2.1.1 合情推理
学习目标
重点难点
1．结合已学过的数学实例和生活中的实例，能分析合情推理的含义，能利用归纳推理和类比等方法进行简单的推理．
2．会分析归纳推理与类比推理的联系与区别，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
重点：理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理．
难点：1．能运用合情推理进行简单推理．
2．认识合情推理在数学发现中的作用.
1．推理
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为________．任何推理都包含________和________两个部分，________是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；________是根据________推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．
2．归纳推理
(1)从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为________．其思维过程大致为________→________→____________.
(2)归纳推理的特点
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所________．
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为________的工具．
③归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们________．
预习交流1
做一做：由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：__________________________________________.
3．类比推理
根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为________，简称________．其思维过程大致为________→________→__________.
预习交流2
做一做：对于平面几何中的命题：夹在两平行线之间的平行线段相等，在立体几何中，类比上述命题，可得命题为________________．
4．合情推理
合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．________和________都是数学活动中常用的合情推理．
预习交流3
合情推理具有哪些特点？
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习导引
1．推理 前提 结论 前提 结论 前提
2．(1)归纳推理 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
(2)①包容的范围 ②数学证明 ③发现问题和提出问题
预习交流1：提示：凸n边形的内角和是(n－2)×180°
3．类比推理 类比法 观察、比较 联想、类推 猜测新的结论
预习交流2：提示：夹在两平行平面之间的平行线段相等
4．归纳推理 类比推理
预习交流3：提示：合情推理有如下特点：
(1)在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；
(2)证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向；
(3)一般来说，合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠．
一、归纳推理
根据下列条件写出数列的前4项，并归纳猜想它们的通项公式：
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＋1＝an(n∈N*)．
思路分析：本题可利用归纳推理求出数列的通项公式．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，在得出前几项结果后，要注意统一形式，以便寻找规律，然后归纳猜想出结论．
1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 041，…，则72 011的末两位数字为__________．
2．(2012陕西高考)观察下列不等式
1＋＜，
1＋＋＜，
1＋＋＋＜，
……
照此规律，第五个不等式为____________________．
3．(2012山东省实验中学诊断，文14)若f(n)为n2＋1的各位数字之和，如142＋1＝197,1＋9＋7＝17，则f(14)＝17，记f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，f3(n)＝f(f2(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，则f2 012(8)＝__________.
归纳推理的一般步骤是：
(1)通过观察个别情况，发现某些相同性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性的命题(猜想)．
二、类比推理
在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．
思路分析：两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.
已知△ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，用S△ABC表示△ABC的面积，则S△ABC＝r(a＋b＋c)．类比这一结论有：若三棱锥A－BCD的内切球半径为R，则三棱锥体积VA－BCD＝________.
(1)类比定义：本类型题解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．
(2)类比性质(定理)：本类型题解决的关键是要理解已知性质(定理)的内涵及应用环境、使用方法，通过研究已知性质(定理)，刻画新性质(定理)的“面貌”．
(3)类比方法(公式)：本类型题解决的关键在于从解题方法(或公式)中，获得使用方法(或公式)的启示或推导方法(或公式)的手段，从而指导解决新问题．
(4)类比范例：对有些提供范例的推理题，解答时可根据所给的信息与所求问题的相似性，运用类比的方法仿照范例，使问题得到解决．
1．在△ABC中，D为BC的中点，则＝(＋)，将命题类比到四面体中去得到一个类比命题：_______________________________________________________
________________________________________________________________________.
2．若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则数列bn＝(n∈N*)也是等差数列．
类比上述性质，相应地：
若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn＞0，则数列dn＝______(n∈N*)也是等比数列．
3．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝__________，当n＞4时，f(n)＝__________(用n表示)．
4．(2012山东济宁邹城二中月考，文13)给出下列命题：
命题1：点(1,1)是直线y＝x与双曲线y＝的一个交点；
命题2：点(2,4)是直线y＝2x与双曲线y＝的一个交点；
命题3：点(3,9)是直线y＝3x与双曲线y＝的一个交点；
……
请观察上面命题，猜想出命题n(n为正整数)为______________________________．
5．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图表示的“分裂”．记53的“分裂”中的最小数为a，而52的“分裂”中最大数为b，则a＋b＝__________.
6．(2012湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
(1)4位回文数有________个；
(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：解：(1)当n＝1时，a1＝0.由an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)，
得a2＝a1＋1＝1，
a3＝a2＋3＝4，
a4＝a3＋5＝9.
由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，
可归纳出an＝(n－1)2.
(2)当n＝1时，a1＝1，由an＋1＝an(n∈N*)得a2＝a1＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝.由a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，可归纳猜想(n∈N*)．
迁移与应用：
1．43 解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16 807，76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2 011＝4×502＋3，所以72 011的末两位数字与73的末两位数字相同，为43.
2．1＋＋＋＋＋＜ 解析：由前几个不等式可知1＋＋＋＋…＋＜.
所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋＜.
3．5 解析：∵82＋1＝65,6＋5＝11，∴f(8)＝11，f1(8)＝f(8)＝11.又∵112＋1＝122,1＋2＋2＝5，
∴f2(8)＝f(f1(8))＝f(11)＝5.又52＋1＝26，2＋6＝8，∴f3(8)＝f(f2(8))＝f(5)＝8，…，同理有f4(8)＝11，f5(8)＝5，f6(8)＝8，…，∴fk(8)的值呈周期性出现，周期为3.∴f2 012(8)＝f2(8)＝5.
活动与探究2：1∶8
迁移与应用：
R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD) 解析：内切圆半径r内切球半径R，
三角形的周长：a＋b＋c三棱锥各面的面积和：S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD，
三角形面积公式系数三棱锥体积公式系数.
∴类比得三棱锥体积
VA－BCD＝R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．
(证明时，三角形的结论可用等面积法，三棱锥的结论可用等体积法)
当堂检测
1．在四面体A－BCD中，G是△BCD的重心，则＝(＋＋) 解析：平面中线段的中点类比到空间四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．
2． 解析：等差数列中，由a1＋an＝a2＋an－1＝…，得bn＝＝＝＝＝a1＋(n－1)，仍为等差数列．
而等比数列中，由c1cn＝c2cn－1＝…，得dn＝＝＝，仍为等比数列．
3．5 (n＋1)(n－2) 解析：如图可得f(4)＝5.
∵f(3)＝2，f(4)＝5＝f(3)＋3，f(5)＝9＝f(4)＋4，f(6)＝14＝f(5)＋5，
…
∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．
∴f(n)＝f(n－1)＋n－1，
累加，得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n－1)
＝2＋3＋4＋…＋(n－1)
＝(n＋1)(n－2)．
4．点(n，n2)是直线y＝nx与双曲线y＝的一个交点 解析：由已知交点依次写为(1,12)，(2,22)，(3,32)，∴命题n中交点为(n，n2)．直线中系数依次为1,2,3，…，∴命题n中直线的系数为n.双曲线中系数依次为13,23，33，…，∴命题n中双曲线系数为n3，∴命题n为：点(n，n2)是直线y＝nx与双曲线y＝的一个交点．
5．30 解析：∵22的“分裂”中有连续2个从1开始的奇数，32的“分裂”中有连续3个从1开始的奇数，42的“分裂”中有连续4个从1开始的奇数，∴52的“分裂”中有连续5个从1开始的奇数，即，∴b＝9.
又∵23,33,43的“分裂”依次是从3开始的连续奇数，∴53的“分裂”的第一个数为21，即a＝21.
∴a＋b＝30.
6．(1)90 (2)9×10n 解析：(1)2位回文数均是不为0的自然数，故有9个；而对于3位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，而对于中间一数可含有0，故有10种，因此3位回文数有90种；对于4位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，对于中间两数则可含有0，故有10种，因此也有90种；(2)经归纳可得2n＋1位回文数有9×10n个．
2.1.2 演绎推理
学习目标
重点难点
1．会分析演绎推理的意义．
2．能掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．
3．能知道合情推理和演绎推理之间的区别和联系.
重点：1．演绎推理的含义．
2．利用三段论进行简单推理．
难点：利用三段论进行简单推理.
演绎推理
(1)从一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法通常称为________．
(2)________式推理是演绎推理的主要形式，常用的格式为：________，________，________.
(3)三段论中包含了3个命题，第一个命题称为________，它提供了一个__________；第二个命题叫________，它指出了一个________，这两个判断结合起来，揭示了________与________的内在联系，从而得到第三个命题——______.
预习交流1
演绎推理有哪些特点？
预习交流2
做一做：若△ABC的三边长为3,4,5，则△ABC是直角三角形．用“三段论”表示为：大前提：______________.小前提：__________________.结论：________________.
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习导引
(1)演绎推理
(2)三段论 M—P(M是P) S—M(S是M) S—P(S是P)
(3)大前提 一般性的原理 小前提 特殊对象 一般原理 特殊对象 结论
预习交流1：提示：(1)演绎推理的前提是一般性原理．演绎所得的结论是蕴含于前提之中的个别特殊事实，结论完全蕴含于前提之中．
(2)在演绎推理中，前提和结论存在着必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，那么结论也必然是正确的．
预习交流2：提示：大前提：一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形．
小前提：△ABC的边长为3,4,5，且32＋42＝52.
结论：△ABC是直角三角形．
一、把演绎推理写成三段论
用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直；
(2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以，若两角不是对顶角，则此两角不相等；
(3)0.332是有理数；
(4)y＝sin x(x∈R)是周期函数．
思路分析：对命题进行分析，找出大前提、小前提、结论，再利用三段论形式写出来．
把下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)指数函数y＝3x在R上是单调增函数．
(2)∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.
(3)通项公式为an＝n的数列{an}为等差数列．
在演绎推理中，大前提描述的是一般的原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般的原理对特殊情况做出的判断．这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．
二、演绎推理的正误判断
判断下列几个推理是否正确？为什么？
(1)“因为整数是自然数(大前提)，而3是整数(小前提)，所以3是自然数(结论)．”
(2)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”
(3)“因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金属(小前提)，所以金能导电(结论)．”
思路分析：分析大前提、小前提和推理形式是否正确．
1．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b∥平面α，直线a?平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为__________(填正确结论的序号)．
①大前提错误 ②小前提错误 ③推理形式错误 ④非以上错误
2．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数．”上述推理是__________(填正确结论的序号)．
①小前提错 ②结论错 ③正确的 ④大前提错
判断演绎推理的结论是否正确的方法：
(1)看推理形式是否是由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理．
(2)看大前提是否正确．大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件．
(3)看小前提是否正确．注意小前提必须在大前提范围之内．
(4)看推理过程是否正确，即看由大前提、小前提得到的结论是否正确．
三、用三段论证明数学问题
在平面四边形ABCD中，AB=CD，BC＝AD，求证：四边形ABCD为平行四边形．写出三段论形式的演绎推理．
思路分析：原题可用符号表示为：AB＝CD且BC＝AD?四边形ABCD为平行四边形．用演绎推理来证明命题的方法，也就是从包含在命题中的一般原理推出包含在命题中的个别、特殊事实．为了证明这个命题为真，我们只需在前提(AB＝CD且BC＝AD)为真的情况下，以已知公理、已知定义、已知定理为依据，根据推理规则，导出结论为真．
用三段论计算并指出每一步推理的大、小前提和结论．
已知lg 2＝m，计算lg 0.8.
三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．
几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．
1．下面说法正确的有__________(填序号)．
①演绎推理是由一般到特殊的推理；
②演绎推理得到的结论一定是正确的；
③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；
④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．
2．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等．”补充以上推理的大前提是______________________________________________________________________．
3．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：____________________________________________________________________；
小前提：____________________________________________________________________；
结论：______________________________________________________________________.
4．两条直线相交，对顶角相等，∠A和∠B是对顶角，则∠A＝∠B.该证明过程中大前提是________________，小前提是________________，结论是__________．
5．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是__________．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：解：(1)因为菱形的对角线相互垂直，(大前提)
正方形是菱形，(小前提)
所以正方形的对角线相互垂直．(结论)
(2)如果两个角是对顶角，则这两个角相等，(大前提)
∠1和∠2不是对顶角，(小前提)
所以∠1和∠2不相等．(结论)
(3)因为所有的有限小数是有理数，(大前提)
0.332是有限小数，(小前提)
所以0.332是有理数．(结论)
(4)因为三角函数是周期函数，(大前提)
y＝sinx(x∈R)是三角函数，(小前提)
所以y＝sinx是周期函数．(结论)
迁移与应用：
解：(1)指数函数y＝ax，在a＞1时是R上的单调增函数，(大前提)
函数y＝3x是指数函数且3＞1，(小前提)
所以指数函数y＝3x在R上是单调增函数．(结论)
(2)等腰三角形两底角相等，(大前提)
∠A，∠B是等腰三角形的两底角，(小前提)
所以∠A＝∠B.(结论)
(3)数列{an}中，当n≥2且n∈N*时，an－an－1＝d为常数，则数列{an}是等差数列，(大前提)
通项公式an＝n，若n≥2且n∈N*时，an－an－1＝n－(n－1)＝1为常数，(小前提)
所以通项公式为an＝n的数列{an}为等差数列．(结论)
活动与探究2：解：(1)不正确．大前提错误．因为整数不一定是自然数，非负整数才是自然数．
(2)不正确．小前提错误．因为若三点共线可确定无数个平面，只有不共线的三点才满足．
(3)不正确．推理形式错误．因为演绎推理是从一般到特殊的推理，铜、铁、铝仅是金属的代表，是特殊事例，从特殊到特殊的推理不是演绎推理．
迁移与应用：
1．① 解析：由演绎推理的三段论可知答案应为①.
2．③ 解析：在上述推理中，大前提、小前提都是正确的，推理的形式也符合三段论模式，因此结论也是正确的，这个推理是正确的．
活动与探究3：证明：如图，
(1)连结AC.
(2)AB＝CD，BC＝AD，CA＝AC.
(3)平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：
对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等，(大前提)
△ABC和△CDA的三边对应相等，(小前提)
△ABC与△CDA全等．(结论)
符号表示：
AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC?△ABC≌△CDA.
(4)由全等三角形的性质可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：
对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等，(大前提)
△ABC和△CDA全等，(小前提)
它们的对应角相等，即∠1＝∠2，∠3＝∠4.(结论)
(5)内错角相等，两直线平行，(大前提)
∠1与∠2、∠3与∠4分别是AB与CD、AD与BC被AC所截得到的内错角，(小前提)
AB∥CD，AD∥BC.(结论)
(6)两组对边分别平行的四边形为平行四边形，(大前提)
四边形ABCD的两组对边分别平行，(小前提)
四边形ABCD是平行四边形．(结论)
迁移与应用：
解：因为lg an＝nlg a(a＞0)，(大前提)
lg 8＝lg 23，(小前提)
所以lg 8＝3lg 2.(结论)
因为lg＝lg a－lg b(a＞0，b＞0)，(大前提)
lg 0.8＝lg，(小前提)
所以lg 0.8＝lg 8－1＝3lg 2－1＝3m－1.(结论)
当堂检测
1．①③④
2．矩形都是对角线相等的四边形
3．一次函数的图象是一条直线
函数y＝2x＋5是一次函数
函数y＝2x＋5的图象是一条直线
4．两条直线相交，对顶角相等 ∠A和∠B是对顶角 ∠A＝∠B
5．[4，＋∞) 解析：log2x－2≥0，log2x≥2，∴x≥4.
2.1.3 推理案例赏析
学习目标
重点难点
1．了解和体会推理案例的启示．
2．了解推理在数学命题发展中的作用.
重点：理解合情推理与演绎推理的含义．
难点：合情推理与演绎推理的应用.
1．推理案例的启示
(1)数学发现活动是一个探索创造的过程．这是一个不断地________________的过程．合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．
(2)________是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．
(3)________是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．
2．数学命题推理
数学命题推理有合情推理和演绎推理，__________和________是常用的合情推理．从推理形式上看，________是由部分到整体、个别到一般的推理，________是由特殊到特殊的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理；从推理所得的结论来看，________的结论不一定正确，有待于进一步证明，________在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
预习交流1
做一做：在数列{an}中，a1＝1，Sn，Sn＋1,2S1成等差数列(不必证明)(Sn表示{an}的前n项和)，则S2，S3，S4分别为________，由此猜想Sn＝________.
预习交流2
做一做：从大、小正方形的数量关系上，观察下图，归纳得出的结论是__________．
预习交流3
做一做：已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)．求证：P＞Q.
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习导引
1．(1)提出猜想、验证猜想 (2)合情推理 (3)演绎推理
2．归纳推理 类比推理 归纳推理 类比推理 合情推理 演绎推理
预习交流1：提示：∵Sn，Sn＋1，2S1成等差数列，
∴2Sn＋1＝Sn＋2S1.
∵S1＝a1＝1，∴2Sn＋1＝Sn＋2.∴当n＝1,2,3时，依次得S2＝，S3＝，S4＝.猜想Sn＝.
预习交流2：提示：从大、小正方形的数量关系上，容易发现
1＝12，
1＋3＝2×2＝22，
1＋3＋5＝3×3＝32，
1＋3＋5＋7＝4×4＝42，
1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52，
1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62.
观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：
1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
预习交流3：证明：当a＞1时，a3＋1＞a2＋1，
∴loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)．
当0＜a＜1时，a3＋1＜a2＋1，
∴loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)．
综上，P＞Q.
一、利用合情推理提出猜想
设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k＋1)＝f(k)＋________.
思路分析：注意几何图形参数在由k变到k＋1时，发生了哪些变化，增加了多少．
1．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为__________．
2．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________________________
________________________________________________________________________.
合情推理和演绎推理的关系是：
(1)联系：两个推理是相辅相成的，演绎推理是证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理．
(2)区别：合情推理的前提为真时，结论不一定为真，而演绎推理的前提为真时，结论必定为真．
二、利用演绎推理证明
已知{an}为等差数列，首项a1＞1，公差d＞0，n＞1且n∈N*.求证：lg an＋1lg an－1＜(lg an)2.
思路分析：对数之积不能直接运算，必须由均值不等式转化为对数之和进行运算．
如图所示，在梯形ABCD中AB=DC=DA，AC和BD是梯形的对角线．求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA.
三段论中大前提是一个一般性结论，是共性，小前提是指其中的一个．要得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中有一个错误，结论就不正确．如所有的动物都用肺呼吸，鱼是动物，所以鱼用肺呼吸，此推理显然错误，错误的原因是大前提错．再如所有的能被2整除的数是偶数，合数是偶数，所以合数能被2整除，此推理错误的原因是小前提错．为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．
1．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_________条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=_________，f(n)=_________.(答案用数字或含n的解析式表示)
2．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na＋b)＋c对一切n∈N*都成立，则a＝________，b＝________，c＝________.
3．根据下列给出的数塔猜测123 456×9＋7＝________.
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
4．__________，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．请将此三段论补充完整．
5．已知a，b，m均为正实数，且b＜a，用三段论证明＜.
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：k－1 解析：k棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k－2条侧棱可构成k－2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．∴f(k＋1)＝f(k)＋k－2＋1＝f(k)＋k－1.
迁移与应用：
1．＋＝2 解析：观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4.
2．表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大
解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．
活动与探究2：证明：∵{an}为等差数列，∴an＋1＋an－1＝2an.
∵d＞0，∴an－1·an＋1＝(an－d)(an＋d)＝an2－d2＜an2.
∵a1＞1，d＞0，∴an＝a1＋(n－1)d＞1.
∴lg an＞0.
∴lg an＋1lg an－1≤2
＝2＜2＝(lg an)2，
即lg an＋1lg an－1＜(lg an)2.
迁移与应用：
证明：①等腰三角形两底角相等，(大前提)
△DAC是等腰三角形，DA，DC是两腰，(小前提)
∠1＝∠2.(结论)
②两条平行线被第三条直线所截，截得的内错角相等，(大前提)
∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截得的内错角，(小前提)
∠1＝∠3.(结论)
③等于同一个量的两个量相等，(大前提)
∠2和∠3都等于∠1，(小前提)
所以∠2＝∠3，(结论)
即AC平分∠BCD.
④同理DB平分∠CBA.
当堂检测
1． 12 解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，即n＋n＋＝.
f(4)＝4×2＋×2＝12，
f(n)＝n(n－2)＋×(n－2)＝.
2． － 解析：错位相减法，求左边的和．
设Sn＝1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1，①
则3Sn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋(n－1)×3n－1＋n×3n，②
①－②得－2Sn＝1＋3＋32＋33＋…＋3n－1－n×3n
＝－n×3n＝×3n－.
∴Sn＝×3n＋＝3n(na＋b)＋c.
∴a＝，b＝－，c＝.
3．1 111 111
4．奇数不能被2整除
5．证明：因为不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，(大前提)
b＜a，m＞0，(小前提)
所以mb＜ma.(结论)
因为不等式两边同加上一个数，不等号方向不变，(大前提)
mb＜ma，(小前提)
所以mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论)
因为不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变，(大前提)
b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0，(小前提)
所以＜，
即＜.(结论)
2.2.1 直接证明
学习目标
重点难点
1．能知道直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．
2．会分析综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.
重点：综合法和分析法的思维方法和步骤．
难点：综合应用两种方法解题.
1．直接证明
(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为________．
(2)直接证明的一般形式为：?…?________.
2．综合法
(1)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为________．
(2)综合法的推证过程是：________?…?…?______.
预习交流1
做一做：已知数列{an}的通项公式为an＝2n，求证：数列{an}为等比数列．
3．分析法
(1)从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为________．
(2)分析法的推证过程是：______……________.
预习交流2
做一做：求证：＋≥2＋.
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习导引
1．(1)直接证明 (2)本题结论
2．(1)综合法 (2)已知条件 结论
预习交流1：提示：∵an＝2n，∴＝＝＝2(常数)．∴由等比数列的定义可知，数列{an}为公比是2的等比数列．
3．(1)分析法 (2)结论 已知条件
预习交流2：提示：要证原不等式成立，只需证(＋)2≥(2＋)2，即证2＞2，由于上式显然成立，因此原不等式成立．
一、综合法的应用
设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证：＋＋＞＋＋.
思路分析：(1)综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式．
(2)综合法证明不等式时，要注意不等式的性质和已证过的不等式各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误．
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E，F分别是AP，AD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
1．综合法的证明步骤：(1)分析条件，选择方向，确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．(2)转化条件，组织过程，将条件合理转化，书写出严密的证明过程．
2．综合法的适用范围是：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性，奇偶性；立体几何中的证明，不等式的证明等问题；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型．
二、分析法的应用
如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.
求证：AF⊥SC.
思路分析：利用线线垂直、线面垂直的相互转化寻求AF⊥SC成立的条件．
当a＋b＞0时，求证：≥(a＋b)．
在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，得到结论，但这个倒推过程可以省略．
三、综合法和分析法的综合应用
求证：当x≥0时，sin x≤x.
思路分析：不等式的成立问题，可以转化为函数最值问题来解决．
已知α，β≠kπ＋(k∈Z)，且sin θ＋cos θ＝2sin α，①
sin θcos θ＝sin2β，②
求证：＝.
实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径．
1．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b的大小关系为__________．
2．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝2x，当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝__________.
3．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．
4．已知实数a≠0，且函数f(x)＝a(x2＋1)－有最小值－1，则a＝__________.
5．补充下面用分析法证明基本不等式≥ab的步骤：
要证明≥ab，
只需证明a2＋b2≥2ab，
只需证________，
只需证________．
由于________显然成立，因此原不等式成立．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，且abc＝1，
∴＋＋＝bc＋ca＋ab.
又bc＋ca≥2·＝2＝2，
同理bc＋ab≥2，ca＋ab≥2.
∵a，b，c不全相等，
∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立．
∴2(bc＋ca＋ab)＞2(＋＋)，
即bc＋ca＋ab＞＋＋.
故＋＋＞＋＋.
迁移与应用：
证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.
又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD，
所以直线EF∥平面PCD.
(2)连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，
所以△ABD为正三角形．
因为F是AD的中点，
所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，
BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以BF⊥平面PAD.
又因为BF?平面BEF，
所以平面BEF⊥平面PAD.
活动与探究2：证明：要证AF⊥SC，而EF⊥SC，故只需证SC⊥平面AEF，
只需证AE⊥SC，而AE⊥SB，故只需证AE⊥平面SBC，
只需证AE⊥BC，而AB⊥BC，故只需证BC⊥平面SAB.
只需证BC⊥SA，而由SA⊥平面ABC可知SA⊥BC，即上式成立，∴AF⊥SC.
迁移与应用：
证明：要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
因为a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
所以≥(a＋b)成立．
综上所述，不等式得证．
活动与探究3：证明：要证x≥0时，sinx≤x，只需证x≥0时，sinx－x≤0即可．
设f(x)＝sinx－x，
则即证x≥0时，f(x)≤0，即证x≥0时，
f(x)的最大值小于或等于0即可．
∵f(x)＝sinx－x，∴f′(x)＝cosx－1，
∴当x≥0时f′(x)≤0，
∴f(x)在[0，＋∞)上递减．
∴当x≥0时，f(x)max＝f(0)＝0，
∴f(x)max≤0成立，∴原不等式成立．
迁移与应用：
证明：要证＝，
即证＝，
即证cos2α－sin2α＝(cos2β－sin2β)，
即证1－2sin2α＝(1－2sin2β)，即证4sin2α－2sin2β＝1.③
因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，
所以将①②代入上式，可得
4sin2α－2sin2β＝1.
由于上式与③相同，于是问题得证．
当堂检测
1．a＞b 解析：∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，
而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.
2．24 解析：∵1＝log22＜log23＜log24＝2，∴3＜log23＋2＜4.由已知得f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝＝8×3＝24.
3．综合法
4．1 解析：f(x)＝ax2－2x＋a－有最小值，则a＞0，对称轴x＝，则f(x)min＝f＝－1，
即f＝a·2－2·＋a－＝－1，
即a－＝－1，则a2＋a－2＝0.
∵a＞0，∴a＝1.
5．a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
2.2.2 间接证明
学习目标
重点难点
1．能知道反证法的思考过程、特点．
2．会用反证法证明数学问题.
重点：反证法的适用范围、思考过程、特点及应用．
难点：会用反证法证明数学问题.
1．间接证明
(1)不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明的方法通常称为________．
(2)________是一种常用的间接证明方法．
2．反证法
(1)用反证法证明时，要从否定________开始，经过正确的推理，导致逻辑________，从而达到新的否定(即肯定原命题)．
(2)用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用框图表示：→→→.
3．反证法证明过程包括三个步骤
(1)____——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．
(2)____——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理得出矛盾结果．
(3)____——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．
预习交流
做一做：用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设应该是________________________________________________________________________．
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习导引
1．(1)间接证明 (2)反证法
2．(1)结论 矛盾 (2)否定结论q 矛盾 若p则q”为真
3．(1)反设 (2)归谬 (3)存真
预习交流：提示：假设三角形的内角中至少有两个钝角
一、用反证法证明否定性命题
设数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列．
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
思路分析：仔细分析题意可得(1)(2)中都含有否定性命题，可采用反证法证明，解题时要注意对公比q的分析．
设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1.求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
当要证结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．
二、用反证法证明“至多”“至少”问题
证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
思路分析：结论中含词语“至多”，宜采用反证法，注意“至多有一个”的否定是“至少有2个”．
若x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求证：与中至少有一个小于2.
(1)结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式或直接从正面入手难以寻觅突破口的问题，宜考虑使用反证法．
(2)要想得到与原命题相反的判断，必先弄清原命题的含义，即原命题包含哪几个结论(不能缩小也不能扩大)，然后避开问题给的条件考虑可能得到的各种结论，从这些结论中把原命题所含的结论剔除，就得到原命题的相反判断．
三、用反证法证明“唯一”性问题
用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行．
思路分析：假设过点A有两条直线与直线a平行，由平行公理推出与假设矛盾的结论．
过平面α内的点A作直线a，使得a⊥α，求证：直线a是唯一的．
1．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证法证明唯一性就非常简单明了．
2．用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成了关键所在，对于证题步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，再灵活运用．
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用，正确的序号是__________．
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．
2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容应是__________．
3．命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．
4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
5．下列叙述正确的有__________．(填序号)
①“a＞b”的反面是“a＜b”；
②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；
③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；
④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：解：(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{Sn}不是等比数列．
(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列；
当q≠1时，{Sn}不是等差数列；
假设当q≠1时数列{Sn}是等差数列，则2S2＝S1＋S3，
即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以当q≠1时数列{Sn}不是等差数列．
迁移与应用：
证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.
因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，
即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，
所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾．
故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
活动与探究2：证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α，β为其中的两个实根．
因为α≠β，不妨设α＜β，
又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，
所以f(α)＜f(β)．
这与假设f(α)＝0＝f(β)矛盾，
所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
迁移与应用：
证明：假设与都大于等于2，即≥2，≥2.
因为x＞0，y＞0，所以1＋y≥2x，①
1＋x≥2y.②
①＋②得2＋x＋y≥2x＋2y，
所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y＞2矛盾，
所以假设不成立，所以与中至少有一个小于2.
活动与探究3：证明：假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．
迁移与应用：
证明：假设这样的直线不唯一，则过点A至少还有一条直线b，使得b⊥α.
∵直线a，b是相交直线，
∴直线a，b可以确定一个平面β.
设α和β相交于过点A的直线c.
∵a⊥α，c?α，∴a⊥c.
同理可得b⊥c.
这样在平面β内，过点A就有两条直线垂直于c，
这与平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾，故假设错误，
从而这样的直线a是唯一的．
当堂检测
1．①②③
2．≤成立
3．a≠1或b≠1 解析：“a＝b＝1”亦即“a＝1且b＝1”，所以其否定应为“a≠1或b≠1”．
4．③①②
5．② 解析：①不正确，“a＞b”的反面是“a≤b”；②正确；③不正确，原命题的反面漏掉了“三角形的外心在三角形上”；④不正确，原命题的反面为“最少有两个钝角”．
2.3 数学归纳法
学习目标
重点难点
1．了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
重点：数学归纳法的原理．
难点：数学归纳法的应用.
数学归纳法
一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有__________公理：
如果(1)当n取第一个值__________时结论正确；
(2)假设当________(k∈N*，且k≥n0)时__________，证明当__________时结论也正确．
那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．
预习交流1
做一做：用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n＝(n∈N*)，从k到k＋1时，左端增加的式子为________．
预习交流2
用数学归纳法应注意哪些步骤？
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习导引
数学归纳法 (1)n0(例如n0＝1,2等) (2)n＝k
结论正确 n＝k＋1
预习交流1：提示：k＋1
预习交流2：提示：两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)，就作出判断可能得出不正确的结论．因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．
用数学归纳法证明有关问题的关键在于第二步，即n＝k＋1时为什么成立．n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明．
用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都可用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．
一、用数学归纳法证明等式或不等式
证明12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．
思路分析：用数学归纳法证明等式时要注意等式两边的项数随n怎样变化，即由n＝k到n＝k＋1时，左右两边各增添哪些项．
用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝＋＋…＋.
可用数学归纳法来证明关于自然数n的恒等式，证明时两步缺一不可，第一步必须验证，证明n＝k＋1时成立，必须用到假设n＝k成立的结论．
二、用数学归纳法证明几何问题
有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分．
思路分析：由k到k＋1时，研究第k＋1个圆与其他k个圆的交点个数问题．
证明：凸n边形的对角线的条数f(n)＝n(n－3)(n≥4)．
(1)几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由特殊猜出一般结论．
(2)关键步骤的证明可以先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明．
(3)几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明．
三、归纳—猜想—证明
已知等差数列{an}，等比数列{bn}，且a1＝b1，a2＝b2(a1≠a2)，an＞0(n∈N*)．
(1)比较a3与b3，a4与b4的大小，并猜想an与bn(n≥3)的大小关系；
(2)用数学归纳法证明猜想的正确性．
思路分析：数列的通项公式应注意由n＝k到n＝k＋1时的变化情况，增加哪些项是难点，注意观察寻找规律．
数列{an}满足Sn＝2n－an，n∈N*.
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
观察、归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性，是一种十分重要的思维方法．观察特殊事例时要细，要注意所研讨特殊事例的特征及相互关系，关系不明时应适当变形，由观察、归纳、猜想得到的结论，可能是正确的也可能是错误的，需要由数学归纳法证明．
1．设f(n)＝1＋＋＋＋…＋，则f(k＋1)－f(k)＝________.
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为__________．
3．已知数列，，，…，，…的前n项和为Sn，计算得S1＝，S2＝，S3＝，…，由此可猜测Sn＝________.
4．平面内原有k条直线，它们的交点个数为f(k)，则增加一条直线后，它们的交点个数最多为________．
5．求证：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*)．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：证明：(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，
右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，
∴左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k时等式成立，
即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立．
则当n＝k＋1时，
左边＝12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋[2(k＋1)－1]2－[2(k＋1)]2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝(2k＋1)(k＋1)－4(k＋1)2
＝(k＋1)[2k＋1－4(k＋1)]＝(k＋1)(－2k－3)
＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]＝右边，
∴当n＝k＋1时，等式成立．
由(1)(2)可知对于任意正整数n，等式都成立．
迁移与应用：
证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，等式成立．
(2)假设当n＝k时，等式成立，即＋＋…＋＝＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋，
即当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．
活动与探究2：证明：(1)当n＝1时，即一个圆把平面分成2个部分f(1)＝2，又n＝1时，n2－n＋2＝2，
∴命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分，那么设第k＋1个圆记作⊙O，由题意，它与k个圆中每个圆交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其他k个圆相交于2k个点．把⊙O分成2k条弧，而每条弧把原区域分成2部分，因此这个平面的总区域增加2k个部分，即f(k＋1)＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.即n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)可知，对任何n∈N*命题均成立．
迁移与应用：
证明：(1)当n＝4时，f(4)＝×4×(4－3)＝2，
四边形有两条对角线，命题成立．
(2)假设当n＝k时命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k)＝k(k－3)(k≥4)，
当n＝k＋1时，凸k＋1边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点Ak＋1，增加的对角线是以顶点Ak＋1为一个端点的所有对角线，再加上原k边形的一边A1Ak，共增加的对角线条数(k＋1－3)＋1＝k－1.
f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2)
＝(k＋1)·(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]，
故当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)可知，对于n≥4，n∈N*命题都成立．
活动与探究3：(1)解：设a1＝b1＝a，公差为d，公比为q，由a2＝b2，得a＋d＝aq.①
∵a1≠a2，an＞0，∴a＞0，d＞0.
由①，得d＝aq－a，q＝1＋＞1.
∴b3－a3＝aq2－(a＋2d)＝aq2－a－2a(q－1)＝a(q－1)2＞0.
∴b3＞a3.
∵b4－a4＝aq3－(a＋3d)＝a(q－1)(q2＋q－2)＝a(q－1)2(q＋2)＞0，
∴b4＞a4.猜想出bn＞an(n≥3，n∈N*)．
(2)证明：①当n＝3时，由(1)可知已证得b3＞a3，
∴n＝3时猜想成立．
②假设当n＝k(n∈N*，k≥3)时，bk＞ak成立．
则当n＝k＋1时，∵bk＋1＝bkq，ak＋1＝ak＋d，
∴bk＋1－ak＋1＝bkq－ak－d＝bk－ak－d
＝(bk－ak)＋－d＝(bk－ak)＋.
∵q＝1＋＞1，且b1＝a＞0，
∴{bn}为递增数列．∴bk＞a.
∴bk－a＞0.又bk－ak＞0，
∴(bk－ak)＋＞0.
∴bk＋1－ak＋1＞0.∴bk＋1＞ak＋1.
∴n＝k＋1时，猜想也成立．
由①和②可知，对于n∈N*，n≥3猜想成立．
迁移与应用：
(1)解：当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.
当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝.
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，
∴a4＝.由此猜想an＝(n∈N*)．
(2)证明：当n＝1时，a1＝1，结论成立．
假设n＝k时，结论成立，即ak＝，那么n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak.∴ak＋1＝＝＝.
这表明n＝k＋1时，结论成立，∴an＝.
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1．＋ 2．1＋a＋a2 3． 4.f(k)＋k
5．证明：(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＞，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即
＋＋…＋＞，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋＞＋＞＋＝，所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．
