2.1 综合法与分析法
1．掌握综合法证明问题的思考过程和推理特点，学会运用综合法证明简单题目．
2．掌握分析法证明问题的思考过程和推理特点，学会运用分析法证明简单题目．
3．区分综合法、分析法的推理特点，以便正确选取适当方法进行证明．
1．综合法
一般地，利用已知条件和某些数学______、______、______等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
综合法有三个特点：
(1)综合法是从原因推导到结果的思维方法；
(2)用综合法证明问题，从已知条件出发，逐步推理，最后达到待证的结论；
(3)综合法证明的思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
【做一做1－1】综合法是( )．
A．执果索因的逆推法
B．由因导果的顺推法
C．因果互推的两头凑法
D．以上均不对
【做一做1－2】设x＞0，y＞0，A＝，B＝＋，则A与B的大小关系为( )．
A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B
2．分析法
一般地，从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的______条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明的方法叫做______．
用分析法证明的逻辑关系是：
B(结论)B1B2…BnA(已知)．
在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的______条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．
分析法的特点：
(1)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．
(2)由于分析法是逆扒证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表达。
【做一做2】分析法是( )．
A．执果索因的逆推法
B．由因导果的顺推法
C．因果分别互推的两头凑法
D．逆命题的证明方法
证明与推理有哪些联系与区别？
剖析：(1)联系：证明过程其实就是推理的过程．就是把论据作为推理的前提，应用正确的推理形式，推出论题的过程．一个论证可以只含一个推理，也可以包含一系列的推理；可以只用演绎推理，或只用归纳推理，也可以综合运用演绎推理和归纳推理，所以证明就是推理，是一种特殊形式的推理．
(2)区别：①从结构上看，推理包含前提和结论两部分，前提是已知的，结论是根据前提推出来的；而证明是由论题、论据、论证三部分组成的．论题相当于推理的结论，是已知的，论据相当于推理的前提．
②从作用上看，推理只解决形式问题，对于前提和结论的真实性是不确定的，而证明却要求论据必须是真实的，论题经过证明后其真实性是确信无疑的．
题型一 综合法
【例题1】设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N＋)．其中m为常数，且m≠－3.
(1)求证：{an}是等比数列；
(2)若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N＋，n≥2)，求证：为等差数列．
分析：本题要求证明数列为等差、等比数列，思路是用定义证明，所以恰当的处理递推关系是关键．
反思：应用综合法证明问题是从已知条件出发，经过逐步地运算和推理，得到要证明的结论，并在其中应用一些已经证明的或已有的定理、性质、公式等．综合法的特点是：从已知看可知，再由可知逐步推向未知，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．步骤可以归结为P0(已知)P1P2P3…Pn(结论)．
题型二 分析法
【例题2】如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证：AF⊥SC.
分析：本例所给的已知条件中，垂直关系较多，我们不容易确定如何在证明中使用它们，因而用综合法比较困难．这时，可以从结论出发，逐步反推，寻求使要证结论成立的充分条件．
反思：在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．
题型三 易错辨析
易错点：分析法是一种重要的证明方法，因为它叙述较繁，易造成错误，所以在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，另外，要注意前后的必要性，即应是“”，而不是“”．
【例题3】求证：＋＜＋.
错证：由不等式＋＜＋.①
平方得9＋6＜9＋4.②
即3＜2.③
则18＜20.④
因为18＜20，所以＋＜＋.
1函数f(x)＝ln(ex＋1)－( )．
A．是偶函数，但不是奇函数
B．是奇函数，但不是偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
2已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )．
A．a B．－b
C． D．－
3已知两个正数x，y满足x＋4y＋5＝xy，则当xy取最小值时x，y的值分别为( )．
A．5,5 B．10,
C．10,5 D．10,10
4已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题：
①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.
其中正确的命题是________(填序号)．
5若a＋b＞a＋b，则a，b应满足的条件是________________．
答案：
基础知识·梳理
1．定义 公理 定理
【做一做1－1】B
【做一做1－2】C ∵x＞0，y＞0，＋＞＋＝.
2．充分 分析法 充分
【做一做2】A
典型例题·领悟
【例题1】证明：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，
两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man，m≠－3，
∴＝，∴{an}是等比数列．
(2)∵b1＝a1＝1，q＝f(m)＝，
∴nN＋且n≥2时，
bn＝f(bn－1)＝·bnbn－1＋3bn＝3bn－1－＝.
∴是首项为1，公差为的等差数列．
【例题2】证明：要证AF⊥SC，
只需证SC⊥平面AEF，
只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC)，
只需证AE⊥平面SBC，
只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB)，
只需证BC⊥平面SAB，
只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC)．
由SA⊥平面ABC可知，上式成立．
所以AF⊥SC.
【例题3】错因分析：由于错证的过程是①②③④，因而书写格式导致了逻辑错误．其证明的模式(步骤)以论证“若A，则B”为例：
欲证命题B成立，只需证命题B1成立，只需证命题B2成立……，只需证A为真．由已知A真，故B必真．
正确证法：欲证不等式＋＜＋成立，只需证3＋2＋6＜4＋2＋5成立，即证＜成立，即证18＜20成立．由于18＜20是成立的，故＋＜＋.
随堂练习·巩固
1．A 函数的定义域为R，f(－x)＝ln(e－x＋1)－＝ln＋＝ln(ex＋1)－ln ex＋＝ln(ex＋1)－＝f(x)．∴f(x)＝ln(ex＋1)－为偶函数．
2．B ∵f(－x)＝lg ＝－lg ＝－f(x)，∴f(－a)＝－f(a)＝－b.
3．B 由x＋4y＋5＝xy，得2＋5≤xy，即4＋5≤xy.再利用二次函数求xy的最小值，当且仅当时，xy取到最小值，求得
故选B.
4．① 由三视图知在三棱锥S—ABC中，底面ABC为直角三角形且∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，又SA⊥平面ABC，∴BC⊥SA，由于SA∩AC＝A，∴BC⊥平面SAC.故命题①正确，由已知推证不出②③命题．
5．a≥0，b≥0且a≠b a＋b＞a＋b?(－)2(＋)＞0?a≥0，b≥0且a≠b.
2.2.2 反证法
1．掌握间接证明的常见方法(反证法)的推理特点．
2．学会写出命题的否定，并以此作条件推出矛盾结论，即学习用反证法证明简单题目．
反证法
一般地，由证明pq转向证明：____________________，
t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定____为假，推出____为真的方法，叫做反证法．
1．反证法适宜证明“存在性，唯一性，带有‘至少有一个’或‘至多有一个’等字样”的一些数学问题．
2．应用反证法证明数学命题的一般步骤：
(1)分清命题的条件和结论；
(2)做出与命题结论相矛盾的假设；
(3)由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；
(4)断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．
常见的主要矛盾有：①与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论相矛盾；
②与临时假设矛盾；
③与公认的事实或自相矛盾等．
【做一做1－1】应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用( )．
①结论的相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③
【做一做1－2】用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设正确的是( )．
A．假设三角形的内角中至少有一个钝角
B．假设三角形的内角中至少有两个钝角
C．假设三角形的内角中没有一个钝角
D．假设三角形的内角中没有一个钝角或至少有两个钝角
如何理解反证法？
剖析：反证法证题的特征：通过导出矛盾、归结为谬误，而使命题得证．
反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．
反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确，即证明命题的逆否命题成立．否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面之反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法．要注意用反证法解题，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾．
用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面为“＜”；“≤”的反面为“＞”；“＞”的反面为“≤”；“＜”的反面为“≥”；“≠”的反面为“＝”；“＝”的反面为“≠”或“＞”及“＜”．
反证法属逻辑方法范畴，它的严谨性体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．
反证法不是去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的正确性．
题型一 命题的结论是否定型
【例题1】已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)．
(1)证明函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
分析：应用增函数定义证明第一问；第二问的结论是否定型的，适于应用反证法．
反思：在解题过程中，提出假设，分类讨论等都是在合理地增设条件，为解题提供帮助．
题型二 命题的结论涉及至多、至少及存在型
【例题2】已知a，b，c都是小于1的正数，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不大于.
分析：命题中有“至少、不都、都不、至多”等指示性语句时，应用直接方法证明时难度很大，根据正难则反的思想，应用反证法证明．本题中“至少有一个”的否定是“一个也没有”，然后由假设入手，应用均值不等式证明．
反思：反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立，反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般表现形式是：或者是A，或者非A，即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是对的，不能有第三种情形出现．
题型三 唯一性命题的证明
【例题3】求证：过直线外一点只有一条直线与它平行．
分析：本题属唯一性的证明问题，用反证法证明．
已知：Aa，A∈b，b∥a，
求证：b唯一．
题型四 易错辨析
易错点：运用反证法时，第一步否定结论易错．因为有些结论的对立面不易确定，从而导致错误．
【例题4】用反证法证明命题“a，b为整数，若ab不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设________．
错解：a，b不都是偶数．
1反证法证题的关键是在正确的假设下得出矛盾．这个矛盾可以是( )．
①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与定义、定理、公理、法则矛盾；④与事实矛盾．
A．①② B．①②④
C．①②③ D．①②③④
2命题“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是( )．
A．a＜b B．a≤b C．a＝b D．a≥b
3“M不是N的子集”的充分必要条件是( )．
A．若x∈M则xN
B．若x∈N则x∈M
C．存在x1∈Mx1∈N，又存在x2∈Mx2N
D．存在x0∈Mx0N
4设实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于__________．
5用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”时，应假设________________________________________________________________________．
答案；
基础知识·梳理
qr…t q q
【做一做1－1】C
【做一做1－2】B “至多有一个”的反面为“至少有两个”．
典型例题·领悟
【例题1】证明：(1)任取x1，x2(－1，＋∞)，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且ax1＞0，
∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.
又∵x1＋1＞0，x2＋1＞0，∴－＝
＝＞0.
∴f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－＞0.
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)假设存在x0＜0(x0≠－1)，满足f(x0)＝0，则
ax0＝－，且0＜ax0＜1，
∴0＜－＜1，即＜x0＜2，与假设x0＜0矛盾，故方程f(x)＝0没有负根．
【例题2】证明：假设(1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞.
∵a，b，c都是小于1的正数，
∴＞，＞，＞，
从而＋＋＞.
但是＋＋≤＋＋＝＝，
与上式矛盾．
∴假设不成立，即原命题成立．
【例题3】证明：假设过点A还有一条直线b′∥a.
根据平行公理，∵b∥a，∴b∥b′，
与b∩b′＝A矛盾．
∴假设不成立，原命题成立．
【例题4】错因分析：a，b不都是偶数包括的情况是：
①a是偶数，b是奇数；
②a是奇数；b是偶数；
③a，b都不是偶数．显然，否定的结论并不是结论的对立面，所以不正确，题目中“a，b都不是偶数”指“a，b都是奇数”．
正解：a，b不都是奇数．
随堂练习·巩固
1．D
2．B “大于”的否定是“不大于”，即“小于”或“等于”．
3．D 按定义，若M是N的子集，则集合M的任一个元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N的子集，只需存在x0M但x0N.选D.
4． 假设a，b，c都小于，则a＋b＋c＜1.
故a，b，c中至少有一个不小于.
5．a，b不全为0(a，b为实数) “a，b全为0”即“a＝0且b＝0”，它的否定为“a≠0或b≠0”，即“a，b不全为0”．
2.3 数学归纳法
1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单命题．
2．理解数学归纳法两个步骤的作用，进一步规范书写的语言结构．
数学归纳法
一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝______时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．
数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善．证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”；第二步解决的是延续性问题，又称“归纳递推”．运用数学归纳法证明有关命题时应注意以下几点：
(1)两个步骤缺一不可；
(2)在第一步中，n的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数(有时需取n＝n0，n0＋1等)，证明应视具体情况而定；
(3)第二步中，证明n＝k＋1时命题成立，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效；
(4)证明n＝k＋1时命题成立，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当n＝k＋1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性．
【做一做】对于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即＜k＋1，
则当n＝k＋1时，
＝＜＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
上述证法( )．
A．过程全部正确
B．n＝1时验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
1．利用数学归纳法证明问题时有哪些注意事项？
剖析：(1)用数学归纳法证明有关命题的关键在第二步，即n＝k＋1时命题为什么成立？n＝k＋1时命题成立是利用假设n＝k时命题成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出来的，而不是直接代入，否则n＝k＋1时命题成立也成假设了，命题并没有得到证明．
(2)用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都能用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．
2．运用数学归纳法时易犯的错误有哪些？
剖析：(1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错．
(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的．假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．
(3)关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题中最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性．
题型一 用数学归纳法证明恒等式
【例题1】用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
分析：左边式子的特点为：各项分母依次为1,2，3，…，2n，右边式子的特点为：分母由n＋1开始，依次增大1，一直到2n，共n项．
反思：理解等式的特点：在等式左边，当n取一个值时，对应两项，即－；在等式右边，当n取一个值时，对应一项．无论n取何值，应保证等式左边有2n项，而等式右边有n项，然后再按数学归纳法的步骤要求给出证明．
题型二 用数学归纳法证明不等式
【例题2】已知a＞0，b＞0，n＞1，n∈N＋，用数学归纳法证明：≥n.
反思：应用数学归纳法证明不等式时，往往通过拼凑项或拆项用上归纳假设，再应用放缩法或其他证明不等式的方法证得n＝k＋1时命题成立．
题型三 归纳——猜想——证明
【例题3】某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.
(1)写出这个数列的前五项；
(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．
分析：根据数列前五项写出这个数列的通项公式，要注意观察数列中各项与其序号变化的关系，归纳出构成数列的规律．同时还要特别注意第一项与其他各项的差异，必要时可分段表示．证明这个数列的通项公式可用数学归纳法．
反思：先计算出一个数列的前几项，用不完全归纳法猜想得到通项公式，再用数学归纳法给予证明，这是解数列问题的常见思路．
题型四 易错辨析
易错点：在应用数学归纳法证明问题时两步缺一不可，且在证明由n＝k到n＝k＋1命题成立时必须用上归纳假设，否则证明过程就是错误的．
【例题4】用数学归纳法证明：
＋＋＋…＋＝.
错证：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝＝，等式成立．
(2)假设当n＝k时等式成立，那么当n＝k＋1时，直接使用裂项相减法求得
＋＋＋…＋＋
＝
＝＝，即当n＝k＋1时等式成立．
由(1)和(2)，可知等式对一切n∈N＋都成立．
1用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N＋)，从“n＝k到n＝k＋1”左端需增乘的代数式为( )．
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C． D．
2平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线后，它们的交点个数最多为( )．
A．f(k)＋k B．f(k)＋1
C．f(k)＋k＋1 D．kf(k)
3利用数学归纳法证明＋＋＋…＋＜1(n∈N＋，且n≥2)时，第二步由n＝k到n＝k＋1时不等式左端的变化是( )．
A．增加了这一项
B．增加了和两项
C．增加了和两项，同时减少了这一项
D．以上都不对
4用数学归纳法证明“若f(n)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N＋，且n≥2)”时，第一步要证的式子是___________________________________．
5在数列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，则S2，S3，S4分别为________，由此猜想Sn＝________.
答案：
基础知识·梳理
k＋1
【做一做】D 因为从n＝k到n＝k＋1的证明过程中没有用到归纳假设，故从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．
典型例题·领悟
【例题1】证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝＝＝右边，
∴等式成立．
(2)假设n＝k时等式成立，即
1－＋－＋…＋－
＝＋＋…＋.
则当n＝k＋1时，
左边＝1－＋－＋…＋－＋－
＝＋－
＝＋
＝＋…＋＋＋＝右边．
∴当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)和(2)，知等式对任意nN＋都成立．
【例题2】证明：(1)当n＝2时，左边＝，右边＝()2，左边－右边＝2≥0，不等式成立．
(2)假设当n＝k(kN＋，k＞1)时，不等式成立，即≥k，因为a＞0，b＞0，k＞1，kN＋，所以(ak＋1＋bk＋1)－(akb＋abk)＝(a－b)(ak－bk)≥0，于是ak＋1＋bk＋1≥akb＋abk.
当n＝k＋1时，k＋1＝×k≤·＝≤＝，∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)和(2)，知对于a＞0，b＞0，n＞1，nN＋，不等式≥n恒成立．
【例题3】解：(1)已知a1＝1，由题意，得a1·a2＝22，
∴a2＝22.
∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝.
同理，可得a4＝，a5＝.
因此该数列的前五项为1,4，，，.
(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为
an＝
下面用数学归纳法证明当n≥2时，an＝.
①当n＝2时，a2＝＝22，等式成立．
②假设当n＝k(k≥2)时，结论成立，即ak＝.
∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2，
a1·a2·…·ak－1·ak·ak＋1＝(k＋1)2，
∴ak＋1＝＝·＝＝.
∴当n＝k＋1时，结论也成立．
根据①和②，可知当n≥2时，这个数列的通项公式是an＝.
∴an＝
【例题4】错因分析：由n＝k到n＝k＋1时等式的证明没有用归纳假设，是典型的套用数学归纳法的一种伪证．
正确证法：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，等式成立．
(2)假设当n＝k时，
＋＋＋…＋＝成立．
那么当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋
＝＋＝＝
＝＝，
∴当n＝k＋1时，等式成立．
由(1)和(2)，可得对一切nN＋等式都成立．
随堂练习·巩固
1．B n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，而n＝k＋1时，
左边＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]
＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝2(k＋1)(k＋2)…(k＋k)(2k＋1)．
2．A 第k＋1条直线与原来k条直线相交，最多有k个交点．
3．C 不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，左端为＋＋＋…＋＋＋，对比两式，可得结论．
4．2＋f(1)＝2f(2) 起点n0＝2，观察等式左边最后一项，将n＝2代入即可．
5．，， 由题意，得2Sn＋1＝Sn＋2S1，且S1＝a1＝1，令式子中的n分别取1,2,3，可得S2＝，S3＝，S4＝，从而猜想Sn＝.
