1.1 导数
课后训练
1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )．
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的导数
D．在区间[x0，x1]上的导数
2．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝2t－t2，则物体的初速度是( )．
A．0 B．3
C．2 D．3－2t
3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y－1＝0，则( )．
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
4．曲线在点处的切线的倾斜角为( )．
A． B．1 C． D．
5．若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)为( )．
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x4－2
C．f(x)＝4x3－5 D．f(x)＝x4＋2
6．对于函数y＝x2，该点的导数等于其函数值的点是________________．
7．若直线y＝3x＋1是曲线y＝f(x)＝ax3的切线，则a＝________.
8．给出以下命题：
①已知函数y＝f(x)的图象上的点列P1，P2，P3，…，Pn，…，当n→∞时，Pn→P0，则过P0与Pn两点的直线的斜率就是函数在点P0处的导数；
②若物体的运动规律是s＝f(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度v等于f′(t0)；
③函数y＝x3的导函数值恒为非负数．
其中正确的命题是__________．
9．抛物线y＝x2在哪一点处的切线平行于直线y＝4x－5?
10．求抛物线y＝2x2过点(2,1)的切线方程．
参考答案
1. 答案：1．A
2. 答案：C v＝＝(2－2t－Δt)＝2－2t，
∴vt＝0＝2－2t＝2.
3. 答案：B ∵切线2x＋y－1＝0的斜率为－2，∴f′(x0)＝－2
4. 答案：C 令y＝f(x)＝x2，由定义求得f′(x)＝x，所以f′(1)＝1.所以k＝1＝tan α.
又α[0，π)，所以α＝.
5. 答案：B 由f(1)＝－1可排除选项A，D；再由f′(x)＝4x3，结合导数的定义验证知f(x)＝x4－2正确．
6. 答案：(0,0)和(2,4)
7. 答案：4 设直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3相切于点P(x0，y0)，则有由①②得，由③得，将它代入上式可得3x0＋1＝x0，解得，∴.
8. 答案：②③ 对于命题①，由函数在点P0处的导数的几何意义知，函数y＝f(x)在点P0处的导数是过点P0的曲线(即函数y＝f(x)的图象)的切线的斜率，而不是割线P0Pn的斜率，故命题①是一个假命题．
对于命题②，由于它完全符合瞬时速度的定义，故命题②是一个真命题．
对于命题③，易知y′＝3x2≥0，故为真命题．
9. 答案：分析：由于切线的斜率为4，因此可以令函数在点P(x0，y0)处的导数为4，求出x0即可．
解：由题意可设，函数在点P(x0，y0)处的导数为4，则＝＝2x0.令2x0＝4，
得x0＝2.∴y0＝4.
即函数在点(2,4)处的切线平行于直线y＝4x－5.
10. 答案：分析：易判断点(2,1)不在抛物线y＝2x2上，因此需设出切点坐标，依据条件列方程组求解．
解：设切点为(x0，y0)，切线的斜率为k.
则，①
且k＝＝4x0.
又k＝＝4x0，②
由①②解得或
∴k＝4x0＝或k＝4x0＝.
∴切线方程为y－1＝()(x－2)或y－1＝()(x－2)．
即()x－y－15－＝0或()x－y－15＋＝0.
1.2 导数的运算
课后训练
1．下列运算中正确的是( )．
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(cos x－2x2)′＝(cos x)′－2′(x2)′
C．(sin 2x)′＝(sin x)′·cos x＋(cos x)′·cos x
D．(2x－)′＝(2x)′＋(x－2)′
2．下列四组函数中导数相等的是( )．
A．f(x)＝2与g(x)＝2x
B．f(x)＝－sin x与g(x)＝cos x
C．f(x)＝2－cos x与g(x)＝－sin x
D．f(x)＝1－2x2与g(x)＝－2x2＋4
3．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( )．
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )．
A．－1 B．－2
C．2 D．0
5．设f(x)＝ex＋xe＋ea(a为常数)，则f′(x)＝________.
6．若曲线C：y＝x3－2ax2＋2ax上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，则实数a的取值范围是________．
7．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作曲线C的切线l，则l与y轴的交点Q的坐标为__________，l与x轴夹角为30°时，a＝________.
8．已知曲线，求：
(1)这条曲线与直线y＝2x－4平行的切线方程；
(2)过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程．
9．已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，直线l与曲线C1，C2都相切，求直线l的方程．
参考答案
1. 答案：A
2. 答案：D 选项D中，f′(x)＝(1－2x2)′＝－4x，g′(x)＝(－2x2＋4)′＝－4x.
3. 答案：A y′＝3x2－2，∴在点(1,0)处的切线的斜率，∴切线方程为1·(x－1)＝y－0，即y＝x－1.
4. 答案：B ∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.
5. 答案：ex＋exe－1 f′(x)＝(ex)′＋(xe)′＋(ea)′＝ex＋exe－1.
6. 答案：(0，) 由于曲线在任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，故y′＝3x2－4ax＋2a＞0恒成立，∴Δ＝16a2－24a＜0，∴0＜a＜.
7. 答案：(0，－a2) 因为y′＝2x，所以l：y－a2＝2a(x－a)．令x＝0得y＝－a2，故Q(0，－a2)．
又因为tan 30°＝2a，所以.
8. 答案：分析：对于(1)，由对x求导，就可以得到曲线的切线的斜率，而曲线的切线与y＝2x－4平行，即可确定所求切线与曲线的交点，进而求得切线方程．
解：(1)设切点为(x0，y0)，由，
得.
∴切线斜率为.
∵切线与直线y＝2x－4平行，
∴.
∴，∴.
则所求的切线方程为，
即16x－8y＋25＝0.
(2)∵点P(0,5)不在曲线上，因此设切点坐标为M(t，u)，则切线斜率为.
又∵切线斜率为，
∴.
∴，解得t＝4.
∴切点为M(4,10)，斜率为.
∴切线方程为，
即5x－4y＋20＝0.
9. 答案：分析：直线l与C1、C2都相切，即l是C1的切线同时也是C2的切线，从而求出切点坐标．
解：设直线l与曲线C1切于点(x1，y1)，与曲线C2切于点(x2，y2)，则，y2＝－(x2－2)2.
由y＝x2，得，
∴直线l的方程可以表示为＝2x1(x－x1)，
即.①
又由y＝－(x－2)2＝－x2＋4x－4，
得＝－2x2＋4.
∴直线l的方程可以表示为
y＋(x2－2)2＝(－2x2＋4)(x－x2)，
即y＝(4－2x2)x＋－4.②
由题意可得①和②表示同一条直线．
从而有
∴x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.
若x1＝0，则由①可得切线方程为y＝0；
若x2＝0，则由②可得切线方程为y＝4x－4.
∴适合题意的直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.
1.3.1 利用导数判断函数的单调性
课后训练
1．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是( )．
A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)
2．下列函数中，在(0，＋∞)内是增函数的是( )．
A．f(x)＝sin2x B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln(1＋x)
3．已知f(x)，g(x)均为(a，b)内的可导函数，在[a，b]内没有间断点，且f′(x)＞g′(x)，f(a)＝g(a)，则x∈(a，b)时有( )．
A．f(x)＞g(x) B．f(x)＜g(x)
C．f(x)＝g(x) D．大小关系不能确定
4．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时有( )．
A．f(x)g(x)＞f(b)g(b)
B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)
C．f(x)g(b)＞f(b)g(x)
D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)
5．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解区间是( )．
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
6．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
7．使函数y＝sin x＋ax在R上是增函数的实数a的取值范围为________．
8．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处切线的斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调减区间为__________．
9．已知，求证：tan x＞x.
10．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
参考答案
1. 答案：B f′(x)＝3x2＋a.令3x2＋a≥0，
得a≥－3x2.
由题意a≥－3x2在x(1，＋∞)恒成立，
∴a≥－3.
2. 答案：B 选项B中，f(x)＝xex，则在区间(0，＋∞)上，f(x)′＝ex＋xex＝ex(1＋x)＞0.
3. 答案：A ∵f′(x)＞g′(x)，∴f′(x)－g′(x)＞0，即[f(x)－g(x)]′＞0，
∴f(x)－g(x)在(a，b)内是增函数．
∴f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)．
∴f(x)－g(x)＞0，∴f(x)＞g(x)．
4. 答案：C 记，则.
∵f′(x) g(x)－f(x) g′(x)＜0，
∴F′(x)＜0，即F(x)在(a，b)内是减函数．
又a＜x＜b，∴F(x)＞F(b)．
∴.∴f(x)g(b)＞g(x)f(b)．
5. 答案：D ∵[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，
∴由题意知，当x＜0时，[f(x)g(x)]′＞0.
∴f(x)g(x)在(－∞，0)内是增函数．
又g(－3)＝0，
∴f(－3)g(－3)＝0.
∴当x(－∞，－3)时，f(x)g(x)＜0；
当x(－3,0)时，f(x)g(x)＞0.
又∵f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴f(x)g(x)在R上是奇函数，其图象关于原点对称．
∴当x(0,3)时，f(x)g(x)＜0.故不等式f(x)g(x)＜0的解区间是(－∞，－3)∪(0,3)．
6. 答案：(－1,11) f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x＋1)(x－11)，令3(x＋1)(x－11)＜0，得－1＜x＜11，故减区间为(－1,11)．
7. 答案：[1，＋∞) y′＝cos x＋a，∴cos x＋a≥0恒成立，∴a≥－cos x，又－1≤cos x≤1，∴a≥1.
8. 答案：(－∞，2) 由于切线的斜率就是函数在该点的导数值，所以由题意知f′(x)＝(x－2)(x＋1)2＜0，解得x＜2，故单调减区间为(－∞，2)．
9. 答案：分析：设f(x)＝tan x－x，x，注意到f(0)＝tan 0－0＝0，因此要证的不等式变为：当0＜x＜时，f(x)＞f(0)．这只要证明f(x)在上是增函数即可．
证明：令f(x)＝tan x－x，显然f(x)在上是连续的，且f(0)＝0.
∵f′(x)＝(tan x－x)′＝＝tan2x，
∴当x时，f′(x)＞0，
即在区间内f(x)是增函数．
故当0＜x＜时，f(x)＞f(0)＝0，
即tan x－x＞0.
∴当0＜x＜时，tan x＞x.
10. 答案：分析：根据题意，列方程组求出b，c，d的值．再应用导数求单调区间．
解：(1)由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，
所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由f(x)在点M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，
所以f(－1)＝1，又f′(－1)＝6.
所以
即
解得b＝c＝－3.
故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
(2)f′(x)＝3x2－6x－3.令3x2－6x－3＝0，
即x2－2x－1＝0，
解得，.
当或时，f′(x)＞0；
当1－＜x＜1＋时，f′(x)＜0.
故f(x)的单调增区间为(－∞，)和(，＋∞)，单调减区间为(，)．
1.3.2 利用导数研究函数的极值
课后训练
1．函数y＝(x2－1)3＋1有( )．
A．极大值点－1 B．极大值点0
C．极小值点0 D．极小值点1
2．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( )．
A．1，－3 B．1,3
C．－1,3 D．－1，－3
3．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5在区间[－4,4]上的最大值和最小值分别为( )．
A．10，－22
B．10，－71
C．15，－15
D．－15，－71
4．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( )．
A．a＞－3 B．a＜－3
C． D．
5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值为( )．
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极小值为，极大值为0
D．极小值为0，极大值为
6．在下列四个函数中存在极值的是________．
①；②；③y＝2；④y＝x3.
7．关于函数f(x)＝x3－3x2，给出下列说法：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的增区间是(－∞，0]和[2，＋∞)，减区间是[0,2]；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的序号是________．
8．如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四种说法：
①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；
④3是f(x)的极小值点．
其中正确的是__________．
9．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间上的最值．
10．(2012·浙江名校联考)已知函数f(x)＝ex(ax2＋a＋1)(a∈R)．
(1)若a＝－1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若对任意x∈[－2，－1]恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1. 答案：C y′＝3(x2－1)2·(x2－1)′＝6x(x2－1)2，当x＞0时，y′＞0；当x＜0时，y′＜0，∴x＝0为极小值点．
2. 答案：A 因为f′(x)＝3ax2＋b，
所以f′(1)＝3a＋b＝0.①
又x＝1时有极值－2，所以a＋b＝－2.②
由①②解得a＝1，b＝－3.
3. 答案：B f′(x)＝3x2－6x－9，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.而f(－1)＝10，f(3)＝－22，f(－4)＝－71，f(4)＝－15.所以最大值为10，最小值为－71.
4. 答案：B 令y′＝aeax＋3＝0，得.
设x0为大于0的极值点，则.
∴a＜0，ax0＜0.
∴，即0＜－＜1.∴a＜－3.
5. 答案：A 由题意，，即∴
∴f(x)＝x3－2x2＋x，进而求得f(x)极小值＝f(1)＝0，f(x)极大值＝.
6. 答案：②
7. 答案：③④ f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值0
?
极小值－4
?
由上表可以清晰地看出，f(x)在区间(－∞，0]和区间[2，＋∞)上是增函数，在区间[0,2]上是减函数，且f(x)的极值情况是：f(x)极大值＝f(0)＝0，f(x)极小值＝f(2)＝－4，可知③④是正确的．
8. 答案：②③ 根据导数与函数的单调性、极值之间的关系可判断．
9. 答案：分析：先求定义域，再按照求单调区间、最值的步骤求解即可．
解：f(x)的定义域为.
(1)f′(x)＝＋2x＝.
当＜x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜时，f′(x)＜0；
当x＞时，f′(x)＞0.
所以f(x)的单调增区间为，，单调减区间为.
(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为.
又＝
＝，
所以f(x)在区间上的最大值为.
10. 答案：解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2ex，f(1)＝－e.
f′(x)＝－x2ex－2xex，
因为切点为(1，－e)，则k＝f′(1)＝－3e，
所以在点(1，－e)处的曲线的切线方程为：y＝－3ex＋2e.
(2)解法一：由题意得，f(－2)＝e－2(4a＋a＋1)≥，即.
f′(x)＝ex(ax2＋2ax＋a＋1)＝ex[a(x＋1)2＋1]，
因为，所以f′(x)＞0恒成立，
故f(x)在[－2，－1]上单调递增，
要使恒成立，则f(－2)＝e－2(4a＋a＋1)≥，解得.
解法二：f′(x)＝ex(ax2＋2ax＋a＋1)＝ex[a(x＋1)2＋1]．
①当a≥0时，f′(x)＞0在[－2，－1]上恒成立，
故f(x)在[－2，－1]上单调递增，
f(x)min＝f(－2)＝e－2(5a＋1)≥即.
②当a＜0时，令u(x)＝a(x＋1)2＋1，对称轴x＝－1，
则u(x)在[－2，－1]上单调递增，又u(－1)＝1＞0，u(－2)＝(a＋1)．
1°当a＋1≥0，即－1≤a＜0时，f′(x)≥0在[－2，－1]上恒成立，所以f(x)在[－2，－1]上单调递增，
f(x)min＝f(－2)＝e－2(5a＋1)≥即，不合题意，舍去．
2°当a＜－1时，f(x)＝ex(ax2＋a＋1)＜0，不合题意，舍去．
综上所述：.
1.3.3 导数的实际应用
课后训练
1．以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )．
A．10 B．15 C．25 D．50
2．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是则总利润最大时，每年的产量是( )．
A．100 B．150 C．200 D．300
3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为( )．
A．cm B．cm
C．cm D．cm
4．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )．
A． B． C． D．
5．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．
6．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大．
7．某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)，求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价．
8．如图，在直线y＝0和y＝a(a＞0)之间表示的是一条河流，河流的一侧河岸(x轴)是一条公路，且公路随时随处都有公交车来往，家住A(0，a)的某学生在位于公路上B(d,0)(d＞0)处的学校就读，每天早晨该学生都要从家出发，可以先乘船渡河到达公路上某一点，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上B(d,0)处的学校，已知船速为v0(v0＞0)，车速为2v0(水流速度忽略不计)．
(1)若d＝2a，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间；
(2)若，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间．
参考答案
1. 答案：C
2. 答案：D 由题意，总成本为C＝20 000＋100x.
所以总利润为P＝R－C
＝
则令P′＝0，得x＝300，
易知当x＝300时，总利润最大．
3. 答案：D 设圆锥的高为x，则底面半径为，
其体积为V＝πx(202－x2)(0＜x＜20)，
V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，
解得，(舍去)．
当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0，所以当x＝时，V取最大值．
4. 答案：C 设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x＞0)，S′＝(x3－4V)，
令S′＝0，得唯一极值点.
5. 答案：6 cm 3 cm 4 cm 设底面两邻边的长分别为x cm，2x cm，高为y cm，则72＝2x2·y，所以，所以表面积S＝2(2x2＋xy＋2xy)＝4x2＋6xy＝4x2＋.则S′＝8x－，令S′＝0，得x＝3.所以长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm时表面积最小．
6. 答案： 如图，设∠OBC＝θ，则0＜θ＜，OD＝rsin θ，BD＝rcos θ.
∴S△ABC＝rcos θ(r＋rsin θ)＝r2cos θ＋r2sin θcos θ.
令S△ABC′＝－r2sin θ＋r2(cos2θ－sin2θ)＝0.
得cos 2θ＝sin θ.又0＜θ＜，
∴θ＝，∴当θ＝时，△ABC的面积最大，即高为OA＋OD＝时面积最大．
7. 答案：分析：设矩形一边长为x m，从而得到总造价关于边长x的函数关系式，由实际问题求定义域，在定义域的限制条件下求最值．
解：设矩形污水处理池的长为x m，宽为m，据题意解得≤x≤16，y＝×400＋×248＋200×80
＝800x＋＋16000(≤x≤16)，令y′＝800－＝0，得x＝18，当x(0,18)时，函数为减函数；当x(18，＋∞)时，函数为增函数．因此在定义域内函数为减函数，当且仅当长为16 m，宽为12.5 m时，总造价y最低，为45 000元．
8. 答案：分析：首先要选取适当的变量，表示出从家到达学校所用的时间，通过求该函数的导数，进而求出函数的最小值．
解：(1)设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上的某一点P(x,0)(0≤x≤d)，再乘公交车到学校，所用的时间为t，则
t＝f(x)＝(0≤x≤d)，
∴f′(x)＝＝.
令f′(x)＝0，得.
当0≤x＜时，f′(x)＜0；
当＜x≤d时，f′(x)＞0.
∴当时，所用的时间最短，最短时间为.
当d＝2a时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间为.
(2)由(1)的讨论可知，当时，t＝f(x)在上是减函数，所以当时，该学生直接乘船渡河到达学校上学，所用的时间最短，
最短时间为t＝＝.
1.4.1 曲边梯形面积与定积分
课后训练
1．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值，可以用下列中的哪一项来近似代替( )．
A． B． C． D．f(0)
2．下列等式成立的是( )．
A．0dx＝b－a
B．
C．|x|dx＝2|x|dx
D．(x＋1)dx＝xdx
3．由曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形(如图)的面积是( )．
A．(x2－1)dx
B．
C．|x2－1|dx
D．(x2－1)dx＋(x2－1)dx
4．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：
(1)S1＝__________(图①)；
(2)S2＝__________(图②)；
(3)S3＝__________(图③)．
5．不用计算，根据图形，用大于、小于号连接下列各式：
(1)xdx________x2dx(图①)；
(2)xdx________xdx(图②)．
6．若cos xdx＝1，则由x＝0，x＝π，f(x)＝sin x及x轴围成的图形的面积为________．
7．利用定积分的几何意义计算(2x＋1)dx.
8．利用定义计算定积分(x2＋2)dx.
参考答案
1. 答案：C 任一函数在上的值均可以用近似代替．
2. 答案：C
3. 答案：C
4. 答案：(1)sin xdx (2)(3)
5. 答案：(1)＞ (2)＜
6. 答案：2 由正弦函数与余弦函数的图象，知f(x)＝sin x，x[0，π]的图象与x轴围成的图形的面积等于g(x)＝cos x，x的图象与x轴围成的图形的面积的2倍．所以答案应为2.
7. 答案：分析：通过数形结合思想求曲边形的面积，相当于求f(x)在区间[a，b]上的定积分(或定积分的绝对值)．
解：如图，所求定积分为阴影部分的面积，且面积为×(1＋5)×2＝6
∴(2x＋1)dx＝6.
8. 答案：分析：按照由定义求定积分的步骤求解即可．
解：把区间[0,1]分成n等份，
分点和小区间的长度分别为xi＝(i＝1，2，…，n－1)，
Δxi＝(i＝1,2，…，n)，取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
作积分和
＝＝n(n＋1)(2n＋1)＋2
＝.
∵λ＝，当λ→0时，n→＋∞，
∴(x2＋2)dx＝
＝＝＋2＝.
1.4.2 微积分基本定理
课后训练
1．下列式子正确的是( )．
A．f(x)dx＝f(b)－f(a)＋c
B．f′(x)dx＝f(b)－f(a)
C．f(x)dx＝f(x)＋c
D．
2．cos xdx的值是( )．
A．cos a B．－sin a C．cos a－1 D．sin a
3．下列定积分的值等于1的是( )．
A． B．
C． D．
4．已知做自由落体运动的物体的速度v＝gt，则当t从1到2时，物体下落的距离为( )．
A． B．g
C． D．2g
5．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx的值等于( )．
A． B． C． D．
6．若x2dx＝9，则a＝________.
7．__________.
8．(2012·广州高三一模)已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为__________．
9．计算由曲线y2＝x与y＝x2所围成的图形的面积．
10．在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小．
参考答案
1. 答案：B
2. 答案：D cos xdx＝sin x＝sin a－sin 0＝sin a.
3. 答案：C ∵x′＝1，
∴1dx＝x＝1－0＝1.
4. 答案：C 物体下落的距离，
则有s＝gt2＝g(22－12)＝g.
5. 答案：A ∵f′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x2＋x，于是f(－x)dx＝(x2－x)dx＝.
6. 答案：3 ＝＝9，∴a＝3.
7. 答案：2 ＝eln 3－e0＝2.
8. 答案：
9. 答案：分析：求出两条曲线交点的横坐标，确定积分上下限，就可以求出图形的面积．
解：如图所示，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线的交点的横坐标．解方程组得交点的横坐标为x＝0及x＝1.因此所求图形的面积，又因为，所以＝.
10. 答案：分析：应用定积分将S1与S2表示出来，再借助于导数求S1＋S2的最小值．
解：S1等于边长为t与t2的矩形的面积减去曲线y＝x2与x轴，直线x＝t所围成的图形的面积，即
S1＝t·t2－x2dx＝t3.
S2等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1所围成的图形的面积减去边长为t2与(1－t)的矩形的面积，即
S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.
∴阴影部分的面积S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．
令S′(t)＝4t2－2t＝4t(t－)＝0，得t1＝0，t2＝，
当时，S最小，最小值为Smin＝.
