3.1.2 复数的概念
1．了解引进复数的必要性，了解数集的扩充过程：自然数集(N)―→整数集(Z)―→有理数集(Q)―→实数集(R)―→复数集(C)．
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念，例如：虚数单位、复数、虚数、纯虚数等，掌握复数相等的充要条件．
1．实数系
实数就是小数，它包括____________________________和________________________．
实数的性质有：①实数对四则运算是封闭的，即两个实数进行四则运算的结果仍然是实数；②0与1的性质为0＋a＝a＋0＝a，1·a＝a·1＝a；③加法和乘法都适合交换律、结合律，乘法对加法满足分配律．实数系和数轴上的点可以建立________关系．
【做一做1】数系扩充的脉络是：________→________→________，用集合符号表示为________?________?________．
2．虚数单位的性质
i2＝______.
显然i是－1的一个平方根，即i是方程x2＝－1的一个解．
【做一做2】关于x的方程x2＋1＝0的解是( )．
A．1 B．i C．±i D．无解
3．复数的概念
(1)设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做______，复数通常用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的______，b叫做复数z的______，i称作虚数单位．
当b＝0时，复数就成为实数；除了实数以外的数，即当b≠0时，a＋bi叫做______．而当b≠0且a＝0时，bi叫做______．
(2)全体复数所构成的集合叫做______．复数集通常用大写字母C表示，即C＝{z|z＝a＋bi，a∈R，b∈R}．
显然，实数集R是复数集C的______，即RC.
【做一做3－1】设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下面结论正确的是( )．
A．A∪B＝C B．?UA＝B
C．A∩?UB＝ D．B∪?UB＝C
【做一做3－2】若z＝a＋bi(a，b∈R)，则下列结论中正确的是( )．
A．若a＝0，则z是纯虚数
B．若b＝0，则z是实数
C．若a＋(b－2)i＝5＋3i，则a＝5，b＝2i
D．z的平方不可能为－1
4．复数相等
如果两个复数a＋bi与c＋di的实部与虚部分别对应相等，我们就说这两个复数______，记作a＋bi＝c＋di.
这就是说，如果a，b，c，d都是实数，那么
a＋bi＝c＋di____________；
a＋bi＝0____________.
【做一做4－1】实数x，y满足方程(x＋y)＋(2x－y)i＝5＋4i，则x＝________，y＝________.
【做一做4－2】若复数(m2－5m－6)＋(m2＋4m＋3)i等于零，则实数m的值是( )．
A．－3或－1 B．6或－1
C．－3 D．－1
如何理解“两个复数(不全为实数)只能说相等或不相等，不能比较大小”？
剖析：(1)根据复数相等的定义，知在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么a＋bi≠c＋di.
(2)若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必都是实数(即虚部均为0)．
(3)若两个复数不全是实数，则不能比较大小．“不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四种性质：
①对于任意实数a，b来说，a＜b，a＝b，b＜a这三种情况有且只有一种成立；
②若a＜b，b＜c，则a＜c；
③若a＜b，则a＋c＜b＋c；
④若a＜b，c＞0，则ac＜bc.
题型一 复数的分类
【例题1】实数k为何值时，复数(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i分别是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？
分析：根据定义求解．
题型二 复数相等
【例题2】已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x－10)＋i＝y－3i，求x与y.
分析：因为y是纯虚数，所以可设y＝bi(b∈R，b≠0)代入等式，把等式的左、右两边都整理成a＋bi的形式后，利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b的值．
反思：一般利用复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数．复数相等是实现复数向实数转化的桥梁．
题型三 复数与实数之间的关系
【例题3】已知z1＝m2－(m2－3m)i，z2＝(m2－4m＋3)i＋10，(m∈R)
若z1＜z2，求实数m的取值范围．
分析：由z1＜z2，可知z1，z2∈R，故虚部为0.
反思：两个复数，只有当它们全是实数时才能比较大小．
题型四 易错辨析
易错点：本节常出现的错误是混淆复数中的有关概念，忽视复数集与实数集中有关性质的不同而导致做题错误，避免错误发生的关键是弄清虚数、纯虚数、实数、复数相等等有关概念的区别与联系．
【例题4】下列命题中：
①两个复数不能比较大小；
②若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；
③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；
④x＋yi＝1＋i?x＝y＝1；
⑤若实数a与ai对应，则数集与纯虚数集一一对应．
其中正确命题的个数是( )．
A．0 B．1
C．2 D．3
错解：B
1若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )．
A．1 B．2 C．1或2 D．－1
2若z1＝sin 2θ＋icos θ，z2＝cos θ＋isin θ，当z1＝z2时，θ为( )．
A．kπ B．＋2kπ
C．±＋2kπ D．＋2kπ，k∈Z
3已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i＞0，则实数x＝________.
4给出下列五个命题：
①若a＜0，则＝a；
②若x为任意实数，则(x2＋1)0＝1；
③方程＝0没有实数根；
④方程＋＝0无实数根；
⑤当a＞0时，关于x的一元二次方程x2－ax＋a＝0有两个正根．
其中正确的命题有________．
答案：
基础知识·梳理
1．有理数(有限小数和无限循环小数) 无理数(无限不循环小数) 一一对应
【做一做1】自然数系 有理数系 实数系 N Q R
2．－1
【做一做2】C 由于i2＝－1，∴(－i)2＝－1，∴±i都是x2＋1＝0的解．
3．(1)复数 实部 虚部 虚数 纯虚数 (2)复数集 真子集
【做一做3－1】D ∵{实数}∪{虚数}＝{复数}，∴选项A不正确．由以上分析知?UA＝{虚数}．∴选项B不正确．∵?UB中会有实数，∴选项C不正确．
【做一做3－2】B 若z是纯虚数，则a＝0且b≠0；a＋(b－2)i＝5＋3i，由于a，b均为实数，∴a＝5，b＝5；当a＝0，b＝1时，z＝i，其平方为－1.
4．相等 a＝c，且b＝d a＝0，且b＝0
【做一做4－1】3 2 由题意可得∴
【做一做4－2】D 由复数相等的定义可得，解得m＝－1.
典型例题·领悟
【例题1】解：由于z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6，或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6，且k≠－1时，z是虚数．
(3)当即k＝4时，z为纯虚数．
(4)当即k＝－1时，z是0.
【例题2】解：设y＝bi(bR且b≠0)代入(3x－10)＋i＝y－3i
整理，得(3x－10)＋i＝bi－3i，
由复数相等的充要条件得解得
∴x＝，y＝4i.
【例题3】解：∵z1＜z2，故z1，z2均为实数，且z1的实部小于z2的实部，
∴∴
∴m＝3.
【例题4】错因分析：因为实数也是复数，而两个实数是能比较大小的，故①不对；在②中未对a，b加以限制，故②错误；在③中将虚数的平方与实数的平方等同，故③错误；在④中当x，yR时，可推出x＝y＝1，而此题未限制x，yR，故④错误；在⑤中忽视0·i＝0，故⑤错误．
正解：A
随堂练习·巩固
1．B 由题意，有解得a＝2.
2．D 由z1＝z2得∴
∴θ＝2kπ＋，kZ.
3．1 根据题意，有
由①得x＝1或x＝3，
代入②检验知x＝1.
4．②③④ ①应为＝－a，故①错；⑤中Δ＝a2－4a不一定为正，因此方程不一定有实根，故⑤错．
3.1.3 复数的几何意义
1．掌握复数的几何意义，即能够掌握复数与复平面内的点的对应关系，掌握向量、复数及复平面上点的坐标之间的转化关系．
2．能够利用复数的几何意义解决一些较简单的题目．
1．复数的几何表示
根据复数相等的定义，复数z＝a＋bi被一个有序实数对(a，b)所______确定，而每一个有序实数对(a，b)，在平面直角坐标系中有唯一确定一点Z(a，b)(或一个向量)．这就是说，每一个复数，对应着平面直角坐标系中唯一的______(或一个向量)；反过来，平面直角坐标系中每一个点(或每一个向量)，也对应着唯一的一个有序实数对．这样我们通过有序实数对，可以建立复数z＝a＋bi和点Z(a，b)(或向量)之间的一一对应关系．点Z(a，b)或向量是复数z的______表示(如图)．
复数z＝a＋bi有序实数对(a，b)点Z(a，b)．
【做一做1－1】对于复平面，下列命题中是真命题的是( )．
A．虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的
B．实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限内的点的集合是一一对应的
C．实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的
D．实轴上方的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的
【做一做1－2】设z＝(2a2＋5a－3)＋(a2－2a＋3)i(a∈R)，则下列命题中正确的是( )．
A．z的对应点Z在第一象限
B．z的对应点Z在第四象限
C．z不是纯虚数
D．z是虚数
2．复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做______．在复平面内，x轴叫做______，y轴叫做______．x轴的单位是1，y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.
(1)复数与向量建立一一对应关系的前提是起点都是原点．
(2)复数z的几何表示为我们用向量方法解决复数问题或用复数方法解决向量问题创造了条件．
(3)为了方便起见，我们常把复数z＝a＋bi(a，b∈R)说成点Z或说成向量，并规定：相等向量表示同一个复数．
【做一做2】下面有关复平面的命题，其中正确的有________．
①实轴与虚轴无交点；
②实轴上的点对应的复数为实数，虚轴上的点对应的复数为虚数；
③实轴与虚轴的单位都是1；
④实数对应的点在实轴上，纯虚数对应的点在虚轴上．
3．复数的模、共轭复数
(1)设＝a＋bi(a，b∈R)，则向量的长度叫做复数a＋bi的____(或绝对值)，记作|a＋bi|，|a＋bi|＝________.
(2)如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为______复数．复数z的共轭复数用表示．
说明：①复数z的模即有向线段的长度或两点间的距离．在数轴(一元坐标)上我们叫实数的绝对值，在直角坐标系(二元坐标)上我们叫向量的模，但叫绝对值也可以．其本质都是线段的长．②由|z|＝，得|z|2＝a2＋b2，而由a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，可得公式z·＝|z|2＝||2，这一公式在分解因式、复数与实数的互化、模及共轭复数的运算中都应用很广泛．
【做一做3－1】复数i＋2i2的共轭复数是( )．
A．2＋i B．2－i
C．－2＋i D．－2－i
【做一做3－2】满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点的轨迹是( )．
A．一条直线 B．两条直线
C．圆 D．椭圆
1．如何理解复数的两种几何形式？
剖析：
这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．
2．复数的模、共轭复数有什么联系？
剖析：(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模用|z|表示，其公式为|z|＝，它既是z对应的向量的长度又是其对应的点Z(a，b)到原点的距离．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi，它们对应的点关于实轴对称．当b＝0时，z＝，此时z与对应的点是实轴上的同一个点．如果z＝，可以推得z为实数．由此可得z＝?z为实数．|z|2＝z·.
题型一 复数的几何表示
【例题1】已知a∈R，则z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z所对应的点的轨迹是什么？
分析：根据复数与复平面上点的对应关系知，复数z对应的点在第几象限与复数z的实部和虚部的符号有关；求复数z对应的点的轨迹问题，首先把z表示成为z＝x＋yi(x，y∈R)的形式，然后寻求x，y之间的关系，但要注意参数限定的条件．
题型二 共轭复数
【例题2】已知x－1＋yi与i－3x是共轭复数，求实数x与y的值．
分析：根据共轭复数及复数相等的概念列方程组求x，y.
反思：复数z的共轭复数用来表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)．在复平面内，点Z(a，b)对应复数z＝a＋bi(a，b∈R)；点(a，－b)对应复数＝a－bi(a，b∈R)，点Z和关于实轴对称．
题型三 复数的模【例题3】
已知复数z1＝－i，z2＝－＋i.
(1)求||及||的值并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？
分析：根据模的定义及几何意义来求解．
反思：复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离．计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后再利用公式进行计算，复数的模可以比较大小．
题型四 易错辨析
易错点：复数的模是实数的绝对值概念的扩充，但在求解有关问题时，不能当成实数的“绝对值”加以求解，否则易丢解、漏解，造成答案不完整或错误．
【例题4】求方程－5|x|＋6＝0在复数集上解的个数．
错解：∵－5|x|＋6＝0，∴5|x|＝6，即|x|＝，
∴x＝±，故原方程在复数集上有两个解．
1如果复数a＋bi在复平面内对应的点在第二象限，则( )．
A．a＞0，b＜0
B．a＞0，b＞0
C．a＜0，b＜0
D．a＜0，b＞0
2复数z＝3a－6i的模为，则实数a的值为( )．
A． B．－
C．± D．
3若a，b∈R，z＝a＋bi，我们称复数－a－bi为z的相反复数，则( )．
A．复平面上表示z和它的相反复数的点关于虚轴对称
B．复平面上表示z的共轭复数的点与表示z的相反复数的点关于虚轴对称
C．z的共轭复数的相反复数是z
D．z的相反复数与不相等
4复数z＝1＋itan 200°的模是________．
5已知θ∈，复数z＝2cos θ＋isin θ，则|z|的取值范围是________．
答案：
基础知识·梳理
1．唯一 一个点 几何
【做一做1－1】D 当虚数为纯虚数时，所对应的点位于虚轴上，不属于任何象限，因此选项A不正确；实、虚部都是负数的虚数的集合与第三象限内的点的集合是一一对应的，因此选项B不正确；实部是负数的实数所对应的点位于实轴上，不属于第二、三象限，因此选项C不正确；选项D正确．
【做一做1－2】D 由2a2＋5a－3＝(2a－1)(a＋3)，得其实部可正，可负也可以是零，而虚部a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，故z是虚数．
2．复平面 实轴 虚轴
【做一做2】④ 由于实轴与虚轴相交于原点，故①错；由于原点也在虚轴上，它与复数0对应，故②不正确；虚轴的单位为i，所以③错；④正确．
3．(1)模 (2)共轭
【做一做3－1】D i＋2i2＝－2＋i，其共轭复数是－2－i.
【做一做3－2】C |3＋4i|＝＝5.故复数z的模为5，即点Z到原点的距离等于5，因此满足条件|z|＝5的点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．
典型例题·领悟
【例题1】解：由于a2－2a＋4＝(a－1)2＋3＞0，
a2－2a＋2＝(a－1)2＋1＞0，
∴复数z的实部为正，虚部为负，即复数z对应的点在第四象限．
设z＝x＋yi(x，yR)，则
上述两式相加，得x＋y＝2.
又x＝a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
∴复数z对应的点的轨迹是一条射线，其方程为x＋y－2＝0(x≥3)．
【例题2】解：i－3x的共轭复数为－3x－i，所以
x－1＋yi＝－3x－i，从而解得
【例题3】解：(1)||＝|＋i|＝＝2.
||＝|－－i|＝＝1.
所以||＞||.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.
因为|z|≥1表示圆|z|＝1上及其外部所有点组成的集合，|z|≤2表示圆|z|＝2上及其内部所有点组成的集合，故符合题设条件的点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环(包括边界)，如图．
【例题4】错因分析：错解中将|x|看成了实数的绝对值，忽略在复数集上解方程而导致错误．
正解：设x＝a＋bi(a，bR)，原方程可化为＝，即a2＋b2＝，在复平面上满足此条件的点有无数个，所以原方程在复数集上有无数个解．
随堂练习·巩固
1．D
2．C ∵(3a)2＋(－6)2＝40，∴a＝±.
3．B 选项A中应关于原点对称；选项C中因为＝a－bi，则的相反复数为－a＋bi，并非等于z；选项D中若z为纯虚数，则z的相反复数与相等．
4． |z|＝＝＝＝.
5． ∵|z|＝＝＝，
又θ，∴≤cos θ≤1，∴≤1＋3cos2θ≤4，
故≤|z|≤2.
3.2.1 复数的加法与减法
1．掌握复数代数形式的加减法运算法则，并能运用复数加减法运算法则进行熟练计算．
2．理解复数加减法的几何意义．
1．复数的加法与减法的定义
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，定义
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______＋______i.
(2)已知复数a＋bi，根据加法的定义，存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.
－a－bi叫做a＋bi的______．－a－bi＝－(a＋bi)．在复平面内，互为相反数的两个复数关于原点对称．根据相反数的概念，我们规定两个复数的减法法则如下：
(a＋bi)－(c＋di)＝(a＋bi)＋(－c－di)
＝(a－c)＋(b－d)i，
即(a＋bi)－(c＋di)＝______＋______i.
(3)两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别________．
(1)两个复数的和(差)仍为复数．
(2)复数的加法法则可推广到多个复数相加的情形．
(3)复数的加法运算满足交换律、结合律．
【做一做1－1】若z1＝2＋i，z2＝3i，z3＝－1－i，则z1＋z2－z3＝________.
【做一做1－2】已知z1＝4－2i，且z1＋z2＝3＋3i，则z2＝________.
2．加减运算的几何意义
已知复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，x1，x2，y1，y2∈R，其对应的向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)(如图)，且和不共线．以OZ1和OZ2为两条邻边作OZ1ZZ2，根据向量的加法法则，对角线OZ所表示的向量＝＋，而＋所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．因此复数加法的几何意义就是______________________．类似地，向量对应两个复数的差z1－z2，作＝，则点Z′也对应复数z1－z2.
两个复数的差z1－z2(即－)与连两个终点Z1，Z2，且指向被减数的向量对应，这与平面向量的几何解释是一致的．
【做一做2－1】|(3＋2i)－(1＋i)|表示( )．
A．点(3,2)与点(1,1)之间的距离
B．点(3,2)与点(－1，－1)之间的距离
C．点(3,2)到原点的距离
D．以上都不对
【做一做2－2】若z1，z2为非零复数，且满足|z1＋z2|＝|z1－z2|，则以点Z1，O，Z2为相邻顶点的平行四边形为________．
怎样理解复数减法的向量运算？
剖析：复数的减法也可用向量来进行运算．同样可实施平行四边形法则和三角形法则．
设与复数a+bi对应，与复数c+di对应，如图所示，以为一条对角线，为一边作平行四边形，那么这个平行四边形的另一边所表示的向量就与复数(a-c)+(b-d)i对应．
因为与平行且相等，所以向量也与这个差对应，实际上，两个复数的差z－z1(即－)与连两个复数所对应的向量终点并指向被减数的向量对应．即“首同尾连向被减”，这就是复数减法的几何意义．
题型一 复数的加减运算
【例题1】计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
分析：分清实部与虚部，按复数加减法的运算法则进行计算．
反思：(1)类比实数运算，若有括号，先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次计算．
(2)算式中出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部和虚部，最后把实部、虚部分别相加减．
题型二 复数加减法的几何意义
【例题2】已知平行四边形的三个顶点分别对应复数2i，4－4i，2＋6i.求第四个顶点对应的复数．
分析：在平行四边形中，已知的三个顶点顺序未定，故第四个顶点有三种情况．据复数加减法的几何意义求之．
反思：理解复数加减法的几何意义是求解的关键.
题型三 复数知识的综合应用
【例题3】设f(z)＝|z|＋z－2i，z1＝3－i，z2＝－2＋4i，z3＝＋z2，求f(z3)．
分析：由题意，求出z3代入f(z)即可．
题型四 易错辨析
易错点：在进行复数代数形式运算时忘记加括号，从而导致运算错误．
【例题4】已知z1＝1＋2i，z2＝4－3i，计算|z1－z2|.
错解：由z1＝1＋2i，z2＝4－3i，得z1－z2＝1＋2i－4－3i＝－3－i，∴|z1－z2|＝|－3－i|＝＝.
1已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1在复平面内所对应的点位于( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2在复平面上，平行四边形ABCD的顶点A，B，C所对应的复数分别为－3－2i，－4＋5i,2＋i，则向量所对应的复数是( )．
A．7－11i B．3－6i
C．5－9i D．－5－3i
3设f(z)＝，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于( )．
A．1－3i B．－2＋11i
C．－2＋i D．5－5i
4已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于________．
5已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝________.
答案：
基础知识·梳理
1．(1)(a＋c) (b＋d) (2)相反数 (a－c) (b－d) (3)相加(减)
【做一做1－1】3＋5i z1＋z2－z3＝(2＋i＋3i)－(－1－i)＝(2＋4i)＋(1＋i)＝3＋5i.
【做一做1－2】－1＋5i ∵(4－2i)＋z2＝3＋3i，∴z2＝(3＋3i)－(4－2i)＝－1＋5i.
2．向量加法的平行四边形法则
【做一做2－1】A |z1－z2|的几何意义是z1，z2两点间的距离．
【做一做2－2】矩形 ∵|z1＋z2|＝|z1－z2|，∴平行四边形的对角线长度相等，∴平行四边形为矩形．
典型例题·领悟
【例题1】解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(4－2i)－(5＋6i)
＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]
＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i
＝－a＋(4b－3)i.
【例题2】解：设平行四边形中已知的三个顶点分别为Z1，Z2，Z3，它们对应的复数分别是z1＝2i，z2＝4－4i，z3＝2＋6i，设第四个顶点所对应的复数为z4，则
(1)当这个平行四边形是以和为一组邻边时，有＝＋，∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)．
∴z4＝(z2＋z3)－z1＝6.
(2)当这个平行四边形是以和为一组邻边时，有＝＋，
∴z4－z2＝(z1－z2)＋(z3－z2)．
∴z4＝(z1＋z3)－z2＝－2＋12i.
(3)当这个平行四边形是以和为一组邻边时，有＝＋，
∴z4－z3＝(z1－z3)＋(z2－z3)．
∴z4＝(z1＋z2)－z3＝2－8i.
综上所述，第四个顶点对应的复数为6或－2＋12i或2－8i.
【例题3】解：∵z1＝3－i，z2＝－2＋4i，
∴z3＝＋z2＝＋(－2＋4i)
＝3＋i－2＋4i
＝(3－2)＋(1＋4)i
＝1＋5i.
∵f(z)＝|z|＋z－2i，
∴f(z3)＝|1＋5i|＋1＋5i－2i
＝＋1＋3i
＝1＋＋3i.
【例题4】错因分析：在运算z1－z2时忘记加括号，从而导致结果错误．
正解：由z1＝1＋2i，z2＝4－3i，得z1－z2＝(1＋2i)－(4－3i)＝1＋2i－4＋3i＝－3＋5i，
∴|z1－z2|＝＝.
随堂练习·巩固
1．B ∵z＝z2－z1＝－1＋i，
∴Z(－1,1)．
2．A ＝＋＝(－)＋(－)＝(－3，－2)－(－4,5)＋(2,1)－(－4,5)＝(7，－11)．
3．D ∵z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i，
∴f(z1－z2)＝5－5i.
4．6－2i ∵z＋i－3＝3－i，∴z＝3－i－(－3＋i)＝3－i＋3－i＝6－2i.
5．3 ∵z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]＝a＋3b＋(a－b－1)i＝4，
∴
∴
故a＋b＝3.
3.2.2 复数的乘法
1．能运用复数的乘法运算法则进行简单的计算．
2．掌握虚数单位“i”的幂的规律进行化简求值．
复数的乘法
(1)两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是在遇到i2时，要把______换成______，并把最后的结果写成a＋bi(a，b∈R)的形式．
(2)两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的______．
(1)两个复数的积仍为复数．
(2)复数的乘法运算满足：①交换律：z1·z2＝z2·z1；②结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；③乘法对加法的分配律：z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.
(3)对复数z1，z2，z和自然数m，n有：zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z.实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立．
【做一做1－1】计算(1－i)4得( )．
A．4 B．－4
C．4i D．－4i
【做一做1－2】(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)的运算结果是________．
共轭复数有哪些运算性质？
剖析：(1)z·＝|z|2＝||2；
(2)＝()2；
(3)＝·；
(4)＝±.
题型一 复数乘法运算【例题1】计算：(2－3i)(3＋2i)
分析：根据运算法则计算即可．
反思：复数的乘法与多项式乘法类似，在计算两个复数相乘时，先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，最后合并同类项即可．
题型二 i的幂的运算
【例题2】已知等比数列z1，z2，z3，…，zn，其中z1＝1，z2＝x＋yi，z3＝y＋xi(x，y∈R，且x＞0)．
(1)求x，y的值；
(2)试求使z1＋z2＋z3＋…＋zn＝0的最小正整数n；
(3)对(2)中的正整数n，求z1·z2·z3·…·zn的值．
分析：借助等比数列建立等式关系，利用复数相等的充要条件，将复数问题转化成实数问题来求解，进而得到数列通项公式，然后便使问题逐步得以解决．
反思：(1)
(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，n∈Z.
题型三 共轭复数的性质
【例题3】若z，z0∈C，z≠z0，且|z|＝2，求的值.
分析：要用z表示比较困难，z0没有具体给出，要想求的值，必须充分利用|z|＝2，为此要考虑用|z|的性质|z|2＝
反思：是在求解复数问题时常用的一个公式.
题型四 易错辨析
易错点：有些同学总认为只要是复数式子就不能比较大小，这种观点是错误的.错误原因是：若两复数经化简后为实数，则能比较大小，因此要注意运算时式子中的隐含条件.
【例题4】已知z1，z2∈C，且z1·z2≠0，，问A，B可否比较大小？并说明理由.
错解：因为z1，z2∈C，且z1·z2≠0，所以A∈C，而B＝|z1|2＋|z2|2∈R，所以A，B不能比较大小.
1设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于( ).
A．－2 B．－1
C．1 D．2
2设复数,则z2－2z等于( ).
A．－3 B．3
C．－3i D．3i
3设z∈C，,,则复数z1与z2的关系是( ).
A．z1≤z2 B．z1≥z2
C．z1＝z2 D．不能比较大小
4已知复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，则z＝________.
5已知复数z1＝cos θ－i，z2＝sin θ＋i，则z1·z2的实部的最大值为________，虚部的最大值为________.
答案：
基础知识·梳理
1．(1)i2 －1 (2)平方
【做一做1－1】B (1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝－4.
【做一做1－2】－20＋15i (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.
典型例题·领悟
【例题1】解：(2－3i)(3＋2i)＝6＋4i－9i－6i2＝6＋4i－9i＋6＝12－5i.
【例题2】解：(1)由z1z3＝z，得(x＋yi)2＝y＋xi，
根据复数相等的充要条件，得(x＞0)．解得
(2)z1＝1，z2＝＋i，q＝＋i，则zn＝n－1，于是z1＋z2＋…＋zn＝1＋q＋q2＋…＋qn－1＝＝0，则qn＝n＝1，即n既是3的倍数又是4的倍数．
故n为12的倍数，所求最小的正整数n为12.
(3)z1·z2·…·z12＝1··2·…·11＝1＋2＋…＋11＝66＝(－i)6666＝－1.
【例题3】解法一：∵|z|＝2，|z|2＝z＝4，
∴＝＝＝＝.
解法二：2＝·＝＝＝，
∴＝.
【例题4】错因分析：错解中直接由z1C，z2C得AC是不严密的，事实上只要求出就能发现A为实数．
正解：因为A＝z1·＋·z2，故＝z2·＋z1·＝A，即AR，而B＝z1·＋z2·＝|z1|2＋|z2|2R，所以A，B可以比较大小，且有
A－B＝z1·＋z2·－(z1·＋z2·)＝z1(－)＋z2(－)＝－(z1－z2)()＝－|z1－z2|2≤0，
故有A－B≤0，即A≤B.
随堂练习·巩固
1．A ∵z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)iR，∴x＋2＝0，∴x＝－2.
2．A z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－1＋2i－2－2i＝－3.
3．A 设z＝a＋bi(a，bR)，则z2＝a2－b2＋2abi，＝a2－b2－2abi，z2－＝4abi，所以2iz1＝4abi，∴z1＝2ab，z2＝z·＝a2＋b2≥2ab.
4．－2i 设z＝bi(bR，且b≠0)，则(bi＋2)2－8i＝(4－b2)＋(4b－8)i为纯虚数．所以所以即b＝－2.
5． z1·z2＝(cos θ·sin θ＋1)＋(cos θ－sin θ)i，实部为cos θsin θ＋1＝1＋sin 2θ≤，故实部的最大值为，虚部为－sin θ＋cos θ＝sin≤，故虚部的最大值为.
3.2.3 复数的除法
1．掌握复数的除法法则，并能运用复数的除法法则进行计算.
复数的除法
(1)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，如果存在一个复数z′，使z·z′＝1，则z′叫做z的______，
记作.
(2)我们规定两个复数除法的运算法则如下：
(a＋bi)÷(c＋di)＝==
==
其中a，b，c，d∈R.
上述复数除法的运算法则不必死记.在实际运算时，我们把商看作分数，分子、分母同乘以分母的____________，把分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果.
【做一做】复数(m∈R)在复平面内对应的点不可能位于( ).
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
复数的模有哪些性质？
剖析：(1)
(2)|z1·z2|＝|z1|·|z2|
(3)
(4)|zn|＝|z|n
题型一 复数的除法
【例题1】计算下列各式的值：
(1)；(2)；(3)；(4).
分析：直接利用复数除法的运算法则，分子、分母同时乘分母的共轭复数来计算．
反思：在复数的除法中，除直接利用分子、分母同时乘分母的共轭复数外，形如或的复数，还可以直接化简，即＝＝i，＝＝－i.
题型二 复数运算的综合应用
【例题2】设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设u＝，求证：u为纯虚数；
(3)求ω－u2的最小值．
分析：(1)按常规解法，设z＝a＋bi(a，b∈R)，化简ω＝z＋，找出实部、虚部列出等量关系式求解；
(2)证明u为纯虚数，可按定义证明实部为零，虚部不为零．或证明u＋＝0，且u≠0；
(3)要求ω－u2的最小值，由(1)，(2)，知ω与u2均为实数，所以可先建立ω－u2的函数关系，再设法求出最小值．
反思：该题涉及到复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识．只要概念清楚，运算熟练，按常规思路顺其自然不难求解．注意：解决后面的问题时，可以使用前面已经得到的结论．
题型三 易错辨析
易错点：在求解过程中因忽视有关条件而导致错误．
【例题3】已知是纯虚数，求z在复平面内对应的点的轨迹．
错解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则＝＝＝－i.
∵是纯虚数，
∴x2＋y2－x＝0，即2＋y2＝，
∴z在复平面上对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．
1复数＋的虚部是( )．
A．i B．
C．－i D．－
2复数3等于( )．
A．8 B．－8
C．8i D．－8i
3已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若为实数，则实数m的值为( )．
A． B．
C．－ D．－
4设i为虚数单位，则复数＝________.
5设复数z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数＋的虚部等于__________．
答案：
基础知识·梳理
(1)倒数 (2)共轭复数c－di
【做一做】A z＝＝[(m－2i)(1－2i)]＝[(m－4)－2(m＋1)i]，在复平面上对应的点若在第一象限内，则无解，即该点不可能在第一象限．
典型例题·领悟
【例题1】解：(1)＝＝i(1＋i)＝－1＋i.
(2)＝＝＝＝－i.
(3)＝＝＝－i.
(4)方法一：＝＝＝＝i.
方法二：＝＝＝i.
【例题2】(1)解：∵z是虚数，
∴可设z＝x＋yi，x，yR，且y≠0.
∴ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋＝x＋＋i.
∵ω是实数，且y≠0，∴y－＝0，
∴x2＋y2＝1，即|z|＝1.此时ω＝2x.
∵－1＜ω＜2，∴－1＜2x＜2，从而有－＜x＜1.
即z的实部的取值范围是.
(2)证明：u＝＝＝＝＝－i.
∵x(－，1)，y≠0，
∴≠0.
∴u为纯虚数．
(3)解：ω－u2＝2x－2＝2x＋2＝2x＋＝2x＋＝2x－1＋＝2(x＋1)＋－3.
∵－＜x＜1，∴1＋x＞0.
于是ω－u2＝2(x＋1)＋－3≥2－3＝1.
当且仅当2(x＋1)＝，即x＝0时等号成立．
∴ω－u2的最小值为1，此时z＝±i.
【例题3】错因分析：由为纯虚数，得x2＋y2－x＝0，且y≠0，错解中忽略了y≠0.
正解：设z＝x＋yi(x，yR)，
则＝＝＝.
∵是纯虚数，
∴
即2＋y2＝(y≠0)．
∴z在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，并去掉点(0,0)和点(1,0)．
随堂练习·巩固
1．B ＋＝＋＝
＝－＋i.故选B.
2．D 3＝(i＋i)3＝(2i)3＝－8i.故选D.
3．D ＝＝R，
∴6＋4m＝0，∴m＝－.
4．－1＋i ＝＝－1＋i.
5．i ∵＋＝＋＝＋＋i＝－＋i＋＋i＝i.
