3.1.2 复数的概念
课后训练
1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )．
A．－1 B．0 C．1 D．－1或1
2．下列命题中的真命题是( )．
A．－1的平方根只有一个
B．i是1的四次方根
C．i是－1的立方根
D．i是方程x6－1＝0的根
3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为( )．
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
4．“复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”是“a＝0”的什么条件( )．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5.已知复数z＝m2－m＋(m2－1)i(m∈R)．若z是实数，则m的值为________；若z是虚数，则m的取值范围是________；若z是纯虚数，则m的值为________．
6．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值分别是________．
7．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，则实数x的值是__________．
8．m分别为何实数时，复数
z＝＋(m2－2m－15)i.
(1)为实数；
(2)为虚数；
(3)为纯虚数．
9．关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，求实数a的值和这个实根．
参考答案
1. 答案：A 由题意，知∴x＝－1.
2. 答案：B －1的平方根为±i，故选项A错；因为i3＝－i，所以i不是－1的立方根，选项C错；因为i6＝i4·i2＝－1，所以i不是x6－1＝0的根，故选项D错．
3. 答案：C 由复数相等的充要条件，有解得a＝－4.
4. 答案：A 若a＋bi(a，bR)为纯虚数，则a＝0；若a＝0，则a＋bi不一定为纯虚数，因为a＝0，且b＝0时，a＋bi为实数0.
5. 答案：±1 m≠±1 0 复数z＝m2－m＋(m2－1)i的实部为m2－m，虚部为m2－1.
当m2－1＝0，即m＝±1时，z为实数；
当m2－1≠0，即m≠±1时，z为虚数；
当m2－m＝0，且m2－1≠0，即m＝0时，z为纯虚数．
6. 答案：0,3 由复数相等的充要条件，得∴x＝0，y＝3.
7. 答案：－2 ∵log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，
∴∴x＝－2.
8. 答案：分析：根据复数的有关概念，将复数问题转化为实数问题求解．
解：复数z的实部为
虚部为m2－2m－15＝(m＋3)(m－5)．
(1)要使z是实数，则必须有
解得m＝5，
所以当m＝5时，z为实数．
(2)要使z为虚数，则必须有(m＋3)(m－5)≠0，
所以当m≠5，且m≠－3时，z为虚数．
(3)要使z为纯虚数，则必须有解得m＝－2，或m＝3，
所以当m＝－2，或m＝3时，z为纯虚数．
9. 答案：分析：由方程有实根，根据复数相等的充要条件，将问题转化为方程组来求解．
解：设方程的实根为x＝m，则
＝(10－m－2m2)i，
根据复数相等的充要条件，
得方程组
由②，得m＝2，或.
代入①，得a＝11，或.
所以当实数a＝11时，实根为2；当实数时，实根为.
3.1.3 复数的几何意义
课后训练
1．当0＜m＜1时，z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点位于( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．下列四个式子中，正确的是( )．
A．3i＞2i
B．|2＋3i|＞|1－4i|
C．|2－i|＜3i4
D．i2＞－1
3．满足条件|z|＝|5＋12i|的复数z在复平面上对应的点的轨迹是( )．
A．一条直线 B．两条直线
C．圆 D．椭圆
4．已知(a∈R)，则它所对应的点组成的图形是( )．
A．单位圆
B．单位圆除去(0，±1)两点
C．单位圆除去(0,1)点
D．单位圆除去(0，－1)点
5．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是( )．
A．－1＜a＜1
B．a＞1
C．a＞0
D．a＜－1或a＞1
6．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为________．
7．已知复数z＝x－2＋yi(x，y∈R)的模是，则点(x，y)的轨迹方程是____________．
8．若z＝4－3i，则||＝________.
9．已知x，y∈R，若x2＋2x＋(2y＋x)i和3x－(y＋1)i是共轭复数，求复数z＝x＋yi和.
10．复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，设z在复平面上对应的点为Z.
(1)求证：复数z不能是纯虚数；
(2)若点Z在第三象限内，求x的取值范围；
(3)若点Z在直线x－2y＋1＝0上，求x的值．
参考答案
1. 答案：D ∵0＜m＜1，
∴1＜m＋1＜2，－1＜m－1＜0.
2. 答案：C 因为两个虚数不能比较大小，所以选项A错；由模的计算公式得，所以选项B错；对于选项D，i2＞－1即－1＞－1，所以错误．
3. 答案：C ∵|5＋12i|＝＝13，∴|z|＝13，表示复平面上以(0,0)为圆心，半径为13的圆．
4. 答案：D 设z＝＝x＋yi，(x，yR)，则，，∴x2＋y2＝1，又y≠－1，∴x2＋y2＝1(y≠－1)．
5. 答案：A ∵|z1|＜|z2|，∴，∴a2＜1，∴－1＜a＜1.
6. 答案：13 z在复平面内对应的点为(－5，－12)，该点到原点的距离为
7. 答案：(x－2)2＋y2＝8 由题意，得(x－2)2＋y2＝()2，
∴(x－2)2＋y2＝8.
8. 答案：5 ∵z＝4－3i，
∴＝4＋3i.
∴||＝＝5.
9. 答案：分析：根据共轭复数的概念，将复数问题实数化，从而求得x，y.
解：若两个复数a＋bi与c＋di共轭，则a＝c，且b＝－d.
由此可得到关于x，y的方程组
解得或
所以或
10. 答案：分析：本题主要考查复数的几何意义．
第(1)问为否定式命题，适合用反证法；第(2)问由z对应的点在第三象限，知其实部与虚部均小于0；第(3)问由z对应的点满足直线方程求出x的值．
(1)证明：假设z为纯虚数，则有log2(x2－3x－3)＝0，且log2(x－3)≠0，即x2－3x－3＝1，解得x＝－1，或x＝4.当x＝－1时，log2(x－3)无意义；当x＝4时，log2(x－3)＝0，与log2(x－3)≠0矛盾，所以复数z不能是纯虚数．
(2)解：由题意，得
解得＜x＜4，即当＜x＜4时，点Z在第三象限内．
(3)解：由题意，得log2(x2－3x－3)－2 log2(x－3)＋1＝0，解得，或(舍去)，
即当时，点Z在直线x－2y＋1＝0上．
3.2.1 复数的加法与减法
课后训练
1．设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为纯虚数，则m等于( )．
A．－1 B．3
C． D．－1或3
2．复数，则z是( )．
A．0 B．实数
C．纯虚数 D．0或纯虚数
3．设向量，，对应的复数分别为z1，z2，z3，那么( )．
A．z1＋z2＋z3＝0 B．z1－z2－z3＝0
C．z1－z2＋z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0
4．命题：①是纯虚数；②z1＋z2∈R；③(3＋i)－(1＋i)＝23＋i＞1＋i中，正确的个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋||i＋3－4i＝________.
7．已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝1，则|z1－z2|＝________.
8．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且，则的最大值为________．
9．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i.(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且＝13＋2i，求z1，z2.
10．已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,4＋2i，－2＋4i，试求：
(1)点B对应的复数；
(2)判断?OABC是否为矩形．
参考答案
1. 答案：C ∵z＝(2m2＋m－1)＋(3＋2m－m2)i为纯虚数，
∴
解得.
2. 答案：D 设z＝a＋bi，a，bR，则＝a－bi，∴z＋＝2a＝0，∴a＝0.
3. 答案：D ∵＋－＝－＝0，
∴z1＋z2－z3＝0.
4. 答案：A ①设z＝x＋yi(x，yR)，则z－＝2yi，可见只有当y≠0时，z为纯虚数，而当y＝0时，z却为实数．
②当z2＝时，z1＋z2＝z1＋，∴z1＋z2R.反之，若z1＋z2R，则z1，z2两复数的虚部互为相反数，但它们的实部不一定相同，因此，z2不一定等于.
③虽然(3＋i)－(1＋i)＝2＞0，但由于3＋i,1＋i均为虚数，而复数若不全是实数，则不能比较大小．
故①②③三个命题都不正确．
5. 答案：B ∵|z＋2－2i|＝1中z的几何意义是以点P(－2,2)为圆心，半径为1的圆，而|z－2－2i|的几何意义是圆上的点与点E(2,2)间的距离，
∴|PE|＝＝4.
∴|z－2－2i|的最小值是4－1＝3.
6. 答案：16i
7. 答案： 由平行四边形的性质，有|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)，
∴|z1－z2|＝.
8. 答案： 由|z－2|＝，知复数z的几何意义是以(2,0)点为圆心，半径为的圆，表示圆上的点与原点连线的斜率，结合图形易知，当直线与圆相切时取最值．
9. 答案：分析：先计算z1－z2，再根据＝13＋2i由复数相等求得x，y值，从而求得z1，z2.
解：∵z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
∴＝(5x－3y)－(x＋4y)i.
又＝13＋2i，解得解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
10. 答案：分析：(1)由向量加法法则，得＝＋，而对应的复数即点B对应的复数．
(2)根据对角线相等的平行四边形为矩形进行判定．
解：(1)∵＝＋＝(4,2)＋(－2,4)＝(2,6)，
∴对应的复数为2＋6i.
即点B对应的复数为2＋6i.
(2)方法一：∵kOA＝，kOC＝－2，
∴OA⊥OC，
∴OABC为矩形．
方法二：∵＝(－2,4)－(4,2)＝(－6,2)，
∴||＝||，
∴OABC为矩形．
3.2.2 复数的乘法
课后训练
1．若x，y∈R，且(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy等于( )．
A．1 B．2 C．－2 D．－1
2．已知a，b∈R，则(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)等于( )．
A．(a2＋b2)2 B．(a2－b2)2
C．a2＋b2 D．a2－b2
3．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝( )．
A．4＋2i B．2＋i
C．2＋2i D．3＋i
4．i是虚数单位，计算i＋i2＋i3等于( )．
A．－1 B．1 C．－i D．i
5．1＋2i＋3i2＋…＋2 005i2 004的值是( )．
A．－1 000－1 000i
B．－1 002－1 002i
C．1 003－1 002i
D．1 005－1 000i
6．(1＋i)2 008＋(1－i)2 008的值是________．
7．已知(a－i)2＝2i，则实数a＝__________.
8．复数z＝a＋bi，a，b∈R，且b≠0，若z2－4bz是实数，则有序数对(a，b)可以是__________(写出一个有序实数对即可)．
9．设z＝i(1＋i)3(a－i)2，且z在复平面内对应的点与原点的距离为12，则实数a＝__________.
10．已知z＝(1－i)3，求.
参考答案
1. 答案：A 由题意，(x＋y)＋(x－y)i＝2，∴∴x＝y＝1，∴xy＝1.
2. 答案：A (a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2，(－a＋bi)(－a－bi)＝(－a)2＋b2＝a2＋b2，∴(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)＝(a2＋b2)2.
3. 答案：A z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3－i＋3i－i2＝3＋2i＋1＝4＋2i.
4. 答案：A i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1.
5. 答案：C
6. 答案：21 005 原式＝[(1＋i)2]1 004＋[(1－i)2]1 004＝(2i)1 004＋(－2i)1 004＝21 004i1 004＋21 004i1 004＝21 004＋21 004＝21 005.
7. 答案：－1 由题意，a2－1－2ai＝2i.
∴
∴a＝－1.
8. 答案：(2,1) ∵z2－4bz＝(a＋bi)(a－4b＋bi)＝a2－4ab＋abi＋abi－4b2i－b2＝a2－4ab－b2＋(2ab－4b2)i是实数，∴2ab－4b2＝0.
∴2b(a－2b)＝0.∵b≠0，∴a＝2b.∴z可以为(2,1)或(4,2)等．
9. 答案：± 由题意，得|z|＝12，又|z|＝|i(1＋i)3(a－i)2|＝|i|·|1＋i|3·|a－i|2＝.所以a2＋1＝3，即a＝±.
10. 答案：分析：若先求z再计算z·，则运算较繁．根据复数其与共轭复数的性质求解则比较简单．
解：z·＝|z|2＝|(1－i)3|2＝|1－i|6＝8.
3.2.3 复数的除法
课后训练
1．复数＝( )．
A．－1－i B．1－i
C．－1＋i D．－i
2．复数等于( )．
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
3．已知复数z＝1－i，则等于( )．
A．2i B．－2i
C．2 D．－2
4．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )．
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
5．若，则n的值可能为( )．
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.
7．若x，y∈R，且，则x＝________，y＝________.
8．已知复数＝2＋3i，，则等于________．
9．已知，求f(2＋3i)与f(1－i)的值．
10．设z∈C，若|z|＝1，且z≠±i.
(1)证明：必是实数；
(2)求对应的点的轨迹．
参考答案
1. 答案：B ＝＝－i－i2＝1－i.
2. 答案：A ＝＝＝＝－3－4i.
3. 答案：B ＝＝.∵z＝1－i，∴原式＝－2i.故选B.
4. 答案：A 由定义，所以zi＋z＝4＋2i.
所以z＝＝3－i.
5. 答案：A ∵，，∴in＋(－i)n＝kN＋，
∴n的值可能为4.
6. 答案：2＋i 由(1＋2i)＝4＋3i，得＝＝2－i，∴z＝2＋i.
7. 答案：－1 －5 ∵，
∴，
∴，
∴(x－y)＋(y－2x)i＝＝4－3i，
∴解得
8. 答案：4－3i ＝
＝
＝
＝
＝－3i－4i2＝4－3i.
9. 答案：解：∵f(z)＝，
∴f(2＋3i)＝＝，
f(1－i)＝＝
＝.
10. 答案：分析：设z＝a＋bi(a，bR)，先将进行化简再求解．
(1)证明：设z＝a＋bi(a，bR)，则a2＋b2＝1(a≠0)．
∴＝＝
＝＝＝R.
(2)解：由(1)，知(a≠0)．
∵a2＋b2＝1，∴－1≤a＜0，或0＜a≤1，
∴，或，
即对应的点的轨迹是x轴上除去这个区间内的所有点的两条射线．
